九年级数学下册相似三角形的性质同步测试(新版)新人教版

合集下载

九年级数学下册相似三角形的性质同步测试(新版)新人教版

精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .相似三角形的性质1. △ABC ∽△DEF ,假设△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为( D )A ．4∶3B ．3∶4C ．16∶9D ．9∶162. 如图27－2－41 ,AB ∥CD ,AO OD ＝23 ,那么△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D )图27－2－41A.25B.32C.49D.233．两个相似多边形的面积比是9∶16 ,其中较小多边形的周长为36 cm ,那么较大多边形的周长为( A )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm4．如图27－2－42 ,在△ABC 中 ,点D ,E 分别是AB ,AC 的中点 ,那么以下结论不正确的选项是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABCC.AD AE ＝AB ACD ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中 ,点D ,E 分别是边AB ,AC 的中点 ,∴DE ∥BC ,DE ＝12BC ,∴BC ＝2DE ,故A 正确；∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,故B 正确；∴AD AE ＝AB AC,故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线 ,∴DE ∶BC ＝1∶2 ,∴S △ABC ＝4S △ADE ,故D 错误．图27－2－42图27－2－435．如图27－2－43 ,边长为4的等边△ABC 中 ,DE 为中位线 ,那么四边形BCED 的面积为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．6 3【解析】作DF ⊥BC 于F ,∵边长为4的等边△ABC 中 ,DE 为中位线 ,∴DE ＝2 ,BD ＝2 ,∠B ＝60° ,∴BF ＝1 ,DF ＝BD 2－BF 2＝22－12＝ 3 ,∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12×3×(2＋4)＝3 3.应选B. 6．在△ABC 和△DEF 中 ,AB ＝2DE ,AC ＝2DF ,∠A ＝∠D ,如果△ABC 的周长是16 ,面积是12 ,那么△DEF 的周长、面积依次为( A )A ．8 ,3B ．8 ,6C ．4 ,3D ．4 ,6【解析】 ∵AB ＝2DE ,AC ＝2DF ,∴AB DE ＝AC DF ＝2 ,又∠A ＝∠D ,∴△ABC ∽△DEF ,且相似比为2 ,∴△ABC 与△DEF 的周长比为2 ,面积比为4 ,又∵△ABC 的周长为16 ,面积为12 ,∴△DEF 的周长为16×12＝8 ,△DEF 的面积为12×14＝3. 7. 如图27－2－44 ,在△ABC 中 ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上 ,且AE AB ＝AD AC ＝12,那么S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )图27－2－44A ．1∶ 3 B. 1∶2C. 1∶3D. 1∶48．△ABC ∽△A ′B ′C ′ ,相似比为3∶4 ,假设△ABC 的周长为6 ,那么△A ′B ′C ′的周长为__8__. 【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ,∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4 ,∵△ABC 的周长为6 ,∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43＝8.9．△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为1 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__．【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为1 ,∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1 ,∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1. 图27－2－4510．如图27－2－45 ,在△ABC中 ,DE∥BC,DE分别交边AB,AC于D,E两点 ,假设AD∶AB ＝1∶3 ,那么△ADE与△ABC的面积比为__1∶9__．11．一天 ,某校数学课外活动小组的同学们 ,带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的 "圆锥形坑〞的深度 ,来评估这些深坑对河道的影响 ,如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无平安隐患)的测量对象 ,测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上 ,经过适当调整自己所处的位置 ,当他位于点B时 ,恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线)．经测量：AB＝ ,BC＝．根据以上测量数据 ,求 "圆锥形坑〞的深度(圆锥的高)．(π ,结果精确到)图27－2－46第11题答图解：如图 ,取圆锥底面圆圆心O ,连接OS ,OA ,那么∠O＝∠ABC＝90° ,OS∥BC ,∴∠ACB＝∠ASO ,∴△SOA∽△CBA ,∴OSBC＝OAAB,即OS＝OA·BCAB.∵OA ＝错误!≈ ,BC ,AB ,∴OS ≈错误!≈ ,∴ "圆锥形坑〞的深度约为．12. △ABC ∽△DEF ,DE AB ＝23 ,△ABC 的周长是12 cm ,面积是30 cm 2. (1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积．解：(1)∵DE AB ＝23, ∴△DEF 的周长＝12×23＝8(cm)； (2)∵DE AB ＝23, ∴△DEF 的面积＝30×(23)2＝1313(cm 2)．13．如图27－2－47 ,四边形ABCD 中 ,AD ∥BC ,对角线AC ,BD 相交于O ,AD ＝1 ,BC ＝4 ,那么△AOD 与△BOC 的面积比等于( D )图27－2－47A.12B.14C.18D.11614．如图27－2－48 ,在△ABC 中 ,BC ＞AC ,点D 在BC 上 ,且DC ＝AC ,∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ,点E 是AB 的中点 ,连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)假设△ABD 的面积是6 ,求四边形BDFE 的面积．图27－2－48【解析】 (1)证明EF 为△ABD 的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．解：(1)证明：∵DC ＝AC ,∴△ACD 为等腰三角形．∵CF 平分∠ACD ,∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点 ,∴EF 为△ABD 的中位线 ,∴EF ∥BC .(2)由(1)得EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABD .∵EF BD ＝12,∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4 , ∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝ 3∶4.∵S △ABD ＝6 ,∴S 四边形BDFE ＝92. 15．[2021·泰安]如图27－2－49 ,四边形ABCD 中 ,AC 平分∠DAB ,∠ADC ＝∠ACB ＝90° ,E 为AB 的中点．图27－2－49(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)求证：CE ∥AD ；(3)假设AD ＝4 ,AB ＝6 ,求AC AF 的值．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90° ,∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB. ∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点 ,∴CE ＝12AB ＝AE , ∠EAC ＝∠ECA .∵AC 平分∠DAB ,∴∠CAD ＝∠CAB . ∴∠DAC ＝∠ECA .∴CE ∥AD .(3)∵CE ∥AD ,∴∠DAF ＝∠ECF ,∠ADF ＝∠CEF ,∴△AFD ∽△CFE ,∴AD CE ＝AF CF. ∵CE ＝12AB , ∴CE ＝12×6＝3. 又∵AD ＝4 ,由AD CE ＝AF CF 得43＝AF CF, ∴AF AC ＝47.∴ACAF＝74.16. ：如图27－2－50 ,△ABC中 ,AB＝AC,AD是中线 ,P是AD上一点 ,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E ,交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.图27－2－50证明：连接PC ,∵AB＝AC ,AD是中线 ,∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB ,∠PCE＝∠ABP.∵CF∥AB ,∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行 ,内错角相等) ,∴∠PCE＝∠PFC.又∵∠CPE＝∠EPC ,∴△EPC∽△CPF.∴PCPE＝PFPC(相似三角形的对应边成比例)．∴PC2＝PE·PF. ∵PC＝BP ,∴BP2＝PE·PF.17. 我们知道 ,三角形的三条中线一定会交于一点 ,这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质 ,如有关线段比、面积比就有一些 "漂亮〞结论 ,利用这些性质可以解决三角形中的假设干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)假设O 是△ABC 的重心(如图1) ,连结AO 并延长交BC 于D ,证明：AO AD ＝23； (2)假设AD 是△ABC 的一条中线(如图2) ,O 是AD 上一点 ,且满足AO AD ＝23,试判断O 是△ABC 的重心吗 ?如果是 ,请证明；如果不是 ,请说明理由；(3)假设O 是△ABC 的重心 ,过O 的一条直线分别与AB ,AC 相交于G ,H (均不与△ABC 的顶点重合)(如图3) ,S 四边形BCHG .S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积 ,试探究S 四边形BCHG S △AGH的最|大值．图27－2－51解：(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点E ,连接DE ,那么DE 为△ABC 的中位线 ,∴DE ∥AB ,∴△EDO ≌△BAO ,∴DO AO ＝DE AB ＝12 ,∴AO AD ＝23.(2)是 ,证明：连接BO 并延长交AC 于点E ,过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ,那么△AOE ∽△ADF ,∴AE AF ＝AO AD ＝23,∴AE ＝2EF ,又∵△CDF ∽△CBE ,∴CF CE ＝CD CB ＝12, ∴EF ＝FC ,∴AE ＝CE ,即点E 为AC 中点 ,∴点O 为△ABC 的重心．(3)54.教学反思1 、要主动学习、虚心请教 ,不得偷懒 . 老老实实做 "徒弟〞 ,认认真真学经验 ,扎扎实实搞教研 .2 、要勤于记录 ,善于总结、扬长避短 . 记录的过程是个学习积累的过程 , 总结的过程就是一个自我提高的过程 .通过总结 , 要经常反思自己的优点与缺点 ,从而取长补短 ,不断进步、不断完善 .3 、要突破创新、富有个性 ,倾心投入 . 要多听课、多思考、多改良 ,要正确处理好模仿与开展的关系 ,对指导教师的工作不能照搬照抄 ,要学会扬弃 ,在原有的根底上 ,根据自身条件创造性实施教育教学 ,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格 , 弘扬工匠精神 , 努力追求自身教学的高品位 .。

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)

人教九下数学第27章相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ；（3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版

相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图第2题图第3题图4．如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝．第5题图第6题图第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是；若6DE =，则BC =第9题图第10题图第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。

人教版九年级下册数学 27.2.2相似三角形的性质同步测试(含解析)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯27.2.2相似三角形的性质同步测试一．选择题1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．如图，BE和CD是△ABC的中线，连接DE，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：75．如图是一个边长为1的正方形组成的网格，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（）A．1：2B．1：4C．4：9D．2：36．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB 的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：257．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（）cm．A．32B．24C．48D．648．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD边长为4，E是正方形外一点，BE＝CE＝，点E关于BD的对称点为点F，连结EB，DF并延长相交于点G，则AG的值为（）A．B．C．D．10．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD，CE交于点F，若∠1＝∠B，则＝．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．14．如图，等边△ABC的边长为6，点D在AC上且DC＝2，点E在BC上，连接AE交BD于点F，且∠AFD＝60°，若点M是射线BC上一点，当以B、D、M为顶点的三角形与△ABF 相似时，则BM的长为．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O为AC边中点，＝2，连接BO交AD于F，作OE⊥OB交BC边于点E，则的值＝．三．解答题16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．（1）证明：AM2＝MN•MP；（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F．延长线段BM交边AC于点G，在图②中补全图形并求的值．参考答案一．选择题1．解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∴∠F＝∠C＝50°；故选：B．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴，故选：A．4．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．5．解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，∴△ABC与△A1B1C1的面积比是：＝．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．7．解：标出字母，如图：∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，∴∠EAD＝∠MAD，∵DE∥AB交AC的延长线于点E，∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED，∴∠EAD＝∠EDA，∴ED＝EA，∵在三角形ABC与三角形CED中，∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD，∴△ABC∽△CED，∴＝，∵AB＝15cm，AC＝12cm，设ED＝15k，∴CE＝12k，∴ED＝15k＝EA＝EC+CA＝12k+12，∴3k＝12，∴k＝4，∴CE＝12k＝48（cm），故选：C．8．解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，∴OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，即＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴PM的最小值为＝，故选：C．9．解：如图，作GM⊥DA于M，GJ⊥AB于J，EP⊥BC于P，EN⊥DC于N，设MG＝x，MA ＝y，如下图所示，由BP＝2，BE＝，得PE＝，∵点E关于BD的对称点为点F，∴∠GDB＝∠BDE，∴∠MDG＝45°﹣∠GDB＝∠NDE＝45°﹣∠BDE，∵∠DMG＝∠DNE＝90°，∴△DMG∽△DNE，得＝，∵AB⊥BC，∵BC⊥EP，∴AB∥PE，∴∠JBG＝∠PEB，∵∠GJB＝∠BPE＝90°，∴△BJG∽△EPB，得＝，解得：x＝y＝，∴AG＝．故选：D．10．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠F AG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；∵AF＝AG，AC＝AD，∴＝，∵∠F AG＝∠CAD＝45°，∴∠F AC＝∠DAG，∴△F AC∽△DAG，故②正确，∴∠ADG＝∠ACB＝45°，延长DG交AC于N，∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，∴DG⊥AC，故④正确，∵∠F AC＝∠F AH，∠AFG＝∠ACF＝45°，∴△AFH∽△ACF，∴，∴AF2＝AH•AC，∴2AE2＝AH•AC，故③正确，故选：D．二．填空题11．解：∵∠1＝∠B，而∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AE•AB，∵CE是△ABC的中线，∴AE＝AB，∴AC2＝AE•AB＝AB2，∴AC＝AB，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAF，而∠B＝∠1，∴△ABD∽△ACF，∴＝＝＝．故答案为．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．14．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°＝∠AFD，∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAE，∴∠BAE＝∠DBC，如图，当点M在BC上时，作∠BDM＝∠ABD，∴△ABF∽△BDM，∵∠BDM＝∠ABD，∴∠DMC＝∠DBC+∠BDM＝∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝60°，∴∠DMC＝∠DCM＝60°，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝CM＝2，∴BM＝4，当点M'在BC的延长线上时，作∠CDM'＝∠BAE，∵∠ACB＝∠CDM'+∠M'＝60°，∠AFD＝∠ABD+∠BAE＝60°，∴∠M'＝∠ABD，∴△ABF∽△BM'D，∵∠CDM'＝∠CBD，∠BDM＝∠M'，∴△BDM∽△DM'C，∴，∴＝，∴CM'＝1，∴BM'＝7，综上所述：BM＝4或7，故答案为：4或7．15．解：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE＝90°，∵∠BOA+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE．过O作AC的垂线交BC于H，则OH∥AB，∵∠ABF＝∠COE，∠BAF＝∠C．∴∠AFB＝∠OEC，∴∠AFO＝∠HEO，而∠BAF＝∠C，∴∠F AO＝∠EHO，∴△OEH∽△OF A，∴，又∵O为AC的中点，OH∥AB．∴OH为△ABC的中位线，∴OH＝AB，OA＝OC＝AC，而，∴，即，故答案为：2．三．解答题16．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，∴∠DBE＝30°，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∴∠C＝30°，∴∠C＝∠DBC，∴BD＝CD，∵∠ABD＝30°，∴cos∠ABD＝＝∴BD＝4，∴CD＝4．17．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，∴△ADM∽△NBM，∴＝，∵AB∥DC，∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，∴△PDM∽△ABM，∴＝，∴＝，∴AM2＝MN•MP；（2）∵AD∥BC，∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，∴△PCN∽△PDA，∴＝，∵DC：CP＝2：1，∴＝＝，又∵AD＝6，∴NC＝2，∴BN＝4．18．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝，∴CD＝1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，∴BD＝BC﹣CD＝2，∵DE∥CA，∴△BDE∽△BCA，∴＝，∴DE＝；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，，∴，∵BD＝2，BC＝3，DF＝AG，∴．。

九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定同步测试（新版）新人教版

九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定同步测试（新版）新人教版相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例定理 [见B 本P69]1．如图27－2－1，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( B ) A ．7 B ．7.5 C ．8 D ．8.5 【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC CE ＝BD DF ，∴46＝3DF，∴DF ＝4.5，∴BF ＝BD ＋DF ＝7.5.图27－2－1图27－2－22．如图27－2－2，若l 1∥l 2，那么以下比例式中正确的是( D ) A.MR NR ＝RP RQ B.MR NP ＝NRMQC.MR MQ ＝RP NPD.MR RQ ＝NRRP3．如图27－2－3，已知BD ∥CE ，则下列等式不成立的是( A )图27－2－3 A.AB BC ＝BD CE B.AB AC ＝BDCEC.AD AE ＝BD CED.AB AC ＝ADAE4. 如图27－2－4，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .已知AE ＝6，AD DB ＝34，则EC 的长是( B )图27－2－4A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14【解析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AEEC，∵AE ＝6，∴34＝6EC，解得EC ＝8，则EC 的长是8.5．如图27－2－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为( B )图27－2－5A ．9B ．6C ．3D ．4【解析】∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE CE .∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴510＝3CE，∴CE ＝6，故选B.6．如图27－2－6，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( A )图27－2－6A ．AB 2＝BC ·BDB ．AB 2＝AC ·BD C ．AB ·AD ＝BD ·BC D ．AB ·AD ＝AD ·CD【解析】由△ABC ∽△DBA 可得对应边成比例，即AB DB ＝BC BA，再根据比例的性质可知AB 2＝BC ·BD ，故选A.7．如图27－2－7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则AO CO的值为( B ) A.12 B.13 C.14 D.19图27－2－7图27－2－88．如图27－2－8，已知DE ∥AB ，DF ∥BC ，下列结论中不正确的是( D ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BFABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DFBC【解析】 A 正确，∵DE ∥AB ，DF ∥BC ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE ＝BF . ∵DF ∥BC ，∴AD DC ＝AF BF ，∴AD DC ＝AFDE；B 正确，∵DE ∥AB ，∴CE CB ＝CDCA ，又DF ∥BC ，∴CD CA ＝BF AB，∴CE CB ＝BFAB；C 正确，∵四边形DEBF 是平行四边形，∴DF ＝BE . ∵DE ∥AB ，∴CD AD ＝CE BE ，∴CD AD ＝CEDF；D 不正确，∵DF ∥BC ，∴AF AB ＝ADAC ，又DE ∥AB ，∴AD AC ＝BE BC ，∴AF AB ＝BEBC，又BE ＝DF ，∴AF AB ＝DF BC.9．如图27－2－9，已知AC ∥DB ，OA ∶OB ＝3∶5，OA ＝9，CD ＝32，则OB ＝__15__，OD ＝__20__．【解析】∵OA OB ＝35，∴OB ＝53OA ＝53×9＝15.设OD ＝x ，则OC ＝32－x . ∵AC ∥DB ，∴OA OB ＝OC OD ，∴35＝32－xx，解得x ＝20.图27－2－9图27－2－1010．如图27－2－10，已知l 1∥l 2∥l 3，AM ＝3 cm ，BM ＝5 cm ，CM ＝4.5 cm ，EF ＝12 cm ，则DM ＝__7.5__cm ，EK ＝__4.5__cm ，FK ＝__7.5__cm. 【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AM BM ＝CM DM，∴35＝4.5DM，∴DM ＝7.5 cm. ∵l 1∥l 2∥l 3，∴EK EF ＝AM AB ，∴EK 12＝38，∴EK ＝4.5 cm ，∴FK ＝EF －EK ＝12－4.5＝7.5(cm)．11. 如图27－2－11，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )图27－2－11A. 5∶8 B ．3∶8 C. 3∶5 D ．2∶5【解析】∵AD ∶DB ＝3∶5，∴BD ∶AB ＝5∶8，∵DE ∥BC ，∴CE ∶AC ＝BD ∶AB ＝5∶8，∵EF ∥AB ，∴CF ∶CB ＝CE ∶AC ＝5∶8.12．如图27－2－12，点F 是?ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( C ) A.ED EA ＝DF AB B.DE BC ＝EFFBC.BC DE ＝BF BED.BF BE ＝BCAE图27－2－12图27－2－1313．如图27－2－13，已知FG ∥BC ，AE ∥GH ∥CD ，求证：AB BF ＝EDDH.【解析】观察图形，我们会发现AE ∥GH ∥CD ，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，可推得ED DH ＝AC CG ；由FG ∥BC ，知它具备了定理推论中的“A ”型的基本图形，可推得AC CG ＝AB BF，从而可证得ED DH ＝AB BF. 证明：∵AE ∥GH ∥CD ，∴ED DH ＝ACCG. ∵FG ∥BC ，∴AC CG ＝AB BF ，∴ED DH ＝ABBF.14．如图27－2－14，已知AB ∥MN ，BC ∥NG ，求证：OA OM ＝OCOG. 证明：∵AB ∥MN ，∴OA OM ＝OB ON，又∵BC ∥NG ，∴OB ON ＝OC OG ，∴OA OM ＝OCOG.图27－2－14图27－2－1515．如图27－2－15，?ABCD 中，E 在CD 延长线上，BE 交AD 于F .若AB ＝3，BC ＝4，DF ＝1，求DE 的长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AD ＝BC . ∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴AF DF ＝BF FE ＝CDDE ，∴AB DE ＝AF DF，又∵AF ＝AD －DF ＝BC －DF ＝3，∴3DE ＝31，∴DE ＝1.16．如图27－2－16，已知AD 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E . 求证：AB AC ＝BD DC.图27－2－16证明：∵AD ∥CE ，∴∠BAD ＝∠E ，∠DAC ＝∠ACE . 又∵∠BAD ＝∠DAC ，∴∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC . 又∵CE ∥AD ，∴AB AE ＝BD DC ，∴AB AC ＝BDDC.第2课时相似三角形判定定理1、2 [见A 本P71]1．如图27－2－17，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD BD ＝12，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( B )图27－2－17A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm 【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC.∵AD BD ＝12，∴AD AB ＝13，∴13＝4BC，∴BC ＝12 cm ，选择B.2. 能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( D ) A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′≠BCB ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠C ′C.AB A ′B ′＝BCA ′C ′，且∠B ＝∠A ′ D.AB A ′B ′＝BCB ′C ′，且∠B ＝∠B ′ 3．如图27－2－18，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( B )图27－2－18A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似【解析】两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如图27－2－19，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AE ＝AB AC.其中正确的有( A ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个【解析】点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由中位线定理得DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，①正确；因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，②正确；由②得AD AE ＝ABAC，③正确．故选A.图27－2－19图27－2－205．如图27－2－20，在?ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是( B )A ．∠AEF ＝∠DECB ．FA ∶CD ＝AE ∶BC C ．FA ∶AB ＝FE ∶ECD ．AB ＝DC【解析】∵DC ∥AB ，∴△DCE ∽△AFE ，∴FA CD ＝AE DE ，故结论B 错误．∵AE ∥BC ，∴△FAE ∽△FBC ，∴FA FB ＝FE FC ，即FB FA ＝FC FE ，∴FA ＋AB FA ＝FE ＋ECFE，∴AB FA ＝EC FE，即FA ∶AB ＝FE ∶EC ，故结论C 正确．而A ，D 显然正确，∴应选B.6．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 长为__6或8__．【解析】 (1)当△AED ∽△ABC 时，此时图形为(a)，可得DE ＝6；(2)当△AED ∽△ACB 时，此时图形为(b)，可得DE ＝8.7．如图27－2－21，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求AD AB的值；(2)求BC .图27－2－21解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8，∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12，∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB. ∵DE ＝3，∴3BC ＝13，∴BC ＝9.8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图27－2－22【解析】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF .解：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12，∴△ABC ∽△DEF .9．如图27－2－23，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点．图27－2－23(1)求证：△DEF ∽△ABC ；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC 相似？解：(1)证明：∵D ，F 分别是△ABC 的边BC ，BA 的中点，∴DF ＝12AC ，同理EF ＝12CB ，DE ＝12AB ，则DF AC ＝EF CB ＝EDAB，∴△DEF ∽△ABC ；(2)∵E ，F 分别是△ABC 的三边CA ，AB 的中点，∴EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC .同理，△FBD ∽△ABC ，△EDC ∽△ABC .∴图中与△ABC 相似的三角形还有△AFE ，△FBD ，△EDC . 10．如图27－2－24，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且AB ·AC ＝BD ·CE . 求证：△ABD ∽△ECA .图27－2－24证明：∵△ABC 是等边三角形(已知)，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD ＝∠ACE (等角的补角相等)．又AB ·AC ＝BD ·CE (已知)，即AB EC ＝BDCA，∴△ABD ∽△ECA (两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．11．如图27－2－25，已知正方形ABCD 中，F 为BC 上一点，且BF ＝3FC ，E 为DC 的中点．求证：△ADE ∽△ECF .图27－2－25证明：∵正方形ABCD 中，E 为CD 中点，∴CE ＝ED ＝12CD ＝12AD .∵BF ＝3FC ，∴FC ＝14BC ＝14AD ＝12CE .∴CF CE ＝DE AD ＝12，即CF DE ＝CE AD. ∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ADE ∽△ECF . 12．如图27－2－26，∠DAB ＝∠CAE ，且AB ·AD ＝AE ·AC ，请在图中找出与∠ADE 相等的角，并说明理由．图27－2－26【解析】由AB ·AD ＝AE ·AC 得AB AE ＝ACAD，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就有与∠ADE 相等的角．解：∠C ＝∠ADE ，理由如下：∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC . ∵AB ·AD ＝AE ·AC ，∴AB AE ＝AC AD，∴△ABC ∽△AED ，∴∠ADE ＝∠C .13. 如图27－2－27，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD .请找出图中的相似三角形，并说明理由．图27－2－27解：△ABC ∽△DBA .理由如下：设OA ＝OB ＝BC ＝CD ＝x ，根据勾股定理，AB ＝x 2＋x 2＝2x ， AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， AD ＝x 2＋（3x ）2＝10x ，∵BC AB＝x2x＝22，AB BD ＝2x 2x ＝22，AC AD ＝5x 10x ＝22，∴BC AB ＝AB BD ＝AC AD，∴△ABC ∽△DBA .第3课时相似三角形判定定理3 [见B 本P71]1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB ，CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( A )图27－2－28A ．都相似B ．都不相似C ．只有(1)相似D ．只有(2)相似【解析】两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似．2．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 与△DEF 不相似的是( C ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8， DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40°3．如图27－2－29，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为( C )图27－2－29A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10.在△ADE 和△ABC 中，∵∠A ＝∠A ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即36＝AD10，∴AD ＝5.4．如图27－2－30所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】图中△ABC 与△ACD 有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④能判定△ABC ∽△ACD .图27－2－30图27－2－315．如图27－2－31，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 在边AB 上，∠ACD ＝∠B ，则AD 的长为__165__．6. [2013·安顺]如图27－2－32，在?ABCD 中，点E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝__3∶5__．图27－2－32图27－2－337．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE ∽△ACB ：__∠D ＝∠C 或∠E ＝∠B 或AD AC ＝AE AB__．【解析】由∠1＝∠2可得∠DAE ＝∠CAB .只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE ∽△ACB .8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB__，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 【解析】由题意得，∠A ＝∠A (公共角)，则可添加：∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B ，利用两角法可判定△ADE ∽△ACB ，添加AD AC ＝AE AB也可以．图27－2－34图27－2－359. 如图27－2－35，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE . 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .10．如图27－2－36，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连接BP 并延长与AD 的延长线交于点Q .(1)求证：△DQP ∽△CBP ；(2)当△DQP ≌△CBP ，且AB ＝8时，求DP 的长．图27－2－36解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AQ ∥BC ，∴∠Q ＝∠PBC ，∠PDQ ＝∠C ，∴△DQP ∽△CBP ；(2)∵△DQP ≌△CBP ，∴DP ＝CP ＝12CD .∵AB ＝CD ＝8，∴DP ＝4.图27－2－3711.如图27－2－37所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( D ) A ．1∶4 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶2【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，则△DFE ∽△BAE ，∴DF AB ＝DE EB，∵O 为对角线的交点，∴DO ＝BO ，又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14DB ，则DE ∶EB ＝1∶3，∴DF ∶AB ＝1∶3，∵DC ＝AB ，∴DF ∶DC ＝1∶3，∴DF ∶FC ＝1∶2.图27－2－3812．如图27－2－38，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，则DE 的长等于( B ) A.203 B.154 C.163 D.174【解析】∵∠ADC ＝∠BDE ，∠C ＝∠E ，∴△ADC ∽△BDE ，∴AD BD ＝DC DE，∵AD ＝4，BC ＝8，BD ∶DC ＝5∶3，∴BD ＝5，DC ＝3，∴DE ＝BD ·DC AD ＝154. 故选B.13．如图27－2－39，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E .(1)求证：△ADE ∽△BCE ；(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .图27－2－39第13题答图解：(1)证明：∵∠A 与∠B 是CD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠B ，又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BCE ； (2)证明：如图，∵AD 2＝AE ·AC ，∴AE AD ＝AD AC，又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD ，∴∠AED ＝∠ADC ，又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即∠AED ＝90°，∴直径AC ⊥BD ，∴CD ＝CB .14．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点(不与点A ，B ，G 重合)，直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .(1)如图(1)，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2；图27－2－40(2)当点E 在AB (或BA )的延长线上时，以图(2)中点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．解：(1)证明：如图(1)，连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ . ∵FQ 是⊙O 的直径，∴∠FDQ ＝90°，∴∠QFD ＋∠Q ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠P ＋∠C ＝90°. ∵∠Q ＝∠C ，∴∠QFD ＝∠P .∵∠FOE ＝∠POF ，∴△FOE ∽△POF ，∴OE OF ＝OF OP，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2.图(1)图(2)(2)(1)中的结论成立．理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO 并延长交⊙O 于M ，连接CM . ∵FM 是⊙O 的直径，∴∠FCM ＝90°，∴∠M ＋∠CFM ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠E ＋∠D ＝90°. ∵∠M ＝∠D ，∴∠CFM ＝∠E .∵∠POF ＝∠FOE ，∴△POF ∽△FOE ，∴OP OF ＝OF OE，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2.。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长；（2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5；（2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°．（2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

数学人教版九年级下册27.2相似三角形同步练习(有答案)普通用卷

27.2相似三角形同步练习一、选择题1.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：，；(3)∠A=∠A′；(4)∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组2.如图在△ABC中，DE//FG//BC，AD：AF：AB=1：3：6，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=()A. 1：8：27B. 1：4：9C. 1：8：36D. 1：9：363.如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3，其中能推出△ABP∽△ECP的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，直角△ABC中，∠B=30∘，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为()A. 12B. √54C. 23D. √33第 1 页5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为()A.90mB. 60mC. 45mD. 30m6.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC，OB=3OD)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB的长为()A. 7.2cmB. 5.4cmC. 3.6cmD. 0.6cm7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值()A.不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小8.如图△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点.若∠B=90∘，AC=5，BC=3，DG=1，则BN的长度为()A.43B. 32C. 85D. 1279.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A.√5B. 136C. 1D. 5610.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B，C重合)，CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是12，其中正确结论的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题11.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=______时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．12.如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．13.在△ABC中，AB=6cm，点P在AB上，且∠ACP=∠B，若点P是AB的三等分点，则AC的长是______．14.如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于______．15.如图，梯形ABCD中，AD//BC，且AD：BC=1：3，对角线AC，BD交于点O，那么S△AOD：S△BOC：S△AOB=______．三、计算题16.如图，在△ABC中，∠C=90∘，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=第 3 页6.求DE 的长．17. 如图，在矩形ABCD ，AB =1，BC =2，点E 在AD上，且ED =3AE ．(1)求证：：△ABC∽△EAB.(2)AC 与BE 交于点H ，求HC 的长．18. 小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB 的高度．【答案】1. C2. A3. B4. D5. B6. B7. C8. D9. D 10. D 11. 125或53 12. 1：9 13. 2√3cm 或2√6cm14. 1415. 1：9：316. 解：在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8，BC =6，∴AB =√AC 2+BC 2=10，(2分)又∵BD =BC =6，∴AD =AB −BD =4，(4分)∵DE ⊥AB ，∴∠ADE =∠C =90∘，(5分)又∵∠A =∠A ，∴△AED∽△ABC ，(6分)∴DE BC =ADAC ，(7分)∴DE =AD AC⋅BC =48×6=3.(8分) 17. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =1，BC =AD =2，∠ABC =∠BAD =90∘，∵ED =3AE ，第 5 页 ∴AE =12，ED =32， ∵AB AE =2，BC AB =2， ∴AB AE =BC AB ，∵∠ABC =∠BAE =90∘，∴△ABC∽△EAB ．(2)解：∵△ABC∽△EAB ，∴∠ACB =∠ABE ，∵∠ABE +∠CBH =90∘，∴∠ACB +∠CBE =90∘，∴∠BHC =90∘，∴BH ⊥AC ，在Rt △ACB 中，∵∠ABC =90∘，AB =1，BC =2， ∴AC =√AB 2+BC 2=√12+22=√5，∵12⋅AB ⋅BC =12⋅AC ⋅BH ，∴BH =AB⋅BCAC =2√55， ∴CH =√CB 2−BH 2=4√55． 18. 解：如图，∵某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，∴CD ：DF =1：1.2，∴DF =1.2CD =1.2×2=2.4，∴BF =BD +DF =9.6+2.4=12，∵AB ：BF =1：1.2，∴AB =12×11.2=10．答：旗杆AB 的高度为10m ．。

2023-2024学年九年级数学下册同步学与练(人教版)第02讲相似三角形及其性质(含答案与解析)

第02讲相似三角形的性质及其判定学习目标课程标准学习目标1.掌握相似三角形的定义及其表示方法。

① 相似三角形的定义② 相似三角形的性质③ 相似三角形的判定 2. 掌握相似三角形的性质并能够熟练应用。

3. 掌握相似三角形的判定并能够熟练的判定相似三角形。

相似三角形两角对成相等知识点01相似三角形的定义与性质1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比,对应角,那么这两个三角形相似。

用符号“S 来表示。

若AABC 相似于ADEF, A 对应D, B 对应E, C 对应F 。

则表示为△ABCs^EDF 。

对应边的比叫做这两个三角形的 o2.相似三角形的性质:①相似三角形的对应角,对应边的比O②相似三角形（多边形）的周长的比等于;相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于。

③相似三角形的面积的比等于O题型考点：①求相似三角形的相似比。

②利用相似三角形的性质求值。

【即学即练1】1.已知AABC^ADEF,若ZA=30°,ZB=SO°,则/歹的度数为（）A.30°B.80°C.70°D.60°【即学即练2】2.如图，MDEsMBC,若4D=1,BD=2,则△4DE与AABC的相似比是（）【即学即练3】3.若两个相似三角形的周长之比是1：2,则它们的面积之比是（）A.1：2B.1：V2C.2：1D.1：4【即学即练4】4.如图，△■BCs,S△abc：S四边形bdec=1：2其中,DE的长为（）【即学即练5】5.若左ABC^^DEF,A ABC的面积为81函2,△「时的面积为36cm1,且AB=12cm,则DE=【即学即练6】6.如图，4ABC,AB=n,力。

=15,D为AB上一点，且AD^—AB,在AC±取一点E,使以力、D、E3为顶点的三角形与45。

相似，则，E等于（）AA.告B.10/C、BC.绥或105 D.以上答案都不对知识点02相似三角形判定的预备定理1.判定预备定理内容:平行于三角形其中一边的直线与另两边或两边的延长线相交，所得到的三角形与原三角形如图 1： AAOE^AABC ；如图 2, AAOB^/\COD 题型考点：①利用预备定理进行相似三角形的判定。

人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习1 含答案

27.2.1相似三角形的判定（1）1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（）A 1对B 2对C 3对D 4对4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形AB C 相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？答案1、D E ∥BC2、C3、C4、C5、B6、略7、AD=516cm 8、两种截法（1）新截三角形的三边分别是10cm,25cm,30c m （2）新截三角形的三边分别是12cm,30cm,36cm。

人教版九年级数学下册相似三角形的判定同步练习及答案【新改】

相似三角形的判定
1．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（）
2. 如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若
OA﹕OC＝OB﹕OD＝1﹕2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3. 如图，在正方形网格上的三角形①②③中，与△ABC相似的三角形有．(填写序号)
4. 在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D是BA延长线上的一点，且AD＝8．在CA的延长线上取一点E，
要使得以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为．
5. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：△DEF∽△CBA．
参考答案 1．C 2．B 3．①② 4．10或6.4
5．证明：∵点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴12DE BC =，12DF AC =，1
2
EF AB =， ∴DE DF EF
BC AC AB
==
，∴△DEF ∽△CBA ．。

人教版九年级下《27.2相似三角形》同步练习(有答案)

相似三角形同步练习一、选择题1.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：，；(3)∠A=∠A′；(4)∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组2.如图在△ABC中，DE//FG//BC，AD：AF：AB=1：3：6，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=()A. 1：8：27B. 1：4：9C. 1：8：36D. 1：9：363.如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3，其中能推出△ABP∽△ECP的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，直角△ABC中，∠B=30∘，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于的值为()点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMFA. 12B. √54C. 23D. √335.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为()A.90mB. 60mC. 45mD. 30m6.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC，OB=3OD)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB的长为()A. 7.2cmB. 5.4cmC. 3.6cmD. 0.6cm7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值()A.不变B. 增大C. 减小D. 先变大再变小8.如图△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点.若∠B=90∘，AC=5，BC=3，DG=1，则BN的长度为()A.43B. 32C. 85D. 1279.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A.√5B. 136C. 1D. 5610.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B，C重合)，CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的，其中正确结论的个数是()最小值是12A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题11.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=______时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．12.如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．13.在△ABC中，AB=6cm，点P在AB上，且∠ACP=∠B，若点P是AB的三等分点，则AC的长是______．14.如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF的面积比等于______．15.如图，梯形ABCD中，AD//BC，且AD：BC=1：3，对角线AC，BD交于点O，那么S△AOD：S△BOC：S△AOB=______．三、计算题16.如图，在△ABC中，∠C=90∘，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6.求DE的长．17.如图，在矩形ABCD，AB=1，BC=2，点E在AD上，且ED=3AE．(1)求证：：△ABC∽△EAB.(2)AC与BE交于点H，求HC的长．18.小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度．【答案】1. C2. A3. B4. D5. B6. B7. C8. D9. D 10. D 11. 125或53 12. 1：9 13. 2√3cm 或2√6cm14. 1415. 1：9：316. 解：在△ABC 中，∠C =90∘，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=10，(2分)又∵BD =BC =6，∴AD =AB −BD =4，(4分) ∵DE ⊥AB ，∴∠ADE =∠C =90∘，(5分) 又∵∠A =∠A ，∴△AED∽△ABC ，(6分)∴DE BC =ADAC ，(7分)∴DE =AD AC⋅BC =48×6=3.(8分) 17. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =1，BC =AD =2，∠ABC =∠BAD =90∘， ∵ED =3AE ，∴AE =12，ED =32，∵AB AE =2，BC AB =2，∴AB AE =BC AB ，∵∠ABC =∠BAE =90∘，∴△ABC∽△EAB ．(2)解：∵△ABC∽△EAB ，∴∠ACB =∠ABE ，∵∠ABE +∠CBH =90∘，∴∠ACB +∠CBE =90∘，∴∠BHC =90∘，∴BH ⊥AC ，在Rt△ACB中，∵∠ABC=90∘，AB=1，BC=2，∴AC=√AB2+BC2=√12+22=√5，∵12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BH，∴BH=AB⋅BCAC =2√55，∴CH=√CB2−BH2=4√55．18. 解：如图，∵某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，∴CD：DF=1：1.2，∴DF=1.2CD=1.2×2=2.4，∴BF=BD+DF=9.6+2.4=12，∵AB：BF=1：1.2，∴AB=12×11.2=10．答：旗杆AB的高度为10m．。

人教版数学九年级下册 27.2.2相似三角形的性质同步练习(包含答案)

A. 2 B. 3 C. 6 D. 54
3.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）
A. AB2=BC•BD B. AB2=AC•BD C. AB•AD=BD•BC D. AB•AD=AD•CD
4.已知△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD长4cm，△ABC的周长20cm，则△A′B′C′的周长和A′B′边上的中线C′D′分别长（）
它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为，，
它们的面积之差为，
，
解得：，
它们的面积之和是：．
故答案为：B．
【分析】根据两个相似三角形的周长比等于相似比、等于面积的比的平方即可求解。
二、填空题
10.【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4
∴S△ABC：S△DEF=9：16
∴ = = ，即 = = ，
∴ABC=8+5+6=19，
即△ABC的周长为19
【解析】【分析】通过相似三角形的对应边成比例，求得边长和周长。
18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°
∴此两个三角形的相似比为：3：4，
∴对应中线长的比为：3：4．
故答案为：A．
【分析】两个相似三角形对应中线比等于三角形的相似比。
6.【答案】C
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，
所以边长扩大了倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C
【分析】根据两个相似三角形的面积比为边长比的平方进行求解即可。

人教版数学九年级下册 27.2 《相似三角形性质与判定》同步测试 (含答案)

人教版九下《相似三角形性质与判定》同步测试一、选择题1.已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A.1：1B.3：2C.6：2D.9：42.若△ABC∽△DEF，AB=2DE，△ABC面积为8，则△DEF的面积为（）A.1B.2C.4D.83.如图，在△ABC中，DE∥AB，且CD:BD=3:2，则CE:CA的值为（）A.0.6B.2/3C.0.8D.1.54.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A.一种B.两种C.三种D.四种5.已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A.2B.3C.6D.546.已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：9，若BC=1，则EF的长为（）A.1B.2C.3D.97.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE=1，CE=AD=2，则AB的长是（）A.6B.5C.4D.28.下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D.如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：99.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为A.40mB.60mC.120mD.180m10.如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF=40 cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭.若AB=3AE，AD=3AO，此时B，D两点间的距离为( )A.60 cmB.80 cmC.100 cmD.120 cm11.如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：2：4C.1：3：5D.2：3：412.如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（）A.5：8B.25：64C.1：4D.1：16二、填空题13.如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为 .14.如图，DE是△ABC的中位线，CD、BE交于点F，若△DEF面积是1，则△BCF的面积是 .15.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若CF=6，则AF的长为_____.16.如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=_____.18.如图，AG∥BC，如果AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，那么AE：EC=_____.三、解答题19.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由.20.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC.经测量BC=24米，BD=12米，DE=40米，求河的宽度AB为多少米？21.如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q.请写出一对相似三角形，并加以证明.(图中不添加字母和线段)22.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上.(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB.23.如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG//BC，交AD于点G.(1)求证：△FGE∽△FDB；(2)求AG:DF的值.24.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F.DF=2CF，AB=6，求DG的长.25.已知：如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E，交BD于点F，联结BE，ED2=EA•EC.（1）求证：∠EBA=∠C；（2）如果BD=CD，求证：AB2=AD•AC.参考答案1.答案为：D2.答案为：B3.答案为：A4.答案为：B5.答案为：C6.答案为：C7.答案为：A8.答案为：B9.答案为：C.10.答案为：D11.答案为：C12.答案为：D13.答案为：1：4.14.答案为：1：4.15.答案为：316.答案为：2/3.17.答案为：3：118.答案为：3:2；19.△ABC和△DEF相似，理由如下：20.解析根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案.解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴=，又∵BC=24，BD=12，DE=40代入得∴=，解得x=18，答：河的宽度为18米.21.△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵∠QPD=90°，∴∠QPB+∠BQP=90°，∠QPB+∠DPC=90°，∴∠DPC=∠PQB，∴△BPQ∽△CDP.22.解：（1）∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如图，即为所作图形，（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP =∠ABC，∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD =∠ABC，∴PD∥AB.23.解：24.解：在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF=2CF，即CF=CD∴=∴=即而AB=BC=6，∴PC=3又∵点E是BC的中点∴DE=3，PE=6∵AD∥EP ∴△PGE∽△AGD∴而PE=AD=6，∴GE=GD=故DG的长为.25.解：（1）证明：∵ED2=EA•EC，∴=，∵∠BEA=∠CEB，∴△BAE∽△CEB，∴∠EBA=∠C.（2）证明：∵EF垂直平分线段BD，∴EB=ED，∴∠EDB=∠EBD，∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD，∵∠EBA=∠C，∴∠DBC=∠ABD，∵DB=DC，∴∠C=∠DBC，∴∠ABD=∠C，∵∠BAD=∠CAB，∴△BAD∽△CAB，∴=，∴AB2=AD•AC.。

学年度新人教版初中数学九年级下册同步测试：相似三角形判定的综合-精品试卷

专题十六__相似三角形判定的综合_一相似三角形的判定(教材P36练习第2题)图1中的两个三角形是否相似？为什么？图1解：不相似．理由：三边比例不同，1527≠2036≠2545.(2)相似．理由：∠ACB＝∠ECD∵ACCE＝5436＝32，BCDC＝4530＝32∴ACCE＝BCDC，∴△ABC≌△EDC在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC＝2，则AD的长是( C )A.5－12B.5＋12C.5－1D.5＋1【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝12(180°－∠A)＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝12∠ABC＝36°，∴∠A＝∠DBC.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，且AD＝BD＝BC. 设BD＝x，则BC＝x，CD＝2－x.由于BCCD＝ACBC，∴x2－x＝2x.整理得x2＋2x－4＝0，解方程得x＝－1± 5. ∵x为正数，∴x＝－1＋ 5.如图2，已知BDBE ＝ADCE＝ABBC.求证：△DBE∽△ABC.证明：∵BDBE ＝ADCE＝ABBC，∴△ABD∽△CBE.∴∠ABD＝∠EBC.∴∠ABC＝∠EBD.∵BDBE＝ABBC，∴BDAB＝BEBC.∴△DBE∽△ABC.图2图3如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)求线段AE的长．解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC.(2)∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE.由△ABE∽△DBC，得ABBD＝BEBC.∵AB＝AD＝25，BC＝32，∴252BE＝BE32，∴BE＝20，∴AE＝AB2－BE2＝252－202＝15.如图4，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.图4(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平方四边形，∴AB∥CD，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE＝180°，∠AFE ＝∠B， ∴∠AFD ＝∠C. 在△ADF 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD ＝∠C ∠ADF＝∠DEC∴△ADF ∽△DEC.(2)∵四边形ABCD 为平方四边形，∴CD ＝AB ＝8. 由(1)知△ADF∽△DEC，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD ·CD AF ＝63×843＝12. 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6.如图5，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，BC＝8 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发．(1)经过多少秒钟，△PBQ 的面积等于8 cm 2?(2)经过多少秒钟，△ABC 与△BPQ 相似？图5解：(1)设经过xs，△PBQ的面积等于8 cm2，则12(6－x)·2x＝8，解得x＝2或x＝4.∴经过2 s或4 s时，△PBQ的面积为8 cm2.(2)①设经过ys时，△B PQ∽△BAC，则BPAB＝BQBC，即6－y6＝2y8，解得y＝125.②设经过zs时，△BPQ∽△BCA，则BPBC＝BQAB，即6－z8＝2z6，解得z＝1811.∴当经过125s或1811s时，△ABC与△BPQ相似．二圆中的相似(教材P58复习题27第8题)如图6，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.图6证明：连接AC，BC，因为AB是直径，所以∠ACB＝90°，因为CD垂直AB，所以∠ACP＝∠CBA＝90°－∠A，所以△ACP∽△CBP，AP PC ＝PCPB，所以PC2＝PA·PB。

第27章相似三角形的性质同步测试卷-2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.2 相似三角形的性质同步测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP⋅MD=MA⋅ME；③2CB2=CP⋅CM.其中正确的个数个．( )A. 0B. 1C. 2D. 32.如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( )A. 1B. 12C. 13D. 143.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=2√7，AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′=2，则AA′的值为( )A. √11B. 2√3C. √13D. √144.如图，▱OABC的顶点O(0,0)，A(1,2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA 绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为( )A. (2√3,0)B. (2√5,0)C. (2√3+1,0)D. (2√5+1,0)5.如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=√2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为( )A. √22B. 23C. 12D. √536.如图，ABCD为平行四边形，BC=2AB，∠BAD的平分线AE交对角线BD于点F，若△BEF的面积为1，则四边形CDFE的面积是( )A. 3B. 4C. 5D. 67.如图，已知DE//BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：25，则AE：EC为( )A. 3：5B. 9：25C. 3：2D. 5：38.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB的中点，连接AE，DF交于点O，将△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延长EG交AD的延长线于点H，连接CG.有以下结论：①AE⊥DF；②AH=EH；③CG//AE；④S四边形BEOF：S△AOF=4．其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，则△ABC与△DEF的对应高之比为( )A. 2:3B. 3:2C. 4:9D. 9:410.若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2:3，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为( )A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. √2:√3二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.如图，BD，AC相交于点O，AB//CD，AO=2OC，则S△CDO=．S△ABO12.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC、BD相交于点E.设小正方形的边长为1，则AE的长为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F.若△ECF的面积为2，则四边形ABCE的面积为．14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，EF是AD的垂直平分线，分别交AD、AC于点E、F，连接DF.若AB=6，AC=4，则CF的长是．15.在△ABC中，∠BAC=45°，P为△ABC内一点，且∠APB=∠APC=120°.若PA=√3+1，PB=2，则PC=______ ．16.如图，矩形ABCD中，AD=√2AB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G.以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCG=√2S△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是______ ．17.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长．18.如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB=10，BC=6，M，N在AC边上，∠MON=∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM=_．三、解答题（本大题共8小题，共66分。

人教版九年级数学下册《相似三角形》同步检测及答案【新材料】

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测2附答案一．选择题1．下列图形不一定相似的是（）．A ．有一个角是120°的两个等腰三角形;B ．有一个角是60°的两个等腰三角形C ．两个等腰直角三角形;D ．有一个角是45°的两个等腰三角形2．如图1，已知△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点．AD=3cm ，AB=8cm ，AC=•10cm ．若△ADE ∽△ABC ，则AE 的值为（）．A ．1541215125...41554512cmB cm cmC cm cmD cm 或或(1) (2) (3)3．满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有（）．①∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ′=60°，A ′B ′=3cm ，A ′C ′=10cm②∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°，DE=2cm ，DF=3cm③∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cm④∠A=∠A ′，且AB ·A ′B ′=AC ·A ′B ′4．如图2,点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（）．A ．∠ADC=∠ACB B ．∠ACD=∠BC ．.DC AD AD AC D BC AC AC AB== 5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ -）A.、0.36π米2 B 、0.81π米2 C 、2π米2 D 、3.24π米26．（山东）如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形（阴影部分）•与△ABC 相似的是（）．二、填空题7．已知三角形的三条边长分别为1，2，3，请你写出另外三条线段长，•使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似：________，________，_______．8．如图3，若AC 2=CD ·CB ，则△_______∽△_______，∠ADC=________．(4) (5) (6) (7)9．如图4，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AD=8，CD=6，则当BD=______时，△ADC•∽△CDB ，∠ACB=_______°10．如图5，已知AC 与BD 相交于点O ，且AO ：OC=BO ：OD=2：3，AB=5，则CD=______．11．如图6，等腰三角形ABC 中，∠A=36°，若BC 2=CD ·CA ，则∠DBC=•_____•°，•图中有_____个等腰三角形．12．如图7，为测得一养鱼池的两端A ，B 间的距离，可在平地上取一直接到达A 和B•的点O ，连接AO ，BO 并分别延长到C ，D ，使OC=12OA ，OD=12OB ，如果量得CD=30m ，•那么池塘宽AB=________．三．解答题13．如图，已知△ABC 中，AC=10，AB=16，问在AB 边上是否存在这样的点P ，•使△APC ∽△ACB ，若存在，求AP 的长；若不存在，请说明理由．14．如图，是利用木杆撬石头的示意图．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起12cm ，已知杠杆的动力臂OA 与阻力臂OB 之比为5：1，求要使这块石头滚动，至少要将杠杆A 端下压多少厘米．15．已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．16.如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x.（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当31=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；17.在△ABC 中，AE ∶EB=1 ∶2，EF ∥BC ，AD ∥BC 交CE 的延长线于D ，求S △AEF ∶S △BCE 的值.18.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？答案一．选择题1．D 点拨：若45°角在一个三角形中做顶角，在另一个三角形中做底角，则这两个三角形形状不同．2．C 点拨：两个三角形有公共角，只须满足两边对应成比例，则对应边有两种可能．3．A 点拨：（2），（3）不满足位置关系．4．C 点拨：不能满足位置关系．5．B6. B二．填空题7.答案不唯一，略8．△ACD∽△BCA ∠BAC9．9290°10．7.5 点拨：由题意△AOB∽△COD，∴23 ABCD=．11．36° 3个12．60m三．解答题13．存在，若使△APC∽△ACB，则应满足：10025164 AP ACAPAC AB=∴==,．14．15OBOA=，∴12cm×5=60cm，至少要将杠杆A端下压60cm．15.存在，△ACD∽△ECA，设AB=a，则，CE=2a，22.AE CDCE ACAC CDCE AC∴===∴=又∵∠ACE=∠ECA，∴△ACD∽△ECA．16. （1）x=730s (2)92 17.61 18、（1）48 mm （2）宽是7240mm ，长7480mm.。

九年级数学下册相似三角形的性质同步测试(新版)新人教版