15.2全等三角形的判定

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三角形全等的判定(SAS)

三角形全等的判定(SAS)
15.2全等三角形的判定(1) 15.2全等三角形的判定( 全等三角形的判定
新城实验学校 杨苗苗
1、回顾与思考 、
(复习全等三角形的定义和性质) 复习全等三角形的定义和性质)
全等三角形的性质: 全等三角形的性质:
全等三角的对应边相等, 全等三角的对应边相等, 对应角相等。 对应角相等。
口答: 口答:
问题: 问题:图中的每一部 分保留了原来三角形 玻璃块的哪些元素? 玻璃块的哪些元素?
3、自主探索,展示新知 、自主探索,
分别按下列条件做一做: 分别按下列条件做一做: 1.只给定一个元素: 1.只给定一个元素: 只给定一个元素 (1)一条边长为4cm;(2)一个角为45° 一条边长为4cm;(2 一个角为45° 4cm;( 45 2.只给两个元素: 2.只给两个元素: 只给两个元素 (1)两条边长分别为4cm、5cm;(2)一条边长为4cm, 两条边长分别为4cm、5cm;(2 一条边长为4cm, 4cm ;( 4cm 一个角为45 45° 一个角为45° 60° (3)两个角分别为45° 、60°。 两个角分别为45° 45 通过画图,你有什么发现? 通过画图,你有什么发现?
(1)通过本节课学习你学会了哪些 知识? 知识? (2)通过本节课学习你最深刻的体 验是什么? 验是什么? 通过本节课的学习, (3)通过本节课的学习,你心里还 存在什么疑惑? 存在什么疑惑?
6、作业布置 ,学以致用 、
必做题:教材95页练习第1题、第2题。 《基础训练》平台一 选做题:教材105页习题第1题、第2题。
例3
证明: 因为∠ 证明: 因为∠BAD=∠CAE (已知) 已知) ∠ 所以∠BAD- 所以∠BAD-∠CAD = CAE- ∠CAE- ∠CAD , 即∠BAC=∠DAE BAC=∠ 在∆ABC和∆ADE中 ∆ABC和∆ADE中 E C AB=AD(已知 AB=AD(已知) 已知) ∠BAC=∠DAE(已证) BAC=∠DAE(已证 已证) AC=AE (已知) (已知 已知) D

全等三角形的判定

全等三角形的判定

全等三角形的判定在我们学习几何的过程中,全等三角形是一个非常重要的概念。

而要确定两个三角形是否全等,就需要依据一定的判定方法。

接下来,让我们一起深入了解全等三角形的判定。

首先,我们来看看什么是全等三角形。

全等三角形指的是两个三角形的形状和大小完全相同。

这意味着它们的对应边长度相等,对应角的度数也相等。

那怎么判定两个三角形全等呢?最基本也是最常用的方法是“边边边”(SSS)判定法。

也就是说,如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形就是全等的。

比如说有三角形 ABC 和三角形 DEF,如果 AB = DE,BC = EF,AC = DF,那么三角形 ABC 就全等于三角形 DEF。

接着是“边角边”(SAS)判定法。

如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等。

比如在三角形 MNO 和三角形PQR 中,MN = PQ,NO = QR,且∠MNO =∠PQR,那么三角形MNO 就和三角形 PQR 全等。

然后是“角边角”(ASA)判定法。

当两个三角形的两个角及其夹边对应相等时,这两个三角形全等。

假设三角形 XYZ 和三角形 UVW 中,∠XYZ =∠UVW,YZ = VW,∠YZX =∠VWU,那么三角形 XYZ 全等于三角形 UVW。

还有“角角边”(AAS)判定法。

如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等。

例如在三角形 CDE 和三角形 FGH 中,∠C =∠F,∠D =∠G,DE = GH,那么三角形CDE 就和三角形 FGH 全等。

对于直角三角形,还有一个特殊的判定方法,那就是“斜边、直角边”(HL)判定法。

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等。

比如说直角三角形 IJK 和直角三角形LMN,斜边 IJ =斜边 LM,直角边 JK =直角边 MN,那么这两个直角三角形就是全等的。

理解和掌握这些全等三角形的判定方法对于解决几何问题至关重要。

八年级数学三角形全等的判定

八年级数学三角形全等的判定

范例学习
例1,如图,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出 A,B两点间的距离.学习了边角边后,聪明的小杰说他 会测量了.你知道他是怎么做的吗?为什么可以这样做?
A
B’
C
B A’
解:在岸上取可以直接到达A,B的一点C,连接AC,延长AC到点A’,使A’C=AC;连接BC到 点B’,使B’C=BC.连接A’B’,量出A’B’的长度. 由于△ABC≌△A’B’C’(SAS),所以AB=A’B’(全等三角形的对应边相等)因而,A’B’的长 图,AD∥BC AD=BC
D
C
求证: △ADC≌△CBA
A
证明:∵AD∥BC(已知) ∴∠DAC=∠BCA(两直线平行,内错角相等) 在△ADC和△CBA中, AD=BC(已知) ∠DAC=∠BCA(已证) AC=CA(公共边) ∴△ADC≌△CBA(SAS)
B
准备条件 指出范围 列举条件 得出结论
;BT电影吧 BT电影 BT电影吧 BT电影

不相信代谢今年夏天还能立秋,我已经决心和这个代谢日头熬到底了。那一天,家家户户的月份牌和挂历上都印着﹣﹣1990年8月8日,立秋。可是我没有半点预感。我没有任何对于它的期待,没有想象那种享受。在久久的煎熬中,预感与灵性,以及想象,都真的萎蔫了。 (10)火一样 的上午,过去了。 (11)中午时我还是没有预感。只是挤命做着自己最爱做的一件事。这是一种唯一的度命方式;沉沉地抓紧,竭力地代谢明。在恐怖的酷热中,一切都呈着残酷感,但又呈着难言的美。 (12)走进下午的阳光时,我看见人的影子在蠕动。我觉得胜利的感觉浮在自己颊 上。生命又战胜了,我默想,这样活着如同战士。 (13)下午的阳光开始显得五彩摈纷,美丽得让人忘却了残酷,异想天开地看见一丝温柔。如同一个在四面戈壁沙漠中的扳道工,突然听见身后传

初中数学公式之全等三角形的判定最新

初中数学公式之全等三角形的判定最新

初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式,看过的同学请认真记忆了。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识,希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征:①正方形的四边相等;②正方形的四个角都是直角;③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;正方形的判定:①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习,同学们都能很好的掌握,相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习,下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质:①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;③平行四边形的对角线互相平分;平行四边形的判定:①两组对角分别相等的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③对角线互相平分的四边形是平行四边形;④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习,同学们都能很好的掌握了吧,相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解,希望给同学们的学习很好的帮助。

2.2三角形全等的判定(二)SAS (2)

2.2三角形全等的判定(二)SAS (2)

想象比知识更重要。 ——爱因斯坦
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上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务:学习委员 高考志愿:复旦经济 高考成绩:语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
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来自北京二中,高考成绩672分,还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声,远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说,何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者,非常外向,如 果加上20分的加分,她的成绩应该是 692。”吴老师说,何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信,也很有爱心。 考试结束后,她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
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“用好课堂40分钟最重要。我的经验是,哪怕 是再简单的内容,仔细听和不上心,效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容, 有的同学觉得很简单,听讲就不会很认真, 但老师讲解往往是由浅入深的,开始不认真, 后来就很难听懂了;即使能听懂,中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识,正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者,其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长,高考出色的原因 正在于试题多为基础题,对上了自己的“口 味”。

15.2三角形全等的判定(1)

15.2三角形全等的判定(1)

课题:第15章全等三角形15.2 三角形全等的判定(1)主备人:曹智审核人: 时间:2011年月日年级班姓名:学习目标:1.掌握三角形全等的“SAS”条件,能运用“SAS”证明简单三角形全等问题2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程.学习重点:三角形全等的条件.学习难点:寻求三角形全等的条件一、学前准备1.复习回顾(1)上节课我们学习了全等三角形的有关性质是什么?___________________________________________(2)如图,如果△ABC≌△DEF请说出对应边、对应顶点、对应角。

2.思考:三角形有六个基本元素(三条边和三个角),只给定其中的一个或两个元素,能够确定一个三角形的形状和大小吗?(1)只给定一个元素:①一条边长为4cm ②一个角为45°________________ _____________(2)若给定两个元素;①两条边长为4cm、5cm. _____________②一条边长为4cm,一个角为45°______________③两个角分别为45°. _______________结论:给定两个条件仍______确定一个三角形的形状和大小。

C 'B 'A 'C B A3.若给三个条件:①三个角 ②两边一角 ③两角一边 ④三条边 4.研究两边一角的情况: 利用尺规作图画出已知角和已知边 已知:△ABC求作:△A 1B 1C 1,使A 1B 1=AB ,∠B 1=∠B ,B 1C 1=BC作法:①作∠MB 1N=∠B②在B 1M 上截取B 1 A 1=BA ,在B 1N 上截取B 1C 1=BC, ③连接A 1C 1则△A 1B 1C 1就是所求作的三角形.将这两个三角形重叠,看能否完全重合? 三角形全等判定定理1:两边和它们的______对应相等的两个三角形全等.记为“_____”或“_____”. 用数学语言表述全等三角形判定定理1: 在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌ 练一练 :如图,已知OA=OB,应填什么条件就得到 △AOC ≌△BOD(允许添加一个条件)___________________预习疑难摘要___________________________________________________ _______________________________________________________________二、探究活动(一)师生探究·解决问题例1: 已知:如图 AD ∥BC,AD=BC.OACDBCDCBA21 求证:△ADC ≌△CBA例2: 已知:如图,AB=AC,AD=AE.求证:△ABE ≌△ACD.(二)独立思考·巩固升华1. 已知:如图,AC=BD ,∠1= ∠2,求证:BC=AD.三、自我测试1、如图: OB=OD,OA=OC,求证:AB ∥CDAODB CDEA2、AB=AC,∠B=∠C,BE=CD.求证:△ADB ≌△AEC.四、应用与拓展已知:AB=DB,CB=EB,∠ABD=∠EBC. 求证: ∠A=∠DACBDEACE。

全等三角形的判定(SAS)(课堂PPT)

全等三角形的判定(SAS)(课堂PPT)

∴AM=BN
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在△AMD与△BND中
AM=BN ∠A=∠B AD=BD
(已证) (已证) (已知)
∴△AMD≌△BND(SAS) ∴DM=DN.
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全等三角形与其他图形的综合
• 如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG. 求证:(1)AE=CG;(2)AE⊥CG. 证明:(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形,
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3.如图,点E、F在AC上,AD//BC,AD=CB,AE=CF.
求证:△AFD≌△CEB.
证明: ∵AD//BC,
A
∴ ∠A=∠C,
E
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
D F
即 AF=CE.
B
C
在△AFD和△CEB中,
AD=CB (已知),
∠A=∠C (已证),
AF=CE (已证),
A
△ABC和△ABD满
足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC
与△ABD不全等. B
C
D
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14
画一画:
画△ABC 和△DEF,使∠B =∠E =30°, AB =DE
=5 cm ,AC =DF =3 cm .观察所得的两个三角形是
否全等?
M
D
C
A
B
结论 有两边和其中一边的对角分别相等的两个
(2)设AE与DG相交于M, AE与CG相交于N, 在△GMN和△DME中, 由(1)得∠CGD=∠AED 又∵∠GMN=∠DME, ∠DEM+∠DME=90° ∴∠CGD+∠GMN=90° ∴∠GNM=90°,∴AE⊥CG.

三角形全等的判定(ASA)的说课稿

三角形全等的判定(ASA)的说课稿

三角形全等的判定(ASA)的说课稿各位领导、老师:你们好!我说课的内容是“沪科版八年级 15.2三角形全等的判定<角边角>”。

下面,我从教材分析、教材处理、教学方法、教学手段、教学过程、板书设计及教学反思等几个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析:1、教材的地位及作用本节课研究三角形全等的判定方法之一——角边角定理,它是沪科版八年级(上册)第15章第二节的内容。

它是在学习了认识三角形、全等三角形及其性质,以及探究出三角形全等的判定方法1——边角边公理的基础上编写的。

一方面引导学生从动手操作出发探索出角边角公理,体会利用操作、归纳获得数学结论的方法;另一方面让学生能够运用“角边角公理”解决实际问题。

另外,判定三角形全等在初中几何学习中对于证明线段及角相等是一个非常重要而且有效的方法。

2、教学目标知识与技能:(1)掌握角边角公理的内容;(2)能初步应用角边角公理证明两个三角形全等;过程与方法:(1) 通过实验、观察、归纳出角边角公理;(2) 通过观察几何图形,培养学生的识图能力;(3) 通过公理的初步应用,初步培养学生的逻辑推理能力。

情感、态度与价值观:(1)通过例题3,让学生体会到数学知识的价值,从而激发学生学习数学的兴趣;(2)通过变式训练,培养学生“举一反三”的学习能力.(3)通过“实践活动”,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果。

3、教学重、难点重点:熟练地运用ASA公理判定三角形全等。

难点:如何根据已知条件和求证的结论,灵活地运用所学的“ASA”证明两个三角形全等。

二、教材处理《新课程标准》理念中强调过程比结论重要,方法比知识重要。

学习新知识时,引导学生在生活中发现问题,在讨论中分析问题,在操作中验证问题,重视知识的形成过程。

我将书中的例题、习题进行重组,由一题展开,由浅入深,层层铺垫,更好地体现了几何图形之间、数学与生活的内在联系。

三、教学方法:在学法上,倡导学生主动参与,通过画、剪、比较等手段验证新知,在猜想、尝试与反馈中得到提高。

全等三角形的判定(导学案SAS)

全等三角形的判定(导学案SAS)

15.2 全等三角形的判定第1课时(SAS )【预习导读】1、你还记得如何作一个角等于已知角吗?2、只给定三角形中的一个或两个元素能确定一个三角形吗?试试看!3、从课本探究中可知,确定一个三角形需几个元素?这几个元素满足什么条件?已知三角形两边及其夹角,如何利用尺规作一个三角形与已知三角形两边及其夹角分别相等?4、如何验证“确定三角形的形状和大小的条件可以作为判定三角形全等的条件?”5、判定三角形全等的方法是什么?三角形全等在实际生活中有何应用?【预习作业】1、△ABC 和△DEF 中,AB=DE ,BC=EF ,使△ABC ≌△DEF 的条件是( ) A .∠A=∠DB .∠B=∠EC .∠C=∠FD .以上都不对2、下列说法错误的是( )A .全等三角形是指边、角分别对应相等的两个三角形B .符号“SAS ”表示判别两个三角形全等的方法C .有两边和一角对应相等的两个三角形全等D .有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等3、△ABC 和△DEF ,满足以下条件一定全等的是( )A .AB=DE ,∠B=∠E ,AC=DFB .AB=DF ,∠A=∠D ,AC=DEC .BC=EF ,∠B=∠E ,AB=DFD .AB=DF ,∠A=∠F ,BC=EF4、如图1,已知AD 平分∠BAC ,要使△ABD ≌△ACD ,根据“SAS ”需要添加条件 .5、如图2,AB=AD ,AC 平分∠BAD ,证明:⑴△ABC ≌△ADC ⑵BC=DC (3) ∠B=∠`D图1图26、思考:如果“两边及其中一边的对角对应相等,那么这两个三角形全等吗?”画一画:三角形的两条边分别为4cm和3cm,长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形,把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,由此你发现了什么?把你的发现和同伴交流。

【课堂训练】一、选择题1、对下列各组条件,不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是()A.∠A=∠A′,AB=A′B′,AC=A′C′ B.∠B=∠B′,AB=A′B′,AC=A′C′C.∠C=∠C′,BC=B′C′,AC=A′C′ D.AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′2、下列结论错误的是()A.两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B.三边分别对应相等的两个三角形全等C.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.边长相等的等边三角形全等3、下列各条件中,能作出惟一三角形的是()A.已知三个角 B.已知两边和其中一边的对角C.已知三角形的周长 D.已知两边和他们的夹角4、如图3,AD⊥BC于D,BD=DC,E在AD上,则图中全等三角形共()A.1对 B.2对图3图9ACDBE FC .3对D .4对5、已知:如图4,AC 和BD 相交于点O ,且BO=DO ,AO=CO ,那么下列判断中正确的是( )A .只能证明△AOB ≌△COD B .只能证明△AOD ≌△COBC .只能证明△AOB ≌△COD 和△ADB ≌△CBDD二、填空题6、如图5个条件是7、如图6,在△ABC 8、如图7,AC=DB,9、如图8,由AD ∥BC ,AD =CB .得△______≌______.10、如图9,AB ∥CD ,BC ∥AD ,AB=CD ,BE=DF ,图中全等三角形有 对.三、解答题11、如图,已知M 是AB 中点,MC=MD,∠1=∠2 求证:AC=BD.图4ABCD第12题图5 图812、如图:在△ABE 和△ACF 中,AB=AC, BF=CE.求证:⑴AF=AE ⑵△ABE ≌△ACF13、小明做了一个如图所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ,将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH 吗?证明你的说法.14、如图,已知A B C △中,10A B A C ==厘米,8B C =厘米,点D 为A B 的中点. (1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,B P D △与CQP △是否全等,请说明理由;【课后提升】一、选择题1、下列说法:①腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两个直角边对应相等的两个直角三角形全等;③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成两个全等三角形;④直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成两个全等三角形.其中正确的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个D 、4个2、如图,,,,,则等于( )A .B .C .D .3、如图2,AD ⊥BC ,D 为BC 的中点,那么结论不正确的有( )A 、△ABD ≌△ACDB 、∠B=∠CC 、AD 平分∠BAC D 、△ABC 是等边三角形4、已知:如图3,AC 、BD 交于O 点,OA=OC,OB=OD.则不正确的结果是 ( )A 、AB=CDB 、AB∥CDC 、∠A=∠D D 、∠A=∠C5、在△ABC 和C B A '''∆中,∠C =C '∠,且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角形( )A 、不一定全等B 、不全等C 、无法判断D 、全等,根据“SAS”二、填空题 6、如图4,已知A CF E=,BC D E =,点A 、D 、B 、F 在一条直线上,要使△ABC ≌△FDE ,根据“SAS ”需要添加条件是 .7、如图5,在△ABC 和△BAD 中,BC = AD ,使△ABC ≌△BAD .根据“SAS ”需要添加条件是 .8、如图6,点D ,E 分别在AC ,AB 上.分别将“BD=CE ”记为①,“CD=BE ” 记为②,“AB=AC ”记为③.添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③以①为结论构成命题2.命题1是命题2的 命题,命题2是 命题.(选择“真”或“假”填入空格).DABC图5图4AC D BEF图2图39、如图7,将两根钢条'A A 、'B B 的中点O 连在一起,使'A A 、'B B 可以绕着点0自由转动,就做成了一个测量工件,则''A B 的长等于内槽宽AB ,那么判定△AOB ≌△''A O B 的理由是 .10、已知:如图8,AB=BE,∠1=∠2,∠ADE=120°,AE 、BD 相交于F,求∠3的度数为_____. 三、解答题11、如图,AB =DB ,BC =BE ,∠1=∠2,证明:△ABE ≌△DBC12、已知:如图,∠3=∠4,CB=DB,求证:∠1=∠2.13、如图,已知△ABC 为等边三角形,点D 、E 分别在BC 、AC 边上,AD 与BE 相交于点F ,且CD=AE 。

人教初中数学八上《三角形全等的判定(第2课时)》教案 (公开课获奖)

人教初中数学八上《三角形全等的判定(第2课时)》教案 (公开课获奖)

12.2 三角形全等的判定教学目标1.三角形全等的“边角边”的条件.2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程. 3.掌握三角形全等的“SAS”条件,了解三角形的稳定性. 4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.重点难点重点:三角形全等的条件. 难点:寻求三角形全等的条件. 教学过程一、创设情境,复习提问1.怎样的两个三角形是全等三角形? 2.全等三角形的性质?3.指出图中各对全等三角形的对应边和对应角,并说明通过怎样的变换能使它们完全重合: 图(1)图(1)中:△ABD≌△ACE,AB 与AC 是对应边; 图(2) 图(2)中:△ABC≌△AED,AD 与AC 是对应边. 4.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么? 二、导入新课 1.三角形全等的判定(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么,怎样才能判定两个三角形全等呢?也就是说,具备什么条件的两个三角形能全等?是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”?现在我们用图形变换的方法研究下面的问题:如图2,AC 、BD 相交于O ,A O 、BO 、CO 、DO 的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完AD CEBDCABE全重合呢?不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO.如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.(此外,还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数,也将与△ABD重合.图1( 2)中的△ABC绕着点A旋转,使AB与AE重合,再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°.两个三角形也可重合)由此,我们得到启发:判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.2.上述猜想是否正确呢?不妨按上述条件画图并作如下的实验:(1)读句画图:①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取 B、C,使 AB=3.1 cm,AC=2.8 cm.③连接BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?3.边角边公理.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习1.填空:(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?).(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:_________________________(这个条件可以证得吗?).2、例1 已知:AD∥BC,AD=CB(图3).求证:△ADC≌△CBA.问题:如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要证明△ADF≌ △CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件(AF=CE或AE=CF)?怎样证明呢?例2 已知:AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:△ABD≌ △ACE.四、小结:1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.五、作业:1.已知:如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:△AB E≌△ACF.2.已知:点A、F、E、C在同一条直线上, AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.重点难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式的混合运算. 3.认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1.教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.2.教科书练习1:写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1.说出分数混合运算的顺序.2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解(教科书)例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.(教科书)例8 计算:[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,注意有括号先算括号内的,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算:(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- (2))11()(b a a b b b a a -÷--- (3))2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1.计算:(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值.六、答案: 四、(1)2x (2)ba ab- (3)3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a (3)z 12.原式=422--a a ,当=a -1时,原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标(一)教学知识点1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用. (二)能力训练要求1.经历作(画)出等腰三角形的过程,•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.2.探索并掌握等腰三角形的性质. (三)情感与价值观要求 通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.重点难点重点:1.等腰三角形的概念及性质. 2.等腰三角形性质的应用.难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用. 教学方法 探究归纳法. 教具准备师:多媒体课件、投影仪;生:硬纸、剪刀.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境[师]在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?[生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.[师]那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.Ⅱ.导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.ABICABI作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.[师]对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,也可以用课本探究中的方法,•剪出一个等腰三角形.……[师]按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念,同学们来想一想.(演示课件)1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?•底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等. [生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴. [师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察. [生齐声]它们是同一条直线.[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高. [师]很好,大家看屏幕. (演示课件)等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).[师]由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).(投影仪演示学生证明过程)[生甲]如右图,在△ABC 中,AB=AC ,作底边BC 的中线AD ,因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD (SSS ). 所以∠B=∠C .[生乙]如右图,在△ABC 中,AB=AC ,作顶角∠BAC 的角平分线AD ,因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD .所以BD=CD ,∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°.[师]很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看大屏幕.(演示课件)[例1]如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 上,且DCA BD CABDCA BBD=BC=AD ,求:△ABC 各角的度数.[师]同学们先思考一下,我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质,我们可以得到 ∠A=∠ABD ,∠ABC=∠C=∠BDC ,•再由∠BDC=∠A+∠ABD ,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A . 再由三角形内角和为180°,•就可求出△ABC 的三个内角.[师]这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话,那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示,这样过程就更简捷.(课件演示)[例]因为AB=AC ,BD=BC=AD , 所以∠ABC=∠C=∠BDC . ∠A=∠ABD (等边对等角).设∠A=x ,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x , 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x .于是在△ABC 中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°.在△ABC 中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.Ⅲ.随堂练习(一)课本练习 1、2、3. 练习1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.(2)120︒36︒(1)答案:(1)72° (2)30°2.如图,△ABC 是等腰直角三角形(AB=AC ,∠BAC=90°),AD 是底边BC 上的高,标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数,图中有哪些相等线段?D CA答案:∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC ,BD=DC=AD .3.如图,在△ABC 中,AB=AD=DC ,∠BAD=26°,求∠B 和D C A B∠C 的度数.答:∠B=77°,∠C=38.5°.(二)阅读课本,然后小结. Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高. 我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.Ⅴ.课后作业(一)习题13.3 第1、3、4、8题. (二)1.预习课本.2.预习提纲:等腰三角形的判定. Ⅵ.活动与探究 如图,在△ABC 中,过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线,垂足为D ,DE ∥AB 交AC 于E .求证:AE=CE .EDCAB过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解全等三角形的性质和判定,•等腰三角形的性质. 结果:证明:延长CD 交AB 的延长线于P ,如图,在△ADP 和△ADC 中,12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC .∴∠P=∠ACD .又∵DE ∥AP , ∴∠4=∠P . ∴∠4=∠ACD . ∴DE=EC .同理可证:AE=DE .∴AE=C E .板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形EDCA B P二、等腰三角形性质1.等边对等角2.三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1.如果△ABC是轴对称图形,则它的对称轴一定是()A.某一条边上的高B.某一条边上的中线C.平分一角和这个角对边的直线D.某一个角的平分线2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是()A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°答案:1.C 2.C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm,并且它的周长为16 cm.求这个等腰三角形的边长.解:设三角形的底边长为x cm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.所以,等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.重点难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算.2.难点:熟练地进行分式的混合运算.3.认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1.教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.2.教科书练习1:写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题.二、课堂引入 1.说出分数混合运算的顺序. 2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解 (教科书)例7 计算 [分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.(教科书)例8 计算:[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,注意有括号先算括号内的,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算:(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- (2))11()(b a a b b b a a -÷--- (3))2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1.计算:(1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值.六、答案:四、(1)2x (2)b a ab - (3)3 五、1.(1)22yx xy - (2)21-a (3)z 12.原式=422--a a ,当=a -1时,原式=-31.。

12.2.2三角形全等的判定(二)SAS (2)

12.2.2三角形全等的判定(二)SAS (2)
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孙老师说,杨蕙心学习效率很高,认真执行老师 的复习要求,往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量,而且计划性强,善于自我调节。此 外,学校还有一群与她实力相当的同学,他们经 常在一起切磋、交流,形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得,杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法, 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中,她常做 的事情就是告诫自己要坚持,不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中,她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
则它们完全重合,即△ABC≌△ DEF 。
A D 3㎝
300
B E
5㎝
C F
归纳:三角形全等识别方法2 有两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为: 在△ABC与△DEF中
A
∠B=∠E BC=EF
AB=DE ∴△ABC≌△DEF(SAS)
B
C
D
E
F
练习: 1.在下列推理中填写需要补充的条件,使结论 成立
在△AOB和△DOC中 A O C D
A0=DO(已知) ∠AOB = ∠DOC (对顶角相等) BO=CO(已知) SAS ∴ △AOB≌△DOC(
B ).
2.在△AEC和△ADB中 AB =
A
AC
(已知)
E
D
∠A=∠A(公共角) = ∴△AEC≌△ADB ( AD AE B SAS ). C
E
C
C′
A
B
A′
B′
D
如图△ABC和△ DEF 中, AB=DE=3 ㎝,∠ B=∠ E=300 , BC=EF=5 ㎝ 则它们完全重合吗?即△ABC≌△ DEF ?

沪科初中数学八年级上册《14.2 三角形全等的判定》精品课件 (12)

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证明:∵ ∠ DBA与∠ DBP互为邻补角
∠求AB证C与:∠ CDBBP=互为C邻B补角
且∠ DBP= ∠ CBP
∴ ∠ DBA= ∠ CBA,(同角的补角相等)
在△ABD和△ABC中,
B
∠ DAB= ∠ CAB (已知)
AB=AB (公共
A


∠ DBA= ∠ CBA ( 已
证∴ △ABD ≌ △)ABC ( AS
A
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P98:1、练习1; 2、同步作业15.2(2)
最新初中数学精品课件设计
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--------------------------------------
BC DBC=∠EDC=90O (垂直定义) BC=DC(已知条件)
∠ ACB=∠ ECD (对顶角相等)
最新3初、中数得学出精品结课件论设计:
四、训练拔高
1、如图OP是∠ MON的角平分线, C是OP上的 一点,CA⊥ OM, CB⊥ON,垂足分别为A、B, △ AOC ≌ △ BOC吗 ?为什么?
观察图中的三角形:1、先观察,猜一猜哪两
A
Q 40°3 P 个三角形是全等三角形?
B
40°
3
60° C
60° 2、哪些条件决定了
R △ABC ≌△FDE?
3
D
E 60° 40°

八年级数学三角形全等的判定

八年级数学三角形全等的判定
15.2 三角形全等的判定

A'

C B'
C'
活动一
按下列条件做三角形,并通过比较判断它们之间是 否全等,由此你有什么发现?
第一组:一条边为6cm;
大家要 合作哦
第二组:一个角是45°;
第三组:两条边分别为4cm和6cm;
第四组:一条边为6cm,一个角为45°;
第五组:两个? 怎么判断一个人究竟有没有他的"自我"呢?我可以提出一个检验的方
法,就是 看他能不能独处。当你自己一个人呆着时,你是感到百无聊赖,难以忍受呢,还是感到一种 宁静、充实和满足? 对于有"自我"的人来说,独处是人生中的美好时刻和美好体验,虽则有些寂寞,寂寞中却 又有一种充实。独处是灵魂生长的必要空间。在独处时,我们从别人
与一个 人的性格完全无关,爱好独处的人同样可能是一个性格活泼、喜欢朋友的人,只是无论他怎 么乐于与别人交往,独处始终是他生活中的必需。在他看来,一种缺乏交往的生活当然是一 种缺陷,一种缺乏独处的生活则简直是一种灾难了。 当然,人是一种社会性的动物,他需
要与他的同类交往,需要爱和被爱,否则就无法生存。 世上没有一个人能够忍受绝对的孤独。但是,绝对不能忍受孤独的人却是一个灵魂空虚的人 。世上正有这样的一些人,他们最怕的就是独处,让他们和自己呆一会儿,对于他们
精神的家园 ? 现代世界是商品世界,我们不能脱离这个世界求个人的生存和发展,这是一个事实。 但是,这不是全部事实。我们同时还生活在历史和宇宙中,生活在自己惟一的一次生命过程 中。所以,对于我们的行为,我们不能只用交换价值来衡量,而应有更加开阔久远的参照系 。
在投入现代潮流的同时,我们要有所坚守,坚守那些永恒的人生价值。一个不能投入的人 是一个落伍者,一个无所坚守的人是一个随波逐流者。前者令人同情,后者令人鄙视。也许 有人两者兼顾,成为一个高瞻远瞩的弄潮儿,那当然就是令人钦佩的了。 "人是要有一点精神的。"-

新版沪科版八年级上册导学案15.2三角形全等的判定(5)

新版沪科版八年级上册导学案15.2三角形全等的判定(5)

课题:第15章 全等三角形 15.2 三角形全等的判定(5)主备人:曹智 审核人: 时间:2011年 月 日年级 班 姓名:学习目标:学会判定直角三角形全等的特殊方法,发展合情推理能力。

学习重点:掌握判定直角三角形全等的特殊方法学习难点:应用“HL ” 解决直角三角形全等的问题一、学前准备1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法: 、 、 、 (2)、如图,Rt △ABC 中,直角边是 、 ,斜边是 2、探究: 如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗? (1)动手试一试。

已知:Rt △ABC求作:Rt △'''A B C , 使'C =90°,''A B =AB, ''B C =BC作法:(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上,观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合?(3)归纳;由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 (可以简写成“ ”或“ ”)DCBANMEDCBA(4)用数学语言表述上面的判定方法 在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △ (5)直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”练一练 :1. 如图,AC=AD ,∠C ,∠D 是直角,将上述条件标注在图中,你能说明BC 与BD 相等吗?预习疑难摘要___________________________________________________ _______________________________________________________________二、探究活动(一)师生探究·解决问题例1、已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB 求证:AB=DC例2. 在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,直线MN 经过点C ,如图,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E , 求证:(1)△ADC ≌△CEB (2)DE=AD+BE.BA 11CF EDC BA(二)独立思考·巩固升华1、如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是高,则△ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等” ) 根据 (用简写法)2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( ) A 、两条直角边对应相等 B 、斜边和一锐角对应相等 C 、斜边和一条直角边对应相等 D 、两个锐角对应相等三、自我测试1、如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F ,DE ⊥BC 于E , AB=DC ,BE=CF ,你认为AB 平行于CD 吗?说说你的理由 答:AB 平行于CD理由:∵ AF ⊥BC ,DE ⊥BC (已知)∴ ∠AFB=∠DEC= °(垂直的定义) ∵BE=CF ,∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌ ( ) ∴ = ( ) ∴ (内错角相等,两直线平行) 2、如图,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,(1)若AC//DB ,且AC=DB ,则△ACE ≌△BDF ,根据 (2)若AC//DB ,且AE=BF ,则△ACE ≌△BDF ,根据 (3)若AE=BF ,且CE=DF ,则△ACE ≌△BDF ,根据(4)若AC=BD ,AE=BF ,CE=DF 。

15.2_直角三角形全等判定(HL)

15.2_直角三角形全等判定(HL)

15.2三角形全等的判定-----直角三角形全等判定(HL)教学内容本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法.教学目标1.在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题.2.经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.3.培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵.重、难点与关键1.重点:理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.2.难点:培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.3.关键:判定两个三角形全等时,•要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件,只需找到另外两个条件即可.教具准备直尺、圆规.教学方法采用“问题探究”的教学方法,让学生在互动交流中领会知识.教学过程提出“问题探究”,组织学生讨论舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道两画法:引导学生共同参与分析例(思路点拨:欲证BC=•AD首先应寻找和这两条线段有关的三角形,•这里有△15.2三角形全等的判定-----直角三角形全等判定(HL )目标检测题1. 如图∠C= ∠D=Rt ∠ ,要证明△ACB ≌ △BDA ,至少再补充几个条件,应补充什么条件?把它们分别写出来。

2.如图 在△ABC 中,已知BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,BD=CE 。

说明△EBC ≌ △DCB 的理由。

3. 如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端拉直后分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。

AC AB C∟∟EDD B。

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

全等三角形的判定及性质课时目标1. 理解全等三角形的概念及性质,并灵活运用;2. 掌握全等三角形的判定方法,并熟练应用于证明题.知识精要1. 全等形能够重合的两个图形叫做全等形.2. 全等三角形(1)两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形.(2)两个全等三角形,经过运动后一定能够重合,相互重合的顶点叫做对应顶点;相互重合的边叫做对应边;相互重合的角叫做对应角.注:(1)全等三角形不一定是两个图形之间的关系,还可能是多个图形之间的关系. (2)全等图形也可以看作是把图形翻折,旋转、平移等变换而得到的图形;反过来说,两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.3. 全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等;(2)全等三角形的对应角相等;4. 确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况(1)两角及夹边(2)两边及其夹角(3)三边(4)两角及其中一角的对边注:知道两边及其中一边的对角时,一般不能确定三角形的形状,大小.5. 全等三角形的判定判定1:在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等地,那么这两个三角形全等.(两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS)判定2:在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边对应相等地,那么这两个三角形全等.(两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA)判定3:在两个三角形中,如果有两个角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等(两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等AAS)DBEDB判定4:在两个三角形中,如果有三条边对应相等,那么这两个三角形全等(三边对应相等的两个三角形全等SSS )热身练习1. AC 与BD 交于点O ,且AB ∥CD ,AO=CO ,OB=OD ,AB=CD. 求证:△ABD ≌△ACE. 证明:在△ABD 和△ACE 中,⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知已知已知CD AB OD OB CO AO∴△ABD ≌△ACE (SSS )2. 已知△ABD ≌△ACE ,AD=3cm ,BD=1cm ,BC=6cm ,求△ADE 的周长. 解:∵△ABD ≌△ACE∴AE=AD=3cm ,CE=BD=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴ADE C ∆=10cm3. 已知△ABC ≌△DBC ,如果∠ABC=72°,∠ACB=45° (1)求∠D 的度数. (2)求∠ABD 的度数. 解:∠A=180°-72°-45°=63°∵△ABC ≌△DBC∴∠D=∠A=63°(全等三角形的对应角相等) 同理:∠DBC=∠ACB=45° ∴∠ABD=72°-45°=27°4. 在水平桌面上放置了一块三角形木块,∠A=30°,∠B=90°,AC=2cm ,经过AECBDBEDBDCA运动后△ABC 到A B C '''∆的位置. (1)求ACB '∆的度数.(2)点A 的运动路线是什么图形?求出它的长度. 解:(1)60°(2)运动路线是圆弧:ππ342231=⋅⋅=l5. 已知AD=AE ,∠ADB=∠AEC ,BE=DC (1)试说明:△ABE ≌△ACD. (2)AB 与AC 相等吗?为什么? 证明: 在△ABE 和△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BE AEC ADB AEAD∴△ABE ≌△ACD (SAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)6. 已知AC ∥BE 且AC=BE ,点B 是AD 的中点,试说明△ABC ≌△BDF. 证明:∵AC ∥BE ∴∠A=∠EBD ∵AC=BE ,AB=BD ∴△ABC ≌△BDF (SAS )7. 已知AD=AE ,∠ADC=∠AEBCBDA (1)△ADC 和△AEB 全等吗?为什么? (2)BD 与CE 相等吗?为什么? 解:(1)△ADC ≌△AEB 全等, 证明略(ASA ) (2)∵△ADC ≌△AEB ∴AB=AC∴AB -AD=AC -AE即 BD=CE精解名题例1 △ABC ≌△DEF ,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与EC 的长.解:∵△ABC ≌△DEF∴∠DEF=∠ACB=180°-30°-50°=100° EC=BF=2例2 P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点,PE ⊥OA 于E ,PF ⊥OB 于F ,求证:OP 是EF 的垂直平分线. 证明:易证 △OEP ≌△OFP (AAS ) ∴OE=OF∴△OME ≌△OMF ∴EM=FM ,∠OME=90° ∴OP 是EF 的垂直平分线例3 在△ABC 中,∠A=2∠B ,CD 是∠ACB 的平分线,求证:BC=AC+AD. 证明:在BC 上截取EC=ACFBO∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCB=∠DCA易证△DEC ≌△ACD (SAS ) ∴∠A=∠DEC=2∠B ,AD=DE ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE=AD ∴BC=AC+AD例4 △ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形,以D 为顶点作一个60°,角的两边分别交AB 于M ,交AC 于N ,连结MN ,形面一个△AMN ,求△AMN 的周长. 解:延长NC 到L ,使CL=BM ,连接DL先证BDM DCL ≅V V (SAS ) DMN DLN ≅V V (SAS ) ∴MN NL NC CL NC BM ==+=+ ∴AMN C AM AN MN =++V AM BM AN NC =+++= 2巩固练习1. 如图,△ABC ≌△ DEF ,这两个三角形的对应边是 AB 与 AC , BC 与 DE , CA 与 FE .ACDBA(1题图)2. △ABC≌△DEF,那么∠A=∠D3. △ABC以点B为旋转中心,A旋转到E,CDA B D CB(3题图) (4题图)4. AD,BE,CF是△ABC的高,沿AD翻折,点F与点E,点B与点C重合,那么图中全等的三角形有( D )A. 3对B. 5对C. 6对D. 7对5. 给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形,所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是( D )A. 两角及夹边B. 两角及其中一个角的对边C. 两边及夹角D. 两边及其中一条边的对角6. 下列判断错误的是( A )A. 全等三角形的所有边都相等B. 全等形的周长、面积一定对应相等C. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角,所画的三角形不一定是唯一的D.确定一个三角形至少要有一个元素是边7. 下列判断中错误的是( C )A. 成轴对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形全等C.两个正方形一定是全等形 D. 运动后能重合的两个三角形全等8. 已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,EEBAED CB求∠DFB 和∠DGB 的度数. 解:∠DFB =90°,∠DGB =65°9. 已知:△ABD ≌△ACE.求证:∠EBO ≌∠DCO. 证明:∵△ABD ≌△ACE ∴∠D=∠E ,DC=BE ∵∠DOC=∠BOE ∴∠EBO ≌∠DCO (AAS )10. 已知BE=CD ,∠ADE=∠AED ,∠B=∠C 解:∵BE=CD∴BD=EC ∵∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC 又∵∠B=∠C∴△ABD ≌△ACE (ASA )自我测试1. 如图1,已知△ABC ≌ △CDA ,则对应边是 AB 和CD ,BC 和DA , AC 和CA , 对应角是 ∠ABC 和∠CDA ,∠BCA 和∠DAC , ∠BAC 和∠DCA .DC图2 图32. 已知ABC∆≌'''CBA∆,A与'A,B与'B是对应顶点,ABC∆的周长为10cm,AB =3cm,BC =4cm.则''BA= 3 cm,''CB= 4cm,''CA= 3 cm.3. 已知ABC∆≌DEF∆,A与D,B与E分别是对应顶点,︒=∠52A,︒=∠67B,BC =15cm,则F∠= 61°,FE = 15 cm.4. 填空题:(1)如图2,已知AC =DB,要使ABC∆≌DCB∆,需增加一个条件是AB=CD等. (2)如图3,已知ABC∆中,090=∠C,AM平分CAB∠,CM =20cm那么M到AB的距离是20cm.(3)如图4,AB =EB,∠1=∠2,∠ADE =120°,AE、BD相交于F,则∠3的度数为30°.(4)如图5,已知:∠1 =∠2,∠3 =∠4,要证BD =CD,需先证△AEB ≌△AEC,根据是ASA ,再证△BDE ≌△BCE ,根据是SAS .(5)如图6,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,BC =AE.若AB = 5,则AD = 5 .5. 如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,B=C∠∠,求证:AD=AE.证明:先证△AEB ≌△ADC(ASA)∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)图1E图5 图6图4AACDFEAB6. 如图,DF=AE ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,CE=BF.求证:∠A=∠D. 证明:先证△CDF ≌△BAE (SAS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)7. 如图,已知:在梯形ABCD 中,AB//CD ,E 是BC 的中点,直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证:△ABE ≌△FCE. 证明:∵AB//CD∴∠FCE=∠B ,∠F=∠EAB 又E 是BC 的中点 ∴CE=BE∴△ABE ≌△FCE (AAS)8. 求证:△ABE ≌△FCE 如图,∠ACB=90°,AC=BC ,BE ⊥CE ,AD ⊥CE 于D ,求证:BE=CD. 证明:∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE ∴∠E=∠CDA=90°EFDCBA∴∠BCE+∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠EBC=∠ACD∴△CBE≌△ACD(AAS)∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)9. 已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上.求证:(1)△ACD≌△BCE (2)CF=CG (3)△FCG是等边三角形证明:(1)△ACD≌△BCE (SAS)(2)∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC∴△CDG≌△CEF(ASA)∴CF=CG(3)∵CF=CG,∠ACE=60°∴△FCG是等边三角形G F。

15.2三角形全等的判定(“SAS”)

15.2三角形全等的判定(“SAS”)

如果AB之间不能直接测量,你能测出AB之间 的距离吗?
15.2 全等三角形的判定
范例学习
如图,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出A,B两点 间的距离.学习了边角边后,聪明的你会测量了吗?
A
B’ C
B
A’
解:在岸上取可以直接到达A,B的一点C,连接AC,延长AC到点A’,使A’C=AC;连接BC到 点B’,使B’C=BC.连接A’B’,量出A’B’的长度. 由于△ABC≌△A’B’C(SAS),所以AB=A’B’(全等三角形的对应边相等)因而,A’B’ 的长度就是A,B两点之间的距离.
AC=CA(公共边)
∴△ADC≌△CBA(SAS)
15.2 全等三角形的判定 分享你我的收获
与同伴交流一下:
你学习了……收获了……
15.2 全等三角形的判定
作业:
1、 课本P96 练习1、2
2、类比用SAS证两个三角形 全等的办法,探究其它证明全等三 角形全等的判定方法.
15.2 全等三角形的判定
15.2 全等三角形的判定
接受更高的挑战 已知:如图,AD∥BC AD=BC
D
2 1
C
DC = ≌△ BA ∠D=∠ B CBA ADC 求证: △
A
证明:∵AD∥BC(已知) ∴∠1=∠2 (两直线平行,内错角相等) 在△ADC和△CBA中, AD=CB(已知) ∠1=∠2(已证)
B
准备条件 指出范围 列举条件 得出结论
15.2 全等三角形的判定
各位老师、同学们
下午!
15.2 全等三角形的判定
A B'
A'


C'
15.2 全等三角形的判定
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C
E ∵ DB是AB与DF的公共部分, 且AD=BF
F
∴ AD+DB=BF+DB
即 AB=DF
4.
如下图,工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图, ∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON, 移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角 尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为什么?
A
E
D
C
3.
已知,如图AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直 线上,AD=FB. 要用“边边边(SSS)”证明 △ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外, 还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件? A
D B
2013年3月 24日10时18 分
解:要证明△ABC ≌△ FDE, 还应该有AB=DF这个条件
已知:任意 △ ABC,画一个△ A'B'C',使A'B'=AB,A'C' =AC,B'C'=BC.把画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC上, 它们全等吗? 画法: 1、画线段B'C'=BC。 2、分别以B'、C'为圆心,BA、CA为半径画弧, 两弧相交于点A'。 3、连结A'B'、A'C'。
2013年3月 24日10时18 分
D
D
C
明题中常用的方法,在这里它四 边形问题转化为三角形问题解决。
问:此题添加辅助线,若连结BD行吗? 在原有条件下,还能推出什么结论? 答:∠BAD=∠DCB,AB∥CD,AD∥BC
C
课堂练习
2013年3月 24日10时18 分
1. 在下列图中找出全等三角形,说出理由, 并把它们用符号写出来.
82º
2013年3月 24日10时18 分
蒙城县板桥中学
桂金龙
复习巩固:
2013年3月 24日10时18 分
1、我们学过的判定两个三角形全等的方法有哪些? 答:“三角形全等的定义”、“SAS’’、“ASA’’ 、 “AAS’’
2、上述每种判定方法都有多少对对应的相等元素? 答:有三对对应元素相等,既有边也有角对应相等。
2013年3月 24日10时18 分
解:在△OMC和△ ONC中 OM=ON(已知) OC=OC(公用边)
MC=NC(已知)
∴ △ OMC≌ △ ONC(SSS)
∴ ∠MOC=∠NOC(全等三角形对应角相等)
2013年3月 24日10时18 分
通过本节的学习你有哪些收获:
1、“SSS”公理, 三角形具有稳定性,常 用它来解决生活中的实际问题。 2、判定两个三角形全等有四种方法: “SAS”、“ASA’’、 “AAS’’、 “SSS”; 3、证角(或线段)相等转化为证角(或 线段)所在的三角形全等; 4、添加辅助线往往能使问题简单化,得 以解决;四边形问题转化为三角形问题来 解决。
2013年3月 24日10时18 分
∴ BE+EC=CF+EC 即 BC=EF 在△ABC和△DEF中 AB=DE(已知) BC=EF(已证) AC=DF(已知) ∴△ABC≌△DEF(SSS)
B
E
C
F
∴∠A=∠D(全等三角形对应角相等)
小结:欲证角相等,转化 为证三角形全等。
练习1 如图△ABC是一个钢架,AB=AC, AD是连结点 A和BC中点的支架,求证: AD⊥BC A
A
B
B' C
C'
∴ △ABC ≌△A'B'C'(SSS) 三角形的三边长度固定,这个三角形的形状大小就完全 确定,这个性质叫三角形的稳定性。 小结:判定两个三角形全等有四种方 法:“SAS”、“ASA’’、 “AAS’’、
证明:∵BE=CF(已知)
例1:如图,已知点B、E、C、F在同一条直线上, AB=DE,AC=DF,BE=CF。求证:∠A= ∠D。 A D
证明:在△ABD和△ACD中,
2013年3月 24日10时18 分
AB=AC(已知)
AD=AD(公用边) DB=DC (已知) ∴ △ ABD≌ △ACD(SSS) ∴∠1= ∠2(全等三角形对应角相等) ∴∠1= B 1 D
2 C
1 ∠BDC=900(平角定义) 2
∴AD ⊥BC(垂直定义)
问:除可证得AD ⊥ BC外,还可得到哪些结论?
如图,我们用四根木棒钉成一个四边形, 它的形状能变化吗?
2013年3月 24日10时18 分
而我们改用三根木棒钉成一个三角形,试想 它的形状还能发生变化吗? 这里包含了数学上 的什么道理呢? 通过本节课的学习 你就会明白。
3、从已经研究过的判定方法来看,两个三角形必需具备三个元素 对应相等才有可能全等。除以上三种情况外,三个元素对应相等 的情况还有哪些? A' A




5
30º


IX
X
全等三角形有:Ⅰ与Ⅲ , Ⅱ与X ,Ⅳ与Ⅷ ,V与IX , VI与VII
2013年3月 24日10时18 分
2、 如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, 求证:△AEB ≌ △ ADC。
证明:∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED, 即BE=CD。 B 在AEB和ADC中, AB=AC AE=AD BE=CD ∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
练习2:如图,已知AB=CD,AD=CB,求证:∠B=∠D
2013年3月 24日10时18 分
证明:连结AC, A 在△ABC和△ ADC中 AB=CD(已知) BC=AD(已知) B AC=AC(公用边) A ∴ △ ABC≌ △ CDA(SSS) ∴ ∠B=∠D(全等三角形对应角相等) 小结:添加辅助线是我们几何证 B
2013年3月 24日10时18 分
B
C B'
C'
答:1、三角对应相等;2、三边对应相等;3、两边和其中一 边的对角对应相等(我们考虑过这是不行的了)
2013年3月 24日10时18 分
已知三角形三条边分别是 4cm,5cm, 7cm,画出这个三角形,把所画的三角形 分别剪下来,并与同伴比一比,发现什么?
2013年3月 24日10时18 分
作业:P109A组4、6、7
预习下节内容
△ A'B'C'就是所要画的三角形。
A
A'
B
C
B'
C'
问:通过实验可以发现什么事实?
“边边边”公理:有三边对应相等的两个三角形全 A' 等(简写成“边边边”或“SSS”)
用 数学语言表述: 在△ABC和△ A'B'C'中
AB=A'B' BC=B'C' CA=C'A'
2013年3月 24日10时18 分
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