2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第五节 变量间的相关关系、统计案例 理

第五节 变量间的相关关系、统计案例

知识梳理 1．散点图．

(1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________．

(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．

答案：1.（1）散点图

2．相关关系．

(1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________．

(2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________．

(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．

答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关

3．回归直线．

(1)最小二乘法：如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a

＋bx n )]2，使得上式达到最小值的y ^＝b ^x ＋a ^

就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法．

(2)在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^

＝

∑i ＝1

n

x i －x

y i －y

∑i ＝1

n

x i －x

2

＝

∑i ＝1

n

x i y i －n x

·y

∑i ＝1

n

x 2

i －n x

2

，a

^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立检验：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；

(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

＝________，其中x ＝

x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n

.b ^叫做回归直线方程的斜率，a

^

是直线在y 轴上的截距．

答案：3.y -b ^

x

4．相关系数．

r

＝

∑i ＝1

n

x i －x

y i －y

∑i ＝1

n

x i －x

2

y i －y

2

，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r ＞0时，表明两个变量________； (2)当r ＜0时，表明两个变量________；

(3)r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性______；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r |＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．当|r |∈[0.3,0.75)时，相关性一般．当|r |∈[0,0.25]时，相关性较弱．

答案：4.（1）正相关 （2）负相关 （3）越强

5．残差分析．

(1)线性回归模型：y ＝bx ＋a ＋e 中，a ，b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差．

(2)残差平方和：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，Q ＝∑i ＝1

n

(y i －y )称为残差平方

和，Q 值越小，说明线性回归模型的拟合效果越好．

(3)相关指数：用相关指数R 2来刻画回归的效果，公式是R

2

＝ . R 2的值越大，说明残差平方和越小，也

就是说模型拟合效果______．

答案：5.越好

6．独立性检验．

(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为分类变量． (2)列出两个分类变量的频数表，称为列联表．

(3)利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的________．

2×2列联表

独立性检验公式K 2＝__________________.

答案：6.（3）独立性检验

n （ad －bc ）2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

基础自测

1．下列命题：

①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．

其中正确的命题为( )

A ．①③④

B ．②④⑤

C ．③④⑤

D ．②③⑤

答案：C

2．(2013·武昌调研)通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线

由K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），算得K 2

＝

260×50×60×50

≈7.8.

附表：

A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”

B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”

C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”

D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”

解析：因为K 2

＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50

≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为

“选择过马路的方式与性别有关”．

答案：A

3．(2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，

x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1

2

x

＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为__________________．

解析：所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1. 答案：1

4.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：