西南交大材料力学龚晖拉压变形

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材料力学第二章拉压(2)

李禄昌
通知
请各班班长、课代表，到院馆204室找曲维波老师，商定力学实验安排。
曲老师电话：13306388861。
1
李禄昌
第2-4节拉伸和压缩时材料的机械性能
材料的力学性能(机械性质):是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性，它是在常温、静载荷作用条件下，由实验来测定。
铁碳合金中碳含量：0.02% ~ 0.25% 、0.3%~ 0.55%、0.6%~2.11%、
注意电动葫芦在什么位置时构件受力最大？应分析。
FW
28
2．确定两杆件的轴力
以节点A为研究对象，画受力图。设AB和
AC杆的轴力均为正方向，分别为FN1和FN2。由平衡条件：
Fx＝0， Fy＝0，
FN1 FN2cos＝0 FW FN2sin＝0
sin＝1 ， cos＝ 3
2
2
FN1＝ 1.73FW , FN2＝2FW
19
李禄昌
第2-7节失效、许用应力与强度条件
的性各能种、问构使题件用用要：不求同构是材不件料同制的工造。作，不时同材，料只有不要同使的机其械性危能险，不截同构件对材料 1、失效面或、破危坏：险构点件最在外大力应作力用下不丧大失于正常极工限作应能力力。，
对构于塑件性就材是料，安当全应的力达吗到？σs 时，构件将产生明显的塑性变
S AB
B
QG
QG
解：(1)计算拉杆轴力：
注意电动葫芦的位置。
Y 0, SBC sin (G Q) 0
得：
SBC
GQ
sin
又由三角关系知： sin lAC
lBC
代入上式得：
SBC
5 15 0.352
56.8KN

【材力】2拉压变形(1)

应力发生骤然变化的现象。
理想应力集中系数:
其中：
max ----最大局部应力 nom ----名义应力（平均应力）
max k nom
应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧烈，应力集中程度越剧烈。
静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，
如铸铁）应考虑。
动载下，塑性和脆性材料均需考虑。
2
60
3 50 20
kN
FN图
1
+
FN 2 60103 4 2 191 MP a A2 (20103 ) 2 FN 3 50103 4 3 52MP a 3 2 A3 (3510 )
例题一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况,各段长度及横截面面积如图所示.已知F = 50kN，试求荷载引起的最大工作应力.
上次课问题：
1、材料力学研究对象和任务 2、构件承载力包括哪几项内容？ 3、变形固体的基本假设有哪些？ 4、杆件内力有哪几种形式？ 5、什么是应力？为什么要研究应力？ 6、什么是应变？为什么要研究应变？ 7、杆件的基本变形形式？ 8、材力研究思路。
第二章轴向拉伸与压缩（1）
§2-1 拉压杆的概念
危险截面上的正应力----最大工作应力
max
FN ,max A
3、拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。注意：α截面
F
①全应力：

F
p
F cos 0 cos A
②正应力：
p
F

N
p cos 0 cos2
杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且仍与杆的轴线垂直。这个假设称为平面假设。由平面假设可以得出：（1）横截面上只存在正应力；（2）将杆件想象成无数的纵向纤维所组成，任意两横截面间的所有纵向纤维伸长均相等，即变形相同。由材料的均匀连续性假设，可以推断每一根纤维所受内力相等，即同一横截面上的正应力处处相同。轴向拉压时横截面上的应力均匀分布，即横截面上各点处的应力大小相等，其方向与轴力一致，垂直于横截面，故为正应力，应力分布图形如图：

材料力学第3章轴向拉压变形

Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By

BB'

l2 sin 45

l1
tan
45

(1
2
2) Fa EA
()
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan

l2
sin

l3
秦飞编著《材料力学》第3章轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题解法
（3）物性（物理）关系
l1

FN1l1 E1 A1

拉压杆件的应力变形

Δl FP l EA
Jiangsu Polytechnic University - Gao Guangfan
拉伸与压缩杆件的应力与变形
绝对变形弹性模量
FP l EA
Δl
这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。其中，FP 为作用在杆件两端的载荷；E 为杆材
料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA 称为杆
x
FNBD ABD FNBD πd
2 1
62.0MPa
x
FNCD ACD

FNCD A2
9.75MPa －
4
Jiangsu Polytechnic University - Gao Guangfan
拉伸与压缩杆件的应力与变形拉伸与压缩杆件的强度设计拉伸与压缩时材料的力学性能结论与讨论
拉伸与压缩杆件的应力与变形
x
Δ l l
需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。
对上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx 的相对变形作为杆件局部的变形程度。
Jiangsu Polytechnic University - Gao Guangfan
横向变形与泊松比
杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。
实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变 x 与横向应变 y 之间存在下列关系： y x
为材料的另一个弹性常数，称为泊松比 (Poisson ratio)。
泊松比为无量纲量。
件的拉伸（或压缩）刚度 (tensile or compression rigidity ); 式中“＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。

材料力学-3轴向拉压变形.

A
L1
B L1
L2 uB F
L2
vB
C B'
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
vB
L1c tg
L2
sin
uB L1
例3：试定性画出图示结构中节点B的位移图。
1
2
α B
P
N2
N1
α B
P
1
2
α
α B’
B ΔL2 B2
例4 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。
由此可见：两解相同，即几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用所产生的效果的总和。 ——力的叠加原理(线代数方程)
适用范围：(物理线性、几何线性、小变形)。叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。
例1：受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？ P
解：
E
P AE
4P D2 d 2
A1.5EAB 2EA C
D EA E EA F
4P
刚体
5P
2P
a
a
a
a
a
解：
§3－2 桁架的节点位移
一、小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
求各杆的变形量△Li ，如图；
L1
L2
C
变形图严格画法，图中弧线；
L2 P L1 C' C"
变形图近似画法，图中弧之切线。
2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
A 76.36
A

材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形

o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系，得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。

材料力学ch02拉压变形01

A－试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积
一般金属材料的力学性能
塑性材料拉伸无明显屈服段
30铬锰硅钢 50钢
硬铝
材料抗塑性变形的能力 0.2－名义屈服极限（条件屈服应力）
/%
灰口铸铁拉伸（脆性材料）
断口与轴线垂直

铸铁试样的拉伸试验

应力应变曲线为一条微弯的曲线，没有直线段断裂时其延伸率很小（ 0.4%~0.5%) 工程上用割线opr代替应力应变曲线，以便利用虎克定律
疲劳破坏主要特点
破坏时应力低于b甚至s 即使是塑性材料，也呈现脆性断裂经历裂纹萌生、逐渐扩展到最后断裂三阶段
裂纹萌生部位(应力集中处)
钢拉伸疲劳断裂
最后断裂部位
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当max＝b时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s后再增加载荷，分布趋于均匀化，不影响构件静强度应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
材料力学
第2章轴向拉伸与压缩
拉伸和压缩是杆件受力与变形形式中最简单的一种。它所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。
本章主要研究：
拉压杆的内力、应力与强度计算材料在拉伸与压缩时的力学性能拉压杆变形、简单静不定问题
连接部分的强度计算
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
60 kN FN 20 kN 30 kN 在1段在2段在3段
60kN 80kN 50kN
30kN
1
2
3
杆件中各轴段的正应力为：
ＦＮ
在1段 60kN 在2段在3段

材料力学第三章轴向拉压变形

B

sin / l (微小)
FN l Fl 2 (2)杆伸长： l EA 2 EA
FN
C
F

C

FN
(3) l 关系：
F
l l 2 2 l 2 / 2l
2 EAl EA 3 (4) F 3 2 l l
(三次抛物线关系,瞬时机构,叠加原理不成立)
A
C
A
A2
A1
以B、C为圆心作圆交于A’点 •计算困难：解二次方程组；由于
位移内力变化，需迭代求解.
Page19
第三章
B
轴向拉压变形
3、小变形问题实用解法
1 2
45
小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形。
A2
A
实用解法：
A1
C
A
*按结构原几何形状与尺
寸计算约束反力与内力； *采用切线代圆弧的方法确定节点位移。
F
杆两端均为可动点情形：平移+变形(伸长或缩短)+ 转动(切线代圆弧)
Page23
第三章例：画节点A的位移
1
B
轴向拉压变形
1
A
2
2
3
A
l1
A
F
B
A
F
A
A'''
*左图杆2不受力，不伸长转动。 •右图B点位移由杆1和2确定（与左图A点相同）; •刚梁AB先随B点平动，B至B’点,A至A’点；然后绕B’点转动； •杆3伸长到A’’，然后转动，与刚性梁对应点交于A’’’点。
B
1 2
45
FN1 2F
(拉)
(压) (伸长)

材料力学第6章拉压杆件的应力变形分析与强度设计ppt课件

长为1.2m、横截面面积为1.10×10－3m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ea = 70GPa， FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。
TSINGHUA UNIVERSITY
m a xA 3 0 0M P a
第1类习题轴力图与应力计算
图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，两侧的载荷集度均为 p10kN/m,在自由端D处作用有集中力FP = 20 kN。已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m2，l = 4m。
试求： 1．A、B、E截面上的正应力； 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。
steel aluminum
思考问题
Rigid plate
FNs

Es As Es As Ea Aa
FP
FNa

Ea Aa Es As Ea Aa
FP
你从本题所得到的结果可以得出什么结论？
第4类习题简单的超静定问题(2)
钢杆BE和CD具有相同的直径d = 16mm，二者均可在刚性杆ABC中自由滑动，且在端部都有螺距h = 2.5mm的单道螺纹，故可用螺母将两杆与刚性杆ABC连成一体。当螺母拧至使杆ABC处于铅垂位置时，杆BE和CD 中均未产生应力。已知弹性模量E = 200GPa。
2. 已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm， h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。
2 0 1 9 0 3 8 1 35 0 s 0 .0 0 3 .0 2 5 0 1 9 0 2 0 .0 0 2 .0 7 5 1 0 9 0 17 MPa 5

材料力学(土木类)第二章-轴向拉压(4)

则卸载过程 - 关
系为直线。
e_— 弹性应变 p — 残余应变（塑性）
e p
立即再加载时，-
关系起初基本上沿卸载直线(cb)上升直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲线断裂—冷作硬化现象。
冷作硬化对材料力学性能的影响
p b 不变 p
(4)、局部变形阶段
试件上出现急剧局部横截面收缩——颈缩，直至试件断裂。
Ⅰ 、材料的拉伸和压缩试验试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）试件：
d
h
试验仪器：万能材料试验机
Ⅱ、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能
1、拉伸图
荷载
四个阶段：
(1)——弹性阶段 (2)——屈服阶段 (3)——强化阶段 (4)——局部变形阶段
伸长量
为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力——应变曲线图。
3、试件最终沿着与横截面大致成 50 55 的斜截面发生错动而破坏。
Ⅴ、几种非金属材料的力学性能
1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。
端面未润滑时
端面润滑时
特点:
(1)、直线段很短，在变形不大时突然断裂；
(2)、压缩强度b及破坏形式与
2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。
许用应力 [] 和弹性
模量 E 均应随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值。
3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。
4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。
3、玻璃钢
玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料
力学性能
伸长率
l1 - l 100%

材料力学：第三章拉压与剪切应变能

静定问题
一度静不定
静不定度未知力数与有效平衡方程数之差
静不定问题分析
分析方法求解思路建立平衡方程建立补充方程联立求解
求解算例平衡方程
E1A1= E2A2
变形几何关系
－变形协调方程
胡克定律
补充方程
联立求解平衡与补充方程
静不定问题求解与内力的特点: 静不定问题求解：
设计变量：在工程设计中可由设计者调整的量,例如构件的截面尺寸
约束条件：设计变量必须满足的限制条件
目标函数：目标的设计变量表达式
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
结构优化设计简单算例
已知：F=100 kN，l=500 mm，[st]150 MPa， [sc] 100 MPa， A1 = A3，密度 r 7.85103 kg/m3
2.内力能(应变能)
(1)用内力计算应变能 (2)用应力计算应变能
应变能拉压
剪切
Dl FNl EA
应变能密度
3.功能等
应变能小结：解题思路
题目：求内力、位移、应力
功能守恒定律截断法静力分析：求内力或应力
(1)用内力计算应变能
计算内力能
(2)用应力计算应变能
计算外力功
(弹力作功)
功能等
例题
成立条件：载荷缓慢增大，动能、热能变化忽略不计。
单辉祖：材料力学Ⅰ
32
回顾:
轴向拉压应变能
(1) 外力功与弹性应变能计算
弹性
回顾:
拉压与剪切应变能密度
(2) 由应力应变计算应变能拉压应变能
拉压应变能密度
(单位体积内应变能)
剪切应变能
剪切应变能密度
34

西南交大材料力学龚晖扭转

16
max 2max 71.3MPa [ ] 80MPa
该轴满足强度条件。
g材料的切变模量?p剪切屈服极限meme切应力互等定理g?g?e???12???egxddd2?g??xdd??g??memed?gdggetto1o2ababdxdag?d?gdggeo1o2dag?dxdg?g?xgdd?????xdd??g??ad???t??ataxga??ddd2????aaid2p?pddgitx??称为横截面的极惯性矩??dao令令得得tpit????ad???t??a??aaid2p?称为横截面的极惯性矩??dao其中tpit????1
讨论：为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？
Ⅲ、强度条件等直圆轴
max [ ] Tmax [ ]
Wp
材料的许用切应力
例图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。材料的许用切应力
Me
(b)
相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；
纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形
均变成平行四边形。
(a)
Me
Me
(b)
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。
推论：横截面上没有正应力产生杆的横截面上只有作用在横截面内的切应力
Me
Me
符号：力偶矢离开截面为正
4.78
A
B
3
T3
3
4.78 2
力偶矢指向截面为负
T2
未知扭矩按正向假设
2

拉压超静定问题中变形协调方程的讨论

（４）
可以看到，在利用投影定理分析该问题时，无论怎样假定
１，２，３杆的拉压和变形量的大小，所得到的变形协调方程都是
一致的。通过比较可以得到方程（４）和方程（３）是一致的。而
方程（１）和（２）得到的变形协调方程要复杂的多，而且及其容易
通过该变形图（图３）可以得到：
［３】单辉祖．材料力学（１）．北京：高等教育出版社（第４版），２０１６．［４］盖尔（ＪａｍｅｓＭ．Ｇｅｒｅ），古德诺（ＢａｒｒｙＪ．Ｇｏｏｄｎｏ）．材料力学北京：机械工业出
ＡＬ＝ＡＬ１·ｃｏｔ＋
（３）
版社（翻译版，原书第８版），２０１７，
出错。
３结束语现行教材中求解杆件拉压的静不定问题使用小变形放大
法时，对于复杂的杆件组（超过２个杆件），定性分析杆件受拉
或受压，或假设的杆件变形量相对大小不同作图时，作图所得
达式是不一致。由于拉压关系假设的不同，公式中虽然正负符
学与实践，２００８３０（２）：８９．９０
号不同，但所得结果及公式含义是一致的。
２利用投影定理法解该问题
在分析该问题时，变形协调方程也可以使用投影定理得
系中更显优势。

拉压第二章轴向拉伸与压缩

Ⅰ、内力
内力——由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。
F F
F
F
根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）
Ⅱ、截面法· 轴力及轴力图求内力的一般方法——截面法步骤：（1）截开；（2）代替；（3）平衡。
A
C
l q FN(x)
O z A
x
q B B
x
B x xx
B' x
A
y
x截面处沿x方向的纵向平均线应变为
C
O z A B x xx B' x x
x x
x截面处沿x方向的纵向线应变为
A
x d x x lim x0 x dx
l d x x d x
⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。
圣维南原理
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
F F
F 2
影响区
F 2
影响区
F
F
F 2
F 2
}
例试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知 F =50 kN。
p
FR
d
d d F p(b d ) 2 π FR d Fsin
0 π
(2MPa)(200mm ) 40MPa 2(5mm)
Ⅲ、拉（压）杆斜截面上的应力
F
k k
F
F
k
F
k
由静力平衡得斜截面上的内力： F F

材料力学课件-第10讲第三章轴向拉压变形(4)

几个基本概念
算例已知：F=100 kN，l=500 mm，[st]=150 MPa， [sc] = 100 MPa， A1 = A3，密度 r = 7.85103 kg/m3 试：按桁架重量最轻要求，确定A1，A2 与A3
பைடு நூலகம்
1. 应力分析
解静不定
2. 最轻重量设计
由于杆长制造误差或温度变化，结构在未受载时已存在的应力，分别称为初应力（或称预应力）与热应力。
解：(1)平衡方程（设各杆受拉）
代入物理方程
(2)协调方程
例：3杆制造误差长，1、2杆，3杆，求各杆内力
规律观察：
设由温度变化引起：
解答成为（比较预应力与热应力）
解答：
为拉压刚度，伸长为正，缩短为负。
（变截面、变轴力杆）,
（阶梯形杆）
泊松比
★拉压与剪切应变能概念
§3-5 简单拉压静不定问题
*静不定问题：
*静定问题：
*静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。
一度静不定
A
F
1
2
3
静定问题
由静力平衡方程可确定全部未知力(包括支反力与内力)的问题。
根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。
2、几何方面
3、物理方面
4、支反力计算
何时
问题：
补充方程：
解1：1、静力学方面
例：求杆两端的支反力。
2、物理方面
3、求解
解2：1、几何方面
例：求杆右端的支反力。
4、由平衡方程
例：各杆拉压刚度EA，杆1，2 长l
解：1、画变形图(画法2,教材P72图为画法1)
设节点C位移至C’，过C’点向三杆作垂线