第三章 动量守恒定律和能量守恒定律

功是能量交换或转换的一种度量。能量变化除了作功外， 还可以通过热传导方式来实现。
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2.恒力的功 (1)恒力的功定义
W F s

大小：W Fs cos
功是标量，有正负。
0 2， W 0； W 0； (2)功的正负 2， / 2 ， W 0。
d m d m dv u 称为火箭发动机的推力 。 m F u dt dt dt 19
3－4 动能定理
1.功和能
一、功
(1)能量—能量是物体所具有的做功的本领，能量越大， 做功的本领也就越大。 (2)能量的转换—在一定的条件下，不同运动形式之间可 以发生相互转化，因此不同形式能量之间也可以转换。 (3)功—功是能量转移或转化的过程，它是一个过程量。
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3.变力的功 (1)路程元和位移元 s→0的一小段路程：ds。 (2)元功
d W F d r F d r cos F d s cos
b
r 0 的一小段位移：d r
(3)功的一般表达式
W F cos d s
a L
b
a L
3－2 动量守恒定律
一、质点系动量守恒定律
1.系统的动量守恒定律
ex 当系统所受合外力为零，即F ＝ 0 时，系统的总动量的增量：
系统的总动量保持不变，即
i 1
p - p0 0
n p m i vi 恒矢量
当系统所受的合外力为零时，系统的总动量将保持不变。
2.动量守恒定律的分量式 p x mi vix C1 Fxex 0
t1
i 1 i 1
结论：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
这就是质点系的动量定理
ex F
—是作用于系统内每一质点的外力的矢量和
5
2.无限小时间间隔内的质点系的动量定理
ex d p 或 F dt 作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时 间的变化率。
ex F dt d p
(4)合力作功

(3)功的单位—焦耳，用 J 表示，1J=1N· m

F1 , F2 Fn

作用于一点，合力作功为：
W ( Fi ) s Fi S Wi W1 W2 Wn
合力所作的功等于分力所作的功的代数和。
t2

I I x i I y j Iz k



3
6.动量、冲量方向的确定 (1)动量方向—由速度的方向确定。 (2)冲量方向—由物体始、末动量矢量差的方向确定。

I p p2 p1 m v2 m v1 m v
F
7.冲力 在极短的时间内、量值很
3-1 质点和质点系的动量定理
一、冲量 质点的动量定理 1.质点的动量
p mv
质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量。 动量是矢量，与速度的方向相同。单位是：kg· m/s。
2.力的冲量
力和力的作用时间的乘积称为力的
冲量。冲量是矢量。单位：N· s。
3.变力的冲量 变化的力，在一段时间内
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p pt t - pt m - m v v m v v u - mv
p mv um
系统动量随时间的变化 律为:
dp dv d m m u dt dt dt dm d m dt dt
(2)平均功率
(3)瞬时功率
W P t
dW F d r P F v Fv cos dt dt
(4)功率单位
瓦特(W)，1W=1J/s。
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例 1 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触水面 时其速率为v0。设此球在水中所受的浮力与重力相等， 水的阻力为Fr=－bv, b 为一常量。求阻力对球作的功与 时间的函数关系。
d yv yg dt
两边同乘 以ydy, 则：
m1
d yv y gd y yd y yv d yv dt
2
y
g y d y yv d yv
y 2 yv 0 0
y
1 3 1 2 gy yv 3 2
2 v gy 3
1
2
10
或 I p 2 p1 p
物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于该物体




动量的增量。这个结论称为动量定理。
2
5.动量定理的分量形式
mv mv F d t I 1x x t1 x 2x t2 m v 2 y m v1 y t F y d t I y 1 t2 mv mv F d t I 2z 1z z z t 1
x
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二、质点动能及动能定理
(1)动能定义
1 E k mv 2 2
b
(2)实验表明，当外力对
质点作功时 , 质点的动
解: 建立如右图所示的坐标系
W F dr bv d x
o
v0
dx bv d t b v 2 d t dt
又由 2 - 4 节例 5 知
t 2 0 0
v v0 e
bt 2 m
bt m
W bv

e
bt 1 2 2 dt mv 0 (e m 1) 2
b F d z )
aL
(4)几个力同时作用时的功 n W F d r ( F1 F2 ... Fn ) d r Wi
i 1
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4.功率 (1)功率—力在单位时间内所作的功。
v 2 .5 10 m s 3 1 v 1.0 10 m s m1 100 kg
3
1
y
S
v
z'
y'
S
v'
m1
m2
m2 200 kg
求：v1、v2
z
o
v2
o '
x x' v1
14
y
S
v
z'
y'
S
v'
m1
m2
z
解：
o
v2
o '
x x' v1
解： 以竖直悬挂的链条和桌面上 的链条为一系统，建立坐标系：
m2
O
F
ex
m1 g yg
F dt d p
ex
由质点系动量定理得：
m1 y
y
d p dm1v d( yv)
9
F
ex
yg
F dt d p
ex
d p d( yv)
m2
O
yg d t d( yv)
式中C1、C2和C3均为恒量。 p y mi viy C 2
pz mi viz C 3 F 0 ex Fz 0
ex y
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二、如何正确使用动量定律 1.合外力为零，是指系统所受的合外力等于零，即系统
可以受外界的作用，只要总的作用为零即可。
2.如果合外力不为零，则在合外力方向上动量不守恒，
t t 时刻,系统的动量为： pt t m - m v v mv v u
u
v v
t t t 时间间隔内 ,系统的动量的增量为： p pt t - pt
解: 根据动量守恒定律:
e
pe pν pN 0 pe pν
2 e
- pN

(中微子) pν
22

pN
pN ( p p )
2 12 ν
1.36 10
kg m s
o
1
pe arctan 61.9o 或 pν
180 - 61.9 118.1 13
o o
例2 一枚返回式火箭以2.5103 m· s-1 的速率相对惯性系 S沿水平方向飞行。空气阻力不计。现使火箭分离为两 部分, 前方的仪器舱质量为100kg，后方的火箭容器质量 为 200kg ，仪器舱相对火箭容器的水平速率为 1.0 10 3 m· s-1。求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速度。
三、课堂讨论—“船行八面风”

I p 2 p1 p



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例1 一质量为0.05 kg、速率为10 m· s-1的刚球，以与钢 板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来。设碰撞时间为0.05 s。求在此时间内钢 板所受到的平均冲力。
解: 由动量定理得：
mv cos ( mv cos ) 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y
是由相对论效应所引起的质量改变。
2.类型
(1)某物体在运动中不断俘获另外一些物体而共同运动；
例如，水滴在水蒸气中下落、从山上滚落的雪球等。
(2)物体在运动中不断的释放某些物体。
例如，火箭发射。
3.变质量物体的运动方程
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时刻 t
m
时刻 t +t
v
m - m t时刻,系统的动量为： pt mv m
dm 是火箭喷射的粒子流随 时间的变化率。 dt
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dp dv d m dm d m m u dt dt dt dt dt dp d v d m m -u dt dt dt