第3章光学谐振腔与激光模式

1 1 T r ln r 1 r 2 2 2
（4）吸收损耗
吸收系数： a
dI Idz
I z I 0 e
I1 I 0 e 2al
az
光在腔内往返一次：
单程损耗因子：
吸 al
3.3.2 光子在腔内的平均寿命
I1 I 0e
2
m次往返

：光线与光轴的夹角
符号规则：出射方向在光轴上方取
出射方向在光轴下方取
r
r符号规则：在光轴上方取 在光轴下方取
r 一条近轴光线可以用列 矩阵表示，为 ＃说明： 近轴满足 sin tg
2.光线变换矩阵
若一条入射光线 r1 ,1 ，经过一个光学系统后 ，变成 A B 出射光线 r2 , 2 ，则可用矩阵 C D 描述光学系统对光线 的变换作用 r2 A B r1 C D 1 2
I m I 0e2m
t m 2L c
L 其中： R c
m次往返所需时间t：
2mL t c
t
I t I 0 e
当t=τR时，
R
I t I 0e1
τR为光子在腔内的平均寿命

设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时 刻光子数密度
I t I 0 e
2L

2
2L

2 q
2 L 谐振波长： q q
c c q 谐振频率： vq q 2 L 2L
3.2.2 纵模
q通常非常大（纵模的序数）
c c 两个相邻纵模频率差： vq vq 1 vq 2 L 2L
Δvq与q无关，对一定的腔为一常数
衍射光斑的第一极小值： 1.22

2a
0.61

a
L a 2 a 2 2L 2L 0.61 1.22 L d 2 2 2 a a a a / L a L a
d d
L
a
2
a2 设： N L
1 得： d N
2L 1 3 2m 1 D
D m 2 L
1 L 2m 2D
例：
对于一个口径D 1cm,腔长L 1m的平平腔, 若要 1%,则两个镜面的倾斜角 求失调损耗


2D L
2
2 10 rad
-6
（2）衍射损耗
3.1 光学谐振腔的构成和分类
3.1.1 谐振腔的分类
(a)开腔
(b)闭腔
(c)气体波导腔
侧面没有边界
3.1.2 典型开放式光学谐振腔
3.2 激光模式
光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式,从
光子学的角度来看是腔内可以区分的一种光子态（纵模、横
模） 。
腔与模的关系：
腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决 定 1）不同的腔，模式不同；
Q 2

P
：储存在腔内的总能量； P：单位时间内损耗的能量
nhV
d P dt
n(t ) n0 exp( t
L Q 2 R 2 c
)
R
腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。Q值大，表示光腔 的储能好，损耗小，腔内光子寿命长。
请看书上的例题！
3.4 光学谐振腔的稳定性条件
N为腔的菲涅耳数：从一面镜子的中心看到另一面镜 子上可划分的菲涅耳半波带数。
（3）透射损耗
I1 I 0 r1r2 I 0 e
1 r ln r1 r2 2
当r1≈1，r2≈1时
2 r
1 r 1 r1 1 r2 2
对于实际激光器而言，r1=1，r2=r≈1，即T<<1，所以
n
Leabharlann Baidu
n次往返后光线的坐标参 数为 rn An r0 Bn 0 n Cn r0 Dn 0
3.4.2 共轴球面腔的稳定性条件
要近轴光线 不逸出腔外 要求Tn的各元 素取有限实数 要求φ为实 数
因此，要求 1 1 ( A D) 1 2 1 2L 2L 2L 2L 1 {1 [ (1 )(1 )]} 1 2 R2 R1 R1 R2 2 L 2 L 2 L2 1 1 1 R1 R2 R1R2 2 L 2 L 2 L2 02 2 R1 R2 R1R2
0 1 r2 r3 ＝ 2 1 3 R 2 1
0 1 r4 r5 ＝ 2 1 5 R 4 1
光线在腔内往返传播一 次后： 0 0 1 1 1 L 1 L r1 r5 0 1 2 1 0 1 ＝ 2 1 R 1 5 R 2 1
看P36例题
3.2.3 横模
总结：
（1）纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只 有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布； （2）不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但 不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率 的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易 从光斑图形来区分。
3.3 光学谐振腔的损耗
光腔损耗大小决定了激光振荡阈值，达到稳定振荡状态腔内光腔，以及 激光输出能量
3.3.1 光腔的损耗 1、损耗的种类
（1）几何损耗
选择性损耗
与模式有关
（2）衍射损耗
（3）射出腔镜的透射损耗
非选择性损耗 与模式无关
（4）非激活吸收损耗、散射损耗
2、平均单程损耗因子
I1
I1 I 0 e
即
r1
1
r1
r2
r2
2
z
r2 Ar1 B1 z1 z2 2 Cr1 D1 A B 矩阵 C D 就是该光学系统的光线 变换矩阵 , 描述
光学系统
入射光线经过光学系统 后引起的坐标变化。
1) 均匀介质层的光线变换 矩阵 r1 r2 设光线 传输距离L后，成为光线 1 2
2）腔给定，模式确定
3.2.1 驻波与谐振频率
形成稳定振荡条件：入射光与反射光满足相长干涉 两束光的相位差：
2q
q为整数
2
2 L

L L
L dL z dz
L 0
有多种介质
L i Li
i
非均匀分布的介质
2
则有 r2 r1 L1 2 1 光线变换矩阵为 1 TL 0 L 1
(r2 , 2 ) (r1,1 )
2
1
r1
L
r2
2) 球面反射镜的光线变换 矩阵 TR r1 r2 设光线 经过球面反射镜反射后 的光线为 1 2 则有 r2 r1 （r1,1 )
第3章 光学谐振腔与激光模式
研究方法：
1. 几何光学分析方法；
2、矩阵光学分析方法；
3、波动光学分析方法
1. 几何光学分析方法； 出 发 点：将光看成光线用几何光学方法来处理 应用条件：几何损耗远大于衍射损耗 优 点：简便、直观 缺 点：得不到腔的衍射损耗；不能深入分析腔模特性 2、矩阵光学分析方法； 出 发 点：使用矩阵代数的方法研究光学问题，将几何光线和激光 束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写。 应用范围：推导出谐振腔的稳定性条件 优 点：处理问题简明、规范，易于用计算机求解 3、波动光学分析方法 出 发 点：波动光学的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分理论，建立一个描 述光学谐振腔模式特性的本征积分方程 应用范围：求任意光腔的模式，得到场的振幅、相位分布，谐振频率 以及衍射损耗等腔模特性 优 点：是一种比较普遍和严格的理论
2
I0
δ为单程损耗因子：
1 I0 ln 2 I1
如果是多因素引起的损耗：

i
i
1 2 3
I1 I 0e21 e2 2 e23 I 0e2
3、损耗举例
（1）腔镜倾斜引起的几何损耗
L 2 L 6 L 22m 1 D

入射角 反射角
1 2
1
2

（r2 , 2 )
r1 2 2 1 2 1 R 0 1 TR 2 1 R
R
符号规则：凹面镜R取 凸面镜R取
3）薄透镜的光线变换矩阵Tf
由
r2 r1 r1 2 1 f
L 2L 2L(1 ) 1 R2 r5 R2 r1 2 2 2 L 2 L 2 L 2 L 5 [ (1 )] [ (1 )(1 )] 1 R R R R R R 1 2 1 1 1 2
问题1：什么是稳定腔？ 光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外的
谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。
问题2：什么是非稳腔？ 光线在谐振腔内往返有限次即横向逸出腔外的谐振腔 称为非稳定谐振腔，简称非稳腔。
3.4.1 腔内光线往返传播的矩阵表示
1.光线矩阵
一条近轴光线可以用r、 两个参数表示： 其中 r：光线离轴线的距离
可得薄透镜对傍轴光线的 变换矩阵为
0 1 Tf 1 f 1
符号规则：会聚 f 取
发散 f 取
3.光线在腔内往返传播的矩阵
r2 1 L r1 0 1 ＝ 1 2
r4 1 L r3 0 1 ＝ 3 4
得：
L L L2 0 1 1 R1 R2 R1R2 L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
L g1 1 R 1 g2 1 L R2
t
R
I (t ) n(t )h
dn(t ) n0 exp( t
n(t ) n0 exp(
t
R
)
R
R
)dt
1 t dn(t ) t n0

1 n0 t t exp( )dt t R n0 0 R R
3.3.3 无源腔的品质因数——Q值
若光线在腔内经n次往返，其参数的变换关系：
r rn r1 n 1 ＝ TTT T T 1 1 n n个T
由薛尔凡斯特定理可知
A B n T C D Bsinn 1 A sin n sin(n 1) C sin n Dsinn sin(n 1) sin An Bn C D n n 1 式中 arccos ( A D) 2
往返矩阵： L 2L 1 2L(1 ) R2 R2 T 2 2 2L 2L 2L 2L [ R R (1 R )] [ R (1 R )(1 R )] 1 2 1 1 1 2 A B C D