最新高一必修4平面向量的概念及线性运算

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高一数学必修4知识点梳理：平面向量

2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反；当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212．若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。

高一必修4平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.(3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：；②结合律：要点诠释：1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．运算律设为实数结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.规律方法指导1.向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.经典例题透析类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量.类型二：向量的线性运算2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.解析：在中总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.【答案】解：(如图)设则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得即类型三：共线向量与三点共线问题3．设两非零向量和不共线，(1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.思路点拨：要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.解析：(1)证明共线，又有公共点，∴三点共线.(2)解∵和共线，∴存在，使，则由于和不共线，只能有则.总结升华：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用) 举一反三：【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A、C、D三点共线.证明：∴又∴∴与共线，∴A、C、D三点共线.类型四：综合应用4．在中，分别为三边上的动点，且在时，分别从A，B，C 出发，各以一定的速度沿各边向B，C，A移动，当t=1时，分别到达B，C，A，求证：在的任何一时刻t，的重心为G.解析：设的重心为G.由已知点D，E，F在边AB，BC，CA上的速度分别是在任意时刻时，有又为一确定向量. 的重心不变.总结升华：熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外中设重心为G，则应该熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式1】如图，已知点分别是三边的中点，求证：.【答案】证明：连结.因为分别是三边的中点，所以四边形为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得(1)，同理在平行四边形中，(2)，在平行四边形在中，(3)将(1)(2)(3)相加，得.学习成果测评基础达标：1.下面的几个命题：①若；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若满足且与同向，则；④由于方向不定，故不能与任何向量平行；⑤对于任意向量必有.其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则A. B. C. D.3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )A. B. C. D.4.若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. B.C. D.5.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，已知，用表示=___________，___________.6.设是两个不共线向量，则向量与向量共线的充要条件是_______________.7.一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.8.如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.综合探究：1.下列命题中，真命题的个数为( )①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A.0B.1C.2D.32.在中，已知是边上一点，，则( )A. B. C. D.3.设是两个不共线的向量，则向量与向量共线的充要条件是( )A.k=0B.k=1C.k=2D.k=4.已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于()A.0B.3C.D.5.两个非零向量相等是两个向量相等的___________条件.6.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则=________.7.若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )A.｜2｜＞｜-2｜B.｜2｜＜｜-2｜C.｜2｜＞｜2-｜D.｜2｜＜｜2-｜。

高一平面向量概念及线性运算

年级高一学科数学内容标题平面向量概念及线性运算编稿老师褚哲一、学习目标1.了解向量产生的物理背景，理解共线向量,相等向量等概念，理解向量的几何表示；2.掌握向量的加法，减法，数乘的运算，并理解其几何意义；3.能由数的运算律类比向量的运算律，并结合图形验证相关的运算律，强化对知识的形成过程的认识，并正确表述探究的结果；4.通过学习向量的线性运算，初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二、重点、难点重点：1.向量的概念,，相等向量的概念和向量的几何表示；2.向量的加法，减法，数乘运算的运算法则及其几何意义.难点：1.对向量概念的理解；2.对减法定义的理解及正确运用法则，用运算律进行向量的线性运算，利用向量方法解决几何问题.三、考点分析向量的线性运算是向量的基础部分，考查时主要以选择题、填空题的形式出现，侧重考查向量的基本概念、向量运算的关系；在解答题中侧重考查向量与其他章节的综合，预计高考中向量的内容所占的比重仍较大.一、平面向量的基本概念1.向量既有大小、又有方向的量叫做向量.注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可.2.向量的表示（1）用一个小写字母表示向量，如a，b等.（2）用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为AB，注意起点写在前面、终点写在后面.3.向量的模向量AB的大小，称作向量AB的长度（或称模），记作AB.注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小.4. 零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0. 注：①=00；②零向量的方向是任意的. 5. 单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 6. 基线通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线. 7．平行向量如果向量的基线相互平行或重合．则称这些向量平行或共线，记作∥a b . 注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有a 0∥；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上.8. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a b =. 注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；④a b a b =⇒=；反之不成立.9. 位置向量任给一定点O 和向量a ，过O 作有向线段OA =a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 唯一确定，这时向量OA 叫做点A 相对于点O 的位置向量.二、向量的运算（一）向量的加法1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2. 三角形法则如图，已知向量a 、ｂ在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a +ｂ，即 a +ｂAC BC AB =+=，此法则称为向量求和的三角形法则规定：a + 0 = 0 + a 3. 平行四边形法则以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形，则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和.注：①向量加法的三角形法则，既适用于两向量不共线，也适用于两向量共线．而平行四边形法则只适用于两向量不共线，当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性．因此两种法则都应熟练掌握.②两个向量的和仍是一个向量. 探究：1°. 当向量a 与b 不共线时，+a b 的方向与a ，b 都不相同，且+<+a b a b ； 2°. 当向量a 与b 同向时，+a b ，a ，b 都同向，且a b a b +=+；3°. 当向量a 与b 反向时，若a b >，则+a b 的方向与a 相同，且a b a b +=-；若a b <，则+a b 的方向与b 相同，且a b b a +=-；若a b =，则a b +=0．4. 向量求和的多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量.这种法则叫做向量求和的多边形法则.即5. 向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a 的和有a 00a +=+，（2）向量加法的交换律和结合律（3）三角形不等式：对于任意两个向量b a,，都有b a b a b a +≤+≤-. （二）向量的减法1. 向量减法运算的几何意义如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-，即a b -可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.注：①两个向量的差仍是一个向量；②要注意向量加法运算的三角形法则与减法运算的三角形法则的区别； ③由向量的加、减法，可以得出两个常用的结论：首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为0，即：-+++++=122334110…n n n A A A A A A A A A A . 平行四边形ABCD 中，有AB AD AC +=，AB AD DB -= 2. 相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -．注：①a 与a -互为相反向量；②-=00；（三）向量的数乘运算1. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，它的长度与方向规定如下： ①λλ=a a ；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反．特别地，当0λ=时，a λ=0.2. 向量数乘运算的运算律：设λμ，为实数，a b ，为向量，则有 ①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； ③()a b a b λλλ+=+（第二分配律）；特别地，有()()()a a a λλλ-=-=-；()a b a b λλλ-=-．注：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a b ，，以及任意实数λμμ12，，，恒有()a b a b λμμλμλμ±=±1212.3. 平行向量的基本定理；如果a =λb ,则a ∥b ；反之,如果a ∥b ,且b ≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb .单位向量：给定一个非零向量a ,与a 同方向且长度等于1的向量,叫作向量a 的单位向量.（四）轴上向量的坐标运算1. 轴；规定了方向和长度单位的直线叫做轴.如图所示.2. 轴上向量的坐标在轴l 上取单位向量e ,使e 的方向与l 相同，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a =x e ，x 叫做a 在l 上的坐标.当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数；e 叫做轴l 的基向量.a 叫轴l 的轴上向量.小结；实数与轴上的向量建立起一一对应关系，于是可用数值表示向量. 3. 轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 4. 轴上向量的坐标公式，数轴上两点间的距离公式公式（1）AB +BC =AC公式（2）AB =x 2－x 1（轴上向量坐标公式）即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式（3）|AB |=|x 2－x 1|知识点一：平面向量的基本概念例1. 给出下列命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③若,a b b c ==，则a c =； ④若//,//a b b c ，则//a c其中所有正确命题的序号为 .思路分析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，与起点、终点的位置无关，故①不正确；当DC AB =时，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；由b a =，则a b =，且a 与b 的方向相同；由b c =，则b c =，且b 与c 的方向相同，则a 与c 的长度相等且方向相同，故c a =，③是正确的；对于⑷，当0=b 时，a 与c 不一定平行，故④是不正确的.所以正确命题的序号为⑶. 解题过程：③解题后思考：对向量的相关概念要充分理解.知识点二、向量的线性运算例2. 下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a +的方向必与b a ,之一的方向相同； ②在ABC ∆中，必有0=++CA BC AB ；③若0AB BC CA ++=，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若b a ,均为非零向量，则a b +与a b +一定相等. 其中真命题的个数为（）个 A . 0 B . 1 C . 2 D . 3思路分析：①假命题，当0a b +=时，命题不成立.②真命题. ③假命题，当A 、B 、C 三点共线时，也可以有0AB BC CA ++=. ④假命题，只有当a 与b 同向时相等，其他情况均为a b a b +>+. 解题过程：B解题后思考：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例3. 已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,a b c ，则向量等于（）A . a b c ++B . a b c -+C . a b c +-D . a b c --思路分析：如图所示，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,，结合图形有：OD OA AD OA BC OA OC OB a c b=+=+=+-=+-解题过程：B解题后思考：灵活掌握向量加法、减法的三角形法则的应用，相等向量是指长度相等、方向相同的向量，与它的位置没有关系.例4. 在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝（）A . 23b +13cB . 53c －23bC . 23b －13cD . 13b +23c思路分析：BC →＝AC →－AB →＝b －c ，BD →＝23BC →＝23（b －c ），∴AD →＝AB →+BD →＝c +23（b －c ）＝23b +13c解题过程：A解题后思考：向量的线性运算是以三角形为载体的，合理掌握向量加法、减法、数乘运算的几何表示.例5. 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100公里到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒走了200公里到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ；（2）求AD .思路分析：解答本题应首先确立指向标，然后再根据行驶方向确定出有关向量，进而求解. 解题过程：（1）如图所示.︒50西A东南北B C D（2）由题意易知，AB 与CD 方向相反，故AB 与CD 共线.又AB CD =，∴在四边形ABCD 中，//AB CD 且AB CD =， ∴四边形ABCD 为平行四边形. 故200AD BC ==（公里）.解题后思考：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.知识点三、平面向量的共线定理例6. 如图所示，在OAB ∆的边OB OA ,上分别有一点M 、N ，已知2:1:=MA OM2:3:=NB ON ，连结AN ，在AN 上取一点R ，满足1:5:=RN AR .⑴用向量OB OA ,表示向量BR ； ⑵证明：R 在线段BM 上.思路分析：在三角形中合理运用向量的运算的三角形法则，而且可以把三点共线问题转化为向量共线问题.解题过程：⑴∵2:1:=MA OM ， ∴13OM OA =∵2:3:=NB ON ， ∴35ON OB =∵1:5:=RN AR ， ∴6AR AN =又35AN ON OA OB OA =-=-∴1526AR OB OA =-，∴()15112662BR AR AB OB OA OB OA OA OB ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭. ⑵ ∵1162BR OA OB =- ∴2=， ∴R 在线段BM 上.解题后思考：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.例7. 设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB →＝a +b ，BC →＝2a +8b ，CD →＝3（a －b ），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k ，使k a +b 和a +k b 共线．思路分析：利用向量共线定理可以处理平面中三点共线的问题解题过程：（1）∵AB →＝a +b ，BC →＝2a +8b ，CD →＝3（a －b ），∴BD →＝BC →+CD →＝2a +8b +3（a －b ）＝2a +8b +3a －3b ＝5（a +b ）＝5AB →. ∴AB →、BD →共线．又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．（2）解答：∵k a+b 与a+k b 共线，∴存在实数λ，使k a+b ＝λ（a +k b ），即k a+b ＝λa+λk b ，∴（k －λ）a ＝（λk －1）b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.解题后思考：向量的线性运算的结果还是一个向量，本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k 的方程，用待定系数法解决问题.知识点四、轴上向量的坐标运算例8. 选择题：（1）给出下列3个命题：①单位向量都相等；②单位向量都共线；③共线的单位向量必相等．其中正确命题的个数是（）个A . 0B . 1C . 2D . 3（2）已知a ＝e 1+2e 2，b ＝3e 1－4e 2，且e 1、e 2共线，则a 与b （）A . 相等B . 共线C . 不共线D . 不能确定（3）设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是（）A . ||a ae =B . a ＝｜a ｜eC . a ＝－｜a ｜eD . a ＝±｜a ｜e思路分析：根据单位向量以及轴上向量坐标运算的定义正确判断有关命题的对与错，主要考查对概念的正确理解.解题过程：（1）A ；（2）B ；（3）D解题后思考：单位向量与零向量是两个特殊的向量，它们之所以特殊，是因为它们的方向是任意的.平面向量的知识，要注意与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，以便站在新的高度来认识和理解向量.（答题时间：45分钟）1. 已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（） A . |a |－|b |=|a －b | B . |a |－|b |=|a +b | C . |a |+|b |=|a －b | D . |a |+|b |=|a +b |2. 设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==，则这个四边形是（） A . 平行四边形 B . 矩形 C . 等腰梯形 D . 菱形二、填空题3. 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a =|a |·0a ；②若a 与a 0平行，则a =|a |·0a ；③若a 与0a 平行且|a |=1，则a =0a .上述命题中，假命题个数是____________. 4. 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么O 点的位置为___________.5. 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，x 满足方程2x -（5a +3x -4b ）+21a -3b =0，则x =__________.（用a 、b 表示）6. 在四面体O-ABC 中，OA ,OB ,OC ,D a b c ===为BC 的中点，E 为AD 的OE =____________（用a ，b ，c 表示）.三、解答题7. 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：（1）AB BC CD ++，（2）DB AC BD ++，（3）OA OC OB CO --+-. 8. 如图，平行四边形OADB 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设OA ,OB ,,OM,ON,MN a b a b ==试用表示9. 设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果121212AB 23,BC 623,CD 48e e e e e e =+=+=-（1）求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知121212AB 2k ,BC 3,CD 2e e e e e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值.10. 已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=.一、选择题1. C2. C二、填空题3. 3个4. AD 的中点5. 92a b-+6. 111244a b c ++三、解答题7. （1）原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=；（3）原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=. 8. 解：()()11111BM=BC=BA,BM=BA=OA-OB =36666a b ∴-()()222ON=OD=OA+OB 333a b ∴=+ 11MN=ON-OM 26a b ∴=- 9. 解：（1）证明：因为1212BC 623,CD 48e e e e =+=-所以12BD 1015e e =+又因为12AB 23e e =+得5BD AB =即//BD AB又因为公共点B所以,,A B D 三点共线；（2）解：DB=CB-CD 324e e e e e =+-+=-122121e e --12AB 2k ,e e =+因为,,A B D 共线，所以//AB DB .设DB AB λ=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=3423k λ 即34=k 10. 分析；构造三角形,利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=和EF FB EB +=可得，EA AB EF FB +=+ （1）由ED DC EC +=和EF FC EC +=可得，ED DC EF FC +=+ （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++ （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=，0FB FC +=，代入（3）式得，2AB DC EF +=点拨；运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.。

高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________．考点二平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于（）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量. 【对点训练】给出下列六个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________． [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.[答案] (1)D (2)12 －16[解析] (1)由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使 c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]. 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【类题通法】共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．【对点训练】1．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.2．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [答案] 12[解析] ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.。

高一数学平面向量知识点

高一数学平面向量知识点数学是一门学科，它是理性思维与逻辑推理的产物。

高中数学的学习内容繁多，其中平面向量是其中一项重要的知识点。

本文将围绕高一数学平面向量知识点展开探讨，从基本定义、向量运算、向量的线性运算等多个方面进行阐述。

一、平面向量的基本定义平面向量是高中数学中的重要概念，它是用有向线段表示的。

在平面直角坐标系中，平面向量通常用坐标表示。

一个平面向量就是有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。

二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指将一个向量的终点连接到另一个向量的起点，形成一个新的向量。

向量相加满足两个重要的运算规律：交换律和结合律。

具体计算时，可以将向量表示为坐标形式，按照坐标对应相加即可。

2. 向量的数乘向量的数乘即将向量的长度进行伸缩，同时也会改变向量的方向。

具体而言，数乘一个正数会使向量变长，并保持方向不变；数乘一个负数会使向量反向，并保持向量的长度不变。

3. 向量的减法向量的减法是指将减数的终点连接到被减数的起点，形成一个新的向量。

具体计算时，可以将向量表示为坐标形式，按照坐标对应相减即可。

4. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用两个竖线表示。

计算向量的模可以使用勾股定理，即将向量的坐标平方求和后再开方。

三、向量的线性运算向量的线性运算是指向量相加、数乘的运算法则，也称为向量的代数运算。

具体而言，线性运算包括向量的加法、数乘，以及与实数之间的运算。

对于向量的线性组合问题，可以通过线性运算来求解。

四、重要的向量关系1. 零向量零向量是指模为0的向量，它的所有分量均为0。

零向量在向量的加法和数乘运算中起着重要的作用。

2. 平行向量两个向量如果有相同的方向或相反的方向，则称这两个向量为平行向量。

平行向量的长度可以不同，但它们的方向相同或相反。

3. 共线向量三个或更多个向量如果在同一条直线上，则称这些向量为共线向量。

共线向量的方向可以不同，但它们在同一直线上。

4. 垂直向量两个向量如果它们的夹角为90度，则称这两个向量为垂直向量。

高一数学必修四第二章平面向量章末总结

高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。

在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。

下面我将对这一章内容进行总结。

第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。

平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。

平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。

平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。

平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。

平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。

第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。

加法和数乘的运算统称为线性运算。

数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。

第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。

高中数学必修4平面向量知识点

高中数学必修4平面向量知识点平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，是同学们学习数学的一个重点，下面是店铺给大家带来的高中数学必修4平面向量知识点，希望对你有帮助。

1.平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2.平面向量运算加法与减法的代数运算：(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

(1)| |=| |·| |;(2) 当 a>0时，与a的方向相同;当a<0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .(2) 若 =( ),b=( )则‖b .3.平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得 = e1+ e2.4.平面向量有关推论三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

平面向量概念及线性运算知识点及习题

平面向量的概念、线性运算及坐标运算【知识网络】【考点梳理】考点一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段AB u u u r表示，其中A 为起点，B 为终点. 向量AB u u u r的长度|AB |uuu r 又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与a r 长度相等，方向相反的向量叫做a r的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.要点诠释：①有向线段的起、终点决定向量的方向，AB u u u r 与BA u u u r表示不同方向的向量； ②有向线段的长度决定向量的大小，用|AB |uuu r 表示，|AB ||BA |=u u u r u u u r.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关. 考点二、向量的加法、减法 1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD 中（如图），向量AD u u u r 与AB u u u r的和为AC uuu r ,记作:AD AB AC +=u u u r u u u r u u u r .（起点相同）平面向量平面向量的概念平面向量的坐标表示平面向量的基本定理平面向量的线性运算2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:AB DC =u u u r u u u r ，即在ΔADC 中，AD DC AC +=u u u r u u u r u u u r.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量AB u u u r 的和等于AB u u u r.3. 向量的减法向量AB u u u r 与向量BA u u u r 叫做相反向量.记作:AB BA =-u u u r u u u r . 则AB CD AB DC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r .要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”. 要点三、实数与向量的积 1．定义：一般地，实数λ与向量r a 的积是一个向量,记作λra ，它的长与方向规定如下：（1）||||||λ=λ⋅r ra a ；（2）当λ>0时，λr a 的方向与r a 的方向相同；当λ<0时，λr a 的方向与r a 的方向相反；当λ=0时，0λ=r r a ；2．运算律设λ，μ为实数，则（1）()()λμ=λμr ra a ；（2）()λ+μ=λ+μr r ra a a ；（3）()λ+=λ+λr r r ra b a b3．向量共线的充要条件已知向量r a 、r b 是两个非零共线向量，即//r r a b ，则r a 与rb 的方向相同或相反. 向量(0)≠r r ra a 与rb 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λr r b a .要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当0λ=时，0λ=r r a ；当0=r r a 时，也有0λ=r ra ；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 考点四、平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量i r ，j r为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量r a 表示成x y =+r r ra i j 的形式，由于r a 与数对（x,y ）是一一对应的，因此把（x,y ）叫做向量r a 的坐标表示.2．平面向量的坐标运算已知11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=rb ，则（1）1212(x x ,y y )±=±±r ra b （2）11(x ,y )λ=λλra3．平行向量的坐标表示已知11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，则1221//x y x y 0⇔-=r r a b （0→≠r b ）要点诠释：①若11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，则//r r a b 的充要条件不能表示成1122x yx y =，因为22x ,y 有可能等于0，所以应表示为1221x y x y 0-=；同时//r ra b 的充要条件也不能错记为1122x y x y 0-=，1212x x y y 0-=等.②若11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=rb ，则//r r a b 的充要条件是=λr r b a ，这与1221x y x y 0-=在本质上是没有差异的，只是形式上不同. 【典型例题】类型一、平面向量的相关概念例1. 下列说法中正确的是① 非零向量r a 与非零向量r b 共线，向量r b 与非零向量r c 共线，则向量r a 与向量rc 共线；② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③ 向量r a 与r b 不共线，则r a 与rb 所在直线的夹角为锐角；④ 零向量模为0，没有方向；⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦ 若非零向量AB u u u r 与CD uuur 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。

乐思教育高一下学期(必修四)平面向量的意义、线性运算、基本定理及坐标

第四周练习重点知识1、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+r r rr r r．（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）⑷运算性质：①交换律：a b b a+=+r rr r；②结合律：()()a b c a b c++=++r rr r r r；③00a a a+=+=r rr r r．⑸坐标运算：设()11,a x y=r，()22,b x y=r，则()1212,a b x x y y+=++rr．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y=r，()22,b x y=r，则()1212,a b x x y y-=--rr．设A、B两点的坐标分别为()11,x y，()22,x y，则()1212,x x y yAB=--u u u r．巩固练习1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的是()A．向量AB→∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0 D．共线向量是在一条直线上的向量4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是()A.AB→＝CD→，BC→＝AD→B.AD→＋OD→＝DA→C.AO→＋OD→＝AC→＋CD→D.AB→＋BC→＋CD→＝DA→5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝b D．a，b无论什么关系均可6．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()brarCBAa b C C-=A-AB=Bu u u r u u u r u u u rrrA.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →7．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)8．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上9．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2 C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D ．e 1＋e 2，e 1－e 2 10．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)11．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2)12．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向13. 设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________；(3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.14．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)15．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．16．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.17. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA →②－BC →－12BA →③BC →－12BA →④BC →＋12BA → 18．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．19．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.20. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．21. 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c－a ＝OA →.22. 如图所示，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.23．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．24．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．。

高一必修4平面向量的概念及线性运算--------

平面向量的线性运算知识点：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．运算律设为实数结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.经典例题透析类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；(3)若，则(4)两向量相等的充要条件是且.举一反三：【变式1】下列说法正确的个数是( )①向量，则直线直线②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既是有向线段；④在平行四边形中，一定有.A.0个B.1个C.2个D.3个类型二：向量的线性运算2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示举一反三：【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.1．在矩形ABCD 中，3=，1=，则向量)(++的长等于（）（A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）42．下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：mb ma b a m -=-)(② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有na ma a n m -=-)(③ 若)(R m mb ma ∈=，则有b a =④ 若)0,,(≠∈=a R n m na ma ，则n m =其中正确命题的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用a b 、表示）4若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋DC ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC ＋AD ；③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝ ( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D. BC ＋12BA 6．如图，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC ，AB 的中点，已知＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .1答案: D 。

数学必修四第二章平面向量知识点

数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。

2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。

3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。

4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。

5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。

6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。

7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。

8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。

9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。

10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。

11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。

12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。

13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。

14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。

15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。

这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。

高中数学人教版必修四第二章平面向量的线性运算

A、AD 1 AB 4 AC 33
C、AD 4 AB 1 AC 33
B、AD
1 3
AB
Байду номын сангаас
4 3
AC
D、AD 4 AB 1 AC 33
M A
B
C
D
N
AD AM AN 1 AB 4 AC 33
变式1：设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 OA OB OC OD 等于（）
自我检测：
4、在平行四边形 ABCD中，AB AD AB AD ，则必有（ C ）
A. AD 0 B. 四边形 ABCD是菱形 C. 四边形 ABCD是矩形 D. 四边形 ABCD是正方形
1、平面向量的线性运算及基本定理的应用
例1 （2015全国）设 D 为 ABC 所在平面内一点，
BC 3CD，则（）
BM _____53____ AB
MB 3
自我检测：
3、设 e1、e2 是两个不共线的向量，则下列各组
向量中，不能作为该平面内所有向量的一组基底的是___(_2_)__(4_)____.
(1)3e1,2e2
(2)0,e1 e2
(3)e1 e2 ,e1 e2 (4)e1 2e2,2e1 4e2
问题1：我们已经学习过向量的哪些运算？它们的运算结果是什么？
加法、减法、数乘三种运算线性运算的结果都是向量. 共线向量定理：
向量a(a 0) 与 b 共线，当且仅当存在唯
一实数，使__b_____a__.
平面向量基本定理：
设 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于该平面内的任意向量 a ，有且只有

高一必修4平面向量的概念及线性运算教学提纲

高一必修 4 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算一、目标认知学习目标：1•了解向量的实际背景•2•理解平面向量和向量相等的含义.3•理解向量的几何表示.4•掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.5•理解两个向量共线的含义.6•了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.二、知识要点梳理知识点一：向量的概念1 .向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2 •向量的表示方法:(1)字母表示法：如“：等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.(3)向量的有关概念向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）.规定：：;与任一向量共线.要点诠释：1 •数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3 •平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加（减）法运算1. 运算法则：三角形法则、平行四边形法则2. 运算律：①交换律②结合律：要点诠释：1. 两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.2. “ 心」「探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.1 .实数与向量的积：实数一-与向量耳的积是一个向量，记作：•⑴丁 =二：；⑵①当「：时，讦的方向与，的方向相同；②当•时的方向与的方向相反;③当丄时，—.2.运算律：设为实数3 •共线向量基本定理：非零向量去与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数「，使「•结合律:要点诠释：；；说4一，氷“片是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一•三、规律方法指导1. 向量的线性运算(1) 在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2) 向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.经典例题透析类型一：向量的基本概念例1 .判断下列各命题是否正确：(1) 若习，贝「；⑵若A B C D是不共线的四点，贝U 是四边形’「为平行四边形的充要条件；(3) 若==，贝U -⑷ 两向量相等的充要条件是耳胡且二.思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量•解析：⑴ 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由厂时推不出•(2) 正确，》〒冃| □且f亍.又A B C D是不共线的四点，四边形二：是平行四边形，则—匸「且匚与「方向相同.因此二=「(3) 正确，- 的长度相等且方向相同；又--■-的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同•故•⑷不正确，当；但方向相反时，即使沪汁，也不能得到-■，故不是「的充要条件.总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.举一反三：【变式1】下列说法正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个①向量；u，则直线「直线丄②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等;③向量—既是有向线段'■；④在平行四边形：一中，一定有」=匚".【答案】C类型二：向量的线性运算思路点拨：禾I」用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成•….V - - A P DB = Ah&AD -林解析：在「中：. :- ■ .: : ■■1 .:总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，△二订中，点二是"的中点，点打在边V上，且f，"与L相交于点「，求:r的值.【答案】解：（如图）设r = 土，则云-…-J J.-一■■■■..'和一：.分别共线， ...存在…三使，-..-，-: 故丈=7? 「..二■■:，而.由基本定理得类型三：共线向量与三点共线问题例3•设两非零向量和-不共线，⑴如果二》二二；一二--「•求证「-…三点共线⑵试确定实数，，使和共线.思路点拨：要证明：三点共线，须证存在「使駆即可.而若和… 共线，则一定存在J ,使注-* =心…;.解析：（1）证明 ■ ■ ' 1 ■ - ■■-二二共线，又有公共点点,三点共线•（2）解•.•囲总和办玩共线，二存在丸，使圧+“斫+砖，贝q 一勺彳=皿-1跖由于石和苏不共线，只能有贝卜=二:.总结升华：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线=存在门使•（正用与逆用）举一反三：【变式1】设「和二是两个不共线的非零向量，若向量 -'-■--，试证明：A 、C 、D 三点共线. •••「-与:••共线，••• A 、 C 、D 三点共线.类型四：综合应用例4•在-二「中，…厂分别为三边•“ 上的动点，且在-时，分别从A, B, C 出发，各以一定的速度沿各边向B, C, A 移动，当t=1时，分别到达B ，C, A ,求证：在'的任何一时刻t ，---•的重心为G.解析：设习=：亦“亟=沁迹的重心为G.由已知点D, E , F 在边AB BC , CA 上的速度分别是.W 三丽斗丽二-必*二-（；+（』二】氏丽二W+ BS 三 DG= -■ -（DF 亠口& = 1[洁 +非_ 1）3 4-C1 - 2f ）r]在任意时刻时，有AD -ic.SE -区总结升华：熟练地进行向量的线性运算是解决本题的关键，另外朮-洱亦应该熟练记忆并灵活运用举一反三：【变式1】如图，已知点 …分别是-•三边的中点,—t-i*-、~r* I, ■ & 亠求证：一一一，一.【答案】证明：连结二因为一"分别是三边的中点，所以四边形平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得——一(1),同理在平行四边形代彩中， --------- (2)，在平行四边形型^在中,匸壬厂⑶ 将 ⑴(2)(3) 相加，得曲+袒+厉=可+西十可+廝+宓+甸=(丽+画+ ®5+画+(丽+丽)=6基础达标：1. 下面的几个命题：①若泪-「滋找； ②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； ③若「满足帖且-与匸同向，则…；④由于「方向不定，故-不能与任何向量平行；⑤ 对于任意向量必有爪耶円珥冈.其中正确命题的序号是：()A.①②③ B.⑤ C.③⑤ D.①⑤ Jit? -■ /1J J' + DC? E tr < + (i - VjS *(1 -创Jej — ^1 26 j 元为一确定向量. m 的重心不变.2. 在正六边形ABCDE中，O为其中心，贝‘几匚二贡东—；A.「-’ B.戸C.疋D.3. 如图所示，D E、F分别是△ ABC的边AB BC CA的中点，则厂…=()A. =B.C.：- DF4. 若 ■■是不共线的任意三点，贝U 以下各式中成立的是（）A.訝-矛+方B .^ = _一：俪C.丽=-声-西 D .1^= OF 卞5. 如图，在平行四边形 ABCD 中M N 分别是DC BC 中点，已知曲丑;，用」表示元6. 设是两个不共线向量，则向量一“gm 与向量⑺：二共线的充要条件是7. 一条渔船距对岸4km 以2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km,求河水的流速.8. 如图，D E 是厶ABC 中 AB AC 的中点，M N 分别是DE BC 的中点，已知_ =二，试用二「分别表示'7=|".基础达标答案与解析:1. B 【思路分析】向量的概念3.D 【思路分析】•••」「「- = - ' = ■，由三角形中位线定理，故选D. 5.【思路分析】设乓"三」，M N 为DC BC 中点，，在厶ABN 中厶ADM 中① ’：② 解①②：曲“ 山曲・护：： 6.【思路分析】由以不共线，必有―:=1故2.B 【思路分析】■--'.Il I-■故选B.4.B 【思路分析】向量的加、减法法则【思路分析】如图，设衽表示船垂直于对岸的速度，.旺表示水流的速度，则由就是渔船实际航行的速度，航行的时间为在fihABC中L训-加山-皿|= 2亠畑心|咼-8.【思路分析】向量的加、减法法则解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC亦可皿申?・¥略迅+評"护吟■沪能力提升:1. 已知向量，，且则一定共线的三点是（）A.A、B、DB.A、B CC.B 、C、DD.A、C D2. 已知“则,*7：匚是A、B、C三点构成三角形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件3. 已知向量：「「— C =若匚与二共线，则（）A.=4. 若■■- - ■■- ■…-则，（用・表示）5. 已知在△ ABC中, D E、F分别是BC CA AB的中点，求证：⑴丽卅孟；（2）珂拥；⑶芬赫帀=工6. 已知△ OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将匸分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E,设三=；“.（1）用「与表示无-⑵若-■^■■■，求实数丄的值.B.能力提升答案与解析:1. A【思路分析】二二二-二.A、B、D三点共线.2. B3. D【思路分析】非零向量二与「共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数门，使•=丄：与任一向量共线.4•黑*【思路分析】—m 诃，整理得⑶巫=益十敲不=抚-77两式相加得：观匚甜十疋+副MTk血+M.同理,= BC +BA,2CF = C2 + CB.：. AD + SE + CF = Q6.解（1）T A是BC中点，••• 2亍=卡「，而_ ■-■, 陀心皿d"?（2）设DE =施皿侧馆■ DE-皿工2—（:2" 级+ & •. •帝=盘：共线.•.存在实数k 使西=一：：旋，4折壽“:亦尹综合探究:IC.3.设•是两个不共线的向量，则向量与向量一「E共线的充要条件是（）4. 已知正方形ABCDfi长为1, —贝U 的模等于（）A.0B.3C. •D.5. 两个非零向量相等是两个向量相等的___________________ 件.6. 如图所示，已知一点0到平行四边形ABCD勺三个顶点A B C的向量为，则」7. 若非零向量、■-满足丨二-「二| - |，则（）5.(1)1.下列命题中，真命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3① I I' I •宀方向相同③厂弘卩胡二帧有相等的模②八円—亠方向相反④■'!"■ - :-「方向相同2.在二二〔中，已知丄是三边上一点，，A.A.k=OB.k=1C.k=2D.k=)B. | 2- |v| • • -2匸 |C. | 2 | >| 2；-匸 |D. | 2 |v|2 二-三 |综合探究答案与解析：1.C 【思路分析】①②对 ③④错.2. A 【思路分析】在厶ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若-=2-，琢紳-碎，则3.D 【思路分析】：•共线，设='，即-*兀“耳运二杯;•/ •为不共线向量，•一上-且4. C 【思路分析】正方形 ABCD 边长为1 "I ■' L ''l J — “二I ；肚.5.必要不充分条件【思路分析】，••向量为矢量，向量相等包括大小、方向两方面.6.耳+•:-7【思路分析】T 傅二jij - OA 1 試:-'J .；A +oc J 』=7. 解：若两向量共线，则由于L ■>是非零向量，且卜止卜，则必有：=“；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足 OB=AB=BC 令二⑺了，贝q 二…，.•〒 = ：-：且；又 BA+B O AC 7TL ,.••忡龙弱，选 A.A. | 2 |>| 一 -2^ | ：「•；、- ■:' ■< :-，••• 选 A.。

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。

它通常用有序数对表示，即(x,y)。

其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。

平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。

1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。

数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。

3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。

减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。

用符号表示为A·B。

数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。

除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。

2024年新高考版数学专题1_6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

零向量和共线向量不能作基底.
2.平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
3.向量的坐标表示
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB
=(x2-x1,y2-y1).
1 2
( BD
- BA )= BA +
1 4
BC
-
1 2
BA =
1 2
BA +
1 4
BC
,∴D
错误.故选AC.
答案 AC
考法二向量共线问题的求解方法
1.两非零向量共线是指存在实数λ,使两向量可以相互表示,在应用时注意
待定系数法和方程思想的应用.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线和三点共
λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
2.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
考点二平面向量基本定理及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1、e2}叫做表示这个平面内所有向量的一个基底.
答案 6
高考数学
专题六平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
考点一平面向量的概念及线性运算 1.向量的线性运算