数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数

§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数

一 、 向量、矩阵范数

为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(n

n n

R

R ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此，

这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。

(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。

},{1为复数i n n

x x x x x C ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。

},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。

(2)设n

n n

C

A C x ⨯∈∈,,称T n H

x x x x

=≡),,(1 为x 的共轭转置

，

T H A A =称为A 共轭转置矩阵。

在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 n

R x ∈(或n

C x ∈)的某个实值非负函数

x x N ≡)(，如果满足下述条件

(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)

(3)三角不等式 )(,,n

n C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。

由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。

设)(),,(1n

n T n C x R x x x ∈∈=或

(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞

∞=≡1max )(

(2)向量的“1”范数 ∑==≡n

i i x x

x N 1

1

1)(

(3)向量的“2”范数 2/11

2

2

/12

2)()

,()(∑===≡n

i i x x x x

x N

(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵

2/1),()(x Ax x

x N R x A

A n =≡→∈∀

称为向量的能量范数。

设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是n

R 上(或n C )的向量范数。

证明 只验证三角不等式：对任意n

R y x ∈,，则222

y x y x +≤+

利用哥西不等式：22

),(y x

y x ≤，则有

),(22

y x y x y

x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22

22

2

22y

y x

x ++≤222))(y x +=

对任何n

R y x ∈,则 (1) ∞∞

≤≤x n x x

2

(2) 212

x n x x ≤≤

(3) ∞∞

≤≤x n x x

1

证 只证(1)。记j i n

i n x x x x x x ==⎥⎥

⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=≤≤∞

11max ,

于是有(a)∑=∞

=≤=n

i i

j

x x x x

12

22

2

2

(b) ∑∑=∞

===≤=n

i j

j

n

i i

x

n x n x x x

1

22

2

1

2

22

(二)向量序列的极限

}{)

(k x

及向量*x 且记

T

n T k n k k x x x x x x ),,(,),,(1)()(1)(***==

如果2n 个数列收敛，即 ),,1(lim )

(n i x x i k i

k ==*∞

→

则称}{)

(k x

收敛于*x ，记*∞

→=x x k k )(

lim ，

或说向量序列的收敛是)(k x 分量收敛到*x 对应分量。 ),,2,1(102102)

(n k x

k k k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--

显然，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

∞

→22lim )

(k k x 设n

R y x ∈,，称非负实数y x y x d -≡),(为y x ,之间距离，其中⋅为向量的任何一种意义下范数。

设}{)

(k x

为n R 中一向量序列，且n R x ∈，则

⇒⇐=∞

→ x x k k )(lim 是0)(→-v

k x x (当∞→k )

其中v

⋅为向量的任一范数。

证明 只对2,=∞=v v 证明。显然有

),,1(0lim lim )()(n i x x x x i k i k k k ==-⇒⇐=∞

→∞

→

)(0lim )(1∞→→-⇒⇐≤≤k x x i k i n

i 当

)(0)(∞→→-⇒⇐∞

k x

x k 当

又由范数的等价性定理有：

∞

∞

-≤-≤-x x n x

x x

x k k k )(2

)()(

于是 )(0)(02

)()

(∞→→-⇒⇐∞→→-∞

k x x k x

x

k k 当

(三)矩阵的范数

一个n n ⨯矩阵A 可看作2

n 维向量空间中一个向量，于是由nn

R 上向量“2”范数，可以引进n n R

⨯中矩阵的一种范数。

∑==≡N

j i ij F

a A

A F 1

,2

/12)()(称为A 的 Frobenius 范数。

n

n R

A ⨯∈的某个非负实值函数

A A N ≡)(，如果满足下述条件：

(1)正定性：00,0=⇒⇐=≥A A A 是且 (2)齐次性：

R A A ∈=ααα,

(3)三角不等式：B A B A +≤+