二维随机变量及其联合分布

x , y
其中A , B , C 为常数. 确定A , B , C ；
F(x, y) A B arctan x C arctan y
2
2
x , y
解
F (,)
A
B
2
C
2
1
F (,)
A
B
2
C
2
0
F
(,)
A
B
2
C
2
0
B
2
,C
2
,
A
1
2
二维随机变量也有离散型与非离散型之分：
x2 x
P (Xx2,Yy2) P(Xx1,Yy2)
P(Xx2,Yy1) P (X x 1 ,Y y 1 )
F ( x 2 , y 2 ) F ( x 1 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 )
F(x, y) P({X x} {Y y})
x
y
(x, y) F (x, y)表示(x, y)
落入阴影部分的
概率,直观上可以
看为面积
O
x
几何解释 F(x, y) 表示随机点(X ,Y ) 落在以(x,y )为顶点,且位于该点左下方的 无穷矩形内的概率.
如何利用分布函数计算概率 P{x1 X x2, y1 Y y2}
y
y2
y1
O
x1
解 F(2,2) F(0,2)
F(2,0) F(0,0)
111 0
1 0
y (0,2) •
(0,0) •
• (2,2)
(2,0)
•
x
故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F(x, y) A B arctan x C arctan y
x1 x2, y1 y2 有
F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F(x2 , y1) F(x1, y1) 0
P{x1 X x2 , y1 Y y2}
性质
是分布函数的本质特征
例1 设
0, x y 1
F ( x,
y)
1,
x y 1
讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？
0 F(x, y) 1, 且
F(, ) 1, F(, ) 0
F(, y) 0, F(x, ) 0 ( x, y)
任意固定 x0 , F(x0, y)是 y的单调不减函数 任意固定 y0 , F (x, y0 )是 x的单调不减函数
F(x, y) F(x, y 0) ,即 F (x, y)关于 y右连续 F(x, y) F(x 0, y) ,即 F (x, y)关于 x右连续
是定义在 S上的两个r.v ,记
( X ,Y ) ( X (e),Y (e)) (e S)
称 ( X ,Y )为二维随机变量（向量）
一个试验产生的二维 r.v 可视为向二维平 面“投掷”一个“随机点”
y
Se
Y (e) O
( X ,Y ) x
X (e)
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
F(x, y) P({X x} {Y y}) P{X x,Y y}
0 F(x, y) 1, 且
F (, ) 1, F (, ) 0 F (, y) 0, F ( x, ) 0 ( x, y)
F(x, y) P({X x} {Y y})
P{X x,Y y}
任意固定 x0 , F(x0, y)是 y的单调不减函数 任意固定 y0 , F (x, y0 )是 x的单调不减函数
一般地，我们称n个随机变量的整体
X = (X1 , X2 , …，Xn ) 为n 维随机变量或
随机向量。 以下重点讨论二维随机变量。
第一讲 二维随机变量及其联合分布
二维随机变量、联合分布函数 离散变量的联合分布律、 连续变量的联合概率密度
设 S为样本空间
X X (e),Y Y (e) (e S)
F(x, y) F(x, y 0) ,即 F (x, y) 关于 y右连续 F(x, y) F(x 0, y) ,即 F (x, y) 关于 x右连续 对x1任意x2固, y定1 (yx2, y有) 有
Fli(mx2F, y(2x),y F(t)x1, yF2 )(x, Fy)(x2 , y1) F(x1, y1) 0 tP0{x1 X x2 , y1 Y y2}
设 ( X ,Y )为二维 r.v, x, y (, ), 定义
F(x, y) P({X x} {Y y}) P{X x,Y y}
则称 F(x, y) 为二维 r.v (X ,Y ) 的分布函数，或称为 X与 Y 的 联合分布函数
一维随机变量
X的分布函数
X xO
x
F(x) P(X x)
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成了 二维随机变量 ( H, W ).
二维随机变量( X，Y )的性质不仅与X及Y有关，而且还 依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论X和 Y的性质是不够的，还需要把(X，Y)作为一个整体来讨论 随机变量X常称为一维随机变量。
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布。 但有些随机现象用一个随机变量 来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
在射箭时,命中点的位 置是由一对坐标( X, Y )来 确定的。
飞机的重心在空中的位置是
由三个随机变量( X，Y，Z ）来
确定的。
第三章 多维随机变量及其分布
第一讲 二维随机变量及其联合分布 第二讲 边缘分布与条件分布 第三讲 相互独立的随机变量 第四讲 二维随机变量函数的分布
2. 二维随机变量也有离散型与非离散型之分：
离散型随机变量指仅取有限对值或无限多对 可列值的随机变量；
非离散性变量则是除离散型随机变量以外的 随机变量的统称，其中最重要的是连续型随机变量。
下面研究的思路与一维一致 — 使用分布函数， 概率分布和概率密度等函数，来刻划作为一个整体 的二维随 机变量的统计规律.
P{X x,Y y}
0 F(x, y) 1, 且
y
(,)
F(, ) 1
x
当 x , y
{X x,Y y} S
F(x, y) P({X x} {Y y}) P{X x,Y y}
y
(x, y)
F(, ) 0
x
(,)
当 x , y {X x,Y y}