高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课件 文

2
求x;求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.求g(x)= Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)图象的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;求g(x)图
象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ+ (k∈Z),求x.求y=Atan(ωx+φ)
2
(A,ω≠0)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=k π(k∈Z),求x.
典例1 (2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=asin x- 3 cos x(a∈R)的图象
经过点
3
,
0
.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈
2
,
3 2
,求f(x)的取值范围.
解析
(1)因为函数f(x)=asin x-
3
cos
x的图象经过点
3
,
0
,
所以f
3
=
3 a-
2
3 =0,解得a=1.
2
所以f(x)=sin x-
3
cos
x=2sin
x
3
.
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为 ≤x≤ 3 ,所以 ≤x- ≤ 7 .
2
2
6 36
所以当x- = ,即x= 5 时,
32
6
f(x)取得最大值,最大值是2;
当x- = 7 ,即x= 3 时, f(x)取得最小值,最小值是-1.
当t=1时,ymax=1;当t=- 2 时,ymin=- 1 - 2 .
2
∴函数的值域为
1 2
2,1 .
1-2
(2018北京海淀期末)已知函数f(x)=cos
2x·tan
x
4
.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的值域.
解析 (1)x- ≠kπ+ ,k∈Z,解得x≠kπ+ 3 ,k∈Z.
8
(
B
)
A. B.
2
4
C.-
4
D. 3
4
答案 B ∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,∴2×
8
8
+ ,k∈Z,∴φ=kπ+ ,k∈Z,当k=0时,φ= ,故选B.
2
4
4
+φ=kπ
3-2
若函数f(x)=sin x φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=
3
(C )
A.
2-1 (2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=sin x(cos x- 3 sin x). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间.
解析 (1)因为f(x)=sin x(cos x- 3 sin x)
=sin xcos x- 3 sin2x= 1 sin 2x+ 3 cos 2x- 3
解析 (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=
2
sin
2ωx
4
,
所以f(x)的最小正周期T= 2 = .
2ω ω
依题意, =π,解得ω=1.
ω
(2)由(1)知f(x)=
2
sin
2x
4
.
函数y=sin x的单调递增区间为
2k
2
, 2k
7 12
,
.
考点三 三角函数的奇偶性与对称性
典例3
(1)函数y=1-2sin2
x
3 4
是
(
)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
2
D.最小正周期为 的偶函数
2
(2)(2015北京朝阳一模)函数f(x)=2sin
x
6
cos
x
6
图象的一条对称
轴方程是 ( )
2
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)的奇偶性 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则当x=0时, f(x)取得最大值或最小 值;若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则当x=0时, f(x)=0.
3-1
已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,则φ可能是
奇函数.
(2)由题意可知f(x)=2sin
x
6
cos
x
6
=sin
2x
3
,令2x-
3
=
2
+kπ,k
∈Z,解得x= 5 + k ,k∈Z.故选C.
12 2
(3)由题意知 ω + =kπ+ (k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2,故
66
2
选B.
方法技巧 1.求f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)图象的对称轴,只需令ωx+φ= +kπ(k∈Z),
1-1
函数y=sin
x-cos
x+sin
xcos
x的值域为
1 2
2,1 .
答案
1 2
2,1
解析 设t=sin x-cos x,则- 2 ≤t≤ 2 ,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin
xcos x=1 t2 ,
2
∴y=- t2 +t+ 1 =- 1 (t-1)2+1.
2 22
2
(k∈Z).
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2
4
2
得kπ- 3 ≤x≤kπ+ (k∈Z).
8
8
所以f(x)的单调递增区间为
k
3 8
,
k
8
(k∈Z).
规律总结 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的函数的单调区间 时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.如果ω<0,那么一定要 先借助诱导公式将x的系数转化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复 合函数单调性规律“同增异减”. (3)求三角函数的最小正周期时,一般地,经过恒等变形把三角函数化为 “y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”的形式,再 利用周期公式求解即可. (4)求含有绝对值的三角函数的单调区间及周期时,通常要画出图象,结 合图象求解.
因为x≠kπ+ 3 π,k∈Z,
4
所以2x≠2kπ+ 3 π,k∈Z,
2
所以sin 2x≠-1,
所以函数f(x)的值域为(-2,0].
考点二 三角函数的单调性与周期性
典例2 (2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx+cos 2ωx(ω>0) 的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间.
36
2
所以f(x)的取值范围是[-1,2].
方法技巧 三角函数值域的求法 (1)利用y=sin x和y=cos x的值域直接求; (2)把所给的函数式变换成y=Asin(ωx+φ)+b(或y=A·cos(ωx+φ)+b)的形式 求值域; (3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域; (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.
∵函数在 4
,
2
上是减函数,∴排除B,故选A.
5.函数y=3-2cos
x
4
的最大值为
,此时x=
.
答案 5; 3 +2kπ(k∈Z)
4
解析
函数y=3-2cos
x
4
的最大值为3+2=5,此时x+
4
=π+2kπ(k∈Z),
即x= 3 +2kπ(k∈Z).
4
考点突破
考点一 三角函数的定义域与值域
答案
3 2
,
3
解析 由两函数图象的对称中心完全相同可知两函数的周期相同,故ω
=2,
所以f(x)=3sin
2x
6
,
当x∈
0,
2
时,-
6
≤2x-
6
≤ 5
6
,
所以-
1 2
≤sin
2
x
6
≤1,故f(x)∈
3 2
,
3
.
|
x
π 6
kπ 3
,
k
Z
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + k ,k∈Z.故选D.
2
63
3.(2016北京东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是
(A )
A.x=
2
C.x=-
8
B.x=
8
D.x=-
4
答案 A 令2x=kπ(k∈Z),得x= k (k∈Z),
2
∴函数y=cos 2x的图象的对称轴方程为x= k (k∈Z),
2
令k=1,得x= ,故选A.
2
4.下列函数中,周期为π,且在
4
,
2
上为减函数的是
A.y=sin
2x
2
B.y=cos
2x
2
C.y=sin
x
2
D.y=cos
x
2
(A )
答案 A ∵函数的周期为π,∴排除C、D.
2
2
2
=sin
2
x
3
-
3,
2
所以函数f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得
2
3
2
2kπ- 5 ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,
6
6
所以kπ- 5 ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
12
12
所以函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间是 0,
12
和
4
2
4
所以,函数f(x)的ຫໍສະໝຸດ Baidu义域为
x
|
x
k
3π 4
,
k
Z
.
(2)f(x)=cos
2x·tan
x
4
=(cos2x-sin2x)·tan x 1
1 tan x
=(cos x-sin x)(cos x+sin x)·sin x cos x
cos x sin x
=-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1.
B.y=cos
2x
2
D.y=sin x+cos x
答案
B
y=cos
2x
2
=-sin
2x,∴y=cos
2x
2
是最小正周期为π的奇
函数,故选B.
2.函数y=tan 3x的定义域为 ( D )
A. x
|
x
3π 2
3k
,k
Z
C.
x
|
x
π 6
k
,
k
Z
B. x
|
x
π 6
k
,k
Z
D.
x
B. 2
C. 3
D. 5
2
3
2
3
答案 C 由f(x)=sin x φ 是偶函数,可得 φ =kπ+ (k∈Z),即φ=3kπ+ 3 ,k
3
3
2
2
∈Z.
又φ∈[0,2π],
所以φ= 3 ,故选C.
2
3中-3心完已全知相函同数,若f(xx)∈=3s0in, 2ω ,x则 f6(x)(的ω>值0)域和是g(x)=323,c3os(2.x+φ)的图象的对称
A.x=
6
C.x= 5
12
B.x=
3
D.x= 2
3
(3)若函数y=cos
ωx
6
(ω∈N*)图象的一个对称中心是
6
,
0
,则ω的最
小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 (1)A (2)C (3)B
解析
(1)y=1-2sin2
x
3 4
=cos
2
x
3 4
=-sin
2x,是最小正周期为π的
第三节 三角函数的图象与性质
教材研读
总纲目录
三角函数的图象与性质
考点突破
考点一 三角函数的定义域与值域 考点二 三角函数的单调性与周期性 考点三 三角函数的奇偶性与对称性
教材研读
三角函数的图象与性质
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 ( B )
A.y=sin
2x
2
C.y=sin 2x+cos 2x