非线性理论第八讲

流量密度关系与回滞现象（1）
流量密度关系（基本图）
－ 交通流测量中的一个典型描述就是流量-密度关系，它 用来展示交通流量Q和车辆密度ρ之间的相互关系。
在德国高速公路A43上 测得的交通流量—密度 关系
基本图
1) 在密度为0时，流量为0；当道路上存在致 密堵塞时，流量也为0；在中间密度范围 内流量存在一个最大值。
窄堵塞窄堵塞逐渐融合为宽运动堵塞
混沌与分岔现象
Chaos and headway distribution of shuttle buses that pass each other freely
Physica A 323 (2003) 686 – 694
A Nonlinear Temporal Headway Model of Traffic Dynamics
稳定性条件：
4.混沌控制
Konishi等的方法 Zhao等的方法 Li等的方法
混沌控制（1）
Coupled map car-following model and its delayedfeedback control
Keiji Konishi,* Hideki Kokame, and Kentaro Hirata PHYSICAL REVIEW E， VOLUME 60, NUMBER
原OV模型离散化： 考虑次邻近前车的位置信息： 稳定性条件： （＝1/a）
稳定性改善方法2
H. Lenza, C.K. Wagner, and R. Sollacher Multi-anticipative car-following model Eur. Phys. J. B 7, 331-335 (1999)
考虑后面车的位置信息： backward looking OV （BL-OV） model
稳定性条件：
稳定区域的比较
能耗的比较
稳定性改善方法4
王涛， 高自友， 赵小梅 多速度差模型及稳定性分析 物理学报 55，634－637，2006
考虑多辆前车间速度差的影响提出了一个扩展的跟 驰模型 ：
非线性科学基础与应用
Nonlinear Dynamics and its applications
Chapter 7
赵小梅 8613室 51684265 zhaoxiaomei@jtys.bjtu.edu.cn
第七章 交通流中非线性 现象与研究
Chapter 7 Nonlinear Phenomena in traffic
当流体力学家审视交通系统时，自然地把交通流看作运动 流体，其中充斥着各种密度波：在交叉口出现的拥堵车队 就是“交通激波”，绿灯一亮，车队疏解，就出现了“交 通稀疏波”，一般以固定速度向后传播；在形成交通拥堵 之前，一定会出现非线性失稳现象，然后涌现各种各样的 “交通孤立波”：为力学、物理学界熟知的KdV孤立波、 mKdV孤立波（纽结－反纽结孤立波）等等。
2) 实测的流量密度关系是间断的，看起来像 是一个反。这个反的两个分支分别用来 定义自由流和拥挤流。
3) 在自由流区，流量和密度呈线性关系；随 着密度的增加，流量密度关系式变得越来 越复杂；在拥挤状态下，数据点分布在一 个比较大的二维空间中，很难用一个函数 关系来描述。
流量密度关系与回滞现象（2）
Braking: Arranges the behavior of the vehicle a when the safe distance to the leading vehicle b cannot be adhered and vehicle a has to slam on the brakes.
跟驰模型的稳定性与相变
最优速度模型（OV）
有匝道的道路系统中的相变
通过上匝道的扰动会触发引起多种拥挤状态：(a)同步态 ；(b)振荡堵塞态；(c)触发时走时停态；(d)固定的局域堆集 以及完全堵塞态。
交通相变的形式
从自由流到同步流的相变； 从自由流到宽运动堵塞的相变； 自由流同步流 同步流中的收缩效应（pinch effect）
密度波
在交通过程中，交通畅行、堵塞是交替发生的，类 似于波动现象，可以用密度（或车间距等）随时间 （或空间）的变化来表示各种类型的密度波。
密度波
3. 交通流模型的稳定性分析
交通安全、城市环境等方面都造成了极大的负面作 用，因而交通阻塞问题已成为交通领域的热点问题 ；
交通阻塞问题可以看作一种交通相变和交通流不稳 定的现象，交通流稳定性的分析是研究交通阻塞现 象的重要理论工具之一。
交通流理论概述（2）
在交通流理论的研究中，传统的研究方法主要是重 视实验观察到的流量-密度关系和不稳定的交通流 域。
近年来，研究的结果指出，对交通流理论的研究最 重要的是能够描述交通系统中观察到的非线性现象 。
2.交通流中的非线性现象（1）
道路交通状态大致可以分成3种：低密度的畅行交通（即自 由流）、各车道的车辆齐头并进的高密度同步交通、更高密 度的拥堵交通。在物理学家眼里，它们可类比为气相、液相 、固相这三个相，各相之间可以发生“相变”，到了某个临 界密度，相变就要发生。人们出行时就经常遇到相变，最不 愿意遇到的是从畅行交通相（经同步交通相）到拥堵交通相 的相变。
Desired velocity: Arranges the behavior of the vehicle a without any outside influences.
Safe distance: Arranges the behavior of the vehicle a behind a leading vehicle b. Vehicle a tries to keep a safe distance to the leading vehicle b.
4，1999， 4000
Original model
原模型的稳定性分析
Konishi等的混沌控制方法
Optimal Velocity (OV) Model
Models:
• a favorable one of the microscopic traffic models • a differential equation
交通相
自由流相
每辆车均以期望速度运动，因此，车流量随车辆密度线性增加
同步流相 宽运动堵塞流相
交通相变
交通流的相变过程是一个十分复杂的过程
它是指交通流状态在不同交通相（包括自由流相、 同步流相及交通堵塞流相）之间的转变过程。
在真实的交通中，每一种交通相的出现都伴随着较 为复杂的动力学过程。一般来说，交通流的相变过 程是一种临界现象，车辆密度是影响交通流相变的 一个重要因素。除此以外，外界施加的扰动、交通 瓶颈等也是诱发交通相变的重要因素
d 2 xi (t) dt 2

a

A(xi
(t))

dxi (t) dt

xi (t) xi1(t) xi (t),i 2,3,L , N
The definition of traffic jam
A simple definition about traffic jams (Konishi et al, 1999) Definition 1. Assume that characteristic polynomial d(s) is
物理学家还指出，交通网络是一种复杂网络，由于构成成 分的多样性（客车、轿车、非机动车、行人）和运行的随 机性，与一般的大网络相比，其复杂性绝不逊色。
Freeway Network
Traffic Flow
车辆的运动和车辆间的相互作用决定了车流状态 时空图描述
Traffic Flow
密度 流量 平均速度
Traffic Flow
Microscopic Modelling
Maps traffic flow as a set of individual vehicles.
Microscopic Modelling
The behavior of vehicle modeled by two conditional equations:
交通系统的相变中也存在着回滞（hysteresis：交通流量随 密度变化的回路特性）、成簇（clustering：拥堵集簇的形 成）、相分离（phase separation：交通流态时断时续）等 现象。
交通流中的非线性现象（2）
从物理学的角度看来，交通运行经常远离平衡态，而制约 它们的是复杂的非线性动力学规律，因此，非平衡态统计 物理学和非线性动力学正可以大行其道，交通系统中充满 着自组织（系统自行进入最佳临界状态）、混沌、分叉、 失稳（进入拥堵）等非线性现象。
systems
主要内容
1. 交通流理论概述 2. 交通流中的非线性现象及其研究 3. 交通流模型的稳定性分析 4. 交通中的混沌控制 5. 交通流控制在ACC系统中的应用
1.交通流理论概述（1）
交通流理论是研究交通流状态随时间和空间变化规律的模 型和方法体系。
物理学家指出，交通系统可以看作一个由多个自驱动粒子 组成的复杂系统，把行进着的车辆和行人看成自行驱动的 “粒子”，交通流与光线一样，既有粒子性又有波动性， 因此，可以从宏观和微观的视角加以描述；
回滞现象
1) 自由流区和拥挤区不是完全孤立 的，二者之间存在着一个相互重 叠的部分，这一区域被称为亚稳 态区。
2) 在亚稳态区，车流有可能处于自 由流状态，也有可能处于拥挤状 态。亚稳区的存在导致了回滞现 象的发生。
回滞现象
——发生自由流到拥挤流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一 相变时的车流密度往往高于 相反方向相变的车流密度。
OV模型
模型描述：
稳态：
稳定性条件： V'(h) 1 a2
改善稳定性的方法： （1）位置信息； （2）速度信息；
稳定性改善方法1
Takashi Nagatani Stabilization and enhancement of traffic flow by the next-nearest-neighbor interaction PHYSICAL REVIEW E 60, 6395－6401,1999
Nonlinear Dynamics 16: 127–151, 1998.
Original model: New model:
自组织现象
自组织是指系统通过系统内部各子系统之间的非线 性相互作用，在一定的条件下，自发产生在时间、 空间和功能上稳定的结构。
在真实的交通中，存在着一定的密度区域，在该区 域内交通流的状态是亚稳定的，由于车辆之间的相 互作用，一些交通流的状态会自发形成。较为典型 的是行走波的形成，也就是向后传播的堵塞波。一 般来说在诸如入口、出口匝道等瓶颈处容易产生这 种现象。
考虑多辆前车的位置信息：
敏感系数： 稳定性条件：
稳定区域的变化
稳定性改善方法3
Akihiro Nakayama，Yuki Sugiyama，Katsuya Hasebe Effect of looking at the car that follows in an optimal velocity model of traffic flow PHYSICAL REVIEW E 65, 016112 （2001）
stable. If H-norm of G(s) is greater than 1, that is
G(s) sup G( j) 1 ( 0, )
Microscopic Modelling
Microscopic modellings differ in varying mappings of the acceleration. A rule based one is:
Microscopic Modelling
Rules for the rule-based modelling are: