数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数

§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。

为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。

(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。

},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。

},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。

(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。

在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。

nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。

由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。

设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。

设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是nR 上(或n C )的向量范数。

证明 只验证三角不等式：对任意nR y x ∈,，则222y x y x +≤+利用哥西不等式：22),(y xy x ≤，则有),(22y x y x yx ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 2222222yy xx ++≤222))(y x +=对任何nR y x ∈,则 (1) ∞∞≤≤x n x x2(2) 212x n x x ≤≤(3) ∞∞≤≤x n x x1证 只证(1)。

记j i ni n x x x x x x ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=≤≤∞11max ,于是有(a)∑=∞=≤=ni ijx x x x122222(b) ∑∑=∞===≤=ni jjni ixn x n x x x12221222(二)向量序列的极限}{)(k x及向量*x 且记Tn T k n k k x x x x x x ),,(,),,(1)()(1)(***==如果2n 个数列收敛，即 ),,1(lim )(n i x x i k ik ==*∞→则称}{)(k x收敛于*x ，记*∞→=x x k k )(lim ，或说向量序列的收敛是)(k x 分量收敛到*x 对应分量。

),,2,1(102102)(n k xk k k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--显然，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→22lim )(k k x 设nR y x ∈,，称非负实数y x y x d -≡),(为y x ,之间距离，其中⋅为向量的任何一种意义下范数。

设}{)(k x为n R 中一向量序列，且n R x ∈，则⇒⇐=∞→ x x k k )(lim 是0)(→-vk x x (当∞→k )其中v⋅为向量的任一范数。

证明 只对2,=∞=v v 证明。

显然有),,1(0lim lim )()(n i x x x x i k i k k k ==-⇒⇐=∞→∞→)(0lim )(1∞→→-⇒⇐≤≤k x x i k i ni 当)(0)(∞→→-⇒⇐∞k xx k 当又由范数的等价性定理有：∞∞-≤-≤-x x n xx xx k k k )(2)()(于是 )(0)(02)()(∞→→-⇒⇐∞→→-∞k x x k xxk k 当(三)矩阵的范数一个n n ⨯矩阵A 可看作2n 维向量空间中一个向量，于是由nnR 上向量“2”范数，可以引进n n R⨯中矩阵的一种范数。

∑==≡Nj i ij Fa AA F 1,2/12)()(称为A 的 Frobenius 范数。

nn RA ⨯∈的某个非负实值函数A A N ≡)(，如果满足下述条件：(1)正定性：00,0=⇒⇐=≥A A A 是且 (2)齐次性：R A A ∈=ααα,(3)三角不等式：B A B A +≤+则称)(A N 是n n R ⨯上的一个矩阵范数(或模)。

由于在许多应用问题中，矩阵和向量是相联系的，现引进一种矩阵的算子范数。

它是由向量范数诱导出来的并且这种矩阵范数和向量范数是相容的，即nn nRA R x ⨯∈∈∀,nn nR A R x ⨯∈∈,且设有一种向量范数vx相应的定义一个矩阵的非负函数vvR x x v xAx A A N n∈≠=≡0max)((最大比值),称)(A N 为矩阵A 的算子范数。

设v x 是n R 上的向量范数，则v A A N ≡)(是n n R ⨯上一个范数且满足相容条件： (1) v v v x A Ax ≤(2) ),(nn v v v R B A B A AB ⨯∈∀≤证明 由v A A N ≡)(定义,可知有v vv A xAx ≤ 或),(,n n n v v v R x R A x A Ax ∈∈∀≤⨯下面验证三角不等式：v v vB A B A +≤+由定义 vvx Rx vxxB A BA n)(max 0+=+≠∈由于v v v Bx Ax x B A +≤+)(v v v v x B x A +≤v v v x B A )(+=或)0(,)(≠∈∀+≤+x R x B A xxB A n v v vv且故v v vB A BA +≤+nn nR A R x ⨯∈∈,，则称为A 的行范数)称为A 的列范数)称为A 的“2”范数)其中)(max A A T λ为A A T最大特征值。

证明 证(1)：记`1),,(T n x x x =,t x xi ni ==≤≤∞1max∑∑==≤≤≤≤==n j nj j i ij ni n i a a 1011)1(max 0其中μ于是j nj ij ni n j j ij ni x a x a Ax∑∑=≤≤=≤≤∞≤=1111max max∑==≤nj ijit at 1maxμ说明，对任何向量0≠x ，则有μ≤∞∞xAx (a) 如果能找到一向量0x 且10=∞x 使μ≤∞∞00x Ax 那末，定理得证。

下面来寻求0x 使比值等于μ，记Tn x x x x ),,,(210 =且使10=∞x于是，T nj n j nj j nj j j i j jx a x a x aAx ),,,,(111100∑∑∑====且由(a)式有 μ≤∞Ax由此，应选取0x 为：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,10,100j i j i j a a x 当当则10=∞x 及∑∑====n j nj j i j j i a x a 1100μ或μ=∞Ax故μ=∞∞≠xAx x 0max证(3)：由于A A T 为对称半正定矩阵，则A A T 特征值为非负，即记A A T 特征值为),,1,1(n i i =λ，则有021≥≥≥≥n λλλ且有ni i u 1}{=满足),,2,1(,n i u Au A i i i T ==λ,ij j i u u δ=),(考查比值：nR x ∈∀且0≠x ，于是∑==ni ii ua x 1),(),(),(),(2222x x x Ax A x x Ax Ax xAx T==∑∑∑====ni ini ni i i i i i u u 1211),(ααλα11212λαλα≤=∑∑==n i ini ii说明，对任何非零向量nR x ∈，则有122λ≤xAx另一方面，取1u x =则有111111221221),(),(λλ==u u u u u Au故)(max 2A A AT λ=nn RA ⨯∈，则(1)∞∞≤≤A n A A n21;(2)∞∞≤≤A n A A n11n n R A ⨯∈的特征值为),,1(n i i =λ，称i ni A λρ≤≤≡1max )(为A 的谱半径。

(1)设n n R A ⨯∈，则A A ≤)(ρ，其中A 为满足矩阵，向量相容性条件的矩阵范数。

(2)设n n R A ⨯∈为对称矩阵，则)(2A A ρ=。

证明 只证(1)。

设λ为A 的任一特征值，于是，存在0≠x 使x Ax λ= 且Ax x x ==λλ x A ≤即A A x ≤≤)(ρλ或⋅为矩阵的算子范数，且1<B ，则B I ±为非奇异矩阵，且有估计BB I -≤±-11)(1证明 1)反证法。

设B I -为奇异阵，则0)(=-x B I 有非零解记为0x ，即00x Bx = 于是，100=x Bx 由此，有1≥B ，这与假设矛盾。

2)由I B I B I =---1))((即得 11)()(---+=-B I B I B I从而11)()(---+≤-B I B I B I BB I -≤-∴-11)(1二 、 矩阵的条件数、病态方程组直接法的误差原因：1．算法及舍入原因2．方程组本身固有的问题要分析方程组的状态并估计算法的误差（原始数据扰动对解的影响）——量度：矩阵的条件数a=[1 1;1 1.0001];b=[2,2]';a\b对右端项作微小变化(小扰动)：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001.220001.111121x x 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001.00b δa=[1 1;1 1.0001];b=[2,2.0001]';a\b显然有,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+11,11x x x δδ0186.0101213001.020152=⨯⨯≤∞*∞xx δ【说明】右端常数项的相对误差4105.020001.0-∞∞⨯==bbδ 而引起解的相对误差5.021==∞*∞x xδ常数项的微小误差引起解的相对误差较大,扩大了410-倍,也就是说,此方程组解对方程组的数据A,b 非常敏感,这样的方程组就是病态方程组.设线性方程组为Ax=b (1)其中A ∈R n ×n ,x,b ∈R n 且A 非奇异。