电动力学 3第三章 静 磁 场

2
1．在稳恒场中有
W
1 2
A
JdV
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
②
1
A
J
不是能量密度。
2
因为能量分布于磁场中，而不仅仅存
在 中于的电A 是流由分电布流区域J 激内发。的另。外，能量式
③ 导出过程
( f g) ( f ) g f ( g)
B H ( A) H
由此可看到矢势 A 的物理意义是：
矢势 A 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为
界的任一曲面的磁通量。
dS1
B
而每点的A无直接物理意义。
（b）磁通量只与曲面L的边 界有关，与其具体形状无关
L
dS2
３、矢势的不唯一性
②矢势
A
可确定磁场 B
，但由B并不能唯一地确定A，
这是因为对任意函数 。
(
A
4．A 的边值关系 *
磁场的边值关系
n
(H 2
H1 )
n (B2 B1) 0
n
2
（a） n (B2 B1) 0
n ( A2 A1) 0
1
Δl
A dl L
( A2t
A1t )l
L A dl S B dS 0
A2t A1t
A dl L
( A2t
A1t )l
②
若分界面为球面，当
A Ae e
z
A
11 [
r 1
r
(rA1 )
1
2
r
(rA2 )]
x
y
5．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给V 定内V稳内恒传电导流电磁流场J由和V边2 A界S上的J
At 或 Bt
和边界
条件唯一确定。
三．稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为
W 1
B HdV
3、*了解A-B效应和超导体的电磁性质
本章难点：利用磁标势解决具体问题
§1 矢势及其微分方程 Vector potential and differential equation
一、稳恒电流磁场的矢势
稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。
1．稳恒电流磁场的基本方程
基本方程
(A H) A(H) V (A H )dV
(A H ) A J S (A H ) dS 0
W 1
B
HdV
1
(
A
H
)dV
1
A JdV
2
2
2
1
A JdV
2
2. 电流 分布在外磁场中的相互作用能
设 Je 为外磁场电流分 布，Ae为外磁场的矢
势；J 为处于外磁 场 Be中的电流分布，它激
第三章 静 磁 场
magetostatic field
大连民族学院理学院
郑建洲
§3.1矢势及其微分方程
Vector potential and differential equation
本章重点：
1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量
2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较
5、举例讨论用计算
[例1]无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 A 和磁场B。
Solution :
取导线沿z轴，设p点到导线的 垂直距离为R，电流元Idz到p 点距离为r R2 z2
因此得到
↑I dz
r
z oR P
Az 4
Idz I ln( z R2 z2 4
z2 R2 )
积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值 可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则
4 V r
3．B 的解
B
A
4
V
(
J
(x))dV r
4
V
1 r
J
(x)dV
4
V
J
(
x) r3
r
dV
线电流时 JdV ' Idl '
这正是毕奥-- 萨伐尔定律
B
Idl r
4 L r 3
当全空间中电流 给定时，即可计算磁场 ，对于电流和磁 场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。
2．矢势的引入及意义
静电场 E 0
稳恒电流磁场 H J B 0 A B A
A 称为磁场的矢势。
（a）矢势的物理意义：
dS
B
根据斯托克斯定理，可得到
S B dS S ( A) dS LA dl
L
其中S 是以回路L 为边界的任一闭合曲面
S
B dS
S
(
A) dS
LA dl
H
J
B 0
基本方程
H
J
B 0
由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无 旋的，即引入标势φ来描述。而磁场是有旋的，一
般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由 于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它。
本节仅讨论 B H情况，即非铁磁的均匀介质。这
种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。
发的场的矢势为 A 。总能量：
W
1
2 1
(A
2 (Ae
Ae ) (J J e
1
J e )dV 2
)dV
(A
Je
1 2
( A J )dV
Ae J )dV
最后一项称为相互作用 能 ，记为
可以证明： Wi ( A J e )dV
Wi，
( Ae
J )dV
作业（131页）：1，3, 5，
1
(
A)
2
A
J
2 A J
若 满足 库仑规范条 件 A 0，得矢势的
微分方程
2 A J
其直角分量：
2 Ai Ji i 1, 2, 3
这是大家熟知的Pisson's equation
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2）与静电场中 2 形式相同
（3）矢势为无源有旋场中的物理量
2．矢势的形式解
由此可见，矢势 A 和标势 在静场时满足同一形式的
方程，对此静电势的解。
(x) 1 (x) dV '
40 V r
可得到矢量的特解：
A(x)
4
V
J (x) r
dV
'
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分 布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
A
J (x)dV
L A dl S B dS 0
A2t A1t
A=0
A1n A2n
A1 A2
即在两介质分界面上，矢势是连续的。
（b）n (H2 H1)
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
特殊情况： ① 若分界面为柱面，柱坐标系中当
z A
y
A Aez ez
x
1 A1 1 A2 1 r 2 r
)
A
B
即
A
和
A
对应于同一个B，A
的这种任意性是由于
A 的环量才有物理意义的决定的。
令 A 0 可减少矢势的任意性
A 满足的方程？
二．矢势满足的方程及方程的解
由于均匀线性介质内
有 B H ，将这些代入到 H J 中，即
H B 1 B 1 B
1 B 1 ( A)