高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课件 文
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理
解析
由s9i－n2xx2＞≥00，，
得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3.
∴－
3≤x＜
－π或 2
0＜ x＜π2.∴ 函数
y＝ lg
sin2x＋
9－x2的定 义域为
－3，－π2∪0，π2.
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触类旁通 1求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式或等式. 2求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和 三角函数的图象，有时也利用数轴. 3对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式组分别 求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.
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(2)函数 y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为 ________．
答案 2
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答案
解析 令 t＝sinx－cosx，又 x∈[0，π]，
∴t＝ 2sinx－π4，t∈[－1， 2]． 由 t＝sinx－cosx，得 t2＝1－2sinxcosx， 即 sinxcosx＝1－2 t2. ∴原函数变为 y＝t＋1－2 t2，t∈[－1， 2]．
答案 5 34π＋2kπ(k∈Z)
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答案
解析 函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋2kπ(k ∈Z)，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)．
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核心考向突破
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课前自主学习
课堂合作研究
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高考数学全程一轮复习第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式课件
2
2
cos α
2
题型二 公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是(
1
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
1
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
8
3
2
2
C．cos 15°－sin 15°＝
2
tan48°+tan 72°
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余
弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】 请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos
1+cos 2α
________．
2
1
1−cos 2α
sin
2α
α＝________
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_________________；
sin αcos β－cos αsin β
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_________________；
sin αcos β＋cos αsin β
2sin αcos α
2cos2α－1
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________；
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2 tan α
2α＝________．
1−tan2 α
(3)公式T2α：tan
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4节三角函数的图象和性质课件理
知识
梳理诊断
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0). 余弦函数 y＝cosx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1).
考点
题型突破
考点一 三角函数的定义域、值域——自练型
(1)(2016·重 庆 巴 南 区 质 检 ) 函 数 f(x) ＝ －
π
2tan2x＋6的定义域是(
)
π A.xx≠6
B.xx≠－1π2
C.xx≠kπ＋π6（k∈Z） D.xx≠k2π＋π6（k∈Z）
(1)y＝sinx 在第一、四象限是增函数.(
)
(2)所有的周期函数都有最小正周期.(
)
(3)y＝ksinx＋1(x∈R)的最大值为 k＋1.(
)
(4)y＝sin|x|为偶函数.(
)
(5)y＝tanx 在整个定义域上是增函数.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.函数 y＝
[解析] 由 y＝cos2x＋π2＝－sin2x，可知该函数的最小 正周期为 π 且为奇函数，故选 A.
[答案] A
5.(2016·临沂测试)函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的
最小值为(
)
A.－1
B.－
2 2
C.
2 2
D.0
[解析] 由已知 x∈0，π2，得 2x－π4∈－π4，34π，所以 sin2x－π4∈－ 22，1，故函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形5三角函数的图象与性质练习含解析
三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝1 B ．T ＝2π，A ＝1 C ．T ＝π，A ＝2 D ．T ＝2π，A ＝2答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 3．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z解析 因为y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练 1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( )A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x )＝cos x －cos2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________．答案5π6⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝3cos2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π2，1，k ∈Z .教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________.答案π3解析 若f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( ) A ．3π和 2 B ．3π和2 C ．6π和 2 D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x 3＋22cosx 3＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2022)的值为( )A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·杭州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确；对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＋34＝34，∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，34对称，故D 错误．题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，π解析 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，π，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增；当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32.(2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ，且2k ＋54>0，k ∈Z ，解得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54. 教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．1 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )，即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调， 则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6，解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13π36，46π36，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调，不满足题意； 当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36时， 9x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，符合题意． 故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间．(2)(2022·济南模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 答案 A解析 当－π6<x <π3时，－πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3.因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12，因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π答案 D解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z )答案 B解析 由题意，得2sinπ2x －1≥0， π2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数 答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数．4．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－xcos －x ＋－x 2＝－sin x －xcos x ＋x2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.5．(多选)关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，下列命题中为真命题的是( ) A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心 D ．y ＝f (x )的最大值为 2 答案 ACD解析 因为f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以f (x )最大值为2，故D 为真命题． 因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题；当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴，故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上，故点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题． 6．(多选)(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点 答案 AC解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )| ＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ， 单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，C 正确； 在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos2x8．(2022·鞍山模拟)若在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________． 答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6单调递增；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6单调递减，f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin 7π6＝－1， 所以在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则1≤k ＋1<2， 所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω及f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵最小正周期为π， ∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(多选)(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则( )A ．函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3是偶函数B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上单调递增 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称答案 BCD解析 对于A 选项，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3不是偶函数，A 错；对于B 选项，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0，故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，B 对；对于C 选项，当－5π12≤x ≤π12时，－π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上单调递增，C 对；对于D 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π12，D 对．12．(多选)(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos2x ，则( )A ．f (x )的最大值为1＋32B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π6，0对称C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0,2π]上有4个零点 答案 ACD解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32－cos2x＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12，则f (x )的最大值为1＋32，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确； 由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－33，当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 正确．13．(2022·唐山模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎪⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，1， 利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π＝±22.15．(多选)(2022·邯郸模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有( ) A ．函数y ＝f (x )＋1在(0,2π)内没有零点B ．y ＝f (x )－1在(0,2π)内有且仅有1个零点C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增D ．ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，98答案 BCD解析 如图，由函数f (x )的草图可知，A 选项不正确，B 选项正确；若函数f (x )在[0,2π]内有且仅有2个零点，则5π4ω≤2π<9π4ω， 得58≤ω<98，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3时，t ＝ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，2π3ω－π4⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，此时函数单调递增，故CD 正确．16．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2.①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质，可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，3π8时， t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎪⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
高中数学知识点总结(第四章-三角函数、解三角形-第三节-三角函数的图象与性质)
第三节 三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). 函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点最值点.(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是递减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z)上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上是递减函数 在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z)上是递增函数周 期 性周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． [解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[解题技法]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求f(x)＝A sin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝A sin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.。
数学(浙江专用)总复习教师用书：第四章 三角函数、解三角形 第讲 三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。
理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。
知识梳理1。
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。
判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。
( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。
( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。
（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。
(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。
（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。
y＝sin错误!B。
y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质 理(2021年最新整理)
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第3讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f （x )＝2sin x cos x 是（ ）．A ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析 f （x )＝2sin x cos x ＝sin 2x 。
∴f （x ）是最小正周期为π的奇函数．答案 C2．已知函数f (x )＝sin （x ＋θ）＋错误!cos （x ＋θ）错误!是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B 。
错误!C 。
错误! D.错误!解析 据已知可得f （x ）＝2sin ⎝ ⎛）x ＋θ＋π3，若函数为偶函数,则必有θ＋错误!＝k π＋错误!(k ∈Z ),又由于θ∈错误!，故有θ＋错误!＝错误!，解得θ＝错误!，经代入检验符合题意．答案 B3．函数y ＝2sin 错误!（0≤x ≤9）的最大值与最小值之和为( ）．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－错误! 解析 ∵0≤x ≤9，∴－错误!≤错误!x －错误!≤错误!，∴－错误!≤sin 错误!≤1，∴－错误!≤2sin 错误!≤2。
∴函数y ＝2sin 错误!（0≤x ≤9）的最大值与最小值之和为2－错误!。
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件
(2)y＝3tanπ6－4x＝－3tan4x－π6， 由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2， 解得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)． ∴函数的单调递减区间为 4kπ－34π，4kπ＋83π(k∈Z)．无增区间．
(3)画图知单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．
2．(2023·洛阳模拟)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－π2，23π上是增函数， 则 ω 的取值范围是_____0_，__34_ ___.
[解析] 依题意可知 f(x)＝cos2 x－sin2x＝cos 2x，对于 A 选项，因为 x ∈－π2，－6π，所以 2x∈－π，－π3，函数 f(x)＝cos 2x 在－π2，－6π上单 调递增,所以 A 选项不正确；对于 B 选项，因为 x∈－π4，1π2，所以 2x∈ －π2，π6,函数 f(x)＝cos 2x 在－π4，1π2上不单调,所以 B 选项不正确；对于 C 选项,因为 x∈0，π3，所以 2x∈0，23π,函数 f(x)＝cos 2x 在0，π3上单 调递减，所以 C 选项正确；对于 D 选项，因为 x∈π4，71π2，所以 2x∈π2，76π， 函数 f(x)＝cos 2x 在π4，71π2上不单调,所以 D 选项不正确,故选 C．
y＝tan x ___R___
单调性
在____－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_ _， 在_[_(_2_k－__1_)_π_，__2_k_π_]_，
k∈Z 上递增；
k∈Z 上递增；
在____π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_ __，
在_[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_]_， k∈Z 上递减
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第三节三角函数的图象与性质课件理5(2).ppt
无最值
奇函数
偶函数
奇函数
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称中心：
对称中心：
对称性 (kπ，0)(k∈Z) kπ＋π2，0(k∈Z)
对称轴：
对称轴：
x＝kπ＋π2，k∈Z x＝kπ，k∈Z
周期
2π
2π
对称中心： k2π，0(k∈Z)
无对称轴
π
[自我查验]
x－2(1－sin2x)＝2sin
x－14
2＋78，∴当 sin x＝14时，ymin＝78；
当 sin x＝－12或 sin x＝1 时，ymax＝2.
故函数的最大值与最小值的和为 2＋78＝283.
[探究 2] 若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]”，如何求解？
∵0≤x≤π4，∴π4≤2x＋π4≤34π，
∴当 2x＋π4＝π2，即 x＝π8时，ymax＝
2－1 2.
当 2x＋π4＝π4或 2x＋π4＝34π，即 x＝0 或 x＝π4时，ymin＝0，
故函数的最大值与最小值之和为
2－1 2.
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)由题意得 3cos2×43π＋φ＝3cos23π＋φ＋2π＝3cos23π＋φ ＝0，
∴23π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z， ∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取 k＝0，得|φ|的最小值为π6.
答案：(1)C (2)A
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x)取得 最大或最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时， f(x)＝0. (2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最 高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x ＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测 f(x0)的值进行判断．
高中数学高考20第四章 三角函数、解三角形 4 3 三角函数的图象与性质
又 x∈0，π2，∴函数的单调递增区间为0，π6.
命题点2 根据单调性求参数
例 4 已知 ω>0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω 的取值范围 是 12，45 .
引申探究
本例中，若已知 ω>0，函数 f(x)＝cosωx＋π4在π2，π上单调递增，则 ω 的取值 范围是 32，47 .
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 三角函数的定义域
1.函数 f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是
A.xx≠π6
B.xx≠－1π2
C.xx≠kπ＋π6k∈Z
√D.xx≠k2π＋π6k∈Z
解析 由正切函数的定义域，得 2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z， 即 x≠k2π＋π6(k∈Z)，
(3)函数
y＝12sin
x＋
3 2 cos
xx∈0，2π的单调递增区间是
0，π6
.
解析
∵y＝12sin
x＋
3 2 cos
x＝sinx＋π3，
由 2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，
解得 2kπ－56π≤x≤2kπ＋π6(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为2kπ－56π，2kπ＋π6(k∈Z)，
解析 函数 y＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则ωω2ππ＋＋4π4π≤≥2－kππ，＋2kπ，
k∈Z， 解得 4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，
又由 4k－52－2k－14≤0，k∈Z 且 2k－14>0，k∈Z，
师生共研
题型三 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)若函数f(x)＝2tan kx＋π3 的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的 值为 2或3 .
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质第1课时三角函数的图象与性质一课件
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
一、知识梳理
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
y＝tan x
函数 定义域
值域
函数的 最值
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
R
R
{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}
则 3tan x－
3>0，即
tan
x>
3 3.
所以π6＋kπ<x<π2＋kπ，k∈Z.
答案：π6＋kπ，π2＋kπ，k∈Z
2．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为__________． 解析：要使函数有意义，需 sin x－cos x≥0， 即 sin x≥cos x. 解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)，故原函数的定义域为2kπ＋π4，2kπ＋54π(k∈Z)． 答案：2kπ＋π4，2kπ＋54π(k∈Z)
[－1，1]
[－1，1]
R
最大值 1，当且
最大值 1，当且
仅当__x_＝__2_k_π___ _＋__π2_，__k_∈__Z_；
仅当__x_＝__2_k_π_，__ ___k_∈__Z____；
无最大值和最小值
最小值－1，当 最小值－1，当且 且仅当_x_＝__2_k_π_－__π2_， 仅当_x_＝__2_k_π_－__π_，
【迁移探究 2】 (变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin2x－π3，试讨论 f(x)在区间－π4，π4上 的单调性． 解：令 z＝2x－π3，易知函数 y＝sin z 的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z. 设 A＝－π4，π4，B＝x|－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4. 所以，当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，又因为π4－－π4＝π2<T，所以 f(x)在区间－π4，－1π2上单调递减．
高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质课件 文
12/11/2021
第十五页，共三十九页。
解析：选 C.由 cos x－ 23≥0，得 cos x≥ 23， 所以 2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.故选 C.
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第十六页，共三十九页。
2．(必修 4 P144B 组 T6 改编)函数 f(x)＝ 3sin x－cos x，x∈[0，
A．2kπ－38π，2kπ＋π8(k∈Z) B．2kπ＋π8，2kπ＋58π(k∈Z) C．kπ－38π，kπ＋π8(k∈Z) D．kπ＋π8，kπ＋58π(k∈Z)
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第二十五页，共三十九页。
解析：选 D.由题可得 sin2×38π＋φ＝0，又 0＜φ＜π2，所以 φ
＝
π 4
，
所
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第三十一页，共三十九页。
法二：图象关于直线 x＝－π8对称， 则有 f－π4＝f(0)， 即 sin2×－π4＋acos2×－π4＝a，得 a＝－1.
【答案】 (1)D (2)－1
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第三十二页，共三十九页。
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求出，由 ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)求出对称中心(x0，0)． (2)y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求出，由 ωx0 ＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求出对称中心(x0，0)． (3)函数 y＝tan(ωx＋φ)的对称中心(x0，0)由 ωx0＋φ＝k2π(k∈Z) 求出．
(1)求 f(x)的单调递增区间；
(2)当 x∈π4，34π时，求函数 f(x)的最大值和最小值． 解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin2x＋π4. (1)令 2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z， 则 kπ－38π≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
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奇函数.
(2)由题意可知f(x)=2sin
x
6
cos
x
6
=sin
2x
3
,令2x-
3
=
2
+kπ,k
∈Z,解得x= 5 + k ,k∈Z.故选C.
12 2
(3)由题意知 ω + =kπ+ (k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,∴ωmin=2,故
66
2
选B.
方法技巧 1.求f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)图象的对称轴,只需令ωx+φ= +kπ(k∈Z),
B.y=cos
2x
2
D.y=sin x+cos x
答案
B
y=cos
2x
2
=-sin
2x,∴y=cos
2x
2
是最小正周期为π的奇
函数,故选B.
2.函数y=tan 3x的定义域为 ( D )
A. x
|
x
3π 2
3k
,k
Z
C.
x
|
x
π 6
k
,
k
Z
B. x
|
x
π 6
k
,k
Z
D.
x
1-1
函数y=sin
x-cos
x+sin
xcos
x的值域为
1 2
2,1 .
答案
1 2
2,1
解析 设t=sin x-cos x,则- 2 ≤t≤ 2 ,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin
xcos x=1 t2 ,
2
∴y=- t2 +t+ 1 =- 1 (t-1)2+1.
2 22
2
∴函数y=cos 2x的图象的对称轴方程为x= k (k∈Z),
2
令k=1,得x= ,故选A.
2
4.下列函数中,周期为π,且在
4
,
2
上为减函数的是
A.y=sin
2x
2
B.y=cos
2x
2
C.y=sin
x
2
D.y=cos
x
2
(A )
答案 A ∵函数的周期为π,∴排除C、D.
2
2
2
=sin
2
x
3
-
3,
2
所以函数f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2
(2)由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得
2
3
2
2kπ- 5 ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,
6
6
所以kπ- 5 ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
12
12
所以函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间是 0,
12
和
典例1 (2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=asin x- 3 cos x(a∈R)的图象
经过点
3
,
0
.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈
2
,
3 2
,求f(x)的取值范围.
解析
(1)因为函数f(x)=asin x-
3
cos
x的图象经过点
3
,
0
,
所以f
3
=
3 a-
2
因为x≠kπ+ 3 π,k∈Z,
4
所以2x≠2kπ+ 3 π,k∈Z,
2
所以sin 2x≠-1,
所以函数f(x)的值域为(-2,0].
考点二 三角函数的单调性与周期性
典例2 (2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx+cos 2ωx(ω>0) 的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间.
2
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)的奇偶性 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则当x=0时, f(x)取得最大值或最小 值;若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则当x=0时, f(x)=0.
3-1
已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,则φ可能是
∵函数在 4
,
2
上是减函数,∴排除B,故选A.
5.函数y=3-2cos
x
4
的最大值为
,此时x=
.
答案 5; 3 +2kπ(k∈Z)
4
解析
函数y=3-2cos
x
4
的最大值为3+2=5,此时x+
4
=π+2kπ(k∈Z),
即x= 3 +2kπ(k∈Z).
4
考点突破
考点一 三角函数的定义域与值域
|
x
π 6
kπ 3
,
k
Z
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + k ,k∈Z.故选D.
2
63
3.(2016北京东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是
(A )
A.x=
2
C.x=-
8
B.x=
8
D.x=-
4
答案 A 令2x=kπ(k∈Z),得x= k (k∈Z),
4
2
4
所以,函数f(x)的定义域为
x
|
x
k
3π 4
,
k
Z
.
(2)f(x)=cos
2x·tan
x
4
=(cos2x-sin2x)·tan x 1
1 tan x
=(cos x-sin x)(cos x+sin x)·sin x cos x
cos x sin x
=-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1.
7 12
,
.
考点三 三角函数的奇偶性与对称性
典例3
(1)函数y=1-2sin2
x
3 4
是
(
)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
2
D.最小正周期为 的偶函数
2
(2)(2015北京朝阳一模)函数f(x)=2sin
x
6
cos
x
6
图象的一条对称
轴方程是 ( )
第三节 三角函数的图象与性质
教材研读
总纲目录
三角函数的图象与性质
考点突破
考点一 三角函数的定义域与值域 考点二 三角函数的单调性与周期性 考点三 三角函数的奇偶性与对称性
教材研读
三角函数的图象与性质
1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 ( B )
A.y=sin
2x
2
C.y=sin 2x+cos 2x
2
(k∈Z).
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2
4
2
得kπ- 3 ≤x≤kπ+ (k∈Z).
8
8
所以f(x)的单调递增区间为
k
3 8
,
k
8
(k∈Z).
规律总结 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的函数的单调区间 时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.如果ω<0,那么一定要 先借助诱导公式将x的系数转化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复 合函数单调性规律“同增异减”. (3)求三角函数的最小正周期时,一般地,经过恒等变形把三角函数化为 “y=Asin(ωx+φ)”或“y=Acos(ωx+φ)”或“y=Atan(ωx+φ)”的形式,再 利用周期公式求解即可. (4)求含有绝对值的三角函数的单调区间及周期时,通常要画出图象,结 合图象求解.
36
2
所以f(x)的取值范围是[-1,2].
方法技巧 三角函数值域的求法 (1)利用y=sin x和y=cos x的值域直接求; (2)把所给的函数式变换成y=Asin(ωx+φ)+b(或y=A·cos(ωx+φ)+b)的形式 求值域; (3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域; (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.
解析 (1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=
2
sin
2ωx
4
,
所以f(x)的最小正周期T= 2 = .
2ω ω
依题意, =π,解得ω=1.
ω
(2)由(1)知f(x)=
2
sin
2x
4
.
函数y=sin x的单调递增区间为
2k
2
, 2k
B. 2
C. 3
D. 5
2
3
2
3
答案 C 由f(x)=sin x φ 是偶函数,可得 φ =kπ+ (k∈Z),即φ=3kπ+ 3 ,k
3
3
2
2
∈Z.
又φ∈[0,2π],
所以φ= 3 ,故选C.
2
3中-3心完已全知相函同数,若f(xx)∈=3s0in, 2ω ,x则 f6(x)(的ω>值0)域和是g(x)=323,c3os(2.x+φ)的图象的对称