量子力学第十一章

第十一章：量子跃迁

[1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：

（1）跃迁选择定则。

（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。

（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。

（1）跃迁选择定则：

为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）

)(34/

/'2

22

2

k k k k k k r q W ωρπ→

=

（1）

式中2

'

→

k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→

k

k

r /

仅有一项

2

/k

k x )(34/

/'2

22

2

k k k k k k x q W ωρπ

= （2）

根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ⎰

∞

∞

-=

)

0('

/ψ （3）

式中)(2

)(!)0(ax H k a

x k k

k

πψ

=

，

μω=

a

~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2

12

{

1

)0(1

)0(1

)0(+-++

=

k k k

k k x ψ

ψ

α

ψ

（4）

代入（3），利用波函数的正交归一化关系：

mn n

x

n

dx δψ

ψ

=⎰)0(*

)0(

dx

k k x k k k

k k ⎰

∞

∞

-+-++

⋅

=

}2

12

{

1

)0(1

)0(1

*)0('

'ψ

ψ

α

ψ

1

,1

,'

'

2

112

1+-++

=

k k

k k

k k δα

δα

（5）

由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是：

,1'

-=k k 这时2

1,1'

k k x x k k k α=

=- （6）

,1'

+=k k 这时2

11

,1'+=

=+k k x x k k k α

因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。

（2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2

11(

34102

2

2

210ωρα

π

q W =

)(321010

2

2

2

ωρμωπ q

=

~447~

[2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。

（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。

（解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端）

a

x k a

x k πψsin

2)(=

（1）

根据此式计算矩阵元： dx a

x k x a

x k a

x a

x k k ππsin

sin

2

'

'⋅⋅=

⎰=

dx a

x

k k a

x

k k x a

a

x ⎰=+--=

'

'

])(cos

)([cos

1

ππ

利用不定积分公式：

2

cos sin cos p

px x p

px pxdx x x

+

⋅=

⎰

(2)

a

x

k k k k ax a

x

k k k k a

a

x

k k k k ax a x k k ππ

ππ

ππ)(sin

)()(cos

)()(sin )({1

'

'

'

2

2

'

2'

''++---+

--=

~448~

a

a

x

k k k k a

0'

2

2

'

2})(cos

)(ππ

+--

2

2

2

'2

'

)

(1

)1(4'

k k

ka

k k

k ---⋅

=

+π

(3)

从最后一式知道，要使矩阵元0'

≠k k x ，k k +'必需要是奇数。但这个规律也可以用别种

方式叙述，当k k +'是奇数时

k k k k k -=-+'

'

2

必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数

),2,1,0()

12('

=-=±n n k k

因此',k k 二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） )(34'

''2

2

2

2k k k

k k k x q W ωρπ

=

)(]1)

1[()

(364''

2

4

2

2

'22

'2

2

2

2

k k k

k k k

k

k q a ωρπ⋅--⋅-⋅=

+

（4）

=±k k '偶数时0'=k k W ，=±k k '

奇数时

)()

(3256'

'4

2

2

'22

'22

2

2

k k k k k k

k

k h

q W ωρππ-⋅=

（5）

粒子从基态1=k ，跃迁到任何一个偶数态n k 2'

=的速率：