2020年广东省高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

2020年广东省高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合，，则

A. B.

C. D.

2.已知复数为虚数单位，，若，则的取值范围为

A. B. C. D.

3.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气

晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为

A. 尺

B. 尺

C. 尺

D. 尺

4.在中，已知，，且AB边上的高为，则

A. B. C. D.

5.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，

则该圆锥的体积为

A. B. C. D.

6.已知函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式

的解集为

A. B.

C. D.

7.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，

垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为

A. B. 2 C. D.

8.已知四边形ABCD中，，，，，E在CB的延长线上，

且，则

A. 1

B. 2

C.

D.

9.的展开式中，的系数为

A. 120

B. 480

C. 240

D. 320

10.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩

短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的

最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

11.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，

将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥

的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体

积为，则

A. 2

B.

C.

D. 4

12.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为

A. B.

C. D. ，

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．

14.已知，则______．

15.从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是的有______对．

16.如图，直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，直线l与圆

交于C，D两点，若，设直线l的斜率为k，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列和满足，且，，设．

求数列的通项公式；

若是等比数列，且，求数列的前n项和．

18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别

从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．

质量指标频数

2

8

20

30

25

15

合计100

请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．

优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．

非优质品优质品合计

新设备产品

旧设备产品

合计

附：

其，中．

用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X 的分布列及数学期望．

19.如图，四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是BC上一点，

且，设．

证明：平面ABCD；

若，，求二面角的余弦值．

20.已知椭圆C：的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭

圆C的离心率为，且，的面积为．

求椭圆C的方程；

已知O是坐标原点，向量过点的直线l与椭圆C交于M，N两点．若点满足，，求的最小值．

21.已知函数，其中e为自然对数的底数．

若函数的极小值为，求a的值；

若，证明：当时，成立．

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

求直线l的直角坐标方程；

已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．

23.已知函数．

解不等式：；

若a，b，c均为正数，且，证明：．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：集合，

，

故选：C．

求出集合A，B，由此能求出．

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.答案：A

解析：解：因为复数，所以，由于，即，则的取值范围为，

故选：A．

根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可．

本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，比较基础．

3.答案：D

解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，

经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．

解得，．

立秋的晷长．

故选：D．

由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4.答案：B

解析：解：如图，在中，，，

且AB边上的高CD为，

，，

由余弦定理可得