《数理方程》第五讲.ppt
华科数理方程ppt完整版每章都有
12
上午12时3分
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u ( x , y , z , t 1 )u ( x , y , z , t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为：
Q2
V
c u ( x , y , z , t 2 ) u ( x , y , z , t1 ) d V
t2
对第一方程两边取旋度， 得：
H ( E ) t
H t
根据矢量运算：
H
2 H ( H ) H
H
2
) 由此得： H ( t t
2
H
2
即：
H
2
t
J D x
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
15
上午12时3分
质量守恒与扩散方程
扩散过程
16
扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
上午12时3分
质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 A x , J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
ds dx
6 上午12时3分
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds m a x x
u ( x, t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2
u ( x dx, t )
u ( x, t )
a
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
北邮数理方程课件 第五章 Bessel 函数
第五章 Bessel 函数5．2 基础训练5.2.1例题分析例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：2()0tt xx yy u a u u -+=（1）解 先把时间变量t 分离出来，令)(),(),,(t T U t u ϕρϕρ=，代入方程（1）22(,)''()(,)()0U T t a U T t ρϕρϕ-∇=两边同乘以21a UT并移项得 22''T Ua T U∇=上式左边仅是t 的函数；右边是ρ,t 的函数。
若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为2k -，则有22''0T a k T +=(2)220U k U ∇+=(3)（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：22110U U U k U ρρρϕϕρρ+++=进一步分离变量，令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，代入上式得2211'''''0R R R k R ρρΦ+Φ+Φ+Φ=两边同乘以2R ρΦ，并整理得222'''''R R k RRρρρΦ=+=-Φ同上讨论，等式两边应为同一常数，记为2m ，则有2''0m Φ+Φ=(4)2222'''()0R R k m R ρρρ++-=(5)对（5）式作代数变换x k ρ=后变为贝塞尔方程222'''()0x R xR x m R ++-=(6)其通解是()()()m m R AJ k BY k ρρρ=+ 其中,,m m A B J Y 为任意常数和为第一类和第二类Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为()c o s s i n 0,1,2m m m A mB m mϕϕΦ=+= 由波动问题及解在0ρ→有限的条件，方程（2）的解为cos sin n n n n n T C k at D k at =+例2 用()J x ν的级数表达式证明：（1） x x x J cos 2)(21π=-； （2） x x d x J sin cos )cos (200=⎰πθθθ证明：（1） 因为20(1)()()!(1)2k k v v k xJ x k k v ∞+=-=Γ++∑， 所以12221002220(1)()())122!(1)2k k kk k k kk k x x J x k k ∞∞--==∞∞==-==Γ-+==∑2k k k x ∞∞=====（2）2212202000(1)(cos )cos ()cos (!)2k kk k x J x d d k ππθθθθθ∞+=-=∑⎰⎰222200(1)(2)!!(1)2!sin ()()(!)2(21)!!(!)2(21)!!k k k k k k k x k x k xk k k k x ∞∞==--===++∑∑ 例3 利用Bessel 函数的递推公式： (1) 将)(3x J 用)(0x J 及)(1x J 表出；(2) 证明 )]()(2)([41)(''2''''2''x J x J x J x J n n n n +-+-=.(3) 证明 )]()([2)]([21212x J x J v xx J dx d v v v +--=.(4) 证明 )]()([)]()([212010x J x J x x J x xJ dxd -=.(5) 证明 ⎰+-=C x x xJ x x xJ xdx x J cos )(sin )(sin )(100. (1) 解 由 )()(2)(11x J xx mJ x J m m m -+-=得 )()(2)(012x J xx J x J -=021********()4()4()84()()8()(1)()()J x J x J x J x J x J x J x J x x x x x x=-=--=-- (2) 证明：由'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得''''1122221()[()()]21111{[()()][()()]}[()2()()]2224m m m m m m m m m m J x J x J x J x J x J x J x J x J x J x -+-+-+=-=---=-+ (3) 证明： 由11()[()()2v v v x J x J x J x v +-=+,'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得 '22112()()[()()]2v v v v xJ x J x J x J x v-+=-即22211[()][()()]2v v v d xJ x J x J x d v-+=- (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：01011011002201()()[()()]()()()()()()[()()]dJ x dJ x dxJ x J x xJ x xJ x d dx dxJ x xJ x J x xJ x x J x J x =+=-+=-(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：001001001001()sin ()sin [()cos ()sin ]()sin ()cos ()cos ()sin ()cos [()cos ()cos ]()sin ()cos Jx xdx xJ x x x J x x J x x dxxJ x x xJ x xdx xJ x d xxJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x x C=--=--=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4 计算⎰dx ax J x )(03。
数理方程-课程总结共34页PPT
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数理方程-课程总结
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四财富 ❖ 丰富你的人生
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程-精PPT文档38页
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
数理方程复习数理方程课件
复习
3. 在扇形区域内求下列定解问题
u 0,
0 ,r a
u(r,0) u(r, ) 0, r a
u(a, ) f ( ),
0
r2 r 0 0
u(0,)
(0)(r) ()(r) 0
u(r, ) (r)( )
(0) () 0
1 r
r
r
1 r2
0
1 r
1 r2
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0, 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
0
X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
2 0 X 2 X 0
X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
0
l
l n
l
n
xd sin
0
l
x
2
n
x sin n
l
x |l0
2
n
l n
sin xdx
0
l
2l n
n2 2 cos l
x
|l0
2l
n2
2
(1)n 1
0, 4l
n2
2
,
n为偶数 n为奇数
u l
2 n1
2n
4l 1
2
2
e
2
n12
l2
2a2
t
cos
2n 1 x
l
HUST 数学物理方程与特殊函数
Bn
sin
n
Cnr
Байду номын сангаас
n
En
sin
数学物理方程举例和基本概念PPT课件
非齐次
3
2u t 2
a2
2u x 2;2阶 线性源自齐次42u t 2
a2
4u x4
f
x,t;
4阶
线性
非齐次
7 8
u
x
u
v y v
0 ;
0
1阶 线性 齐次
y x
t u
u u
x u
c2
u x
0 0
;
t x x
1阶 非线性 拟线性
5
1
u y
2
2u x2
2
u x
u y
解的稳定性： 当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变 动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。
如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.
注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！
例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始
流热量Q2与物体内部的源所产生的热量Q3之和，即
Q1 Q2 Q3 .
⑹ 费克Fick定律：粒子流强度q与浓度的下降率成正比，即q ku
扩散定律 其中，k为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程重点总结.ppt
据此，解得G( x)
G( x) x2 H (0)
(5)
因此有
u( x, y) 1 x3 y2 H( y) x2 H (0)
(6)
6
又 依 据 u(1, y) cos y， 代 入 （6） 式 ， 有
cos y 1 y2 H ( y) 1 H (0) 6
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
泛定方程 边 界 条 件 （ 第 一 类 、 第二 类 ！ ！ ！ ） 初始条件
数学物理方法
第二讲
直接积分法
( Method of Direcit Integration )
另附：直接积分法 解微分方程边值问题
a2
d 2W ( x) d x2
f (x) 0
(5)
W ( x) x0 M（1 常数），W ( x) xl M（2 常数） , t 0
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
T a2T 0 （ 时 间 变 量 的 微 分方 程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二 、 空 间 变 量 常 微 与 边界 条 件 捆 绑 ， 构 成 本 征值 问 题 。 （ 解 本 征 值 问题 ）
X X 0
(1)
u x
u
0,
第五讲Cauchy积分公式剖析
求f '(1 i).
解 3z2 7z 1在全平面上处处解析，
f (z)
C
3
2 7 z
1d
0
2i(
3z
2
7z
1)
z z
3 3
又
f
'(z)
0
z 3
2i(6z 7) z 3
故 f '(1 i) 2i[6(1 i) 7] 2 (13i 6)
§6 解析函数的高阶导数
2i z 4 z
z 4 z 1 z 3
解 1) 1 2i
sin z z
dz
s in z
z0
0
z 4
1 2
2) ( )dz z1 z3
dz
z1
2 dz
z3
z 4
z 4
z 4
f (z)1及2
2i 1 2i 2 6i
例2 求
2z 1 C z2 z dz
C为包含 z 1在内的任意简单正向曲线.
z1 z0
f
(z)dz
F
( z1
)
F ( z0
)
(z0 , z1 B)
此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强
例1 计算下列积分：
1
1) C z 2 dz
其中C为半圆周：z 3, Re z 0,
起点为 3i,终点为3i;
解1) 1 在Re z 0，z 0上解析, z2
这个猜想是对的, 这就是下面的定理.
定理(Cauchy 积分公式)
1)设f (z)在D内处处解析,
2)C是D内任意一条正向简单闭曲线,
它的内部完全含于D,
《数理方程》第五讲
0 n
16
11.1.2 Bessel函数的基本性质
1 J n (x) 与J n (x) 线性相关
x 2 y( x) xy( x) ( x 2 2 ) y( x) 0
y ( x) x
其中， ,
m 0
a2 m x
2m
a2 m x 2 m
a2 m
1m
2
2 m
m !(m 1)
m 1,2,
B-方程与第一类B-函数
将所有系数代入 11 1 3 可求得方程 11 1 2 的一个特解如下：
x J ( x) 2
m 2m
1 x 1 x n! 2 1!( n 1)! 2
1 x 3!(n 3)! 2
n6
n
n2
1 x 2!(n 2)! 2
n 8
n4
1 x 4!(n 4)! 2
a2m 1
0
m
a0 22m m! 1 2 m
m 1,2,
11 1 10
(s) x s1e x dx
s 0
11 1 11
取
(s 1) s(s), (n 1) n! 1 2 n 1 a0 2 ( 1)
x 2 y ( x) xy( x) ( x 2 2 ) y( x) 0
a0 ( 2 2 ) 0 2 a1 1 2 0 a k 2 2 a 0 k 2 k
k 2
11 1 4
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演讲者：昆明理工大学理学院 郑瑾环
1
第11章 特殊函数
本章将介绍用分离变量法求解圆形区域和球 形区域上的三大类数理方程时导出的固有值 问题，及其解函数(特殊函数)的性质。主要 介绍Bessel函数和Legendre多项式。
2
Bessel函数
考虑如下定解问题：
uut(t
x,
设 R, 0, n,
a1 12 v2 0 a1 0,
11 1 6
ak
k
ak 2
k
k 2,3,
11 1 7
a2m1 0 m 1,2,
11 1 8
对于a2m , 可分两种情况来讨论:(1) 0
a2m
a2m2
22 m(m )
m 1,2,
11 1 9
10
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
13
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
J1 ( x)
x 2
m0
1m
m!(m 1)!
x 2
2m
x 1 x 3 1 x 5 1 x 7 1 x 9
ak (( k)2 2 ) ak2 x k
k 2
x2 y(x) xy(x) (x2 2)y(x) 0
aa10
(2 2) 12 Nhomakorabea0
2
0
ak k2 2 ak2 0
k 2,3,
11 1 4
9
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
a0 0
11 1 5
例：写出 J0(x), J1(x) 和 Jn (x)的级数的前5项 解：由 J (x) 的计算公式 11 113
J
(x)
x 2
m0
1m
m!(m
1)
x 2
2m
0
可得：
J0 (x)
x 2
0 m0
(1)m (m!)2
x 2
2m
1
x
2
1
x
4
1
x 6
1
x
8
2 4 2 36 2 576 2
由 1102 得：
r2R(r)( ) rR(r)( ) R(r)( ) r2R(r)( ) 0
r 2 R(r) rR(r) r 2 R(r) ( ) const
R(r)
( )
r 2 R(r) rR(r) r 2 R(r) R(r) 0
11 0 3
( ) ( ) 0
a2m
1m
22m m!
a0
1
2
m
m 1,2,
(s) x e s1 xdx s 0 0
(s 1) s(s), (n 1) n!1• 2• • n
取
a0
2
1
(
1)
a2m
22m
1m
m !(m
1)
m 1,2,
11 110
11 1 11 11 112
11
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
将所有系数代入 1113可求得方程 111 2
的一个特解如下：
J
(x)
x 2
m0
1m
m!(m
1)
x 2
2m
0
11 113
显然， x 0 是J (x) 的连续点，J (x) 的幂级数部
分的收敛半径是+∞，称 J (x)是γ阶第一类
Bessel函数。
12
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
x2
y2
R2
r 0
R
2
v(x, y) v(r cos , r sin )
vr vx cos vy sin , v r(vx sin vy cos )
vrr vxx cos2 2vxy cos sin vyy sin2
v r vx cos vy sin r2 vxx sin2 2vxy cos sin vyy cos2 r 2vrr rvr v r 2v r 2 vxx vyy v 0
6
Bessel函数
作适当的变量代换，可将方程 11 0 3 化为
x2R(x) xR(x) x2R(x) R(x) 0
对于S-L方程 k(x)y(x) q(x)y(x) (x)y(x) 0
取 k(x) x, q(x) 2 / x, (x) x,
11 1 1
得γ阶Bessel方程如下：
x 2 y(x) xy(x) (x 2 2 ) y(x) 0
11 1 2
其解函数称为γ阶Bessel函数
7
11.1 B-方程与第一类B-函数
常微分方程的幂级数法：设 111 2 的解函数
为
y(x) x ak xk ak xk (a0 0)
11 1 3
k 0
k 0
xy(x) (k )ak xk ,
const
T (t) a2T (t) 0
11 0 1
vxx(x, y) vyy (x, y) v(x, y) 0 11 0 2
已经实现时间变量与空间变量的分离。
11 0 2 式仍然是偏微分方程，想法用分离
变量法求解，作变量变换如下：
4
Bessel函数
x r cos
y
r
s in
由此可得： vxx vyy v 0 x2 y2 R2
r2vrr rvr v r2v 0 0 r R, 0 2 11 0 2
5
Bessel函数
偿试用分离变量法求解 11 0 2
设 v(r, ) R(r)( ) vr (r, ) R(r) ,
vrr (r, ) R(r)( ), v (r, ) R(r)( )
k 0
x2 y(x) (k )(k 1)ak xk
k 0
x2 y(x) ak xk 2 ak2 xk
k 0
k 2
8
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
代入方程 11 3可得：
R x2 y(x) xy(x) (x2 2 ) y(x)
a0 ( 2 2 )x a1(( 1)2 2 )x 1
a 2 (u xx
y,0) (
uy x,
y) y),
0 ut
x2 y2
(x, y,0)
R2, (x, y)
t
0
u(x, y, z, t) 0
偿使用分离变量法：分离时间变量与空间变 量，设
u(x, y,t) v(x, y)T (t) utt (x, y,t) v(x, y)T (t)
uxx (x, y,t) vxx (x, y)T (t), u yy (x, y,t) vyy (x, y)T (t)
3
Bessel函数
v(x, y)T(t) a2T(t)(vxx(x, y) vyy(x, y)) 0
vxx ( x,
y) v(x,
v yy ( x, y)
y)
T (t) a2T (t)