《数理方程》第五讲.ppt

例：写出 J0(x), J1(x) 和 Jn (x)的级数的前5项 解：由 J (x) 的计算公式 11 113
J
(x)
x 2
m0
1m
m!(m
1)
x 2
2m
0
可得：
J0 (x)
x 2
0 m0
(1)m (m!)2
x 2
2m
1
x
2
1
x
4
1
x 6
1
x
8
2 4 2 36 2 576 2
x 2 y(x) xy(x) (x 2 2 ) y(x) 0
11 1 2
其解函数称为γ阶Bessel函数
7
11.1 B-方程与第一类B-函数
常微分方程的幂级数法：设 111 2 的解函数
为
y(x) x ak xk ak xk (a0 0)
11 1 3
k 0
k 0
xy(x) (k )ak xk ,
ak (( k)2 2 ) ak2 x k
k 2
x2 y(x) xy(x) (x2 2)y(x) 0
aa10
(
2 2)
12
0
2
0
ak k2 2 ak2 0
k 2,3,
11 1 4
9
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
a0 0
11 1 5
const
T (t) a2T (t) 0
11 0 1
vxx(x, y) vyy (x, y) v(x, y) 0 11 0 2
已经实现时间变量与空间变量的分离。
11 0 2 式仍然是偏微分方程，想法用分离
变量法求解，作变量变换如下：
4
Bessel函数
x r cos
y
r
s in
a2m
1m
22m m!
a0
1
2
m
m 1,2,
(s) x e s1 xdx s 0 0
(s 1) s(s), (n 1) n!1• 2• • n
取
a0
2
1
(
1)
a2m
22m
1m
m !(m
1)
m 1,2,
11 110
11 1 11 11 112
11
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
《数理方程》第五讲
演讲者：昆明理工大学理学院 郑瑾环
1
第11章 特殊函数
本章将介绍用分离变量法求解圆形区域和球 形区域上的三大类数理方程时导出的固有值 问题，及其解函数(特殊函数)的性质。主要 介绍Bessel函数和Legendre多项式。
2
Bessel函数
考虑如下定解问题：
uut(t
x,
由此可得： vxx vyy v 0 x2 y2 R2
r2vrr rvr v r2v 0 0 r R, 0 2 11 0 2
5
Bessel函数
偿试用分离变量法求解 11 0 2
设 v(r, ) R(r)( ) vr (r, ) R(r) ,
vrr (r, ) R(r)( ), v (r, ) R(r)( )
将所有系数代入 1113可求得方程 111 2
的一个特解如下：
J
(x)
x 2
m0
1m
m!(m
1)
x 2
2m
0
11 113
显然， x 0 是J (x) 的连续点，J (x) 的幂级数部
分的收敛半径是+∞，称 J (x)是γ阶第一类
Bessel函数。
12
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
k 0
x2 y(x) (k )(k 1)ak xk
k 0
x2 y(x) ak xk 2 ak2 xk
k 0
k 2
8
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
代入方程 11 3可得：
R x2 y(x) xy(x) (x2 2 ) y(x)
a0 ( 2 2 )x a1(( 1)2 2 )x 1
由 1102 得：
r2R(r)( ) rR(r)( ) R(r)( ) r2R(r)( ) 0
r 2 R(r) rR(r) r 2 R(r) ( ) const
R(r)
( )
r 2 R(r) rR(r) r 2 R(r) R(r) 0
11 0 3
( ) ( ) 0
6
Bessel函数
作适当的变量代换，可将方程 11 0 3 化为
x2R(x) xR(x) x2R(x) R(x) 0
对于S-L方程 k(x)y(x) q(x)y(x) (x)y(x) 0
取 k(x) x, q(x) 2 / x, (x) x,
11 1 1
得γ阶Bessel方程如下：
13
11.1.1 百度文库-方程与第一类B-函数
J1 ( x)
x 2
m0
1m
m!(m 1)!
x 2
2m
x 1 x 3 1 x 5 1 x 7 1 x 9
x2
y2
R2
r 0
R
2
v(x, y) v(r cos , r sin )
vr vx cos vy sin , v r(vx sin vy cos )
vrr vxx cos2 2vxy cos sin vyy sin2
v r vx cos vy sin r2 vxx sin2 2vxy cos sin vyy cos2 r 2vrr rvr v r 2v r 2 vxx vyy v 0
uxx (x, y,t) vxx (x, y)T (t), u yy (x, y,t) vyy (x, y)T (t)
3
Bessel函数
v(x, y)T(t) a2T(t)(vxx(x, y) vyy(x, y)) 0
vxx ( x,
y) v(x,
v yy ( x, y)
y)
T (t) a2T (t)
设 R, 0, n,
a1 12 v2 0 a1 0,
11 1 6
ak
k
ak 2
k
k 2,3,
11 1 7
a2m1 0 m 1,2,
11 1 8
对于a2m , 可分两种情况来讨论:(1) 0
a2m
a2m2
22 m(m )
m 1,2,
11 1 9
10
11.1.1 B-方程与第一类B-函数
a 2 (u xx
y,0) (
uy x,
y) y),
0 ut
x2 y2
(x, y,0)
R2, (x, y)
t
0
u(x, y, z, t) 0
偿使用分离变量法：分离时间变量与空间变 量，设
u(x, y,t) v(x, y)T (t) utt (x, y,t) v(x, y)T (t)