初一认识三角形同步讲义
初中七年级上册数学认识三角形(基础)知识讲解
认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类；4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数．②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数．③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形.②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.③ 直角三角形：有一个内角是直角的三角形. “直角三角形”用符号“Rt △”表示，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边. 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形也叫做正三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从线段名称 三角形的高三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言 过点A 作AD ⊥BC 于点D ． 取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB 于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是三角形．【答案】直角【解析】解：设三角分别为2x，3x，5x，依题意得2x+3x+5x=180°，解得x=18°．故三角36°，54°，90°．故填直角．【总结升华】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中最大内角的度数，便可判断出此三角形的形状.举一反三：【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形．A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断【答案】C类型三、三角形的三边关系4. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能构成三角形． 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b .举一反三： 【变式】（2015•杭州模拟）已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ）A. 12B. 11 C . 8 D. 3 【答案】C ．类型四、三角形中重要线段6. （2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1。
新初一数学衔接讲义三角形有关概念与性质-学生-春季班
学科教师辅导讲义学员学校：年级：七年级课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题三角形有关概念与性质考点及考试要求1.复习三角形的有关概念，会画三角形的角平分线、中线、高、中位线。
2.加深对三角形的内角和定理及其推论的理解，并能灵活运用三角形性质解决题。
3．通过练习逐步培养学生应用技巧和探究问题的能力。
三角形有关概念与性质知识梳理一、三角形的基本概念及性质1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共顶点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．角的一边与另一边反向延长线所组成的角叫做三角形的外角：2．三角形中的几条主要线段(1)三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的三条角平分线交于一点．(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线交于一点．(3)三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的三条高交于一点．3．三角形的主要性质三角形边的性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边．(2)三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角．(3)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．三角形的角的性质(1)三角形的三个内角之和等于180(2)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和．4．三角形的分类热身练习1. 已知：三角形的三边长为3，8，，求x的取值范围。
2. 已知：中，，D点在BC的延长线上，使，，，求α和β间的关系为？3. 如图，中，的平分线交于P点，，则（）A. 68°B. 80°C. 88°D. 46°4. 已知：如图，AD是的BC边上高，AE平分。
认识三角形辅导讲义
平面图形的认识（二）--认识三角形辅导讲义=-----+-+b a c a c b c b a c b a 、、3.三角形的三边关系及其应用①三角形任意两边之和大于第三边,故同时满足△ABC 三边长a 、b 、c 的不等式有：a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ．②三角形任意两边之差小于第三边，故同时满足△ABC 三边长a 、b 、c 的不等式有：a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．应用范围：判定给定的线段能否围城三角形1.下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是（ ）A ．a ，a-3，3(a>3)B ．a ，a+4，a+6（a ＞0）C ．a ，b ，a+b （a ＞0，b ＞0）D ．a+1，a+1，2a （a ＞0）化简代数式2.已知三角形的三边为 ,化简已知两边确定第三边的边长或者周长的取值范围3.在△ABC 中，若AB=AC,其周长为12，则AB 的取值范围是﹙﹚A.AB ＞6B.AB ＜3C.3＜AB ＜6D.4＜AB ＜74.已知三角形两边长分别为5,7,则周长的取值范围为_________,若最长边为x,则x 的取值范围为_______,证明线段间的不等关系5.如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，点E 在ΔABC 的内部，连接EB,EC说明：(1)AB+CD<AC+BD;AB+AC>EB+EC;(2)若AB=6，AC=7，BC=11，求EB+EC 的取值范围。
4.三角形的三线及其交点位置1、下列说法错误的是( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2.在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长．3.如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空：⑴BE= =21 ；⑵∠BAD= =21 ⑶∠AFB= =9004.如图所示，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ACD 的中线，已知DE=2cm ，求BD ，BE ，BC 的长．5.如图，若AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，且EP ⊥EF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，∠BEP=40°，则∠EPF 等于___________二、与三角形有关的角1.三角形的内角和为180°，该定理主要用于已知各角之间的关系，求各角或证明角之间的关系。
七年级数学——三角形讲义
第七章 三角形【知识点】1、三角形的定义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ；2、三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 一、【探究新知】 一）、三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.二）、三角形三边的不等关系探究：任意画一个△ABC （如图）,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。
同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③由式子①②③我们可以知道什么？三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边. 推论：三角形的任意两边之差小于第三边。
（注意:三边关系是三条线段能否构成三角形的条件） 练习：1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A. 3cm, 4cm, 8cmB. 8cm, 7cm, 15cmC. 13cm, 12cm, 20cmD. 5cm, 5cm, 11cm 2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，10三）、三角形的分类三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类:三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形钝角三角形三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。
第10讲 认识三角形与图形全等-七年级数学下册同步精品讲义
第10讲认识三角形与图形全等目标导航知识精讲知识点01三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．【知识拓展1】（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【即学即练1】（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【即学即练2】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．知识点02三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【知识拓展2】（2021秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【即学即练1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•思明区校级期末）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF知识点03三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【知识拓展3】（2021秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【即学即练1】（2021秋•同安区期末）如图，S△ABD＝S△ACD，已知AB＝8cm，AC＝5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是cm．【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，AD＝2cm，△ACE的面积是3cm2，则BC＝cm．知识点04三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）【知识拓展4】（2021秋•泉州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为（）A．10B．9C．6D．【即学即练1】（2021秋•莱州市期末）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D．若BC ＝6，则CD＝．【即学即练2】（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．知识点05三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【知识拓展5】（2021秋•樊城区期末）若线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是（）A．P点一定在直线AB上B．P点一定在直线AB外C．P点一定在线段AB上D．P点一定在线段AB外【即学即练1】（2021秋•宜春期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．4，5，9【即学即练2】（2021秋•岑溪市期末）已知一个三角形有两边长分别为3和9，则它的第三边长可能是（）A．4B．5C．6D．7知识点06三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．【知识拓展6】（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACD，若∠A＝80°，则∠D的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°【即学即练2】（2021秋•连江县期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A＝n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（）A．45°+n°B．90°C．90°﹣D．180°﹣n°知识点07全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【知识拓展1】（2021秋•潜江期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形【即学即练1】图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝180°【即学即练2】（2021秋•辛集市期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组B．4组C．5组D．6组知识点08直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【知识拓展8】（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【即学即练1】（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C ＝度．能力拓展【考点1】：认识三角形例题1．（2021·石家庄市第四十一中学七年级期末）若三角形的两边长是2cm 和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm【变式1】（2021·山东烟台市·七年级期末）用直角三角板作ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【变式2】（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC BC ⊥，CD AB ⊥于点D ，则下列线段关系成立的是（ ）A ．AD BC AB +< B ．BD AC AB +< C ．2BC AC CD +>D ． AC BC AB +<例题2．（2020·辽宁锦州市·七年级期末）已知三角形ABC ，且AB =3厘米，BC =2厘米，A 、C 两点间的距离为x 厘米，那么x 的取值范围是________．【变式1】（2021·广西南宁市·七年级期末）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段1AP 剪开，留下三角形1ABP ；第二次取1BP 的中点2P ，再沿着2AP 剪开，留下三角形2ABP ；第三次取2BP 的中点3P ，再沿着3AP 剪开，留下三角形3ABP ；…，如此进行下去，在第n 次后，被剪去图形的面积之和是________．【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知直线//m n ，将一块含有45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D ．若124︒∠=，则2∠的度数为_______．例3．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知B DAC x ∠=∠=，2C BAD x ∠=∠=． （1）求C ∠的度数；（2）如图，如果ACF BCF ∠=∠，试比较AEC ∠和BFC ∠的大小．【变式1】（2021·浙江台州市·七年级期末）如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ； （2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．【变式2】（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【考点2】：图形的全等例题1．（2001·浙江省杭州第十中学七年级期末）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【变式1】（2020·四川成都市·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【变式2】（2020·山东泰安市·七年级期末）下列说法正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．两个等边三角形是全等三角形D ．全等三角形是指两个能完全重合的三角形例题2．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个33⨯的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【变式1】（2020·重庆七年级期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【变式2】（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，ABC ADE ≅，如果5,7,6AB cm BC cm AC cm ===，那么DE 的长是______．例题3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式1】（2018·全国七年级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．（1）求证：BD＝BC；（2）若BD＝6cm，求AC的长．【变式2】（2019·山东青岛市·七年级期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•思明区校级期末）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2021秋•东城区校级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝4，AC＝6，那么△ACD的面积是（）A．10B．12C．16D．243．（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，5，10D．3，7，94．（2021秋•全椒县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（）A．5°B．4°C．8°D．6°5．（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝（）A．60°B．90°C．100°D．120°6．（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°二．填空题（共8小题）7．（2021秋•岚皋县校级月考）图中以AE为边的三角形共有个．8．（2021秋•天河区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．9．（2021秋•定海区校级月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．10．（2021秋•港南区期中）如图，BD、CE是△ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是．11．（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．12．（2021秋•巢湖市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．13．（2021秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是．14．（2021秋•大连月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是°．三．解答题（共3小题）15．（2021秋•启东市期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．16．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．17．（2021秋•临漳县期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB 于点H，则∠DCH的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°3．（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．（2021秋•忠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD 沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°5．（2021秋•密山市期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝4，则S△ABC等于（）A．16B．24C．32D．306．（2021秋•潮安区期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．4B．2C．6D．87．（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A'，AD＝A'D'；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A'，∠D＝∠D'；④AD＝A'D'，CD＝C'D'．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．上述条件中符合要求的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④二．填空题（共8小题）8．（2021秋•博兴县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是．9．（2021秋•平罗县期末）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝．10．（2021秋•博白县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为．11．（2020秋•十堰期末）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于．12．（2021秋•鹿城区校级月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，连接BE并延长交AD于点F，若AG＝2BG，则＝．13．（2021春•东阳市期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：（1）裁去的每个小长方形面积为cm2．（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为．14．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC 于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝．15．（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．17．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE 平分∠BAC，求∠EAD的度数．18．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．19．（2021秋•邗江区期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝∠COE；（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．题组C 培优拔尖练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，则的最大值是（）A．B．1C．D．2．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．53．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题（共3小题）4．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD ＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）5．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A4B4C4，则其面积S4＝．6．（2021春•宝应县月考）如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是．三．解答题（共5小题）7．（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．8．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC 的度数．（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．10．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．11．（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE 边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．。
三角形的初步认识-讲义
第一章-三角形的初步认识-讲义()(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--航舟教育教师辅导讲义锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。
而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。
经典例题：1、如下左图，在△ABC 中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于 .2、如上中图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC= 。
3、在ABC ∆中，如上右图，CD 平分ACB ∠，BE 平分ABC ∠，CD 与BE 交于点F ， 若120DFE ∠=︒，则A ∠=4、如下左图16，已知∠1=42°，∠2=30°，∠3=38°，则∠4=_________。
5、如上右图，△ABC 中，AB=AC=13cm ，AB 的垂直平分线交AB 于D,交AC 于E,若△EBC 的周长为21cm,则BC= cm.6、如右图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为( )根A 、165B 、65C 、110D 、557、如图，矩形ABCD 中(AD>AB)，M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上，则∠ANB+∠MNC=____________；8、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：AB CDEPA BCE D第20题A BCD NM对应边：AB=AD、BC=DE、AC=AE．【例3】如例图3，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，求AB的长．【分析】 AB不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为AB=CD而AB+CD=AD-BC，可利用已知的AD与BC求得．【解】∵△ACF≌△DBE，∴∠E=∠F∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD ∴AB+CD=2AB=AD-BC=9-5=4（cm）∴AB=2（cm）（例1图）（例2图）（例3图）学生练习：1、如图1，△ABF≌△CDE，则（）A．∠B=∠ECD B．∠A=∠ECD； C．AF=CE D．AB=CE（1）（2）（3）2、如图2，在△ABC中，AB=BC=CA，AD=BE=CF，但D、E、F不是AB、BC、CA•的中点，又AE、BF、CD分别交于M、N、P．•如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组3、如图3，已知△ABC≌△BAD，AC=•BD，•这两个三角形的对应边是______•与______，_____与_____，______•与______；•对应角是______•与_______，•______•与_____，______与______．4、如图4，△AOB绕O点旋转180°，可以与△COD重合，•这表明△______•≌△_______，则AB=______，OB=______，OA=_______；∠BAO=_______，∠ABO=_______，•∠AOB=________．（4）（5）（6）5、如图5，△ABC≌△ADE，∠B和∠D是对应角，那么根据__________•可知AB=_____，AC=______，∠ACB=______．因为BE=AB-______，DC=AD-______，所以BE=•____．因为∠BCD=_______-∠ACB，∠BED=_______-∠AED，所以∠BCD=_______．7、如图6，•把△ABC•沿直线BC•平行移动至△DEF，•则相等的边是______=______，______=______，______=_______．8、如图，△ABC≌△DEF，AB和DE是对应边，∠A和∠D是对应角，•找出图中所有相等的线段和角．9、如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将△ABC、∠DAB分别对折．•如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，C和D均落在F点，你能获得哪些结论10、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B•′交AC于D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数．三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。
初一数学：三角形课堂讲义
第三章三角形第一讲与三角形有关的线段一、与三角形有关的线段（一）.知识梳理：＝∠CAD＝∠BAC（二）.典型例题：例1：如图1，图中共有多少个三角形？图一[答疑编号500200030101] 『正确答案』图中共有8个三角形。
例2：在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长。
[答疑编号500200030102] 『正确答案』AB=AC=8 BC=11或AB=AC=10 BC=7例3：（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；[答疑编号500200030103] 『正确答案』1cm<C<11cm（2）已知三角形的三边分别为14，4 x和3 x，求x的取值范围；[答疑编号500200030104] 『正确答案』2<X<14（3）已知三角形的三边分别为a，a－1和a＋1，求a的取值范围。
[答疑编号500200030105] 『正确答案』a.>2例4：如图3，在小河的同侧有A，B，C三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。
图3[答疑编号500200030106]例5 （1）已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长.[答疑编号500200030107] 『正确答案』22cm或20cm（2）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长.[答疑编号500200030108] 『正确答案』12cm和12cm例6已知：如图4，在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边的长.[答疑编号500200030109] 『正确答案』AB=6cm BC=4cm 或 AB=BC=第三章三角形第二讲与三角形有关的角二、与三角形有关的角（一）、知识梳理（二）、经典例题例1.下列四个图中能说明∠1>∠2的图是（ ）[答疑编号500200030110] 『正确答案』C 例2.已知：如右图（1），直线AB∥CD，直线EF 分别交AB,CD 于点E,F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，试说明：∠P=90o.图（1）[答疑编号500200030111]例3.如右图（2），在锐角三角形ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，且CD,BE交于一点P，若∠A=50o，求∠BPC的度数。
三角形基础 全等三角形 讲义
三角形基础全等三角形讲义一、三角形的定义与基本元素三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
这三条线段就是三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形有三条边、三个内角和三个顶点。
边可以用小写字母 a、b、c 表示，角可以用大写字母 A、B、C 表示。
例如，边 a 所对的角就是角 A。
三角形按照边的关系可以分为等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和不等边三角形（三条边都不相等）；按照角的大小可以分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。
二、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。
这是三角形的一个重要性质，可以通过多种方法来证明。
比如，我们可以将三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现正好组成一个平角，也就是 180°。
又或者，我们作三角形一条边的平行线，利用平行线的性质，也能证明三角形的内角和是 180°。
这个性质在解决很多与三角形内角有关的问题中非常有用。
三、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
例如，在三角形 ABC 中，外角∠ACD 等于∠A ＋∠B。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
四、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个关系可以通过实际操作来理解。
比如，我们用三根长度分别为3cm、4cm、5cm 的小棒来摆三角形，能摆成一个三角形；但是如果用1cm、2cm、4cm 的小棒，就无法摆成三角形。
在判断三条线段能否组成三角形时，只需要判断两条较短的线段之和是否大于最长的线段即可。
五、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
初一数学三角形教学辅导讲义.doc
初一数学三角形辅导讲义年级：初一辅导科目：数学课时数：3课题三角形教学目的教学内容一、【中考要求】了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性，探索并掌握三角形中位线的性质，了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。
了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质，探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念。
探索并掌握直角三角形的性质，探索并掌握一个三角形是直角三角形的条件，体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
会算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行度、分、秒的简单换算，了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角等概念。
二、【三年中考】1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cmC．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()A．4 B．3 C．2 D．11．(2008·嘉兴)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．(2009·金华)如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是() A．32°B．58°C．68°D．60°9．(2008·温州)以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是()A．32 B．64 C．128 D．25610．(2008·金华)把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C，B，E在同一条直线上，连结CD，若AC＝6 cm，则△BCD的面积是________ cm2.三、【考点知识梳理】（一）三角形的概念与分类1．由三条线段首尾顺次连接所围成的平面图形，叫做三角形．2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．（二）三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。
七年级数学下册第四章三角形1认识三角形三角形的认识讲义【北师大版】-(9908)
10.直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的 2 倍，求这个锐角的度数。
3
11.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=
。
1
40° 2
4
知识点 3 三角形的高线、中线、角平分线
1.如图 1，AD 是△ABC 的∠A 的平分线，若∠B=450，∠C=740，则∠ADB=
；
2.如图 2，∠A=360，∠C=720，BD 平分∠ABC，则∠ABD 的度数是
点 B 所对的边 AC 表示为 b，顶点 C 所对的边 AB 表示为 c
知识点 2 三角形的性质
1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小
于第三边。
三角形的内角关系：三角形内角和为180
3.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝
角三角形。其中直角三角形的两个锐角互余
第8题
第9题
【巩固练习】
1.三角形的三个内角中最多有
个锐角，
个钝角，
个直角；三角
形的三个内角中最少有 个锐角。
2.如果一个三角形三个内角分别是 450，450，900，那么这个三角形按角分类叫
做
三角形。
3.如图 1：△ABC 中，BD＝CD，∠1＝∠2 ，那么 ED 可以看作是△
的中线，
可以看作是△ABD 的角平分线。
、∠3＝
.
6.已知△ABC 中，∠A＋∠B＝∠C，那么这个
三角形是
三角形；已知△ABC 中，
∠A＝400，∠B＝6∠C，则∠B＝
。
7.三角形的两条边的长分别是 2 和 7,第三条边的长 x 的取值范围是
。
8.等腰三角形的两条边长分别为 4cm 和 7cm，那么这个等腰三角形的周长为
等边三角形 直角三角形 讲义
等边三角形直角三角形讲义一、三角形的基本概念在我们开始深入探讨等边三角形和直角三角形之前，让我们先回顾一下三角形的一些基本概念。
三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。
它有三个顶点、三条边和三个内角。
三角形的内角和始终为 180 度。
二、等边三角形（一）定义与特点等边三角形，顾名思义，就是三条边长度都相等的三角形。
由于三条边相等，所以三个角的度数也相等，每个角都是 60 度。
它具有极高的对称性，无论是旋转还是翻转，都能保持不变。
（二）性质1、等边三角形的三条边相等。
2、三个内角相等，均为 60 度。
3、等边三角形是锐角三角形。
4、它的内角平分线、中线、高线三线合一。
（三）周长与面积1、周长：由于三条边相等，假设边长为 a，那么周长 C ＝ 3a 。
2、面积：可以使用公式 S ＝√3/4 a² 来计算，其中 a 为边长。
（四）实际应用等边三角形在生活中有许多应用。
例如，在建筑设计中，一些结构会采用等边三角形的元素来增加稳定性和美观性；在机械制造中，某些零件的形状可能会基于等边三角形的特点进行设计。
三、直角三角形（一）定义与特点直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。
这个 90 度的角被称为直角，另外两个角则为锐角。
（二）性质1、两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
2、直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为 90 度。
（三）直角三角形的种类1、等腰直角三角形：两条直角边长度相等，两个锐角都是 45 度。
2、一般直角三角形：两条直角边长度不相等。
（四）周长与面积1、周长：三边之和，即两条直角边的长度与斜边长度之和。
2、面积：通常使用公式 S ＝ 1/2 ×两条直角边的乘积。
（五）实际应用在工程测量、建筑施工、导航等领域，直角三角形都发挥着重要作用。
比如，测量建筑物的高度、确定两点之间的距离等。
四、等边三角形与直角三角形的关系等边三角形和直角三角形是两种不同类型的三角形，它们有着明显的区别。
北师大版七年级下册第三章三角形讲义
三角形 1．认识三角形1、它的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个内角分别是 。
2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差。
你发现了什么？结论：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边例：有两根长度分别为5cm 和8cm 的木棒，用长度为2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm 的木棒呢？长度为7cm 的木棒呢？ 二、稳固练习：1、以下每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？〔单位：cm 〕 〔1〕 1， 3， 3 〔2〕 3， 4， 7 〔3〕 5， 9， 13 〔4〕 11， 12， 22 〔5〕 14， 15， 302、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 。
假设X 是奇数，则X 的值是 。
这样的三角形有 个；假设X 是偶数，则X 的值是 ， 这样的三角形又有 个3、一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm夯实基础1、填空：〔1〕当0°＜α＜90°时，α是 角； 〔2〕当α＝ °时，α是直角；〔3〕当90°＜α＜180°时，α是 角； 〔4〕当α＝ °时，α是平角。
2、如右图，∵AB ∥CE ，〔已知〕 ∴∠A ＝ ，〔 〕∴∠B ＝ ，〔 〕 〔第2题〕 二、探索练习：根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？〔提出问题，激发学生的兴趣〕结论：三角形三个内角和等于180°〔几何表示〕 练习1： 1、判断：〔1〕一个三角形的三个内角可以都小于60°； 〔 〕 〔2〕一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； 〔 〕 2、在△ABC 中，A BC a bcABCDE123〔1〕∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； 〔2〕∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； 〔3〕2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
2019-2020学年七年级数学第16讲认识三角形培优讲义新人教版
03．如图，∠ O＝140°，∠ P＝100°，BP、CP分别平分∠ ABO、∠ ACO，则∠ A＝ ______________.
【例６】如图，已知∠ B＝35°，∠ C＝47°， AD⊥ BC， AE 平分∠ BAC，则∠ EAD＝
第 16 讲 认识三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段 ( 边、高、中线、角平分线 ) ，会画出任意三角形的高、中
线、角平分线 .
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边
.
3．了解与三角形有关的角 ( 内角、外角 ) .
4．掌握三角形三内角和等于 180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
周长 l 的取值范围是 ______________.
02．设△ ABC三边为 a， b， c 的长度均为正整数，且 a＜ b＜ c， a+b+c＝ 13，则以 a， b， c
为边的三角形，共有 ______________个 .
03．用 9 根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形 （不许折断）并全部用完， 能摆出不同形
的中线，若 S△ ＝ GFC 1cm，则 S ＝ △ABC ______________.
A
E G
B
D
F
C
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由
FG为△ EFC的中线，知 S△ ＝ EFC 2S△ ＝ GFC
2. 又由 EF为△ DEC中线， S ＝ △DEC 2S ＝ △EFC 4. 同理 S△ ＝ ADC 8，S△ ＝ ABC 16.
和.
5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题
.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法
北师版七年级下册数学三角形的初步认识辅导讲义
北师版七年级下册数学三角形的初步认识辅导讲义1、知识框架1.三角形的概念和三角形中的主要线段：三角形的中线、三角形的角平分线和三角形的高。
2.三角形的三边关系和三角关系以及三角形外角和内角的关系。
3.三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4.全等图形及全等三角形的概念。
5.全等三角形的性质和条件。
①SSS ， ②SAS ，③ASA ， ④AAS6.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知角，按给定条件作三角形。
2、对应考点训练考点一：三角形的有关线段例题：如图,ABC 中, ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线相交于点D(1) 若60,40ABC ACB ∠=∠=, 求A ∠和D ∠度数.(2) 由第(1)小题的计算, 发现A ∠和D ∠有什么关系?它们是不是一定有这种关系?请作出说明.针对性练习：DEC BA1. 如图, 在ABC 中, 它的三个内角分别是_________________, 三条边分别是________________________.2. 如图所示图形中, 共有_________个三角形, 其中以B 为顶点的三角形有_______个, 以 AB 为边的三角形有__________个.3. 已知三角形的两边长分别是5cm, 3cm , 第三边的长是偶数, 则第三边的长为________.4. 若三角形的三个内角度数之比为 1:4:4, 则三角形的最小内角的度数是_______.5. 三角形的三个内角中, 最多有______个钝角, ________个直角, __________个锐角.6. 如图,ABC 中, AD 是BC 边上的中线, BE 是ABC 的一条角平分线, 则有:_________=__________=12ABC ∠, _________=__________=12BC .7.在ABC 中, =___________, 它是____________三角形.(填钝角, 直角或锐角)8.如图所示,ABC 一条外角平分线与BC 的延长线交于点D, 已知,CB ACBAEDCBA60,30,A B C ∠=∠=∠则30,100B ACB ∠=∠=则D ∠=__________.9. 如图所示, AD 是ABC 中BC 边上的中线, 已知ABC 的面积为12, 则ACD 的面积等于___________.10. 如图,ABC 中, 80,A ∠= BP 平分ABC ∠, CP 平分ACB ∠, 则BPC ∠=________.11. 以下列长度为边的三条线段能组成三角形的组数是( ) ①1, 2, 3 ; ②2, 3, 4 ; ③3, 3, 3 ; ④2, 2, 5 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图所示, ABC 中AD ⊥BC, AE 是ABD 的角平分线, 则下列线段中最短的是( )A. ABB. AEC. ADD. AC第12,13,14题图13. 在上题条件下中, 若已知50,60B C ∠=∠=, 则EAC ∠的度数为( )DC B AD CB APD CBACD E B AA.60 B. C.40 D.30 14. 由12, 13题的条件可知图中锐角三角形的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 15. 下列说法中正确的是( )A. 三角形的角平分线和中线都是线段B. 三角形的角平分线和中线都是射线C. 三角形的角平分线是射线, 而中线是线段D. 三角形的角平分线是线段, 而中线是射线 16. 有两条边相等的三角形中, 其中两边的长为3cm 和6cm, 则这个三角形的周长可能是( ).A. 6cmB. 12cmC. 15cmD. 12cm 或15cm 17. 如图所示, 若有,BAD CAD BCE ACE ∠=∠∠=∠, 则下列结论中错误的是( )A. AD 是ABC 的角平分线B. CE 是ACD 的平分线 C. 12BCE ACB ∠=∠ D. CE 是ABC 的平分线18. 如图,ABC 的三个内角大小分别为x, x, 3x, 则x 的值为( )A. 24B. 30C. 36D. 4019. 一个三角形的外角共有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个20. 我们知道三角形的内角和为180, 而四边形可以分成两个三角形, 故它的内角和为50AECD B A CBx3xx2180360⨯=, 五边形则可以分成3个三角形,它的内角和为3180540⨯=(如图),依次类推, 则八边形的内角和为( )1个三角形 2个三角形 3个三角形A. 900B.1080 C.1260 D.144021.已知三角形的一个外角等于60, 且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中, 其中一个比另一个大10, 则这个三角形的三个内角分别是多少?22.如图所示, AD 是ABC 中BC 边上的中线, AB=6cm, AC=5cm, 求ABD 和ADC 的周长的差.23.如图, 在直角ABC 中, 90ACB ∠=, CD 是AB 边上的高, CE 是ABC 的角平分线.已D CB A知110CEB ∠=, 求,ECB ECD ∠∠的度数.24. 如图,ABC 中, BM,BN 三等分ABC ∠, CM,CN 三等分ACB ∠,且54A ∠=, 求BNM ∠度数.考点二：三角形全等的条件E D BA CNMCBA典型例题：例题：如图△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .求证：①AE =CD ； ②若AC =12 cm ，求BD 的长.针对性练习：1.如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上，若△ADE ≌△BDE ≌△BDC ，则∠A 的度数为（ ）A.15°B.20°C.25°D.30°2.△ABC 中，∠B=∠C ，若与ABC 全等的三角形中有一个角是92°,则这个角在△ABC 中的对应角是( )A.∠AB.∠A 或∠BC.∠CD.∠B 或∠C3.张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是( )A.带1去B.带2去C.带3去D.三块都带去4.下列条件中，不能判定两个三角形全等的条件是( ) A.两边一角对应相等 B.三边对应相等C.两角一边对应相等D.两边和它们的夹角对应相等5.如图，直线表示三条公路，现要建成一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()第5题第3题第1题ca b321CDEBAA.一处B.两处C.三处D.四处6.如右图，△ABC 中，∠C=90°,AC=BC ，AD 平分∠CAB 交于BC 于点D ，DE ⊥AB ，且AB=10cm ，则△BED 的周长为( )A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm7.面积相等的两个三角形 ( )A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对8.如图，将两根钢条AC 、BD 的中点O 连在一起，使AC 、BD 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个 测量工件，则DC 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△ODC 的理由是( ) A.边角边 B.角边角C.边边边 D.9.如图，工人师傅在砌门时，常用木条EF 固定门框ABCD 使其不变形，这种做法的根据是（ ）A.两点之间线段最短 B.矩形的对 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 10.如图,P 为正方形ABCD 内一点,将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合,若PB=3,则PP ′等于( )A. B.6C.3D.11. 如果△ABC ≌△A ′B ′C ′,若AB=A ′B ′,∠B=50°,∠C=70°,则∠A ′= 。
七年级数学下册同步备课课件认识三角形
典例赏析
例2 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
解：取长度为2cm的木棒时，由于 2＋5＝7＜8，出现了两边之和小于第三 边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13 cm的木棒时，由于5＋8＝13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能 摆成三角形.
2 如图，在△ABC中，BC＝BA，点D在AB上，且AC＝CD＝DB，则图中的等腰三角形有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个
3 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A．2，3，4 B．5，7，7C．5，6，12 D．6，8，10
（1）
（2）
（3）
将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
思考：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
三个角都是锐角的三角形
有一个角是直角的三角形
有一个角是钝角的三角形
三角形的分类
锐角三角形
三个内角都是锐角
钝角三角形
有一个内角是钝角
直角三角形
七
下
数
学
第四章 三角形第1节 认识三角形（第1课时）
导入新课
讲授新课
课堂小结
随堂训练
1 认识三角形并会用几何语言表示三角形.2 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）3 会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）4 会按角的大小对三角形进行分类. （重点）
下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.
认识三角形(第课时)同步课件 北师大版数学七年级下册
巩固练习
5.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是 ∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则 ∠EAD+∠ACD=（ A ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
பைடு நூலகம்
巩固练习
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°， ∠2=20°，则∠B=_______．
课程结束
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
巩固练习
3.三角形的三条高的交点在（ D ） A．三角形的内部 B．三角形的外部 C．三角形的边上 D．三角形的内部、外部或边上
4.下列说法正确的是（ C ） A．三角形的角平分线是射线 B ．三角形的高是一条垂线 C ．三角形的三条中线相交于一点 D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部
数学
北师大版 七年级下册
4.1 三角形的高线 第4课时
教学目标
1.理解三角形的高的定义，三角形高的性质； 2.会画三角形的高，特别是钝角三角形的高。 3 学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应 用和自主探究意识，培养学生的动手实践能力， 与合作精神，树立学好数学的信心.
温故知新
定义
垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条 直线叫做另一条直线的垂线
A
分析：根据已知条件用∠A表示出
∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出
∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角
E
形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平
D
分线的定义求出∠ACE即可．
C
B
2019精品寒假讲义七年级3：7.4认识三角形
．现有四根木棒，长度分别为4 cm、6 cm、8 cm、10 cm．从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为A．1 B．2 C．3 D．4、B、C、D四点可以构成______个三角形，请写出这些三角形：____________．如图，填空：ABC内，写出图中所有的三角形：______________________；是△______和△______的边；个内角是__________________，三条边是________________．．已知三角形的两条边长分别为5 cm和2 cm．如果这个三角形的第三条边长为偶数，求它的第三条边长及周长．ABC的中线，AE、AF分别是△BAD、△CAD的角平分线，且么＝12______；(2) ∠BAE=∠______＝12______；＝∠______＝12∠DAC；(4) ∠EAF＝12∠______．．一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的顶点，则这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都可能．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且S△ABC＝4，则S阴影为( )A．2 B．1 C．12D．14．如图，∠ACB＝90º，AD＝BD，DE⊥BC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，则在△ABC中，______是AB边上的高，______是BC边上的高，______是△ABC的中线；在△BCD中，______是BC 上的高，______是BD边上的高．．如图，填空：(1) AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______；12．如图，若AB＝CD＝2 cm13．(1)已知等腰△ABC12，求△ABC的各边及。
七年级数学下册 第四章 三角形 1 认识三角形同步课件
图4-1-5
第十五页，共六十页。
点拨 (1)实际问题首先需要抽象(chōuxiàng)为几何模型,为此,视村庄为点,道路为
线,路程的长短用线段和的不等关系表示.
(2)解决几条线段间的不等关系,应利用三角形的三边关系,为此,连接 AB,得BD+DA>AB,CA+CB>AB,但仍无法得出结论,故可考虑构造另外的 三角形,找到所要说明的线段之间的关系.
以求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各
个内角的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直 角 三 角 形:有 一 个 角 是 直 角 的 三 角 形 锐 角 三 角 形:三 个 角 都 是 锐 角 的 三 角 形 钝 角 三 角 形:有 一 个 角 是 钝 角 的 三 角 形
第二十三页，共六十页。
4.(2017四川巴中中考)若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则
这个(zhège)三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
答案 D 设三个内角(nèi jiǎo)的度数分别为x,2x,3x,根据三角形内角和定理得x +2x+3x=180°,解得x=30°,∴三个内角的度数分别为30°,60°,90°,则这个 三角形为直角三角形,故选D. 知识点三 三角形三边的关系
小于第三边
则有a-b<c,b-c<a,c-a<b
知识详解
应用
(1)判断三条线段能否组成三角形. (2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围
(1)三角形第三边的取值范围:两边之差的绝对值<第三边<两边之和. (2)三角形两边之和是指任意两边的和,应用时通常取两条较短边的和与第三边作比较. (3)三角形两边之差是指任意两边的差,应用时通常取最大边与最小边的差与第三边作比较. (4)三角形三边关系的运用可判断已知的三条线段a,b,c能否构成一个三角形.判断的方法有三种:a.当 a+b>c,b+c>a,a+c>b都成立时,a,b,c可构成三角形;b.当|a-b|<c<a+b时,a,b,c可构成三角形;c.当a最长,且 b+c>a时,a,b,c可构成三角形
初一第六讲认识三角形
第六讲认识三角形1．三角形的概念：(1)什么是三角形呢?三角形是由条不在同一条直线上的线段连结组成的图形，这三条线段就是三角形的。
如图：AB、BC、AC是这个三角形的，两边的公共点叫三角形的。
(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC。
C(2)三角形的内角，外角的概念：每两条边叫做三角形的内角，如∠BAC。
每个三角形有几个内角?三角形中内角的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。
（请标记出一下三角形的外角）B D与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来。
B C(2)指出△ADC的三个内角、三条边。
提问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么?4、有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗? AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗?(4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗?(5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角。
2．三角形按角分类。
?并用量角器或三角板加以验证。
23第一个三角形三个内角都是角；第二个三角形有一个内角是角；第三个三角形有一个内角是角。
定义：叫锐角三角形；叫直角三角形；叫钝角三角形。
三角形按角分类可分为：锐角三角形( 个内角都是锐角)直角三角形( 个内角是直角)钝角三角形( 个内角是钝角)3．等腰三角形、等边三角形的概念：给一下以下三个三角形标上顶点，并说明它们的边各有什么特点?（是否相等？）1经过观察，测量可知：第一个三角形的三边；第二个三角形有条边相等( ＝)；第三个三角形的三边。
定义：(1)等腰三角形：。
叫做等腰三角形的腰，如上图(2)中的是这个等腰三角形的腰。
(2)等边三角形：问：等边三角形是不是等腰三角形?三、巩固练习1、在如图所示的图形中，三角形的个数共有个。
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第09讲认识三角形
变量相关的定义
1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。
2、自变量和因变量。
（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变
量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。
（2）自变量和因变量的区别和联系。
联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速
度为自变量，时间为因变量。
而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。
区别：因变量随自变量的变化为变化。
3、常量：在变化过程中数值始终不变的量。
生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例
知识要
点
一
记作△
ABC ，三个字母之间并无顺序关系。
△ABC
的三边，有时也用,,a b c 来表示。
如图，顶点A 、B 、C 所对的边分别是BC 、AC 、AB ，分别用,,a b c 来表示。
典例分析
例1、如图，图中以AB 为边的三角形的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
例2、下列说法中正确的是（ ）
A ．三角形的内角中至少有两个锐角
B ．三角形的内角中至少有两个钝角
C ．三角形的内角中至少有一个直角
D ．三角形的内角中至少有一个钝角
例3、已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，则∠A ＝______ 例4、△ABC 中，若∠A ＋∠C ＝2∠B ，则∠B ＝______．
例5、△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为____ __
例6、如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A ．图中有三个直角三角形 B ．∠1=∠2 C ．∠1和∠B 都是∠A 的余角
D ．∠2=∠A
例6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AC≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
举一反三
1、如图中三角形的个数是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2、图中三角形的个数是（ ）
A ．8个
B ．9个
C ．10个
D ．11个
3、如图，△ABC 中，∠A=46°，∠C=74°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，那么∠BDC 的度数是（ ）
A ．76°
B ．81°
C ．92°
D ．104°
4、如图，已知△ADC 中，∠A=30°，∠ADC=110°，BE ⊥AC ，垂足为E ，求∠B 的度数
学霸说：
（1）任意一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。
（2）判断一个三角形的形状，只需看最大内角是什么角即可。
5、如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数
三角形三边关系及三角形的“三线”
例1、下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cm D．4cm，7cm，11cm
例2、若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16
C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
例3、三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
例4、下列说法中，其中正确的有（）
①三条线段组成的图形叫做三角形；
②三角形的角平分线是射线；
③三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部；
④三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部．
A．4个B．3个C．2个D．1个
例5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，
则∠B=．
例6、已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，
BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数
1、若三角形三条边的长分别是7，10，x ，求x 的范围。
2、已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC
3、如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积是4cm 2，则阴影部分面积等于（ ） A ．2cm 2 B ．1cm 2 C ．0.25cm 2 D ．0.5cm 2
4、已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE=∠CEF
学霸说：
（1）由三角形的中线找到等量关系进行代换，可以得到线段、面积之间的倍数关系。
（2）根据解题需要，三角形的角平分线可以表示为相等关系、倍数关系和分数关系，应灵活运用。
课堂闯关
初出茅庐
1、如图，AD是△ABC边BC的中线，E、F分别是AD、BE的中点，若△BFD
的面积为6，则△ABC的面积等于（）
A．18 B．24 C．48 D．36
2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
3、△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
4、在△ABC中，∠A=∠B=∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数
5、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC
优学学霸
1、已知：如图△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，
CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，则△ABC的面积是（）
A．25 B．30 C．35 D．40
2、△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B ＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，说明理由．
3、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠
ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F
（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．
（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．请你进行证明．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．请你进行证明．
1、【2015•深圳市校级期中】如图，已知在△ABC 中，两条角平分线BE 和CD 相交于点F ， 若∠BFC=116°，求∠A 的度数．
2、【2016•深圳校级期末】一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°
1、在△ABC 中，AB=4，AC=7，则△ABC 的周长L 的取值范围是
2、如图，在△ABC 中，∠ADC=110°，AD 、CD 分别平分∠BAC ，∠ACB ，则∠ABC=
3、在△ABC 中，∠ABC=∠C ，∠A=80°，进行如下操作：
①以点B 为圆心，以小于AB 长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ； ②分别以E 、F 为圆心，以大于EF 长为半径作弧，两弧交于点M ； ③作射线BM 交AC 于点D ， 则∠BDC 的度数为（ ） A ．100° B ．65°
C ．75°
D ．105°
套路揭密：
（1）求角度中，角平分线能够为我们带来角的相等、倍数等关系，高线能够带来角互余的关系，然后在三角形中利用内角和定理，就可以很轻松求出角度。
4、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5、如图，O为△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，分别过点B、C作PB⊥BO，PC⊥CO，若
∠A=70°，求出∠P的度数．
6、如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求
∠C的度数．。