郑小倩4-2 根轨迹绘制的基本法则
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 nm
a b
n
C a b
i 0 i n i
n
n i
n! a i b n i i 0 i !(n i )!
2
n
1 a1 b1 1 1 1 a1 b1 1 1 nm s 2! n m n m s
j 1
m
ds
m n d ln(s p j ) d ln(s zi ) j 1 i 1 ds ds
n m
ln(s p ) ln(s z )
i 1 j j 1 i
m 1 1 i 1 s pi j 1 s z j
a1 b1 (2k 1) (2k 1) nm * j K [cos j sin ] nm nm nm
令实部和虚部分别相等
a1 b1 n m * (2k 1) K cos nm nm (2k 1) nm * K sin nm ① ②
n
m
j
nm
2 k1 渐近线与实轴正方向的夹角： a n m k 0,1, 2, , n m 1
例 已知系统的开环传递函数如下，试画出该 系统根轨迹的渐近线。
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
2 k1 K r (s 2) a G (s) H (s) 2 n m s (s 1)(s 4) k 0,1, 2,
1 nm
1 nm
a1 b1 s nm
j 2 k 1 nm
a b s 1 1 nm K * e nm
j 2 k 1 nm
nm K * e
令s j
a1 b1 (2k 1) (2k 1) j n m K * [cos j sin ] nm nm nm
(a1 b1 )sn1 (a1 b1 )sn1
s n b1s n1
...........................
研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通 过列写直线的方程）。
证明：
G s H s K *
i 1
n
pi ) K
*
(s z
j1
m
j
) 0
K
*
= 0 si = p i(i = 1 ,2 ,
1 K*
n m
,n )
根轨迹起始于开环极点。
(2)
(s
i 1
pi )
(s z
j1
j
) 0
K * = s j = z j (j = 1 ,2 ,
,m )
渐近线与实轴的交点：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
2 k1 渐近线与实轴正方向的夹角： a n m k 0,1, 2, , n m 1
思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方 式（通过列写直线的方程）。
证明：
G s H s K *
s
nm
a1 b1 (1 ) K * s
K
1 * nm
a b s 1 1 1 s
1 nm
nm K * e
j 2 k 1 nm
a b s 1 1 1 s
1 nm
的化简
由二项式定理
a1 b1 1 s
4-2 根轨迹绘制的基本法则
项目 内容
掌握根轨迹的八个法则，并在此基础上绘制根轨
教 学 目 的 迹（手工和MATLAB）
教 学 重 点 根轨迹八个法则的内容。
教 学 难 点 八个法则的证明，根轨迹的手工绘制。
讲授技巧及 运用数学公式推导、图形的辅助说明进行分析。 注意事项
一、根轨迹的基本法则
根轨迹的基本法则从以下8个方面进行讨论： 1、根轨迹的起始点与终止点；
2、根轨迹的连续性、对称性和分支数； 3、实轴上的根轨迹； 4、根轨迹的渐近线； 5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角； 6、根轨迹的起始角和终止角(复数零极点)； 7、根轨迹与虚轴的交点； 8、根之和。
法则一
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
特征方程可写为：
(1)
(s
1 nm
当s值非常大时，近似有
a1 b1 1 s a1 b1 s 1 s
1 nm
1 a1 b1 1 nm s
a1 b1 1 a1 b1 s 1 s nm nm s
a1 b1 s 1 s a b s 1 1 1 s
法则三
实轴上的根轨迹
若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为 奇数，则该点在实轴的根轨迹上。
K ( s 5) G (s) H (s) s ( s 1)( s 2)
一条始于开环极点，止于开环零点， 另两条始于开环极点，止于无穷远处。
法则四
渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条 根轨迹终止于 S 平面的无穷远处，反映 n-m 条根轨迹 变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近 线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点(对称性)。
G (s)H (s)
s nm
K* ( a1 b1 ) s n m 1
当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：
K* K* G s H s nm n m 1 a b s (a1 b1 ) s s n m (1 1 1 ) s
由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：
i 1 j 1 n m
m dD( s) d n ( s pi ) K ( s z j ) 0 ds ds i 1 j 1
变换形式
(s p ) K (s z )
i 1 j j 1 j m d n d (s pi ) K (s z j ) ds i 1 ds j 1
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i
K * ( s m b1 s m 1 b m 1 s b m ) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
b1 z j
j 1
m
a1 p i
i 1
n
K* n s a1 s n 1 a n 1 s a n s m b1 s m 1 bm 1 s bm
C
根轨迹的渐近线
四种情况下的渐近线
j j
180
a
0
a
nm 2
90 90
0
n m 1
j
j
180
a
60 60
135
0
a
nm 3
135
180
45 45
0
nm 4
法则五
根轨迹的分离点和分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立
②÷①得：
( a ) tan a
点斜式 方 程
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
2 k1 a n m
k 0,1, 2,
, n m 1
j
s
as
a
a
0
渐近线与实轴的交点：
a
p z
i 1 i j 1
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i
K * ( s m b1 s m 1 b m 1 s b m ) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
b1 z j
j 1
m
a1 p i
i 1
n
K* n s a1 s n 1 a n 1 s a n s m b1 s m 1 bm 1 s bm K* nm s ( a1 b1 ) s n m 1
s n a1s n1 多项式除法 m m 1 s b1s
s m b1s m 1
an1s an bm1s bm
nm
nm1 ( a b ) s s 1 1 bm 1s bm s n a1s n 1 an 1s an
, n m 1
解 该系统n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点 为
1 4 2 σa 1 3
(k 1 )
它们与实轴正方向的夹角分别是
3 (k 0)
(k 2) 3
j
A
a
B
-4 -3
180 °
60°
a 0 -2 -1
300°
-60°
3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现
复平面上的分离点。
例 已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分 离点。 K*
G (s) H (s) (s 1)(s 2)(s 3)
解:本系统无有限开环零点，所以
1 1 1 0 d 1 d 2 d 3
3 d 2 1 2 d 1 1 0 d 1 1 .4 2 , d 2 2 .5 8
n
m
① ②
②÷①
d n (s p j ) ds j 1
(s p )
j 1 j
n
d m ( s zi ) ds i 1
(s z )
i 1 i
m
1 dx d ln x x dt dt
d ln ( s p j )
i 1
n
ds
d ln ( பைடு நூலகம் z j )
根轨迹终止于开环零点。
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的 起点与终点均为有限的值。 2 ．当 m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有 m 条根轨迹终止于开环零点 (称为有限零点 )外，还有 n-m 条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。 3 ．当 m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有 n 条根轨迹起始于开环极点 (称为有限极点 )外，还有 m-n 条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。
分离点
d1
-4 -3 -2
d2
-1 0
p2
p1
A
B
p4
0
实轴上的分离点
复平面上的分离点
分离点的坐标d是下列方程的解：
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m
证明：
闭环特征方程有重根的条件为：
D(s) (s pi ) K (s z j ) 0
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止 于开环零点(K*→∞)；如果开环极点数n大 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s 平面的无穷远处，如果开环零点数 m大于开 环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面 的无穷远处。
法则二 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 根轨迹总是对称于实轴。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→数学模型的系数是实数→特征根不是实 数就是共轭复数) 根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数 n。(根轨迹描述特征根的变化法则) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分 支数等于系统特征方程的次数。
即分开的点，称为根轨迹的分离点。
常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相 邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少
有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在
复平面上。
分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上 的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。
j
[s]
j p3
[s]
C
n
说明
m 1 1 i 1 s pi j 1 s z j m
n
1 1、当开环系统无有限零点时，应取 0, 分离 n j1 d z j 1 0 。 点方程为 i 1 d pi
2、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。 分离点的确定需代入特征方程中验算。
a b
n
C a b
i 0 i n i
n
n i
n! a i b n i i 0 i !(n i )!
2
n
1 a1 b1 1 1 1 a1 b1 1 1 nm s 2! n m n m s
j 1
m
ds
m n d ln(s p j ) d ln(s zi ) j 1 i 1 ds ds
n m
ln(s p ) ln(s z )
i 1 j j 1 i
m 1 1 i 1 s pi j 1 s z j
a1 b1 (2k 1) (2k 1) nm * j K [cos j sin ] nm nm nm
令实部和虚部分别相等
a1 b1 n m * (2k 1) K cos nm nm (2k 1) nm * K sin nm ① ②
n
m
j
nm
2 k1 渐近线与实轴正方向的夹角： a n m k 0,1, 2, , n m 1
例 已知系统的开环传递函数如下，试画出该 系统根轨迹的渐近线。
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
2 k1 K r (s 2) a G (s) H (s) 2 n m s (s 1)(s 4) k 0,1, 2,
1 nm
1 nm
a1 b1 s nm
j 2 k 1 nm
a b s 1 1 nm K * e nm
j 2 k 1 nm
nm K * e
令s j
a1 b1 (2k 1) (2k 1) j n m K * [cos j sin ] nm nm nm
(a1 b1 )sn1 (a1 b1 )sn1
s n b1s n1
...........................
研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通 过列写直线的方程）。
证明：
G s H s K *
i 1
n
pi ) K
*
(s z
j1
m
j
) 0
K
*
= 0 si = p i(i = 1 ,2 ,
1 K*
n m
,n )
根轨迹起始于开环极点。
(2)
(s
i 1
pi )
(s z
j1
j
) 0
K * = s j = z j (j = 1 ,2 ,
,m )
渐近线与实轴的交点：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
2 k1 渐近线与实轴正方向的夹角： a n m k 0,1, 2, , n m 1
思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方 式（通过列写直线的方程）。
证明：
G s H s K *
s
nm
a1 b1 (1 ) K * s
K
1 * nm
a b s 1 1 1 s
1 nm
nm K * e
j 2 k 1 nm
a b s 1 1 1 s
1 nm
的化简
由二项式定理
a1 b1 1 s
4-2 根轨迹绘制的基本法则
项目 内容
掌握根轨迹的八个法则，并在此基础上绘制根轨
教 学 目 的 迹（手工和MATLAB）
教 学 重 点 根轨迹八个法则的内容。
教 学 难 点 八个法则的证明，根轨迹的手工绘制。
讲授技巧及 运用数学公式推导、图形的辅助说明进行分析。 注意事项
一、根轨迹的基本法则
根轨迹的基本法则从以下8个方面进行讨论： 1、根轨迹的起始点与终止点；
2、根轨迹的连续性、对称性和分支数； 3、实轴上的根轨迹； 4、根轨迹的渐近线； 5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角； 6、根轨迹的起始角和终止角(复数零极点)； 7、根轨迹与虚轴的交点； 8、根之和。
法则一
根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
特征方程可写为：
(1)
(s
1 nm
当s值非常大时，近似有
a1 b1 1 s a1 b1 s 1 s
1 nm
1 a1 b1 1 nm s
a1 b1 1 a1 b1 s 1 s nm nm s
a1 b1 s 1 s a b s 1 1 1 s
法则三
实轴上的根轨迹
若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为 奇数，则该点在实轴的根轨迹上。
K ( s 5) G (s) H (s) s ( s 1)( s 2)
一条始于开环极点，止于开环零点， 另两条始于开环极点，止于无穷远处。
法则四
渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条 根轨迹终止于 S 平面的无穷远处，反映 n-m 条根轨迹 变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近 线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点(对称性)。
G (s)H (s)
s nm
K* ( a1 b1 ) s n m 1
当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：
K* K* G s H s nm n m 1 a b s (a1 b1 ) s s n m (1 1 1 ) s
由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：
i 1 j 1 n m
m dD( s) d n ( s pi ) K ( s z j ) 0 ds ds i 1 j 1
变换形式
(s p ) K (s z )
i 1 j j 1 j m d n d (s pi ) K (s z j ) ds i 1 ds j 1
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i
K * ( s m b1 s m 1 b m 1 s b m ) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
b1 z j
j 1
m
a1 p i
i 1
n
K* n s a1 s n 1 a n 1 s a n s m b1 s m 1 bm 1 s bm
C
根轨迹的渐近线
四种情况下的渐近线
j j
180
a
0
a
nm 2
90 90
0
n m 1
j
j
180
a
60 60
135
0
a
nm 3
135
180
45 45
0
nm 4
法则五
根轨迹的分离点和分离角
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立
②÷①得：
( a ) tan a
点斜式 方 程
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
2 k1 a n m
k 0,1, 2,
, n m 1
j
s
as
a
a
0
渐近线与实轴的交点：
a
p z
i 1 i j 1
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i
K * ( s m b1 s m 1 b m 1 s b m ) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
b1 z j
j 1
m
a1 p i
i 1
n
K* n s a1 s n 1 a n 1 s a n s m b1 s m 1 bm 1 s bm K* nm s ( a1 b1 ) s n m 1
s n a1s n1 多项式除法 m m 1 s b1s
s m b1s m 1
an1s an bm1s bm
nm
nm1 ( a b ) s s 1 1 bm 1s bm s n a1s n 1 an 1s an
, n m 1
解 该系统n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点 为
1 4 2 σa 1 3
(k 1 )
它们与实轴正方向的夹角分别是
3 (k 0)
(k 2) 3
j
A
a
B
-4 -3
180 °
60°
a 0 -2 -1
300°
-60°
3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现
复平面上的分离点。
例 已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分 离点。 K*
G (s) H (s) (s 1)(s 2)(s 3)
解:本系统无有限开环零点，所以
1 1 1 0 d 1 d 2 d 3
3 d 2 1 2 d 1 1 0 d 1 1 .4 2 , d 2 2 .5 8
n
m
① ②
②÷①
d n (s p j ) ds j 1
(s p )
j 1 j
n
d m ( s zi ) ds i 1
(s z )
i 1 i
m
1 dx d ln x x dt dt
d ln ( s p j )
i 1
n
ds
d ln ( பைடு நூலகம் z j )
根轨迹终止于开环零点。
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的 起点与终点均为有限的值。 2 ．当 m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有 m 条根轨迹终止于开环零点 (称为有限零点 )外，还有 n-m 条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。 3 ．当 m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有 n 条根轨迹起始于开环极点 (称为有限极点 )外，还有 m-n 条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。
分离点
d1
-4 -3 -2
d2
-1 0
p2
p1
A
B
p4
0
实轴上的分离点
复平面上的分离点
分离点的坐标d是下列方程的解：
n 1 1 j 1 d z j i 1 d pi m
证明：
闭环特征方程有重根的条件为：
D(s) (s pi ) K (s z j ) 0
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止 于开环零点(K*→∞)；如果开环极点数n大 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s 平面的无穷远处，如果开环零点数 m大于开 环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面 的无穷远处。
法则二 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 根轨迹总是对称于实轴。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→数学模型的系数是实数→特征根不是实 数就是共轭复数) 根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数 n。(根轨迹描述特征根的变化法则) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分 支数等于系统特征方程的次数。
即分开的点，称为根轨迹的分离点。
常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相 邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少
有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在
复平面上。
分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上 的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。
j
[s]
j p3
[s]
C
n
说明
m 1 1 i 1 s pi j 1 s z j m
n
1 1、当开环系统无有限零点时，应取 0, 分离 n j1 d z j 1 0 。 点方程为 i 1 d pi
2、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。 分离点的确定需代入特征方程中验算。