有限元方法课件 第五章 等参单元和高阶单元
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有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
等参单元
等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元
等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3
V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1
1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1
A
g ( x, y, z )dS e
1 1
1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
结构有限元分析-第5章-等参元
5 等参数单元在平面问题的有限单元中，可以选择四结点的矩形单元，如右图所示，矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。
如将单元的位移模式选为：xya y a x a a u 4321+++=xya y a x a a v 8765+++=图5.1四结点矩形单元5.1 等参数单元的基本概念等参数单元pp m m j j i i u N u N u N u N u +++=pp m m j j i i v N v N v N v N v +++=)1)(1(41by a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++=)1)(1(41by a x N p +-=上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求：1）反映了单元的刚体位移和常应变及单元内部位移连续。
2）单元在公共边界上位移连续。
形函数：等参数单元表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较单元类型优点缺点三结点三角形单元适应复杂形状，单元大小过渡方便计算精度低四结点矩形单元单元内的应力、应变是线性变化的，计算精度较高不能适应曲线边界和非正交的直线边界2 任意四边形单元对任意四边形单元，矩形单元的双线性位移函数能否使任意四边形单元满足收敛条件？图5.2任意四结点四边形单元观察单元的一个斜边（不平行于坐标轴），在该直线上有：y=ax+b,带入位移函数，得：=2+Bxu+AxC显然，斜边界上的位移不能由该边的两个结点的结点位移唯一确定，即单元边界的位移连续性条件不满足。
四边形单元在图5.2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为±1。
为了求出位移模式，以及局部坐标与整体坐标之间的变换式，在局部坐标系中定义一个四结点正方形单元，如图5-3所示。
四边形单元参照矩形单元，四结点正方形单元的位移模式为：44332211u N u N u N u N u +++=44332211v N v N v N v N v +++=)1)(1(4100ηξ++=i N （i =1，2，3，4）把ξ及η作为任意四边形单元的局部坐标，把位移模式和形态函数用于任意形状的四边单元，可得：1）在四个结点处可以得到结点的位移；2）在单元的四条边上，位移线性变化，保证了单元公共边界上位移的连续性。
有限元分析基础
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.2 坐标系
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分 析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，
即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
精品课件
29
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移 及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位 移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向 相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿 坐标轴方向的分量。
精品课件
25
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示
工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式 桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建 筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力 作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。
杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。
(a) Liebherr塔式起重机 起重机
为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满 足下列要求:
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的 自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高 次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。
精品课件
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部
包含在位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以
(b) Liebherr履带式
(c) 钢结构桥梁
(d) 埃菲
尔铁塔
精图品3-课1 件杆系结构
26
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.1 结构离散化
第五章-等参元单元法
3、单元分析
单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点 等参数单元完全相同，具体公式形式也一致。 区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见 下表：
四结点单元
{δ} [B] [k] 面力
八结点单元 16×1列阵 16×16矩阵
分到3个结点
8×1列阵 8×8矩阵
分到2个结点
3×8矩阵， 4个分块 3×16矩阵，8个分块
u N i u i N i 1 (1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4) 4 i 1 4 i 1;i 1 N 1 (1 )(1 ) v N i vi 4 i 1 单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数 （阶次相等），同时用以规定单元形状的结点数等 于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参 数单元。
y Ni yi N1 y1 N 2 y2
经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。 母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。
例 相邻单元公共边连续性验证
1 xa {x1 (1 )(1 )(1 ) x2 (1 )(1 )(1 ) 8 x3 (1 )(1 )(1 ) x4 (1 )(1 )(1 ) x5 (1 )(1 )(1 ) x6 (1 )(1 )(1 ) x7 (1 )(1 )(1 ) x8 (1 )(1 )(1 )} 1 xb {x3 (1 )(1 )(1 ) x4 (1 )(1 )(1 ) 8 x9 (1 )(1 )(1 ) x10 (1 )(1 )(1 ) x7 (1 )(1 )(1 ) x8 (1 )(1 )(1 ) x11 (1 )(1 )(1 ) x12 (1 )(1 )(1 )} 1 xa ( 1) {x3 (1 )(1 ) x4 (1 )(1 ) x7 (1 )(1 ) x8 (1 )(1 )} 4 1 xb ( 1) {x3 (1 )(1 ) x4 (1 )(1 ) x7 (1 )(1 ) x8 (1 )(1 )} 4 xa ( 1) xb ( 1)
有限元分析 第五章 等参数单元
(5.7)
(5.8)
B、体积微元的变换
对于体积微元，按向量积形式可定义为：
d d d * d
(5.9)
投影到直角系中，在X方向 的分量为： dx x d 同理有
dy y d
d
dz
z d
于是，
x y z d d i d j d k
5.1 基本概念
先考虑一个任意四边形单元，其节点坐标如图。 对应地，选择一个规则的基准单元—正方形单元，设立 自然坐标系 ，。
设想：若正方形单元可以通过某种变换关系变换为任一四边 形单元，对任意四边形单元的研究就可转化为这一基准 单元的研究。
首先要考虑，几何图形的变换。 正方形单元内任一点 P( , ) 都应对应于四边形单元的一个 点 P( x, y) 。 四个节点对应四边形的四个角点； 正方形单元四条边对应四边形的四条边。 相当于通过坐标变换将正方形单元映射为一个任意四边形 单元。 直角坐标与自然坐标之间应存在一个变换关系：
Ni Ni x Ni y Ni z x y z
Ni x N i x Ni x y y y z Ni Ni x x z Ni Ni J y y z Ni Ni z z
正方形单元节点 1，1 1,1 由(5.2) x N1 x1 N2 y2 x x1 同理 y y1
意指：正方形单元中节点 1 对应的实际单元节点1。 同理：基准单元（等参元）的节点 2,3,4 分别对应实际单元 节点2、3、4。 再考虑等参单元中任一点，如中点 i(1,0)
有限元分析基础ppt课件
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
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第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
有限元第5章-等参数单元PPT课件
元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
.
17
一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
u
x,yxxyyuyyvxxvyi41
xi 41Ni,ui
4 yi1
Ni,vi
Ni,ui
4 xi1
.
6
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是
（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容）
（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求）
以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
.
7
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
形函数的性质：
（1） N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j 保证位
移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保
证在边界连续。
4
（2）Ni , 1 保证单元包含刚体位移。 i1
这两条性质，保证了解的收敛性。
.
13
下面讨论坐标变换。
可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。
我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
.
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一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
u
x,yxxyyuyyvxxvyi41
xi 41Ni,ui
4 yi1
Ni,vi
Ni,ui
4 xi1
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6
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是
（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容）
（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求）
以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
.
7
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
形函数的性质：
（1） N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j 保证位
移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保
证在边界连续。
4
（2）Ni , 1 保证单元包含刚体位移。 i1
这两条性质，保证了解的收敛性。
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13
下面讨论坐标变换。
可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。
我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
有限元 第五讲
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法： 1）广义坐标法：仅用在常应变单元 2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲 面单元
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数： 将结点坐标代入u(x,y,z)，得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u2 1 2 x2 3 y2 4 z2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u4 1 2 x4 3 y4 4 z4
（四个方程、四个未知量）
1 y4 z4
x2 1 z2 ci1 c1 (1)i1 x3 1 z3
x4 1 z4
x2 di1 d1 (1)i1 x3
x4
y2 1 y3 1 y4 1
1 x1 y1 z1 V 1 1 x2 y2 z2
6 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4
按1、2、3、4的顺序变换下2v2
N3u3 N4u4 N3v3 N4v4
w N1w1 N2w2 N3w3 N4w4
或： f N e （由结点位移表示的单元内位移）
N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0
N
0
N1
0
0 N2 0
0 N3 0
0
N4
0
0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4
形函数矩阵
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
3. 单元几何方程： 由结点位移求单元内应变
有限元分析基础
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
单元结点位移条件
当 x0 时
v vi，
v x
i
当 xl
时 v vj，
v x
j
1 vi
2 i
3
3 l2
vi v j
1 l
2i
j
4
2 l3
vi v j
1 l2
i j
34
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
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第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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第二章 结构几何构造分析
单元结点位移条件
当 x0 时
v vi，
v x
i
当 xl
时 v vj，
v x
j
1 vi
2 i
3
3 l2
vi v j
1 l
2i
j
4
2 l3
vi v j
1 l2
i j
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
有限元法应用_等参数单元
T
K B D B dv B D B dxdydz t B D B dxdy
e
将坐标变换式代入
ve
为计算方便,在ξ、η坐标下计算以上积分，即利用等参变换公式进行 变量替换， 则有 dx dy
ve
Ae
J d d
等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系的规整 形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用 形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单 元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置 坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换 式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元。
y N i y N i
T T
1
J
——Jacobi 矩阵
所以有Βιβλιοθήκη N i x x N x i y
x, y
u x, y
ve j ue j
j
i
uie
x
p1,1
m1,1
0,0
i 1,1
j 1,1
三、单元分析
s
在单元内部分 假定： l 1,1 k 1,1
e vk
y
r
v
vle
0,0
i 1,1
4
l
e i
u
e l
vx, y u x, y
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
其中
0 N4
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
K B D B dv B D B dxdydz t B D B dxdy
e
将坐标变换式代入
ve
为计算方便,在ξ、η坐标下计算以上积分，即利用等参变换公式进行 变量替换， 则有 dx dy
ve
Ae
J d d
等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系的规整 形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用 形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单 元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置 坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换 式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元。
y N i y N i
T T
1
J
——Jacobi 矩阵
所以有Βιβλιοθήκη N i x x N x i y
x, y
u x, y
ve j ue j
j
i
uie
x
p1,1
m1,1
0,0
i 1,1
j 1,1
三、单元分析
s
在单元内部分 假定： l 1,1 k 1,1
e vk
y
r
v
vle
0,0
i 1,1
4
l
e i
u
e l
vx, y u x, y
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
其中
0 N4
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
8_等参数单元和高阶单元
2 y8 2 x8 y8 3 y8 2 y1 2 y2 2 x1 y1 2 x2 y2 3 y1 3 y8 3 x1 y1 1 3 x2 y2 2 3 x8 y8 8
ue C u P PC 1ue
20 /90
平面四结点等参元
u1 v 1 u2 0 v2 N4 u3 v3 u4 v4
(7.3)
21 /90
u N1 v 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
Ni Ni 1 x N J i Ni y
(7.5)
25 /90
平面四结点等参元
这里有
x J x
4 Ni x xi , i 1 4 Ni x xi , i 1
N4 0
N e
平面四结点等参元
这就是我们习惯的位移插值表达式， [ N ] 为形 状函数矩阵，这里采用了同样的形状函数(7.2)，用 同样的结点插值表示出单元的几何坐标 x, y 与位移
u , v ，这种单元称为等参单元。也可以用不同的结
点，不同的形状函数分别插值单元几何坐标 x, y 和 位移 u , v ，有所谓超参数单元和亚参数单元，但应 用较少。
3 /90
高阶单元
建 y 4 xy 5 y2 6 xy2 7 y3 8 xy3
4 /90
高阶单元
u1 u 1 2 1 1 u8 x1 x2 x8 y1 y2 y8 x1 y1 x2 y2 x8 y8
ue C u P PC 1ue
20 /90
平面四结点等参元
u1 v 1 u2 0 v2 N4 u3 v3 u4 v4
(7.3)
21 /90
u N1 v 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
Ni Ni 1 x N J i Ni y
(7.5)
25 /90
平面四结点等参元
这里有
x J x
4 Ni x xi , i 1 4 Ni x xi , i 1
N4 0
N e
平面四结点等参元
这就是我们习惯的位移插值表达式， [ N ] 为形 状函数矩阵，这里采用了同样的形状函数(7.2)，用 同样的结点插值表示出单元的几何坐标 x, y 与位移
u , v ，这种单元称为等参单元。也可以用不同的结
点，不同的形状函数分别插值单元几何坐标 x, y 和 位移 u , v ，有所谓超参数单元和亚参数单元，但应 用较少。
3 /90
高阶单元
建 y 4 xy 5 y2 6 xy2 7 y3 8 xy3
4 /90
高阶单元
u1 u 1 2 1 1 u8 x1 x2 x8 y1 y2 y8 x1 y1 x2 y2 x8 y8
有限元分析及应用第五章_第二部分
其中系数
∫ Cm
=
2m + 2
1
1 −1
Lm
(
x)q(
x)dx
特别，对于 n 次多项式 Pn(x)有
４、一维情况
n
∑ Pn (x) = Cm ⋅ Lm (x) m=0
设需要计算积分
1
I = ∫ f (x)dx −1
我们可以取 x1=0 为积分点（图 5-2４(a)），以常量 f(0) 代替 f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值
−1
−1
−1
−1
Rn−1 (x)为 n-1 阶多项式，因此仅需 n 个样点及其样点值即可精确重构该多项式，进而给出
精确的积分值，若取 Ln (x) 的 n 个零点为积分样点，则
( ) ( ) P2n−1 xi = Rn−1 xi (i = 1 ~ n)
结论：用 n 个 Legendre 多项式的零点作为积分样点，式(5-5-1)可以给出精确的积分值，这
)
根
x1、4 = m
15 + 120 , 35
x2、3 = m
15 − 120 35
L0=1
L1=x
L2
L3
1
1
x
x
x1
x2 x
x
-1
1 -1
1 -1
1 -1
1
-1/2
图 5-23
第 2 页 共 14 页
有限元分析与应用
霍战鹏
一般 n 阶 Legendre 多项式的定义为
Ｌ n
(x)
=
2
1 n⋅
n!
L２( x)
=
3 2
(x2
−
1) 3
有限元讲义 等参单元26页PPT
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
26
有限元讲义 等参单元
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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(5-5)
则其中的子矩阵可按下式进行计算
T B i 1 1 S j dd 1 1
k ij Bi D B j tdxdy
T
(i)
如果单元厚度t是常量，则
kij tab
4 1 2
Et
b 1 1 a 1 1 i j i j 1 i j a i j 3 2 b 3 1 i j i j 2
N i N i I ,
1 0 I 0 1 ,
i i
u vi
(i 1，2 ，3，4)
(e)
由几何方程可以求得单元的应变
u 1 u u b a x x 1 v 1 v v y a y b ab xy u v 1 u 1 v a u b v y x b a
x x0 a
y y0 b
式中
x0 ( x1 x2 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 y0 ( y2 y3 ) / 2 ( y1 y4 ) / 2 a ( x2 x1 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1 ) / 2
u
N u
i i 1
n
i
, v
N v
i 1
n
n
i i
(5-8)
实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即 (5i 1 i 1 9) 可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函 数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形 式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标 值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前 面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公 式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或 位置坐标变换式）。
显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的
等参元。但是，更常用的等参元，并不是这种单元，而是4结 点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。
问题：能否利用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的 任意四边形单元的计算公式？ 思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形 ，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到， 则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。 重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关 系 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边 形的单刚矩阵
模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常 量，这一点可以从 [B]的表达式中看出。另外，位移模式 (a)中的 1、 2、 3、 5、 6、 7与三角形单元相同，它 反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上( =±1 或 =±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单 元的公共边界上，其位移是连续的。
第五章 矩形单元和等参单元
第五章
矩形单元和等参单元
§5–1
§5–2
矩形单元
等参单元
回顾：平面问题有限元方法小结
有限元分析的主要步骤(位移元)
1.连续介质离散化：形成有限元网格，并完成单元及结点编号 2.确定单元的近似位移模式：得到以结点位移为未知量的位移函数 3.单元特性分析：建立单刚和等效结点荷载列阵 4.集成总体刚度方程：形成总刚和总结点荷载列阵 5.引入位移强制边界条件：消除总刚度矩阵的奇异性 6.解线性代数方程组：得到结点位移 7.计算应力、应变：由结点位移计算单元的应力、应变 8.其它要求：进行其他工程上的要求计算
(f)
将(b)式代入，得
B1
式中
N i b 1 Bi ab 0 N a i
B2
B3
B4
e
(g)
0 b i 1 0 0 N 1 a i 0 a 1 i 0 4ab a i 1 0 b i 1 0 N i b
1 i j 2 a 1 1 b 1 i j 1 i j i j 1 i j b 3 2 a 3
i j
(i, j =1,2,3,4)
(5-6)
同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、 分别换 成E / 1- 2 和 / 1- 即可。
（包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算 ）
1、等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
xi i x f f （ i= 1,2,3,4 ）， 已知： 求 y y i i
Si
4ab 1 2
E
a i 1 0 b i 1 0 b 1 a i 1 0 i 0 1 1 a i 1 0 b i 1 0 2 2
四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为
k R
e
e
(j)
其中载荷列阵{R}e 与上节中的(c)式相同，仍可按三角 形单元一章的方法计算等效节点力。但是，需要注意的是， 矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e 具有8个元
素，即
R e U1
V1 U 2 V2 U 3 V3 U 4 V4
u N i ui
i 1 4
(b)
v N i vi
i 1
其中
N i (1 0 )(1 0 ) / 4
(c)
式中 0= 一致的形式，有
i
，
0=
i
，i =1,2,3,4。若写成与前面
u f v
N
i i
(d)
式中
是，矩形单元也有一些明显的缺点：其一是矩形单元不能适
应斜交的边界和曲线边界；其二是不便于对不同部位采用不 同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。
§5-2 等参单元
在平面问题和轴对称问题的有限元分析中，曾采用了线性位移 模式的常应变三角形单元进行计算。这种单元的最大优点是：它能 够机动灵活近似地表现结构的复杂边界形状；单元网格划分时，能 粗细变化比较自如，因而得到广泛应用。缺点是：由于它的位移采 用线性插值函数，计算精度比较低；对结构的曲线边界只能用许多
(5-1)
其中 (xi , yi）是节点i的整体坐标，i =1,2,3,4。
在局部坐标系中，节点i的坐标是( 为±1。取位移模式
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
i
,
i )，其值分别
(a)
将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的 位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中 的8个未知参数 1， 2，…， 8，再把这些参数代回(a)式 中，便可得到用节点位移表示的位移模式 4
T
(5-7)
两种常见载荷的等效
⑴ 对于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四 分之一的自重，其载荷列阵为
R
e
W 0
1 4
0
1 4
0
1 4
0
1 4
T
(k)
⑵ 如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力， 且在该边界上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大， 那么可将总表面力的三分之一移置到前一个节点上，而将其 三分之二移置到后一个节点上。
(i=1,2,3,4)
(5-2)
其元素是坐标的线性函数，说明应变在单元内是线性变化的。 由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即
D S1
S2
S3
S4
e
(5-3)
式中 对于平面应力问题
Si D Bi
(i=1,2,3,4)
(h)
矩形单元的应力
由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应 力分量也都不是常量。其中，正应力分量 项则是沿x方向线性变化、剪应力分量
x 的主要项（即不 y
与 相乘的项）沿y方向线性变化，而正应力分量
xy
的主要
沿x及y两个方向都
是线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节 点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但
§5-1 矩形单元
矩形单元也是一种常用的单元， 它采用了比常应变三角形单元次数更 高的位移模式，因而可以更好地反映 弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元 1234 如图 5-1 所示，其边 长分别为 2a 和 2b ，两边分别平行于 x、y轴。若取该矩形的四个角点为节 点，因每个节点位移有两个分量，所 以矩形单元共有 8 个自由度。采用与 上一章的方法，同样可以完成对这种 单元的力学特性分析。然而，如果我 们引入一个局部坐标系 、 ，那么 就可以推出比较简洁的结果。
y
u4 ( U 4) 2b
v4 (V4)
4
v3 (V3)
o
3
u3 ( U 3 )
2
1
u2 ( U 2 ) v2 (V2)
u1 ( U 1)
2a v1 (V1)
o
x
图5-1 矩形单元1234
在图5-1中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点， 和 轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的 坐标变换关系
小直线段逐渐逼近。特别是，在结构的应力集中部位，产生的计算 误差较大，有时即使配置了极密集的单元网格，仍然不能很好地反 映应力集中因子的正确数值。