有限元方法课件 第五章 等参单元和高阶单元

y
u4 ( U 4) 2b
v4 (V4)
4
v3 (V3)

o
3
u3 ( U 3 )

2
1
u2 ( U 2 ) v2 (V2)
u1 ( U 1)
2a v1 (V1)
o
x
图5-1 矩形单元1234
在图5-1中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点， 和 轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的 坐标变换关系
x x0 a
y y0 b
式中
x0 ( x1 x2 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 y0 ( y2 y3 ) / 2 ( y1 y4 ) / 2 a ( x2 x1 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1 ) / 2
（包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算 ）
1、等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
xi i x f f （ i= 1,2,3,4 ）， 已知： 求 y y i i
i i
x
N x
n
,
y
N y
i
i
等参单元的定义
常应变三角形单元和矩形单元的这种位移函数插值公式 与位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本
特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的 位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移 函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参 数进行插值者，称为等参元。
矩形单元的应力
由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应 力分量也都不是常量。其中，正应力分量 项则是沿x方向线性变化、剪应力分量
x 的主要项（即不 y
与 相乘的项）沿y方向线性变化，而正应力分量
xy
的主要
沿x及y两个方向都
是线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节 点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但
(f)
将(b)式代入，得
B1
式中
N i b 1 Bi ab 0 N a i
B2
B3
B4
e
(g)
0 b i 1 0 0 N 1 a i 0 a 1 i 0 4ab a i 1 0 b i 1 0 N i b
小直线段逐渐逼近。特别是，在结构的应力集中部位，产生的计算 误差较大，有时即使配置了极密集的单元网格，仍然不能很好地反 映应力集中因子的正确数值。
对于矩形单元，由于它采用了双线性位移模式，使得单元内的 应力和应变不是常量而是按线性变化，它比常应变三角形单元能较 好地反映出结构的实际应力分布状态，但是它很难适应曲线边界和 非正交的直线边界；同时在划分单元时，改变单元的大小也很困难 ，即不便于在不同部位采用大小不同的单元，因为已把每个单元的 边长之半 a , b 作为常量而引入单元刚度矩阵中。因此，矩形平面 单元未能在实际中得到广泛的应用。
(i=1,2,3,4)
(5-2)
其元素是坐标的线性函数，说明应变在单元内是线性变化的。 由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即
D S1
S2
S3
S4
e
(5-3)
式中 对于平面应力问题
Si D Bi
(i=1,2,3,4)
(h)
是，矩形单元也有一些明显的缺点：其一是矩形单元不能适
应斜交的边界和曲线边界；其二是不便于对不同部位采用不 同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。
§5-2 等参单元
在平面问题和轴对称问题的有限元分析中，曾采用了线性位移 模式的常应变三角形单元进行计算。这种单元的最大优点是：它能 够机动灵活近似地表现结构的复杂边界形状；单元网格划分时，能 粗细变化比较自如，因而得到广泛应用。缺点是：由于它的位移采 用线性插值函数，计算精度比较低；对结构的曲线边界只能用许多
u
N u
i i 1
n
i
, v
N v
i 1
n
n
i i
(5-8)
实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即 (5i 1 i 1 9) 可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函 数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形 式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标 值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前 面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公 式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或 位置坐标变换式）。
Si
4ab 1 2

E

a i 1 0 b i 1 0 b 1 a i 1 0 i 0 1 1 a i 1 0 b i 1 0 2 2
和常应变三角形单元一样，将各单元的{k}、{ }e 和 {R}e 都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即 可得到整个弹性体的平衡方程。即 [K]{ }={R} (l)
矩形单元的应变
由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a) 比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了 项（即相当于x y项），我们把这种位移模式称为双线性
T
(5-7)
两种常见载荷的等效
⑴ 对于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四 分之一的自重，其载荷列阵为
R
e
W 0
1 4
0
1 4
0
1 4
0
wenku.baidu.com
1 4
T
(k)
⑵ 如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力， 且在该边界上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大， 那么可将总表面力的三分之一移置到前一个节点上，而将其 三分之二移置到后一个节点上。
N i N i I ,
1 0 I 0 1 ,
i i
u vi
(i 1，2 ，3，4)
(e)
由几何方程可以求得单元的应变
u 1 u u b a x x 1 v 1 v v y a y b ab xy u v 1 u 1 v a u b v y x b a
(5-4)
正应力 x 的主项是 的线性函数，而次要项按 线性变化。 若将单元刚度矩阵写成分块形式
k 11 k 21 k k 31 k 41 k 12 k 22 k 32 k 42 k 13 k 23 k 33 k 43 k 14 k 24 k 34 k 44
第五章 矩形单元和等参单元
第五章
矩形单元和等参单元
§5–1
§5–2
矩形单元
等参单元
回顾：平面问题有限元方法小结
有限元分析的主要步骤(位移元)
1.连续介质离散化：形成有限元网格，并完成单元及结点编号 2.确定单元的近似位移模式：得到以结点位移为未知量的位移函数 3.单元特性分析：建立单刚和等效结点荷载列阵 4.集成总体刚度方程：形成总刚和总结点荷载列阵 5.引入位移强制边界条件：消除总刚度矩阵的奇异性 6.解线性代数方程组：得到结点位移 7.计算应力、应变：由结点位移计算单元的应力、应变 8.其它要求：进行其他工程上的要求计算
四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为
k R
e
e
(j)
其中载荷列阵{R}e 与上节中的(c)式相同，仍可按三角 形单元一章的方法计算等效节点力。但是，需要注意的是， 矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e 具有8个元
素，即
R e U1
V1 U 2 V2 U 3 V3 U 4 V4
1 i j 2 a 1 1 b 1 i j 1 i j i j 1 i j b 3 2 a 3
i j
(i, j =1,2,3,4)
(5-6)
同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、 分别换 成E / 1- 2 和 / 1- 即可。
u N i ui
i 1 4
(b)
v N i vi
i 1
其中
N i (1 0 )(1 0 ) / 4
(c)
式中 0= 一致的形式，有
i
，
0=
i
，i =1,2,3,4。若写成与前面
u f v
N
i i
(d)
式中
§5-1 矩形单元
矩形单元也是一种常用的单元， 它采用了比常应变三角形单元次数更 高的位移模式，因而可以更好地反映 弹性体中的位移状态和应力状态。 矩形单元 1234 如图 5-1 所示，其边 长分别为 2a 和 2b ，两边分别平行于 x、y轴。若取该矩形的四个角点为节 点，因每个节点位移有两个分量，所 以矩形单元共有 8 个自由度。采用与 上一章的方法，同样可以完成对这种 单元的力学特性分析。然而，如果我 们引入一个局部坐标系 、 ，那么 就可以推出比较简洁的结果。
(5-5)
则其中的子矩阵可按下式进行计算


T B i 1 1 S j dd 1 1
k ij Bi D B j tdxdy
T

(i)
如果单元厚度t是常量，则
kij tab

4 1 2

Et

b 1 1 a 1 1 i j i j 1 i j a i j 3 2 b 3 1 i j i j 2
显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的
等参元。但是，更常用的等参元，并不是这种单元，而是4结 点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。
问题：能否利用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的 任意四边形单元的计算公式？ 思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形 ，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到， 则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。 重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关 系 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边 形的单刚矩阵
模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常 量，这一点可以从 [B]的表达式中看出。另外，位移模式 (a)中的 1、 2、 3、 5、 6、 7与三角形单元相同，它 反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上( =±1 或 =±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单 元的公共边界上，其位移是连续的。
(5-1)
其中 (xi , yi）是节点i的整体坐标，i =1,2,3,4。
在局部坐标系中，节点i的坐标是( 为±1。取位移模式
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
i
,
i )，其值分别
(a)
将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的 位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中 的8个未知参数 1， 2，…， 8，再把这些参数代回(a)式 中，便可得到用节点位移表示的位移模式 4
为此，我们希望找到一种单元，一方面它具有较高次的位移模 式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，即或是单元网格划分 的比较疏些，也可以得到比较好的计算精度；另一方面，它又能很 好地适应曲线边界和非正交的直线边界。等参元就具备了上述两条 优点，因而得到广泛应用。
前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内 位移用形函数表示为