沪科版八年级下册数学《16.1二次根式》
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八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式教案 (新版)沪科版.doc
①当a时， =－a；
②当a＞0时， =；当a＜0时， =；
③若 在实数范围内有意义，则a的取值范围是；
④若 = 在实数范围内有意义，则a的取值范围是。
课堂小结（2分钟）
1.二次根式 有意义，因为a2≥0，所以 ≥0。
因此， =∣a∣，其中a可以取任意实数。
2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成∣a∣的形式，再根据已知条件中字母的取值范围确定其结果。
布置作业：（6分钟）
讨论补充记录
学生自学。对不会的
问题要做好批注或随
笔，作为合作探究的
问题进行合作探究。
讨论补充记录
板书
设计
一、出示学习目标 四、当堂训练
二、出示自学提纲五、课堂小结
三、合作探究 六、布置作业
教 学 反 思
自学提纲：（10分钟左右）
自学本节内容，解决以下问题：
1.什么叫二次根式？被开方数受到什么限制？
2.我们知道， 是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有 =2.类似地，计算：
=， =， =。
3.例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
① ； ② 。
4.例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
教 学主备人：
时间
地点
八年级办公室
召集人
课题
16.1二次根式（2）
课时
第2课时
（总第2课时）
科任教师
教学
目标
知识与能力：初步掌握二次根式的性质，能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式。
过程与方法：进一步学会运用从特殊到一般的归纳方法。
情感态度价值观：认识通过观察、实践、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。
②当a＞0时， =；当a＜0时， =；
③若 在实数范围内有意义，则a的取值范围是；
④若 = 在实数范围内有意义，则a的取值范围是。
课堂小结（2分钟）
1.二次根式 有意义，因为a2≥0，所以 ≥0。
因此， =∣a∣，其中a可以取任意实数。
2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成∣a∣的形式，再根据已知条件中字母的取值范围确定其结果。
布置作业：（6分钟）
讨论补充记录
学生自学。对不会的
问题要做好批注或随
笔，作为合作探究的
问题进行合作探究。
讨论补充记录
板书
设计
一、出示学习目标 四、当堂训练
二、出示自学提纲五、课堂小结
三、合作探究 六、布置作业
教 学 反 思
自学提纲：（10分钟左右）
自学本节内容，解决以下问题：
1.什么叫二次根式？被开方数受到什么限制？
2.我们知道， 是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有 =2.类似地，计算：
=， =， =。
3.例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
① ； ② 。
4.例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
教 学主备人：
时间
地点
八年级办公室
召集人
课题
16.1二次根式（2）
课时
第2课时
（总第2课时）
科任教师
教学
目标
知识与能力：初步掌握二次根式的性质，能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式。
过程与方法：进一步学会运用从特殊到一般的归纳方法。
情感态度价值观：认识通过观察、实践、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。
沪科版初中数学八年级下册精品课件16.1 二次根式
属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5） 中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为 在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
最新沪科版八年级数学下16.1二次根式的概念ppt公开课优质课件
自主学习
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3 .
b-3
b3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s
表示一些正数的算术平方根．
首页
知识要点
二次根式的定 义 一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
①外貌特征：含有“ ”
0的算术平方根平方根是0.
用 a (a≥0)表示.
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3.平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根.
4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根.
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.Fra bibliotek课堂小结
（1）二次根式的概念
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
（2）根号内字母的取值范围
抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的非负性
a 具有双重非负性.
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随堂训练
见本课时练习
首页
第16章 二次根式
16.1
第1课时
复习 引入 自主 学习
二次根式
二次根式的概念
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习引入
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 a .
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式教学课件
第十四页，共二十二页。
例1 计算(jìsuàn)：
(1)( 1 ) 2 2
(2)( 2 5 )2 3
解：(1)( 1 )2 1 22
例1（2）用到了 （ab）2=a2b2这个(zhège) 结论.
(2 )(25)2(2)2 (5)24 52 0
33
99
第十五页，共二十二页。
例2.（1）若
则a-b+c=___ .
第十三页，共二十二页。
归纳(guīnà)
一般(yībān)地， 有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
(1) 32, (2)6, (3) 12, (4)-m (m≤0）, (5) xy (x,y 异，号)
(6) a2 1 , (7) 3 5.
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属a 2于
“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）
根指数不是2，是3.（3）不是，因为(yīn wèi)在实数范围内，
负数没有平方根.
第八页，共二十二页。
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1.
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 x 1的值.
当x=9时， x 19 182 . 2
思考：当x是怎样(zěnyàng)的实数时，x 2
x 3 呢？
(4) 7 2 .
例1 计算(jìsuàn)：
(1)( 1 ) 2 2
(2)( 2 5 )2 3
解：(1)( 1 )2 1 22
例1（2）用到了 （ab）2=a2b2这个(zhège) 结论.
(2 )(25)2(2)2 (5)24 52 0
33
99
第十五页，共二十二页。
例2.（1）若
则a-b+c=___ .
第十三页，共二十二页。
归纳(guīnà)
一般(yībān)地， 有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
(1) 32, (2)6, (3) 12, (4)-m (m≤0）, (5) xy (x,y 异，号)
(6) a2 1 , (7) 3 5.
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属a 2于
“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）
根指数不是2，是3.（3）不是，因为(yīn wèi)在实数范围内，
负数没有平方根.
第八页，共二十二页。
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1.
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 x 1的值.
当x=9时， x 19 182 . 2
思考：当x是怎样(zěnyàng)的实数时，x 2
x 3 呢？
(4) 7 2 .
沪科版八年级数学下册 16.1《二次根式》课件(共19张PPT)
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
1 5 2 4 b b 0
指出下列哪些是二次根式？
3
5
9
a 1a 2
3
3
3
21
2
6
a b ab
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
掌握二次根式有意义的条件
a ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
2
(3) x
( 4)
1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
掌握并应用二次根式的基本性质
你如何理解“二次根式”？ •它们都带有 • 根号里的被开方数都是非负数 •
a 本身是一个非负数
a与 a 会区分
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
个非负数，是
a 表示a的算术平方根，它永远是一
a 中正的那个
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
1.二次根式的定义: 2.二次根式 a 有 意义的条件:
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
沪科版八年级数学下16.1二次根式(包含两个课时)
表示非负数a的算术平方根
复习 1、如果 x 4 ，那么 x ±2
2
；
；
x 3 2、如果 x 3 ，那么
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
a
2
a
(a 0)
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a (a 0)
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 1)
1.由于 2 是2的算术平方根，根据 2 平方根的意义，应有（－2） =2 . 类似地，计算：
5 0 _____; 0 5 _____;
2
2
7 7 _____. 5 5
2
?
一般地,二次根式有下面的性质:
根号a”
请你区别（a≥0）
a,
a , a , 分别表示什么意义？
a 的平方根
a
49 . 1 100
a 的负平方根
的算术平方根 例2 先说出下列各式的意义，再计算。
2
9 225. 3 . 4
议一议
平方根与算术平方根有什么区别和联系？
联系 (1) 平方根包含算术平方根 (2) 被开方数都为非负数 (3) 0的平方根和算术平方根都是0 （4）平方根和算术平方根都是开平方运算
2
2
=√ （
x- ）
2
当 x =4时，| x - |=|4- |=4- .
∴当 x =4时，
√
x - 2 x +
2
2
=4- .
1 当x取何值时， 在实数范围内有意义。 x5
沪科版数学八年级下册沪科版八年级数学下册课件：16.1二次根式1
（2）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
（4）
（5）
灿若寒星
答案： （1）（2）
（3）（4）
（5）
灿若寒星
2.化简并求值：
(1)
其中
.
(2)
其中
灿若寒星
3.已知求 的值. 答案：
3.
灿若寒星
4.延伸拓展 （1）已知－1＜x＜2，求的值；
（2）已知a为实数，求的值.
答案： 5、（1）（2）
灿若寒星
例2、计算： （1） 解：原式
灿若寒星
解：原式
灿若寒星
（3） 解：原式
灿若寒星
例3、计算： （1） 解:原式
灿若寒星
解：由二次根式的意义可知：即
灿若寒星
例4、设的整数部分是a，小数部 分是b，试求的值. 解：
的整数部分为1. ∴的整数部分为3，小数部分是
即：
灿若寒星
灿若寒星
练习： 1.计算： （1）
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
灿若寒星
二次根式的概念 二次根式 二次根式的性质
二次根式的运算与化简
灿若寒星
例1、x取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
解:（1）由
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子有意义.
灿若寒星
解：（2）由 得－5≤x＜3.
∴当－5≤x＜3时，有意义.
灿若寒星
沪科版八年级数学下册【课件二】16.1二次根式
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1).
(2).
(3).
x3
23 4x 5x
(4).
| x | 1
解： (1)由x－3≥0,得x≥3。当x≥3 时， 范围内有意义.
16.2 二次根式
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
6、
x-1 x-2
例4当x=-4时，求二次根式
1 2x 的值。
解 将x=-4代入二次根式，得
1 2x = 1 2 （ 4）=
9 =3
1当x=-2时，求二次根式
2
1 2
x
的值。
4 2x 2 当x分别取下列值时，求二次根式
的值：
（1）x=0； （2）x=1；
（3）x=-1
3 一艘轮船先向东北方向航行2时，再向
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
Байду номын сангаас
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
沪科版数学八年级下册16.1二次根式教学设计
难点：如何引导学生从具体实例中抽象出二次根式的概念，以及如何激发学生的创新意识。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。
沪科版八年级下册数学《16.1二次根式》课件2
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式的定义
(a≥0)表示非负数a的算术平方根， 形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____a_≥_０______
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范围 内有意义？
的式子叫做二 次根式
( a)2 a
(1) x 1
(3) x2
(2) x2 2
(4)
1
3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
公式的逆用
将下列多项式在实数范围内分解因式
x2-5
3x2பைடு நூலகம்9
1.二次根式的定义:
３．二次根式的 基本性质
当a≥0时，
2.二次根式 a 有
意义的条件:
a0
形如 a (a 0)
16.1 二次根式
二次根式的定义
(a≥0)表示非负数a的算术平方根， 形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____a_≥_０______
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范围 内有意义？
的式子叫做二 次根式
( a)2 a
(1) x 1
(3) x2
(2) x2 2
(4)
1
3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
公式的逆用
将下列多项式在实数范围内分解因式
x2-5
3x2பைடு நூலகம்9
1.二次根式的定义:
３．二次根式的 基本性质
当a≥0时，
2.二次根式 a 有
意义的条件:
a0
形如 a (a 0)
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的概念
解得 m≥2，且 m ≠ -2，且 m ≠ 2，
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
沪科版八年级数学下册课件-1二次根式
16.1 二次根式
求下面正方形的边长.
面积8 边长 8
82 2
面积2
边长 2
二次根式的定义
前面的学习中，我们遇到过这些式子
8，2，7.2， 49 ，a， c，
121
b
一般地，形如 a（a≥0) 的式子叫做二次 根式.
思考：（1）二次根式与前面学习的算术平方根有什么 关系？
（2）对于被开方数a有什么要求？
∵ 4 9
36 6
∵ 4和 - 9无意义
∴这个等式不成立.
ab = a b (a≥0,b≥0)
a、b必须都是非负数！ 积的算术平方根等于各因式算 术平方根的积.
计算下列各式, 视察计算结果,你发现什么结论？ （用字母表示）
思考：
4 2
9 3，
42
9 3；
?
25 5
49 7 ，
a
25 5
【跟踪训练】
1、判断下列各式是否为最简二次根
式？
（1） 12 × （ ）；（2） 4.5 （× ）；
√ （3） 3 （ ）； （4）
1 （× ）；
2
2、你能将（1）（2）（4）化简吗？ 试一试。
【规律方法】 在二次根式的运算中， 号.
猜想：你能得到什么结论？（用含字母的式子 表示）
验证：下面式子是否相等，借助计算器验 证.
67 与 6 7
2 3与 2 3
结论： ab a b
积的算术平方根等于算术平方根的积.
问题：对于一切的实数a,b都成立吗？若不 成立，请举反例说明。
(4) (9) (4) (9)
想一想？
成立吗？为什么？
49 7 .
a
b
b
a a （a≥0，b＞0）
求下面正方形的边长.
面积8 边长 8
82 2
面积2
边长 2
二次根式的定义
前面的学习中，我们遇到过这些式子
8，2，7.2， 49 ，a， c，
121
b
一般地，形如 a（a≥0) 的式子叫做二次 根式.
思考：（1）二次根式与前面学习的算术平方根有什么 关系？
（2）对于被开方数a有什么要求？
∵ 4 9
36 6
∵ 4和 - 9无意义
∴这个等式不成立.
ab = a b (a≥0,b≥0)
a、b必须都是非负数！ 积的算术平方根等于各因式算 术平方根的积.
计算下列各式, 视察计算结果,你发现什么结论？ （用字母表示）
思考：
4 2
9 3，
42
9 3；
?
25 5
49 7 ，
a
25 5
【跟踪训练】
1、判断下列各式是否为最简二次根
式？
（1） 12 × （ ）；（2） 4.5 （× ）；
√ （3） 3 （ ）； （4）
1 （× ）；
2
2、你能将（1）（2）（4）化简吗？ 试一试。
【规律方法】 在二次根式的运算中， 号.
猜想：你能得到什么结论？（用含字母的式子 表示）
验证：下面式子是否相等，借助计算器验 证.
67 与 6 7
2 3与 2 3
结论： ab a b
积的算术平方根等于算术平方根的积.
问题：对于一切的实数a,b都成立吗？若不 成立，请举反例说明。
(4) (9) (4) (9)
想一想？
成立吗？为什么？
49 7 .
a
b
b
a a （a≥0，b＞0）
沪科版八年级下册数学第16章 二次根式 二次根式的定义
知1－练
1下列各式中，一定是二次根式的是（）
A. B. C. x D2.
x
x2 2
2下列式子不一定是二次根式的是(
x2 2
)
A. B. C. D.
a
b2 1
0
（a b）2
3下列式子： 7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
知1－讲
∴不一定是二次根式．
x2 2x 2
(7)∵x2＋2x＋2＝xx2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴是二次根式．
总结
知1－讲
二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式 的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个 特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
总结
知3－讲
常见的三种类型的非负数： 绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们的 和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
知3－练
1 (中考·攀枝花)若y＝＋x＋23，则xy3＝ x
2 ________.
3 2 (中考·泰州)实数a，b满足＋4a2＋4ab＋b2＝0，
4 则ba的值为( )
总结
知2－讲
(1)本例通过式子有意义隐含的条件，求出点的横、纵坐 标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象 限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程， 体现了数形结合思想． (2)当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表 示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都 是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解 不等式(组)确定字母取值范围．