弹性力学的平面问题解法
弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
6-1弹性力学平面问题(基本理论)
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法
在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。
第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答讲解
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题
2.FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 位移模式 应变列阵 应力列阵
结点力列阵 等效结点荷载列阵 3.整体分析
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
e T
位移模式 三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求 应变、应力。
( δ 来求出单元 首先,必须解决由单元的结点位移 δ i δ j δ m T d ((, u xy ) v (, xy ) 。 的位移函数 e 该插值公式表示了单 δ 应用插值公式,可由 求出位移 d 。 元中位移的分布形式,因此称为位移模式。 在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性 函数,也就是假定：
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
求解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同 性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学 方法进行分析。 T 取各结点位移 δ 为基本未知量，然后 ( uv ) ( i 1 , 2 , ) i i i 对每个单元,分别求出各物理量,并均用 δ i 1 ,2 , )来表示。 i( 单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
e T δ ( δ δ δ ) i j m 求单元的位移函数
,
T d ((, u xyvxy ) , (, ) ) .
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe .
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
FEM的分析过程(3) 3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
弹性力学平面问题的有限元法
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
弹性力学平面问题的直坐标系解答
物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。
弹性力学 平面问题极坐标解法
适解问题：主要边界是圆周曲 线的弹性力学平面问题比较适 用于极坐标解法
圆环问题 曲梁（扇形）问题 楔形体问题 开圆孔问题
注意：不同坐标系下的解答， 仅是表答形式不同。由于弹性 力学问题是唯一的，问题的解 答的物理本质也是相同的。
极坐标系
极坐标系是曲线坐标系
坐标r（径向坐标、极径）：坐标 原点到空间点的距离，坐标正向 有原点指向空间点
完全光滑（法向不脱离、切向无摩擦， 可滑动）
法向力学平衡 Tr Tr 0 法向位移连续 ur ur 切向自由 T T 0
不完全光滑（法向不脱离、切向有摩擦，可滑动）
力学平衡 Tr Tr 0, T T 0 法向位移连续 ur ur 切向库伦摩擦定律 T T f Tr f Tr
r
F
0
E
1 2
(
r ),
几何方程
r
E
2(1
)
r
r
ur r
边界条件
ur r
1 r
u
Tr rl r m Tr T rl m T
r
1 ur
r
u r
u r
ur ur u u
极坐标下的应力函数和相容方程（1）
直角坐标下的相容方程 4 22 0
y P
r x2 y2
切线构成局部正交坐标标架
极坐标下的应力、应变和位移
应力分量
法向是径向坐标正向的截面的应力
r rr r
方向是周向坐标正向的截面的应力
r r 应变分量
径向坐标方向的线应变 r rr 周向坐标方向的线应变 相互垂直的径向和周向的剪应变 r 位移分量
径向位移 ur 周向位移 u
2 2 2 1 1 2
弹性力学2-7圣维南原理2-8按位移求解平面问题
作业：2.8 预习：2-9,2-10,3-1,3-2
§2-7 圣维南原理
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 P
P
形变分量、位移分量完全满足8个基本方
顶部受集中力作用。试写出水坝的应力 边界条件。
y
yx
左侧面：
x xy
xh xh
0 0
x xh y
右侧面：
τ xy
0
xh
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
y方向力等效：
h
h
(
y
)
dx
y0
P
sin
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效：
h
( h
yx
)
2.弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v
表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变
分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量 表示，并求出应力分量 ；再由几何方程、物理方程求出形变
( x )s 0 ( xy )s q
上侧面： y 0
次要边界，可用圣维 南原理列写边界条件：
h
2 h
(
y
)
y
0
dx
0
2
h
5-第三章-弹性力学平面问题的解析解法
x4 2 x2y2 y4 0
为四阶偏微分方程
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容
方程，不论其系数如何。
应力函数表示的相容方程
4 2 4 4 0 为四阶偏微分方程
x4 x2y2 y4
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容 方程，不论其系数如何。
1. 一次式
a bx cy
(l
x)2
与材料力学中结果相同
说明：（1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
x
1 E
( x
y)
y
1 E
( y
x)
xy
xy
G
（b）再将应变分量代入几何方程
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
（c）再利用位移边界条件，确定常数。
（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
（3） 若取固定端边界条件为：
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1）逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出 x , y , xy（具有待定系数）；
（3）再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
2 y 2
2 x 2
( x
y
)
(1
)
X x
Y y
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
x yx X 0， x y
2.2
xy x
几何方程（3 个） 两平面问题一致：
(u , u , )
,
1 2
u x x
2.3
y
v y ，
xy
u v y x
相容方程（1 个）
2 2 2 x y xy 2 2 两平面问题一致： xy y x
X n
在 S =S 上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
2(x+y )=0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。 3.3 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
3
对于平面应力问题还应有
2 z 2 z 2 z 0， 2 0， 0， y xy x 2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
2.4
本构方程（3 个） 平面应力问题
x
1 2(1 ) 1 ( x y ) ， y ( y x ) ， xy xy E E E
(1 2 ) (1 2 ) ( y x) ， ( x y) ，y 1 E E 1
平面应变问题
x
xy
2(1 ) xy E
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 中弹性系数 E
E ， ，则平面应力问题的物理方程变为平面 1 1 2
对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程
4
=0，且在 S上满
弹性力学-第3章 1-3 平面问题的直角坐标解答
fy 0 fx 0
说明上、下边界没有面力。
b）检查左、右边界（次边界）fx 0, f y 0
由：
x
s
m xy
s
fx
xy s m y s f y
1 x
x0
fx
1 xy x0 f y
x xL f x
xy xL f y
2. 所谓逆解法和半逆解法本质上是一种 由根据的猜测。它们能够成立的根本条 件是唯一性定理。
平面问题的多项式解答(逆解法)
1. 一次函数 ax by c 无体积力，考察其能解决的问题。
（1）检查Φ是否满足 4 0
4 x 4
2
4 x 2y
2
4 y 4
0
能被满足
（2）根据（2—23）求出应力分量{；
注：这里假设已知两端的力矩M，采用逆解法求解。 M的量纲为[力][长度]/[长度]=[力]）
一. 逆解法
1.逆解法框图
选择应力函数Φ
满足4 0吗? NO
YES
求应力分量
满足几何边界条件？ NO
YES
结论
2.步骤（已知面力）
a）假设一个应力函数Φ；
b）检查Φ是否满足4 0
c）根据（2—23）求应力分量{；
f x 6ay fy 0 fx 6ay fy 0
解决矩形截面梁纯弯曲问题
h
2
0
x
h
2
L y
§3.2 矩形截面梁的纯弯曲-逆解法
一. 计算模型 矩形截面梁，不计体力
M
M
考察两种情形：
h
02
x
h
2
h z
1）宽度远小于深度
弹性力学的平面问题解法
弹性力学的平面问题解法摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。
着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。
弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。
它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。
关键词：弹性力学；平面问题；解法前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。
并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。
本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。
1 问题解法1.1解析法解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。
按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。
第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下：位移边界条件如下从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。
第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式：基本方程：应力边界条件：值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
弹性力学基本理论及平面问题的求解
》 标轴负向为负. 它的量纲( dimension)是L-1MT-2.
2
4. 内力、平均应力和应力
（1）内力ΔF ：是物体本身内部不
同部分之间相互作用的力；
《
《弹 性 土力 学
（2）平均应力p：设作用在包含P点
某一个截面mn上的单元面积ΔA 上
的内力为ΔF ，则ΔF/ΔA 称为ΔA 上
切应力τ：应力在作用截面切线方向的分量。
《弹 性 土力 学
6．正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正 平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长 度分别为dx, dy, dz.正平行六面体应力
力与
学》有 限 元
》
ij
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
4
(1) 应力的表示
》
9
2.2 弹性力学平面问题的直角坐标解答
两类平面问题
《
《弹 性 土力 学
• 平面应变问题 • 平面应力问题
力与
学》有 限 元
》
10
平面应变问题
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上
受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束。同时,
《
《弹 性
体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
土力 学 力与
《
《弹 性
正应力用σ表示. 它的下标表示作用方向.如σx 表示正应 力沿着 x 方向;剪应力用 τ表示, 它有两个下标, 例如τxy 表示 剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向.
土力 学 力与 学》有 限 元
(2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向, 这个面就称
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弹性力学的平面问题解法
发表时间：2018-10-22T13:37:54.003Z 来源：《防护工程》2018年第14期作者：朱曼丽
[导读] 文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段
朱曼丽
哈尔滨铁道职业技术学院黑龙江哈尔滨 150000
摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。
着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。
弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。
它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。
关键词：弹性力学；平面问题；解法
前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。
并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。
本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。
1 问题解法
1.1解析法
解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。
按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。
第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下：
位移边界条件如下
从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。
第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式：
基本方程：
应力边界条件：
值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。
对于位移边界条件，虽然在局部边界上可用圣维南定理转化为应力边界条件，但此时得到的解答已不是精确解，同时上述推导过程是基于平面应力问题的，对于平面应变问题应把弹性常数作相应调整。
1.2 数值解法
弹性力学平面问题的解法虽然针对某些问题来说可以得到精确解，但是其不适合实际工程中复杂问题的计算。
相反的，数值分析方法虽然只是对实际问题的近似解答，但其求解时的过程清晰，步骤明确，便于编程，并且工程上常有安全系数的保证，因此近似解与不会对实际工程造成太大影响。
从而使数值分析方法在工程问题中得到大量应用。
数值分析方法有以下三种：差分法：用差分方程替代平衡微分方程，将求解微分方程变为求解代数方程，简化了计算。
变分法：变分法其实是一种能量法，以外力所做的功及弹性体的应变势能来建立弹性力学的求解方程。
其中基本未知量为弹性体的虚位移，运用的基本原理为虚位移原理和最小势能原理。
有限单元法：在力学模型上进行近似将弹性体简化为有限个单元体，且各单元体之间仅在有限个结点处交铰结而成的结构物。
然后进行单元分析，形成单元刚度矩
阵，进行整体分析，集成整体刚度矩阵，并运用矩阵位移法求解。
有限单元法便于编程，因此随着电子计算机技术的发展得以广泛应用于工程实践的各个方面。
相关软件有 ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS。
1.3 有限单元法
从物理概念上看,弹性力学有限单元法是杆系结构力学的矩阵位移法(即杆系结构的有限单元法)的推广.对杆系结构,很自然地将杆件作为单元.但是对于弹性力学问题,无论是平面问题,还是空间问题,弹性体是个连续体.为了能用结构力学的矩阵方法来计算弹性力学问题,首先必须对弹性体进行离散化.也就是将连续的弹性体分割成有限个有限大小的构件,它们通过有限个点互相联系.这些有限大小的构件就成为有限单元,简称有限元,而连接它们的点就称为结点.对平面问题,最简单、最常用的是三结点三角形单元,并在结点处取铰接.在结点位移或其某一分量可以不计之处,就在该结点上设置一个铰支座或相应的连杆支座.图1为深梁和水坝的离散化模型.通过离散化后,由于单元之间只通过结点联系,力与变形也只通过结点来传递,所以物体所受到的体力和面力,都应按静力等效的原则移置到结点上,成为结点荷载.这样,通过离散化就得出了一个由若干个单元在结点处铰接,并受已知结点荷载的结构体系,这就是有限单元法的计算模型.计算时通常采用位移法,即取结点的未知位移为基本未知量.对单元选择适当的位移模式即形状函数,则单元内任一点的位移可由结点位移表示.通过对单元进行变形几何关系、物理关系、静力平衡关系的分析就能得到应变、应力分量及结点对单元的作用力,即结点力和结点位移的关系.这样,所有欲求的力学量都用结点位移表示,这一步称单元分析.再对每一结点建立结点荷载与结点力的平衡关系,则对整个体系可以得到一组以结点位移为未知量的代数方程,这一步称整体分析.引人支承条件,求解线性代数方程组,求出结点位移,进而求出其它的力学量.这就是弹性力学的有限单元法,对于这种方法,已经有许多成熟的有限元软件可以使用,如:ANSYS,NASTRAN等,它们不但可以求解平面问题,而且可以方便地求解弹性力学的空间问题.
1.4 应力函数法
艾瑞(Airy)引入了一个自然满足平衡微分方程的应力函数,使得3个应力分量由一个应力函数来决定。
这样,就把基本方程的未知函数减少到1个,使问题得到简化。
该法称为应力函数法。
应力函数法,是弹性力学中应用最广泛的一种方法。
这种方法,不需要考虑平衡微分方程,因为应力函数h本身就是平衡微分方程的解,这当然给解题带来了极大的方便。
特别是对于那些应力函数h只是某一坐标的函数而与其他坐标无关时,相容方程变成一个常微分方程,使得应力函数的求解相当方便。
这种情况下,用应力函数法求解,一定能取得很好的效果。
然而,对于应力情况复杂,或者几何形状不规则,或者属于混合边值问题而且边界条件又比较复杂的情况,采用应力函数法进行计算就比较困难了。
我们用应力作为基本变量求解弹性力学的平面问题,在体力为常量时,归结为在给定的边界条件下,求解平衡方程
直接求解弹性力学问题往往是很困难的,有时可以使用逆解法和半逆解法,例如:在直角坐标系下用多项式逆解法来解答一些具有矩形边界且不计体力的平面问题(如矩形板或梁),用三角级数求解等,也可以通过量纲分析来确定应力函数的形式.还有一种方法,它的基本思想是以材料力学的结果作为基础,验证它是否满足弹性力学的全部方程,如果不满足,就设法加以修正,直到满足全部方程和全部边界条件为止.
2 实验的方法
除了解析法和数值分析方法外，工程上常用的简单实用的方法还有实验法。
将弹性体贴上应变片，连接上计算机便可以轻松模拟计算弹性体的内力分布情况。
3 结语
弹性力学问题求解的解析法，数值分析方法和实验法各有千秋，应结合具体的工程实际问题选用合适的方法。
同时也应认识到目前弹性力学求解方法并不完善，在工程中中仍有许多问题还无法得到令人满意的结果。
因此学习掌握弹性力学的现有方法，并结合科学技术的发展和认识了解的加深提出新的，更加符合实际工程要求的弹性力学求解方法才是弹性力学研究的根本目的所在。
参考文献:
[1]程渭民.对弹性与塑性力学基础教学的思考田.南昌大学学报(I学胸,2以力,22(4):133一135. [2J吴家龙.弹性力学I间北京:高等教育出版社,2001.。