用Abaqus进行压电(Piezoelectric)悬臂梁模拟入门详解_第二版

用ABAQUS 进行压电（Piezoelectric ）悬臂梁模拟入门详解作者：X.C. Li 2014.8 （第二版）本文着重讲述在用ABAQUS 模拟压电材料时，材料常数的设置。

希望对入门者有所帮助。

如果发现错误请发邮件到：Lxc1975@ 。

1. 问题描述柱状体10×4×2如下图左端固定，右端自由；上表面受均匀压力500；上、下表面电压分别为50V 、0V 。

压电材料PZT-4，选z-方向（该方向上尺寸为2）为极化方向，文献Haojiang Ding, Jian Liang ： The fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method 给出的材料常数111213334466111212.6, 7.78, 7.43, 11.5,2.56, 0.5()c c c c c c c c ======-（10210N m -⨯⋅）；15313312.7, 5.2, 15.1 e e e ==-=（-2C m ⋅）；-121103300=730, =635, =8.8541910 λελεε⨯⨯⨯（1-1C V m -⋅）这些常数在ABAQUS 中的输入将在本文2.3中详细说明。

必须说明的是以上材料常数所对应的的本构关系：111213121113131333444466 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 xx xx yy yy zz zz yz yz zx xy c c c c c c c c c c c c σεσεσεσγσγσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦31313315150 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0x y z zx xy e e E e E e E e γ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 15111511333131330 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 00 0 0 0 0xx yy x x zz y y yz z z zx xy E D e D E e e e e D E εελελγλγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 求解过程2.1. Part 模块选3D ，Deformable ，Solid ，通过Extrusion 构造一个Piezoelectric 梁。

2.2. Property 模块2.2.1 在这个模块中要进行3种参数输入：1）material editor: Mechanical->Elasticity->Elastic : Type : Orthotropic ；输入应力与应变之间的关系系数，弹性模量，一般为正交各向同性Type : Orthotropic 。

2）material editor: Other->Electrical->Piezoelectric : Type: Stress or Strain ；输入力与电耦合关系系数。

在文献中压电常数最为常见，与之对应的是Type: Stress 。

3）material editor: Other ->Electrical ->Dielectric : Type: Isotropic or Orthotropic or Anisotropic ；输入介电常数。

论文中常见横观各向同性，与之对应的是Type: Orthotropic 。

2.2.2 压电材料的本构方程压电材料的本构方程有多种形式，每种形式当然对应一组材料常数。

在ABAQUS 中，如果选择material editor: Other ->Electrical ->Piezoelectric : Type: Stress ，压电材料的本构方程使用的e -form （the constitutive equations in the e -form are used ）:在文献中常用i D 表示电位移分量，ijkl c 表示弹性模量，ij λ表示介电常数（也常用ij ε表示介电常数，但这与应变符合冲突）。

ABAQUS 中用i q 表示电位移分量，ijkl D 表示弹性模量，ij D 表示介电常数。

如果选择material editor: Other ->Electrical ->Piezoelectric : Type: Strain ，压电材料的本构方程使用的g –form （The constitutive equations in the g -form can also be expressed as ）：2.2.3 材料常数输入规则这里仅讨论e -form 的本构关系。

在ABAQUS 中，双下标二阶张量记号11, 22, 33, 12, 13, 23分别对应矢量分量1, 2, 3, 4, 5, 6。

因此按照这种排序规则，前面提到的Ding 和Liang 的论文中的本构关系应该写成如下形式，强调一下，3-方向为极化方向。

11121311112212111322333313133312126613442344 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 c c c c c c c c c c c c σεσεσεσγσγσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦313113323151315230 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0e e E e E E e e γ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11221511113321511212333331313313230 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0e E D D e E D E e e e εελελγλγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦以上本构方程，用ABAQUS 中的符号给出，其形式如下：1111112211331122112222223322333311332233331212121323 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 D D D D D D D D D D σσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3 111122 3 2233 3 3312 1 13131313 2 2323230 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 e e e e D e D εεεγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12323 0E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11221 131111332 2 232221233333 11 3 22 3 3313230 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0e D E q q e D E q D E e e e εεεγγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥⎥⎢⎥⎦ 通过以上两组本构方程的对照，不难看出将在ABAQUS 中1111D 位置应该输入11c ，以此类推， 2 23e 位置应该输入15e ，11D 位置应该输入11λ。

111111112212113313333333232344121266111212.6, 7.78, 7.43,11.5, 2.56, 0.5()D c D c D c D c D c D c c c ============-（10210N m -⨯⋅）；1112134466111212.6, 7.78, 11.5, 2.56, 0.5()c c c c c c c =====-1 1315 3 1131 3 333312.7, 5.2, 15.1 e e e e e e ====-==（-2C m ⋅）；-1211110333300=730, =635, =8.8541910 D D λελεε=⨯=⨯⨯（1-1C V m -⋅）此外，由于是横观各向同性，有111122222323131311332233, , D D D D D D ===； 1 13 2 23 3 11 3 22, e e e e ==；1122 D D =。

再补充一点，同一种材料，当极化方向用不同记号表示时，其压电系数矩阵是不同的。

上面是用3-方向表示极化方向的压电常数矩阵，如果用1-方向表示极化方向的压电常数矩阵应该是1 11 1 22 1 33 2 12 3 13 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，转置形式为 1 111 221 33 2 12 3 13 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变换的规则就是指标轮换，也就是3->1,1->2,2->3。

比如，用3-方向表示极化方向时的 1 13e ，在用1-方向表示极化方向时变换为 2 21e ，即 2 12e ，放在系数矩阵的第2行第4列。

或者，将1-方向为极化方向时，本构方程写为写成2222223322112233223333331133112211331111112323232131 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 D D D D D D D D D D σσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1 222233 1 3311 1 1123 2 21212121 3 3131310 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 e e e e D e D εεεγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦23131 0E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 222211223312221113111133313144232366111212.6, 7.78, 7.43,11.5, 2.56, 0.5() 2.41D c D c D c D c D c D c c c ============-=（10210N m -⨯⋅）；2 2115 1 2231 1 113312.7, 5.2, 15.1 e e e e e e ====-==（-2C m ⋅）；-9-92211011330-120=730=6.46310, =635=5.62210, =8.8541910D D λελεε=⨯⨯=⨯⨯⨯（1-1C V m -⋅） 此外，由于是横观各向同性，有 222233333131212122113311, ,D D D D D D ===； 2 21 3 31 1 22 1 33, e e e e ==；2233 D D =。