第4讲拟合与回归

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数学建模——线性回归分析实用精品教案

数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。

详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。

二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。

2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。

3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。

三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。

教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。

学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。

2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。

（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。

（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。

3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。

（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。

六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。

（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。

2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。

线性回归精确分析讲课文档

– 利用满足一定条件的样本数据进行回归分析
(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)
11
第十一页，共76页。
一元线性回归分析操作
(二) statistics选项 (1)基本统计量输出
– Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.
– confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信
起的因变量y的平均变动
(二)多元线性回归分析的主要问题
– 回归方程的检验
– 自变量筛选 – 多重共线性问题
18
第Hale Waihona Puke 八页，共76页。多元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(1)判定系数R2:
– R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量 y与所有自变量全体之间线性相关程度
第二十三页，共76页。
23
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
并进行各种检验;
• 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方程,并进行检验;
– 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程.
6
第六页，共76页。
一元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(3)统计量：判定系数
– R2=SSR/SST=1-SSE/SST. – R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现
了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。
– R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大

最小二乘法数据拟合与回归

最小二乘法数据拟合与回归简介：本文主要对PRML一书的第一章总结，结合moore关于回归的课件Predicting real-valued outputs: an introduction to regression。

什么是回归(regression)?1. 单一参数线性回归如上图考虑用一条过原点的直线去拟合采样点，y=wx,那么未知参数w取什么值可以使得拟合最好的，即整体拟合误差最小，这是一个最小二乘法拟合问题。

目标是使得(Xi-Yi)^2的总和最小。

2. 从概率的角度考虑上面的问题就是说我们假定模型是y=wx但是具体的(Xi,Yi)对应生成的时候按照高斯分布概率模型，以WXi为中心,方差未知。

具体每个采样点之间是独立的。

上面提到我们的目标是通过样本集合的实际观察值去预测参数W的值。

怎样预测W的值呢，有两个思路即上面提到的•MLE 最大似然法即参数W取什么样的值能够使得我们已经观察到的实际样本集合出现的概率最大。

ArgMax(P(Y1,Y2…Yn|X1,X2…Xn,W))，但是这样是不是有点奇怪，我们的目的其实是从观察的样本中估算最可能的W，ArgMax （W|x1,x2…xn,y1,y2…yn)可以看到优化的目标其实和最小二乘法是一样的。

•MAP 采用贝叶斯规则,后面再讲。

3.多项式曲线拟合贯穿PRML第一章的例子是多项式曲线拟合的问题（polynomial curve fitting)。

考虑order为M的多项式曲线，可以表述为下面的形式:曲线拟合的目标可以表述为优化是的下面的E(W)最小化(当然你可能会选取不同的error function这只是其中一种而已):对于取到最小值的我们表示为，最优的最小距离是。

如果我们选择不同的order值即M不同的多项式曲线去拟合，比如取M=0，1，3，9最小二乘法拟合的结果如下图:可以看到M=9的情况，曲线和采样观察点拟合的很好但是却偏离了整体，不能很好的反映,这就是传说中的over fitting过度拟合问题。

第04章多元回归分析1

∑
y t2
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计量经济学讲义
4.6 多元回归的假设检验
虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不是。如何判断呢？与一元回归模型相同，如果用真实的但不可观察的σ2 的无偏估计量代替σ2，则OLS估计量服从自由度为 n－3 的 t 分布，而不是正态分布。
2
可以证明：
ESS = b 2 ∑ y t x 2 t + b 3 ∑ y t x 3 t RSS = R =
2
20
(4.19) (4.20) (4.21)
∑ b ∑
2
y t2 −b 2 ∑ y t x 2 t − b 3 ∑ y t x 3 t y t x 2 t + b3 ∑ y t x 3 t
15
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计量经济学讲义
4.4 OLS估计量的方差与标准误
计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间；（2）检验统计假设。
var (b 2 ) = se ( b 2 ) =
(∑
x
2 2t
)(∑
∑
x
2 3t
) − (∑
x 32t
x 2t x3t )
2
⋅σ
2
(4.12) (4.13)
var( b 2 )
(4.26)
在给定显著性水平下，检验B2的置信区间是否包含0，若没有拒绝原假设，否则接受原假设。
24
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4.7.2 显著性检验法
2、显著性检验法：检验H0：B2＝0，H1：B2
≠0

线性回归分析教案

线性回归分析教案一、引言线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个连续型变量之间的线性关系。

在实际应用中，线性回归广泛用于经济学、社会学、医学等领域，用于预测和解释变量之间的关系。

本教案将介绍线性回归的基本原理、模型设定和参数估计方法，以帮助学生深入理解线性回归的概念和应用。

二、教学目标1.了解线性回归的基本原理和假设。

2.学习线性回归模型的设定和参数估计方法。

3.能够使用统计软件实现线性回归模型的计算。

4.掌握线性回归模型的解释和预测能力。

5.理解线性回归模型的运用场景和限制条件。

三、教学内容1.线性回归的基本原理1.1 线性关系的定义1.2 线性回归模型的基本假设1.3 线性回归模型的优点和局限性2.线性回归模型的设定2.1 简单线性回归模型及其参数估计2.2 多元线性回归模型及其参数估计2.3 线性回归模型的变量选择方法3.线性回归模型的参数估计3.1 最小二乘法估计3.2 参数估计的性质和假设检验3.3 模型评估和诊断4.线性回归模型的解释和预测4.1 理解回归系数的含义4.2 判断模型对观测数据的拟合程度4.3 利用回归模型进行预测五、教学方法1.理论讲解与示范通过讲解线性回归的基本原理和模型设定，带领学生了解线性回归模型的概念和应用。

同时，通过实例演示和统计软件的使用展示线性回归模型的计算过程。

2.实践操作与练习在课堂上，安排学生利用统计软件进行线性回归模型的实际计算，并结合具体数据集进行模型拟合和预测操作。

通过实际操作提高学生对线性回归模型的应用能力。

3.案例分析与讨论将一些实际问题、经济数据或社会调查数据与线性回归模型结合，引导学生对模型结果进行解读和讨论，提高学生对模型解释和应用的理解。

六、教学评估1.课堂小测验在课程结束前进行一次小测验，考察学生对线性回归的理解程度和应用能力。

2.作业和项目布置线性回归相关的作业和项目，要求学生独立完成线性回归模型的建立和分析，以检验学生对所学知识的掌握程度。

Logistic回归的实际应用

Logistic回归的介绍与实际应用摘要本文通过对logistic回归的介绍，对logistic回归模型建立的分析，以及其在实际生活中的运用，我们可以得出所建立的模型对实际例子的数据拟合结果不错。

关键词：logistic回归；模型建立；拟合；一、logistic回归的简要介绍1、Logistic回归的应用围：①适用于流行病学资料的危险因素分析②实验室中药物的剂量-反应关系③临床试验评价④疾病的预后因素分析2、Logistic回归的分类：①按因变量的资料类型分：二分类、多分类；其中二分较为常用②按研究方法分：条件Logistic回归、非条件Logistic回归两者针对的资料类型不一样，后者针对成组研究，前者针对配对或配伍研究。

3、Logistic回归的应用条件是：①独立性。

各观测对象间是相互独立的；②Logit P与自变量是线性关系；③样本量。

经验值是病例对照各50例以上或为自变量的5-10倍（以10倍为宜），不过随着统计技术和软件的发展，样本量较小或不能进行似然估计的情况下可采用精确logistic回归分析，此时要求分析变量不能太多，且变量分类不能太多；④当队列资料进行logistic回归分析时，观察时间应该相同，否则需考虑观察时间的影响（建议用Poisson回归）。

4、拟和logistic回归方程的步骤：①对每一个变量进行量化，并进行单因素分析；②数据的离散化，对于连续性变量在分析过程中常常需要进行离散变成等级资料。

可采用的方法有依据经验进行离散，或是按照四分、五分位数法来确定等级，也可采用聚类方法将计量资料聚为二类或多类，变为离散变量。

③对性质相近的一些自变量进行部分多因素分析，并探讨各自变量（等级变量，数值变量）纳入模型时的适宜尺度，及对自变量进行必要的变量变换；④在单变量分析和相关自变量分析的基础上，对P≤α（常取0.2，0.15或0.3）的变量，以及专业上认为重要的变量进行多因素的逐步筛选；模型程序每拟合一个模型将给出多个指标值，供用户判断模型优劣和筛选变量。

计量经济学4 多元回归分析：推断

1.701
拒绝域
Example：小时工资方程
ˆ ) 0.284 0.092educ 0.0041exp er 0.022tenure log( wage (0.104) (0.007) n 526, R 0.316
2
(0.0017)
(0.003)
标准误
ˆ ? H0 : exp er 0 ? H 0 : 0.0041 0
4.2.3 双侧对立假设
H1 : j 0 (4.12)
当经济理论（或常识）没有很好的说明j的符号时，这是一个恰当的对立假设。即便知道j在对立假设中的符号，采取双侧检验也是明智的——避免根据回归方程中参数估计值来提出对立假设。
双尾检验的拒绝法则：
tˆ c
j
(4.13)
如果在5%的显著性水平上拒绝H0并支持H1，则称 xj是统计显著的，否则称xj是统计上不显著的。
随着t分布的自由度逐渐变大，t分布会接近标准的正态分布——df大于120，就可以使用标准正态分布的临界值。
例子：5%的显著性水平，df=n-k-1=28，临界值c=1.701
面积 =0.05
0
在显著性水平是1%时统计上显著
在显著性水平是5%时统计上不显著
小结：t统计量检验显著性原理
如果H0成立， P{｜t｜>t /2}＝ {｜t｜>t /2}是小概率事件，如果该事件在一次抽样中就出现，说明假设H0值得怀疑，应当拒绝H0
／ 2
／ 2
0
-t／2
拒绝H0
是总体未知的特征，而且永远不会确定的知道它们。但可以做出假设，然后通过统计推断来检验假设
4.2.1 定理及概念

回归分析回归诊断

R Square Adjusted R Square 标准误差观测值
0.925064 0.855744
0.814528
0.192504 19
方差分析
回归分析残差总计
df 4
14 18
SS 3.077652 0.518811 3.596463
Intercept X Variable 1 X Variable 2 X Variable 3 X Variable 4
还有模型的设定
标准的回归假定：
1，关于模型设定的假定 2，关于误差的假定 3，关于预测变量的假定
非随机的其取值是误差取得的，但几乎不可能。测量误差将影响到误差方差，相关系数，复相关系数及回归系数的估计，其影响程度的大小取决于多个因素。是线性无关的
4，关于观测的假定所有观测是同样可靠性
数据的诊断异常值强影响点假定是否满足
y
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
8
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
30
x 40
存在一个有影响观测值的散点图
有影响的观测值 (图示)
y
12
10
不存在影响
8
值的趋势
6
4
存在影响值的趋势
2
有影响的观
测值
0
0
10
20
其次，必须确定“度量影响的尺度是什么？”为了定量地刻划影响的大小，迄今为止已提出多种尺度，基于置信域的尺度，基于似然函数的尺度等等。

计量经济学4

计量经济学4计量经济学九章讲解,内容详细,讲解细致,一定让你看的过瘾,搞定计量经济不再难!!一元线性回归Chapter 4Linear Regression with One Regressor一元线性回归一元线性回归使我们可以估计、推断总体回归线的斜率系数。

我们的最终目标是估计自变量X发生一个单位的变化，会导致因变量Y发生多少的变化。

为使问题简化，下面我们分析只有两个变量的Y和X之间为线性关系的情形。

2总体回归线(The population一般意义上讲，对均值或者两个均值间进行的统计推断，与对线性回归的统计推断是类似的。

regression line)Test Score=β0+β1STR估计如何从数据中得到一个直线以用来估计总体回归线的斜率：使用普通最小二乘(ordinary least squares )。

使用OLS的好处与不足有哪些？如何检验斜率是否为零。

如何构建关于斜率取值的置信区间。

β1=总体回归线的斜率=假设检验ΔTest scoreΔSTR= STR变化一单位导致test score发生的变动2.我们希望知道总体参数β1的具体数值。

3.然而，我们并不知道β的数值是多少，因此要根1.为何β0和β1被称为总体参数？置信区间据数据对它进行估计。

3 4一元线性回归模型的术语Yi=β0+β1Xi+ ui, i= 1,…, n X是自变量(independent variable)或回归变量7个学区的假想观测值Yi=β0+β1X为总体回归线ui为第i 个观测的总体误差项( regressor)或右边变量。

Y是因变量(dependent variable)从属变量(regressand)或左边变量。

β0:总体回归的截距(intercept) β1:总体回归的斜率(slope) ui:误差项(error item)误差项构可能因遗漏因素或Y的测量误差引起。

遗漏因素指那些除了变量X之外的能够对Y产生影响的因素。

PMH典型方法第4讲

二、基于数据驱动的故障预测技术
人工神经网络具有模仿连续非线性函数的能力，并且能够从样本进行学习，因而在故障预测中得到了广泛的应用人工神经网络通过样本的学习可以掌握系统规律，无需对测量信号作模型假设。由于神经网络具有很强的自适应性学习能力和非线性映射能力，适合于实现预测器的设计。不足：神经网络训练时需要大量数据样本，且存在收敛速度慢、局部极小点、网络结构难以确定等
粒子滤波器
通过非参数化的蒙特卡罗模拟方法来实现贝叶斯滤波，用样本形式对先验信息和后验信息进行描述
一、基于模型的故障预测技术
不足之处：
难以针对复杂动态系统建立精确的数学模型，在复杂系统的故障预测问题中应用和效果受到了很大限制。
二、基于数据驱动的故障预测技术
基于测试或者传感器数据进行预测的方法称为数据驱动的故障预测技术。特点：基于数据的故障预测技术不需要对象系统的先验知识，以采集的数据为基础，通过各种数据分析处理方法挖掘其中的隐含信息进行预测操作，从而避免了基于模型和基于知识的故障预测技术的缺点，成为了一种较为实用的故障预测方法典型的基于数据驱动的故障预测方法有: 人工神经网络、模糊系统和其他人工智能计算方法。
三、基于概率统计的故障预测技术
回归预测法是根据历史数据的变化规律，寻找自变量与因变量之间的回归方程式，确定模型参数，据此做出预测。回归分析法的主要特点是预测过程简单，将预测对象的影响因素分解，考察各因素的变化情况，从而估计预测对象未来的数量状态。缺点：回归分析法要求的样本量大并且有较好的分布规律，当预测的长度大于占有的原始数据长度时，采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。
灰色模型
灰色预测按灰色系统理论建立预测模型，根据系统的普遍发展规律，建立一般性的灰色微分方程，通过对数据序列的拟合，求得微分方程的系数，从而获得灰色预测模型。

曲线拟合问题讲解

曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。

针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。

针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。

针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。

针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。

针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。

本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。

关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。

目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。

第四讲-统计学中的相关分析

3．当 r ＝1 时，即零相关，表示 x和 y 没有线性相关关系。
零相关表示x和y不相关或存在非线性关系。 4．当 0< r < 1时，表示 x和 y存在着一定的线性相关关系。
r < 0.3称为微弱相关; 0.3 ≤ r < 0.5称为低度相关;
0.5 ≤ r < 0.8称为显著相关;
0.8 ≤ r < 1称为高度相关;
如果相关关系表现为因素标志和结果标志的数值在变动方向上保持一致，则称为正相关。例如家庭收入增加，银行储蓄也会增加。
如果相关关系表现为因素标志和结果标志的数值在变动方向上相反，则称为负相关。例如企业的生产规模越大，产品的单位成本就越低。
现象总体表现出来的正相关或负相关是有一定条件和范围的。某种现象不会永远以正相关表现，也不会永远以负相关表现。例如，在一定的范围内，增加施肥量能提高农作物的产量，但如果施肥过多，反而使庄稼只长叶子，不长果实，最后可能收获量很少。
0.99
6 9 080 2082 6 27 124 4022
即产品产量与单位成本呈现高度负相关。
2019/11/22
21
例8‐3 试根据下表分组资料计算某地人均收入与人均支出的相关系数。
某地人均收入与人均支出的样本资料
0123456
人均年收入（千元）
1.0以下 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0以上
2019/11/22
第八章相关分析
14
协方差的正负号与相关方向的关系图示：
0123456
y
Ⅱ
Ⅰ
xx0 y y 0 (x x)( y y)为负
y
Ⅲ

气象统计方法第四章一元线性回归分析

(xi , yi)
yˆ ˆ0 ˆ1x
x
全部观测值与回归估计值的离差平方和记为
n
Q(a, b) ( yi yˆi )2 t 1
它刻画了全部观测值与回归直线偏离程度。
显然，Q值越小越好。a和b是待定系数，根据
微积分学中的Q极值0 原理，要Q求：0
a
b
满足上面关系的Q值最小。整理得到：
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和。
3.残差平方和(Q)
反映除 x 以外的其它因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和。
2
n i 1
(
yi
a
bxi
)
0
n
2 i1 ( yi a bxi )xi 0
＝r2
（2）回归系数b与相关系数之间的关系
b
S xy
S
2 x
Sy Sx
rxy
r与b同号。
6. 回归方程的显著性检验
U
F
1 Q
(n 2)
原假设回归系数b为0的条件下，上述统计量遵从
分子自由度为1，分母自由度为（n-2）的F分布，
若线性相关显著，则回归方差较大，因此统计量F
也较大；反之，F较小。对给定的显著性水平 ,
判决系数R2 (coefficient of determination)
1. 回归平方和占总离差平方和的比例； 2. 反映回归直线的拟合程度； 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间； 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；
R20，说明回归方程拟合的越差； 5. 判决系数等于相关系数的平方，即R2

经济学概念中的回归分析讲解

且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归模型称为一元
线性回归模型。
②如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变
量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归模型。
第一节
回归模型
考点2 一元线性回归模型
2、一元线性回归模型
（1）一元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简
单的回归模型
（2）回归模型可以用描述因变量Y如何依赖自变量X和误
相关关系的变量之间的数量联系进行测定，确定相关的数学方程
式，根据这个数学方程式可以从已知量来推测未知量，从而为估
算和预测提供了一个重要方法。
第一节
回归模型
考点2 一元线性回归模型
1、回归模型的分类
按自变量的多少
按回归模型是否线性
一元回归模型
线性回归模型
多元回归模型
非线性回归模型
①如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，
一元线性回归方程的形式为：E（Y）= β0 + β1 X
β0 是回归直线的截距，β1 为回归直线的斜率，表示X变化
一个单位时，E（Y）的变动量。
第二节
最小二乘法
第二节
最小二乘法
1、现实中，模型的参数0 ，1 都是未知的，必须利用样
本数据去估计，采用的估计方法是最小二乘法。
2、最小二乘法就是使得因变量的观测值与估计值之间的
第二十六章
回归分析
第二十六章
回归分析
第一节
回归模型
第二节
最小二乘法
第三节
模型的检验和预测
第一节
回归模型
第一节
回归模型
回归分析的概念
一元线性回归模型
第一节
回归模型

回归分析曲线拟合

SPSS过程
• 步骤一：录入数据，选择分析菜单中的Regression==>liner 打开线性
回归分析对话框； • 步骤二：选择被解释变量和解释变量。其中因变量列表框中为被解释变量
，自变量为回归分析解释变量。 • 注：要对不同的自变量采用不同引入方法时，选NEXT按钮把自变量归入不
同自变量块中。
程序
• 结果解读 • 模型拟合度检验
• 方差分析表
• 回归分析结果
对残差统计量的分析
• 数据中无离群值，且数据的标准差比较小，可以认为模型是健康的。
• 残差统计量检验
多元线性回归的例子
• 某大型金融机构中做了一项关于雇员对其主管满意度的调查，其中一个问题设计为对主管的工作业绩的综合评价，另外若干个问题涉及主管与其雇员间相互关系的具体方面。该研究试图解释主管性格与雇员对其整体满意度之间的关系。
3、因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示
线性回归的过程
一元线性回归模型确定过程一、做散点图(Graphs ->Scatter->Simple)
目的是为了以便进行简单地观测（如： Salary与Salbegin的关系)。二、建立方程若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）。
Options选项
逐步回归方法准则使用F显著水平值 Entry：当候选变量中最大F值概率小于等于引入值时，引入相应变量。 Removal:剔除相应变量
实例分析
例：某单位对8名女工进行体检，体检项目包括体重和肺活量，数据如下：
体重
42 42 46 46 46 50 50 50

回归分析基本原理精讲

回归分析基本原理目录第1节回归分析概述 (2)第2节多元回归分析基本原理 (2)第3节回归分析预测在测绘中的基础应用 (7)3.1回归分析预测步骤 (7)3.2 一元线性回归分析应用 (8)3.3 多元线性回归分析应用 (8)3.4 基于Matlab的回归分析应用 (8)第4节非线性回归分析 (8)4.1 非线性函数形式的确定与线性转换 (8)4.2 多面函数拟合法 (9)4.3 基于正交函数系的拟合法 (9)第1节回归分析概述在我们现实生活中，处于同一个过程的变量往往是相互依赖和制约的，这二者的关系可以分为两种形式：一种是确定性的关系（譬如可以用一个直线方程来表示），另一种是不确定的，虽然有关系，但是关系的表现形式却是不确定的，依赖于实际的情形，不能用一个精确的函数表达。

举个例子来说：人的血压y 与年龄x 的关系，人的年龄越大血压就会越高，但是相同年龄的人，血压未必相同。

也就是说血压y 与x 是有关系的，但是二者的关系无法用一个确定的函数表示。

血压y 的取值是可观测的，但是却是不确定的，在回归分析中，这种变量称为不可控变量。

在线性方程里自变量与因变量相对应，不可控变量也就是自变量。

由此引入回归分析的概念：研究一个随机变量（不可控变量）与一个或者几个可控变量之间相互关系的统计方法，就是回归分析。

只有一个自变量的回归分析，成为一元回归分析；有多个自变量的回归分析，称为多元回归分析。

回归分析无非是求不可控变量与可控变量之间的关系因子，无论是一元的还是多元目的都是一样的。

回归分析的主要内容有：如何确定因变量与自变量之间的回归模型；如果根据样本观测数据估计并检验回归模型及其未知参数；判别影响因变量的重要自变量；根据已经知道的值来估计和预测因变量的条件平均值并给出预测精度等。

通常在数据挖掘里面或者信息检索里面我们的应用无非是根据一系列训练样本(已观测样本)来预测一个未知的不可控变量的值。

第2节多元回归分析基本原理多元线性回归分析是利用多元线性回归模型进行分析的一种方法。

第4篇试验设计与回归分析（可编辑）

第4篇试验设计与回归分析第4篇试验设计与回归分析回归分析的种类与简单回归分析第1节回归分析的任务和种类1.回归分析仅哪些问题当人们从一组对象上获得2个或多个指标的观测值时,往往需要回答下述几个问题:①如何实现预测,即如何由1个或多个指标自变量的值去推算另1个或多个指标因变量的值;②如何实现控制,即事先给锄品质量应达到的标准(因变量的取值范围),根据变量之间的数量关系去控制那些影响产品质量的因素(自变量)的变化区间;③如何实现修匀,由于所研究的指标带有变异性,当用散布图将变量之间的关系呈现出来时,散点所形成的轨迹并非像数学中初等函数那样有规律,需要用合适的数学方法(如用直线或某种光滑曲线)对资料进行修匀,使变量之间本质联系更清楚地呈现出来。

回归分析正是回答上述问题的一种最常用最有效的统计分析方法之一。

2.回归分析的种类如果因变量是非时间的连续变量(即一般定量资料),设自变量的个数为k,当k=1时,回归分析的种类有:①直线回归分析;②通过直线化实现的简单曲线回归分析(以下简称为曲线拟合);③非线性曲线拟合;④一般多项式曲线拟合;⑤正交多项式曲线拟合。

当k≥2时,称为多元回归分析(注:前面的④、⑤2种情况实质上是用多元回归分析仅只含1个自变量时较复杂的曲线拟合问题)。

当同时对多个因变量进行回归分析时,称之为多重回归分析。

在多元回归分析中,简单而又实用的则是多元线性回归分析(其中某些自变量可以是原观测指标经过某种初等变换的结果,如对数变换、开平根变换等,因为这里所说的线性是指∶函数fx相对于回归参数是线性的,并非相对于自变量而言)。

这是本篇中要论述的问题。

如果因变量是与时间有关的连续变量且未被离散化(如:生存时间、复发时间、死亡时间等),而自变量可以是定量的,也可以是定性的。

此时需用生存分析中的半参数或参数回归分析方法,将在本书第5篇中论述。

如果因变量是名义或有序变量,无论它取二个离散值(如:死与活、复发与未复发等)还是多个离散值(自变量可以是定性和定量的)时,都可选用logistic 回归分析;如果把列联表中每个格内的理论频数的对数当作因变量,把分组变量(包含影响因素和观测结果变量2类)当作自变量,可用对数线性模性分析。

多元线性回归与曲线拟合

第十章：多元线性回归与曲线拟合――Regression菜单详解〔上〕回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。

在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体外表积与身高、体重有关系；等等。

回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。

§10.1Linear过程调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。

在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法〔如：逐步法、向前法、向后法，等〕。

例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。

但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。

回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。

这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到根本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。

在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。

【Dependent框】用于选入回归分析的应变量。

【Block按钮组】由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。

由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，那么用该按钮组将自变量分组选入即可。

下面的例子会讲解其用法。

【Independent框】用于选入回归分析的自变量。

【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter〔强行进入法〕、Stepwise〔逐步法〕、Remove〔强制剔除法〕、Backward〔向后法〕、Forward〔向前法〕五种。