数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合
它山之石,可以攻玉——由一道数学问题解答的改进谈数形结合的思想
上． 发挥几何商观 的作用 ，利用 数形结合 可知， 当动圆 与 ｘ轴相切时 （ 圆心在第
一
转化。比如某些代 数问题 、 三角问题 、 向量问题往往都 有几 何背景 。 而借助
可使那些抽象的概念 、 复杂 的数量 关系变得直观 ， 以便 象 ） 应 要 与 轴 切 圆 在 三 限 对 的 ＝ 故 其背景图形的性质 ， 限 对 的 ＝ ， Ｙ 相 时（心 第 象 ） 应 竿。 欲
取值范 围是— — 。
而且也是一种重要的思维 方法 ， 因此它在 中学数学中占有重要的地位。 在使用的过程中， 数形结合的基础是做 图要基本 准确 ， 切忌随手作 图； 在辅导资料中的，由题意知，动圆是以ｆｃｓ ，ｓ ｔ 为圆心 １ ２ｏ ａ２ｉ ｌ ｎ ， ） 为半径的圆，经 数形结合的关键是 挖掘 图形的几何属性 ， 切忌只重 数量关系而忽视位置 关
当时解 决问题的过程 依然历历在 目． 这道题 目是在学 习了圆的方程之 后出现 过进一 步的分析 我发现圆心 又是圆的参 数方程 且在 以瓯点为圆心 ２为半径的 圆 ’
系 。 一般 由 “ ” “ ” 形 到 数 的转 化 ， 往 比 较 明显 ， 由 “ ” “ ”的转 化 却 往 而 数 到 形 需 要 转 化 的 意识 。 因此 ． 形 结 合 的 思 想 的 使 用往 往 偏 重 于 “ ” “ ” 数 数 到 形 的
◆ ◆ ◆
它 山之 石 ，可 以 攻 玉
由一道数 学 问题 解答的改进谈数形 结合的思想
◆ 何永花
（ 甘肃兰州市第三十 四中学 ）
Hale Waihona Puke 【 摘要】华罗庚先生曾说 ， 数缺形 时少直观 ， 少数时难入微 ， 形 数形结合 百般好 ， 隔离分 家万事休。 尤其在几何教 学中， 应借助几何直观揭 示几何要素之间的关系； 在其它 内容的学习中， 也应借助几何直观揭示研 究对象的性质和 关系。本文通过几何直观对一道数 学问题的解
高考数学理二轮专题复习典型例题在线：专题30 数形结合的思想方法
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即 122cos 4 d2a2c 2b2，
所以 cos2 21cos2 a2c 2b2，
命题得证.
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(6)利用“正余弦定理”构图 例 6 求 s i n 2 2 0 c o s 2 5 0 s i n 2 0 c o s 5 0 的 值 ． 解析:将原式变形为 sin2 20 sin2 40 2sin20 sin40cos120， 于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分 别为20、40、120，并设此三角形外接圆直径为1， 则此三角形三边长分别为sin20、sin40、sin120，
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因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，
从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)．
点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相 同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函 数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特 殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点 即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：
例 1求 函 数 fxx24x13x212x37
的 最 小 值 ．
-
4
解析：将函数式变形，得
f x x2 4x 13 x2 12x 37
x 22 0 32 x 62 0 12，
设A2,3，B 6,1，P x,0，则上述问题转化为求
-
PA PB 的最小值，如图点A关于x轴的对称点为 C (2， 3)，因为 PA PB PC PB BC 4 2，
由余弦定理可得 sin2 20 sin2 40 2sin20sin40cos120 sin2120 3 .
上海东方中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<3．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.34．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．125．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +<7．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c8．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --9．设()21,xf x c b a =-，且()()()f a f c f b >>，则下列说法正确的是（ ） A ．0,0,0a b c <<< B ．0,0,0a b c ≥C ．22a c -<D ．222c a +<10．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤11．函数213()log 4f x x =-的单调减区间是（ ）A ．(]()2,02,-+∞B ．(]2,0-和(2,)+∞ C ．(),20,2[)-∞-D ．(,2)-∞-和[0,2)12．设()lg (21)fxx a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)二、填空题13．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 15．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.16．已知函数()()212log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______. 17．函数1()a x f x x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点，其坐标为_____________.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 19．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______． 20．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.三、解答题21．（1）设0,0,m n x >>=化简A = （2）求值：1log log m m b a a b ⋅；（3）设 2()2log (19),f x x x =+≤≤ 求()22()()g x f x f x =+的最大值与最小值.22．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22th x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围. 23．计算下列各式的值：（1）0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）3ln 2145log 2lg 4lg 82e +++ 24．已知函数()(0,1)x f x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x=的图像相交于(2,)n .（1）求()f x 的表达式；（2）函数22()log ()5g x f x x =+-，求满足()g x x <的最大整数.25．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()2log g x x =. （1）若()22g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）当[]1,1x ∈-时，函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1，求实数a 的值.26．（1）0160.25371.586-⨯-+-⎫⎛ ⎪⎝⎭（2）1324lg lg82493-+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较．【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．3．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.4．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx=时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.5．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=， a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．7．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.8．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算9．D解析：D 【详解】分析：先画出函数()21xf x =-的图像，根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a ＜0，b ＞0，c ＞0,再找正确的选项. 详解：作出函数()21xf x =-的图像，因为c b a >>且()()()f a f c f b >>， 所以a ＜0， c ＞0,因为()()f a f c >，所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a ＜0，b ＞0，c ＞0.10．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤<故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.11．B解析：B 【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->，所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞，令()24u x x =-，13log y u =在()0,∞+上单调递减， 当(),2x ∈-∞-时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当(]2,0x ∈-时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 当()0,2x ∈时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 综上可知：()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.12．A解析：A 【解析】 试题分析：由()lg (21)fxx a =-+为奇函数，则()()f xf x -=-，可得1a =-，即()lg 11f x xx =+-，又()0f x<，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．二、填空题13．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故解析：6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．14．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属解析：8 【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.16．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析：1或2 【分析】 因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，分两种情况讨论，对称轴1x =和对称轴1x a =>，分别计算可得； 【详解】 解：因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，①当函数()223g x x x a =-+对称轴为1x a ==时，因为()22430∆=--⨯<，所以2230x ax -+>恒成立，满足条件，②当函数()223g x x x a =-+对称轴1x a =>时，需满足()10g =，即21230a -+=解得2a =；综上可得1a =或2 故答案为：1或2 【点睛】本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.17．（12）【分析】根据幂函数以及指数函数性质直接缺定点坐标【详解】因为所以当时即恒过定点（12）故答案为：（12）【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点考查基本分析求解能力属基础题解析：（1，2） 【分析】根据幂函数以及指数函数性质，直接缺定点坐标. 【详解】因为0=111=a a ，，所以当1x =时(1)2f =，即()f x 恒过定点（1，2） 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根 解析：21-【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.19．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.20．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()12f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====，()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()54345662f f f f f f -+-+-++++=⨯=. 故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【分析】（1）先求24x -，对m ，n 讨论，求出A ；（2）利用log =m a a m ，分别对1log log m m b a a b 、化简、求值；（3）把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()233y t =+-在()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】（1）因为22244x -=-=，所以2,m n A m n m n-==+--故，当0m n ≥>时，m nA n-=， 当0m n <<时，n mA m-= (2）()g log log log lo log log =,m m m m m m bb b a aa a m m a m •==∴，同理()l l og og m m b a b m -•= ∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m mm m m m m b a bba a mammm b-••⎡⎤-••⎢⎥⎣⎦⋅⨯即1log log m m b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log6log 6g x x x x x =+++++由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得13x ≤≤ 令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤∴()233y t =+-在()20log 3，上单增， ∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2max 22log 36log 36y ++=（） ∴()g x 的最大值222log 36log 36++（），最小值6. 【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质； (2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质. 22．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解； （2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解，即1<2t k 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于： （1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断； （2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化. 23．（1）53-；（2）172. 【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】（1）原式()()1134340.321-⎡⎤=-+⎣⎦150.32143-=-+-=-.（2）原式32ln 2322log 2515lg 4lg lg 1621828log 4e ⎛⎫=+++=-+⨯+ ⎪⎝⎭ 172=. 【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）24．（1）()4x f x =；（2）1 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，代入计算即可；（2）由（1）可得2()25g x x x =+-，因为()g x x <即225x x x +-<，解一元二次不等式即可得解； 【详解】解：（1）依题意函数()(0,1)xf x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x=的图像相交于(2,)n .()()142322f f n n ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪=⎩ 所以2416a m a m +=⎧⎨+=⎩，解得40a m =⎧⎨=⎩或37a m =-⎧⎨=⎩（舍去） 所以()4xf x =.（2）222222()log 45log 2525x x g x x x x x =+-=+-=+-，()g x x <，即225x x x +-<，即250x x +-<，解得1122x --+<<，满足条件的最大整数为1. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一元二次不等式的解法，属于基础题.25．（1）()1,+∞；（2）a =【分析】（1）由220mx x m ++>恒成立，得关于m 的不等式组，求解得答案；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()223y t a a =-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a 的值. 【详解】（1）()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++， ∵()22g mx x m ++的定义域为R ，∴220mx x m ++>恒成立，当0m =时，不符合， 当0m ≠时，满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m ， ∴实数m 的取值范围为()1,+∞；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]1,1x ∈-时，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时，可得当2t =时y 取最小值，且min 741y a =-=，解得32a =（舍去）； ②当122a ≤≤时，可得当t a =时y 取最小值，且2min 31y a =-=，解得a =a =③12a <时， 可得当12t =时y 取最小值，且min 1314y a =-=，解得94a =（舍去），综上，a =【点睛】本题考查对数函数的定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题.26．（1）110；（2）13lg5lg 222- 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即得解； （2）利用对数的运算法则即得解. 【详解】（1）原式1111323334422 ()12223()33⨯=⨯+⨯+⨯-2108110 =+=（2）原式153222124lg lg2lg(57) 273=-+⨯11(5lg22lg7)4lg2(lg5+2lg7)22=--+11(5lg22lg7)4lg2(lg5+2lg7)22=--+31lg2lg522=-+【点睛】本题考查了指数与对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.。
【中考数学】 有理数解答题(及答案)
【中考数学】有理数解答题(及答案)一、解答题1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．⑴发现问题：代数式的最小值是多少？⑵探究问题：如图，点分别表示的是，．∵的几何意义是线段与的长度之和∴当点在线段上时， ;当点点在点的左侧或点的右侧时∴的最小值是3．⑶解决问题：①. 的最小值是 ________ ；②.利用上述思想方法解不等式：________③.当为何值时，代数式的最小值是2________．2．已知式子M＝(a＋5)x3＋7x2－2x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b.（1）a＝________，b＝________．A，B两点之间的距离＝________；（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2019次时，求点P所对应的有理数；（3）在(2)的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．3．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.①用代数式表示A、B两点之间的距；②如果 ,求x的值.（3）直接写出代数式的最小值.4．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推（1）阴影部分的面积是多少？（2）受此启发，你能求出1+ 的值吗？5．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：解答下列式子：（1）比较a，，c的大小(用“<”连接)；（2）若，试化简等式的右边；（3）在(2)的条件下，求的值．6．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上对应的数为x，当时，直接写出x的值．（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．7．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足（1）求a和b的值；（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.8．点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c .（1）若a=﹣2，b=4，c=8，D为AB中点，F为BC中点，求DF的长.（2）若点A到原点的距离为3，B为AC的中点.①用b的代数式表示c；②数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式|x﹣c|﹣5|x﹣a|+bx+cx 的值都不变，求b的值.9．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5 （1）求b的值（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8?（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值.10．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝________，AC＝________，BE＝________；（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,①设AF长为 x，用含 x 的代数式表示BE的值（结果需化简）；②求BE与CF的数量关系；（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q 两点间的距离为1个单位长度．11．观察下列等式，，，把以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出： ________．（2）直接写出下面算式的计算结果： =________.12．阅读材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示数轴上与对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为-2和2，即的值为-2和2．例2：已知，求的值．解：在数轴上与的距离为2的点的对应数为3和-1，即的值为3和-1．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）（2）（3）由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．13．阅读下列材料:对于排好顺序的三个数: 称为数列 .将这个数列如下式进行计算: ，，，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列的“关联数值”.例如：对于数列因为所以数列的“关联数值”为6.进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列的“关联数值”为0；数列的“关联数值”为 3...而对于“ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.（1）数列的“关联数值”为________；（2）将“ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是________，取得“关联数值”的最大值的数列是________（3）将“ ” 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列.14．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化.（1）平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是(________)A. B.C. D.②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……，依次规律跳，当它跳2019次时，落在数轴上的点表示的数是________.（2）翻折变换①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2019的点与表示________的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________B点表示________.③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为________.（用含有a，b的式子表示）15．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是-3、1、5。
《我国著名数学家华罗庚所说数缺形时少直观,形少数时难》
我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
”。
其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题。
一、数形结合创设直观情境，培养学生发现问题的能力教学的艺术不在于传授知识的多少，而在于激励、唤醒、鼓舞。
教学中老师可以创设一种立足儿童的生活现实，贴近儿童的知识背景形象直观的情境，让学生身临其境，感受到数学的事实、实情，在情境中让学生发现问题，提出问题，从而自主地探索，提高学生解决问题的能力。
例如多媒体出示（泡沫地垫）：3块彩色小正方形表示27，大正方形的表示180根据以上信息，你能提出哪些数学问题？能解决这些问题吗？生1：每块彩色小正方形代表多少？27÷3=9生2：整个大正方形里共有几块小正方形？180÷（27÷3）=20生3：9个小正方形表示多少？27÷3×9=81从贴近学生生活中熟悉的直观图形入手，在富有开放性的问题情境中，通过数形结合，学生的思维开阔了，思维的火花闪现了，利用原有的知识结构去探究该情境中存在的数学问题，并积极地从多角度去思考问题、发现问题。
这样既培养学生的提问能力，又让抽象的数量关系、思考思路形象地外显出来，非常直观，易于小学生理解，提高了学生解决问题的能力。
二、数形结合展现思维过程，帮助学生理清数量关系在课堂教学中，我们经常发现由于年龄、知识、能力等多方面的因素影响，小学生在解决问题的时候，往往遇到这样或那样的困难或障碍。
如何突破障碍和困难呢？可以引导小学生充分利用直观的“形”，把抽象的数量关系形象具体地表示出来。
通过一些看得见、摸得着的集合图、线段图等，抽取出实际问题中的数量，并用简单图形表达这些数量之间的关系，帮助小学生理清数量关系，使复杂的数学问题直观化，为列式建造了一座“桥”。
数缺形时少直观形少数时难入微———《数与形》教学实践与思考
王陈亮———《数与形》教学实践与思考【教材与学情分析】数形结合思想是一种非常重要的数学思想，涉及到数学学习的各个领域。
我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。
”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”等抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
《数与形》是人教版六年级上册“数学广角”中的内容。
本课旨在让学生通过自主探究图形中隐藏着的数的规律，尝试应用所发现的规律解决问题，感悟数与形的广泛联系，同时在利用数形结合解决问题的过程中感悟数形结合的数学思想。
【教学过程】一、前测导入，梳理回顾师：同学们，“数与形”一直伴随着我们的数学学习，课前，我们进行了回顾与整理，下面请大家一起来欣赏同学们的作品。
课件依次出示：出示图1：师：从作品中哪里看到了数与形？生：在加减计算中，往往用图来解释计算的算理。
出示图2：师：你看到数与形了吗？生：用线段图帮助解决行程问题。
出示图3：师：这里又用到了哪些数与形？生1：用数字或者算式表示图形的规律。
生2：还可以用图形表示打电话问题中所用时间的规律。
师：在前面所学习的计算、解480千米480÷（80+60）=247（小时）甲乙1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）答：55个教例反思JiaolifanSi54. All Rights Reserved.决问题、探索规律等问题中，有时用图形表示数的规律，有时用数描述图形的规律。
今天这节课我们将继续研究“数与形”。
【设计思考：学生对于“数与形”的知识有着零散的学习经验，这些经验又是学习本课知识的重要经验基础。
在课前安排前测整理学过的“数与形”的知识，教学中基于学生已有的经验，通过呈现学生的前测材料，并且分类呈现，更有利于学生从整体上回顾“数与形”的知识，也有利于学生对本课知识的学习。
2024八年级下册期末压轴题集训(原卷版)
2024八年级下册期末压轴题集训一（原卷版）1、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）；（2）请依据（1）得到的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1；（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．2、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝AE，连接DE，BD，点F，P，G别为DE，BD，BC的中点．（1）线段PF与PG的数量关系是，位置关系是；（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；（3）若AD＝3，AB＝7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．3、经调研发现，目前市场上有A，B两种类型的笔记本比较畅销．某超市计划最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本共500本，其中B型笔记本的进货单价比A型笔记本的进货单价多3元；用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同．（1）求A，B两种类型笔记本的进货单价；（2）若A型笔记本每本的售价定为16元，B型笔记本每本的售价定为20元，该超市计划购进A型笔记本m本，两种类型的笔记本全部销售后可获利润为y元．①请直接写出y与m之间的函数关系式为：；②该超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？4、在等边△ABC中，AB＝6，点D是射线CB上一点，连接AD．（1）如图1，当点D在线段CB上时，在线段AC上取一点E，使得CE＝BD，求证：AD＝BE；（2）如图2，当点D在CB延长线上时，将线段AD绕点A逆时针旋转角度θ（0°＜θ＜180°）得到线段AF，连接BF，CF．①当AF位于∠BAC内部，且∠DAF恰好被AB平分时，若BD＝2，求CF的长度；②如图3，当θ＝120°时，记线段BF与线段AC的交点为G，猜想DC与AG的数量关系，并说明理由．5、如图，已知函数y1＝﹣x+b，y2＝mx﹣1，其中y1的图象经过点（3，0）．（1）当y1＞0时，x的取值范围是；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，求m的取值范围；（3）若m＝1，，求A、B的值．6、如图，△ABC是等边三角形，，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．（1）尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE＝AC；（2）在（1）的条件下，连接CD、DF．①求证：AE+CD＞AC；②求证：△CDF是等边三角形；③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？7、【探索发现】“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF＝45°．某同学进行如下探索：第一步：将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△CBG，且F、C、G三点共线；第二步：证明△BEF≌△BGF；第三步：得到∠AEB和∠FEB的大小关系，以及AE、CF、EF之间的数量关系；请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，将△ABP绕点B顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到△A'BP'，当P、A′、P′三点共线时，这三点所在直线与CD交于点Q，要求使用无刻度的直尺与圆规找到Q点位置，某同学做法如下：连接AC，与BP交于点O，以O为圆心，OB为半径画圆弧，与CD相交于一点，该点即为所求的点Q．请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）【拓展运用】如图3，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AD上，BP与AC交于点O，过点O作BP的垂线，交AB于点M，交CD于点N，设AP+AB＝x（2≤x≤4），AM＝y，直接写出y关于x的函数表达式．8、如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．9、【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．10、阅读材料：在数轴上，x＝2表示一个点；在平面直角坐标系中，x＝2表示一条直线；以二元一次方程x+y＝2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝﹣x+2的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x＝2及其左侧的部分；如图2，不等式y≤﹣x+2也表示一个平面区域，即直线y＝﹣x+2及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：（1）图3阴影部分（含边界）表示的是（填写不等式）表示的平面区域；（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO＝60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为．11、【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝°；【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是等边三角形ABC的边BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．12、【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．（1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是．（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．①请问两种瓷砖每块各多少元？②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元．13、在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．（1）【探索发现】如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为；（2）【拓展提升】如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）【灵活应用】当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为．14、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）将△ABC向上平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以（0，﹣1）为对称中心，画出△ABC关于该点对称的△A2B2C2；（3）经探究发现，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称，则对称中心坐标为；（4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当P A+PC＝时，∠OPC＝∠DP A．15、问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝（直接写答案）．。
“实数”中的数学思想方法
“实数”中的数学思想方法作者：田学银来源：《初中生世界·八年级》2014年第12期“实数”一章中蕴含着丰富的数学思想方法，掌握这些基本数学思想方法是学好本章相关知识的关键，也是同学们形成和发展数学能力的基础.下面将本章中常见的数学思想和方法举例如下.一、数形结合的思想我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”采用数形结合可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而化难为易，获得简便易行的成功方案.四、整体思想整体思想，即从问题的“整体”出发，根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体，从而使按常规解法不易求解的问题得到解决.经常运用整体思想解题可提高我们的观察、分析和解决问题的能力. 巧用这种思想解题，可使解题过程简捷迅速，且不易出错.例4 已知：（x+1）2=64，求x的值.解析：利用目前的知识我们还不能解决此方程，但把（x+1）看作一个整体，利用平方根的定义，先求出（x+1）的值，再求出x的值，就能使问题得以解决，但要注意一个正数的平方根有两个.解：根据平方根的定义，因为（x+1）2=64，所以x+1=±8.当x+1=8时，x=7；当x+1=-8时，x=-9.所以x=7或x=-9.五、转化的思想转化的思想是数学学习与研究的一种重要思想. 通常是把复杂问题简单化、分散的问题整体化、未知的问题熟悉化、一般的问题特殊化等. 本章中转化思想主要应用在：求一个负数的立方根时，可以转化为求一个正数的立方根的相反数；在实数的近似计算中，遇到无理数时，可根据问题的精确程度取近似值，转化为有理数的计算等.上面列举的数学思想方法是“实数”中比较突出的数学思想方法，至于建模的思想、归纳的思想、特殊值的思想也有渗透，希望同学们重视对它们的提炼、概括和应用，这样做必将对你的数学学习大有裨益.（作者单位：江苏省淮安外国语学校）。
数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合
初三教研活动评课（正果中学初三数学备课组）2012年.3月6日我们初三备课组一起参加了教研室在新塘二中举行的一课两讲。
首先是新塘二中尹老师的数形结合思想专题复习课。
这节课尹老师做了大量的准备、教学设计比较好由易到难，选题也紧扣中考针对性强。
只是对于中下生来说两个例题难度有点大，但尹老师在例题中也做了脚手架让学生更容易做。
这节课有一点瑕疵就在时间分配上。
第二位老师的教学设计也有很多值得我们学习，目标很明确、每一段练习后有知识归纳或小结给学生指明方向。
课件开头引用数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”引起学生注意和提振学习兴趣和信心。
通过这两节课我们收获不少：数形结合是数学的重要思想方法之一.数量关系和空间图形是数学研究的两上主要方面,它们之间有密切的关系,在一定条件下,它们之间可以相互转化,相互渗透.在初中数学学习中,函数是一个难点,尤其是二次函数的问题中,由于其综合性较强,更使部分同学觉得难以理解和掌握.其实,只要掌握了正确的方法,解决问题便会事半功倍.而解决二次函数问题时,数形结合便是一种重要方法.应该在这个新知识点上归纳出它的特征，并提出一些其他的特殊点，帮助学生揭示解题规律，总结解题方法，进一步提高运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
以往的习题教学考虑的是如何使学生解题、理解答案，很枯燥无味。
但是通过这堂课后，我明白了习题教学更多的是注重在现有题目的基础上进行知识的归纳与拓展，使到学生不再局限于现有的题目中，能如同新授课一样新奇、有趣。
华罗庚教授说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数
程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数
法。
Ｂ
Ｄ
1 2
必做题: P110 变式演练1、2 思考题: P111 改错题
２、直线的方程是必考内容，是基础知识之一。
３、在高考中多与其他曲线结合考查，三种题型
现，属于中低档题。
均可出
解
解
1、直线一定有倾斜角,但不一定都存在斜率；因此 在求直线方程时，一定要判断所求直线是否存在斜
率，若斜率存在时再选择适当的方程求直线方程。
２、求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方
授课人:邹海燕
华罗庚教授说过：“数 缺形时少直观,形少数时 数形结合 难入微 ,数形结合率的概念，掌握过两点的直线
的斜率计算公式。
２、掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的 关系。
考题方向：
１、以选择填空的形式考查直线的倾斜角和斜率的概念。
基于数形结合思想在小学数学教学中的实践运用探讨
基于数形结合思想在小学数学教学中的实践运用探讨作者：饶家俊来源：《速读·上旬》2018年第08期摘要：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”在小学阶段，数形结合是一种非常重要的数学思想方法，它主要通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，在小学数学教学中，可以通过数形结合引领学生探寻问题的规律、经历数学化的过程，并为学生提供疏理关系的平台、提供有效的解题策略，从而起到优化解题途径、发展学生思维能力的目的。
关键词：数形结合；小学数学；教学；运用数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一。
数和形是紧密联系的。
我们在研究数的时候，往往要借助于形，在探讨形的性质时，又往往离不开数。
小学作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的见解。
一、数形结合，引领学生探寻问题的规律数与代数是小学数学的主要研究内容，作为数学课程标准中数与代数领域内容一部分的“找规律”是义务教育课程标准实验教材新增的教学内容，在我国把这个内容列为小学数学的一个独立的教学内容尚属首次，其目标是发现给定的事物中包含的简单规律。
对于小学生来说，这个知识是比较抽象的，针对这种情况，教师应当引导学生建立起数形结合的思想方法，教会学生利用图形这种直观的辅助手段和方法来寻找规律。
二、数形结合，有利学生理解算理数学知识比较抽象，尤其是计算教学。
如何让学生更好地理解算理是每个老师在计算教学中要特别考虑的问题。
利用数形结合的方法进行计算教学，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解也很透彻，既知其然又知其所以然。
小学生的抽象思维还不很发达，他们学习抽象的数学知识还必须有直观形象的支持。
华罗庚名言数形结合百般好
华罗庚名言数形结合百般好1. 华罗庚说的关于数与形的名言是什么数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
1、科学是实事求是的学问，来不得半点虚假。
——华罗庚2、独立思考能力，对于从事科学研究或其他任何工作，都是十分必要的。
在历史上，任何科学上的重大发明创造，都是由于发明者充分发挥了这种独创精神。
——华罗庚3、凡是较有成就的科学工作者，毫无例外地都是利用时间的能手，也都是决心在大量时间中投入大量劳动的人——华罗庚4、任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。
行路，还是要靠行路人自己。
——华罗庚5、天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的。
——华罗庚6、我们最好把自己的生命看做前人生命的延续，是现在共同生命的一部分，同时也后人生命的开端。
如此延续下去，科学就会一天比一天灿烂，社会就会一天比一天更美好。
——华罗庚7、聪明在于学习，天才在于积累。
……所谓天才，实际上是依靠学习。
——华罗庚8、科学上没有平坦的大道，真理的长河中有无数礁石险滩。
只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。
——华罗庚9、在寻求真理的长征中，惟有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山，跨峻岭。
——华罗庚10、我想，人有两个肩膀，应该同时发挥作用，我要用一个肩挑着送货上门的担子，把科学知识和科学工具送到工人师傅手里；另一个肩膀可以作人梯，让青年们踏着攀登科学的更高一层山峰。
——华罗庚11、时间是由分秒积成的，善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来——华罗庚12、日累月积见功勋，山穷水尽惜寸阴。
——华罗庚13、自学，不怕起点低，就怕不到底。
——华罗庚14、抓住自己最有兴趣的东西，由浅入深，循序渐进地学……——华罗庚15、学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
作业： 教学与测试》 作业：《教学与测试》 P86
8，9，10 ， ，
(C)
2、不等式3 | x + a | −2 x + 6 > 0在R中恒成立, 则实数a的取值范围是
a > −3
[理一理 注意问题： 理一理] 理一理
1、数与形转化的等价性 、数与形转化的等价性 2、“数”的精确性 、 3、 3、“形”的全面 性 4、不能用图形的直观代替严密的 逻辑推理 客观题：简捷灵活； 客观题：简捷灵活； 主观题：启发思路， 主观题：启发思路，说理严密
1
y
x
O
1
2、已知a是平面内的单位向量，若向量b 满足b • a − b） 0，则 | b 的取值范围是 （ = |
[0,1]
3、对于任意的x ∈ R，不等式 | x |≥ ax恒成立， 则实数a的取值范围是 （A）a < 1 ( B ) | a |< 1 (C ) | a |≤ 1 ( D)a ≥ 1
(C)
4、函数y = x − 2 x + 2 + x − 6 x + 13的
2 2
最小值为
13
x≥0 5、 浙）若a ≥ 0，b ≥ 0，且当 y ≥ 0 时， (08 x + y ≤ 1 恒有ax + by ≤ 1，则以a，b为坐标的点P（a，b） 所形成的平面区域的面积是
1
| lg | x − 1 ||, x ≠ 1 6、设定义域为R的函数f ( x) = x =1 0,
函数y = f（x）的图象与x轴交点的横坐标
6、向量、三角、不等式 、导数、统计、算法 与框图、几何概型等的 图形表示。
二、以数解形
用空间向量解立体几何、用解析法解平面几 何等。
数形结合百般好,隔离分家万事休
数形结合百般好，隔离分家万事休作者：吴进来源：《数学教学通讯·小学版》2020年第11期摘要：华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。
”“数”的准确性和“形”的直观性，可以引导学生更全面地认识数学本质，发展学生的数学思维，触发高效的数学学习。
关键词：以形助数;以数解形;数形结合;小学数学数学是一门研究客观世界中的数量关系和空间形式的学科，具有抽象性、逻辑性和概括性等特点，而“数”和“形”就是贯穿小学数学课本的两条基本主线。
■一、以形助数，抽象知识直观化现阶段，在小学数学学习中，“数”指的是数与代数，包括了数的认识、数的运算、数量关系、常见的量等内容。
然而基于学生数学核心素养的培养要求，我们传统的数与代数的教学就显得：重数量，轻质量;重过程，轻思维;重内容，轻生活;重形式，轻价值。
小学阶段，低年级学生的思维趋向于将数学知识与具体事物或生动表象联系在一起，高年级学生逐步学会区分概念中的本质与非本质属性、主要与次要的因素，学会用抽象、科学的定义概括生活表象，思维逻辑性逐渐增强。
但是，总体而言，小学生的数学思维仍然趋向于将数学知识与直接的、感性的经验联系在一起，具有很明显的具体形象性。
因此，在小学阶段，如何赋予“数与代数”这块内容更多的趣味性、直观性、实用性，可以说是我们亟须考虑的问题！结合小学数学几何图形直观形象的特点，我们做了如下尝试。
1. 数的认识数的认识，包含了自然数、整数、小数、分数等概念的学习，是小学数学学习中最基本的内容，是学生今后构建数的概念体系、掌握数的运算、探究数量关系的重要基础。
那么如何建立起枯燥概念与直观图形的纽带呢？我们就以认识“分数的意义”为例。
分数的概念：把单位“1”平均分成若干份，取其中一份或几份的数叫作分数。
如果单靠字面含义，难以理解分数的概念，而教材中直观图的及时呈现恰好可以提供帮助。
“数形结合”探秘绝对值
“数形结合”探秘绝对值作者：张文珠来源：《初中生世界·七年级》2020年第10期著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。
”对绝对值的探究过程，“数轴”充当了桥梁的作用。
绝对值借助数轴来表达，充分体现了数学中“数形结合”的思想精髓。
接下来，让我们开始一场绝对值的探秘之旅。
一、整装待发——理解绝对值的几何意义数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
“数a的绝对值”记作| a |，几何意义为数轴上表示数a 的点与原点的距离。
例1 如图1，| -3|的几何意义为数轴上表示-3的点与原点的距离。
二、脚踏实地——探秘任务一：两数差的绝对值“两数差的绝对值”记作| a - b（| a、b是常数），几何意义为数轴上表示数a 和数b 的两个点之间的距离。
例2 如图2，| 5 - 2|表示5与2的差的绝对值，实际上可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;由计算可得| 5 - 2|=3;由数轴可得5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是3，所以| 5 - 2|=3。
如图3，| 5 + 2|即| 5 -（-2）|，表示5与-2的差的绝对值，实际上可以理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离。
由计算可得| 5 + 2|=7;由数轴可得5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是7，所以| 5 + 2|=7。
经验升级：用数学语言表示“两数差的绝对值”，两数之间要用运算符号“-”号连接，若遇到两数之间用“+”号连接，需要转化为“-”号。
三、登高望远——探秘任务二：两距离之和的最小值“两距离之和”记作| x - a |+| x - b（| x是未知数，a、b 是常数），可以理解为数轴上表示x 的点（动点）分别与表示a、b 的点（定点）之间的距离之和。
例3 求| x + 1|+| x - 5|的最小值。
【解析】原式写成两数差的绝对值为| x -（-1）|+| x - 5|，可以理解为数轴上表示x的点（动点）分别与表示-1、5的点（定点）之间的距离之和。
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题
利用“数形结合”有效解决生活化数学问题作者：魏晓霞来源：《新课程·上旬》 2019年第13期摘要：数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在小学数学课教学中，就是应该注重数形结合，结合实际生活问题，来提高学生的数学学习效率和数学学习能力。
幼教阶段数学学习就是通过数形结合解决生活实际问题，提高学生适应社会生活和提高学生未来发展所必需的基本知识。
获得基本思想，积累基本经验，掌握基本技能，数学教学中数形结合便是这些重要培养目标的重要内容之一。
在数学教学中，数形结合，既是一种思想方法，也是一种教学手段与教学方法。
关键词：数形结合；思想方法；生活化；数学问题数形结合，可以有效提高学生的思维能力和数学解题能力，数形结合的思想，受到广大师生的普遍认可，但在具体的实施中还存在着一些问题，老师在课堂教学中还不能有效地将数形结合的思想集合应用，运用数形结合去解决数学实际问题的能力和具体操作还不是很熟练，教师在实际教学中还需要不断地改变教学方式和教学方法，运用数形结合解决数学实践问题，提高学生的数学能力和数学思维。
小学生年龄大多在6到12岁之间，属于皮亚杰所认为的具体运算阶段。
小学生在数学学习中以形象思维为主，小学生的抽象思维能力还需要进一步地提升和发展。
因此，在小学数学教学中运用数形结合，对于小学生理解数学问题，提升小学生的数学思维有着重要的作用。
在教学中运用数形结合，能够有效提高小学生的思维和数学解决能力，同时将数形结合应用于解决实际生活问题，则能够加深他们对数学知识与生活的联系，从而提高小学生将数学知识运用于生活的习惯和能力。
这对于培养他们的数学探索精神和提高学生数学解决实际问题的能力具有重要的作用。
一、在小学数学教学中数形结合思想方法的应用策略1.以形助数在教学中，教师可以运用具体的材料来代替在解决实际生活问题中的具体事物，比如可以要求学生就某一次活动中所需用的矿泉水进行简单的运算。
就是可以用数学器材中的小棒来替代矿泉水瓶，利用小棒来演示数学运算过程。
论文浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用
论文浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用数形结合就是建立在数形优势互补的基础上，抓住数与形之间本质上的联系，以“形”直观的表达数，以“数”精确的研究形的思想方法。
其实质就是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行考虑，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐的结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路的一种思想。
数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。
利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。
以形助数、以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化。
那么如何在教学中有效渗透数形结合的思想。
结合我的教学实践谈一些粗浅的认识。
一、以形助数，抽象变为直观。
1. 助于把握概念本质数的产生源于对具体物体的计数。
我们不难发现从数的概念的建立到数的运算处处蕴涵着数形结合的思想。
如学习整数、分数、小数及其加、减、乘、除法的运算时，教材都是借助直观的几何图形来帮助学生理解抽象的概念。
生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，让学生在学习时，不再感到枯燥乏味，反而能够使学生从中获得有趣的情感体验，让学生主动去探索，把握概念本质。
例如：在学习“千以内数的认识”一课时，教师可以利用几何模型直观地将计数单位及其相互间的“十进制关系”呈现出来。
用一个立体方格表示1，10个一就是十（即十个立体方格），以此类推，将数字的认识以这种学生感兴趣的方式呈现出来，结合立方体的变化，直观地认识了计数单位“个”“十”“百”“千”“万”，知道10个十是一百，10个一百是一千。
理解了它们之间的十进制关系，这种变抽象为直观，数形结合的策略，更能让学生掌握概念本质，并在学生的头脑中留下了计数单位的直观现象，为数的大小比较、数的计算留下了初步的基础。
例如：比较7.8和7.80的异同点(见下图)用数轴来表示，形象直观的表示出为什么7.80比7.8更精确，使学生对保留小数位数的精确度有了本质的认识。
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初三教研活动评课（正果中学初三数学备课组）2012年.3月6日我们初三备课组一起参加了教研室在新塘二中举行的一课两讲。
首先是新塘二中尹老师的数形结合思想专题复习课。
这节课尹老师做了大量的准备、教学设计比较好由易到难，选题也紧扣中考针对性强。
只是对于中下生来说两个例题难度有点大，但尹老师在例题中也做了脚手架让学生更容易做。
这节课有一点瑕疵就在时间分配上。
第二位老师的教学设计也有很多值得我们学习，目标很明确、每一段练习后有知识归纳或小结给学生指明方向。
课件开头引用数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”引起学生注意和提振学习兴趣和信心。
通过这两节课我们收获不少：数形结合是数学的重要思想方法之一.数量关系和空间图形是数学研究的两上主要方面,它们之间有密切的关系,在一定条件下,它们之间可以相互转化,相互渗透.在初中数学学习中,函数是一个难点,尤其是二次函数的问题中,由于其综合性较强,更使部分同学觉得难以理解和掌握.其实,只要掌握了正确的方法,解决问题便会事半功倍.而解决二次函数问题时,数形结合便是一种重要方法.应该在这个新知识点上归纳出它的特征，并提出一些其他的特殊点，帮助学生揭示解题规律，总结解题方法，进一步提高运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
以往的习题教学考虑的是如何使学生解题、理解答案，很枯燥无味。
但是通过这堂课后，我明白了习题教学更多的是注重在现有题目的基础上进行知识的归纳与拓展，使到学生不再局限于现有的题目中，能如同新授课一样新奇、有趣。