(完整)南京师范大学考研高等代数2008——2011

2008年硕士研究生招生入学考试试卷

高等代数

一、判断题（共60分，每小题6分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）

1.对多项式18+x 来说，不存在素数p 满足艾森斯坦()Eisenstein 判别法的条件，故18+x 不是有理数域上的不可约多项式。

2.若数域P 上的多项式)(x f 在复数域上有重根，则在P 上一定有重因式。

3.设向量组（I ）的秩大于向量组（II ）的秩，则（I ）不能由（II ）线性表出。

4.设B A ,都是n 阶方阵，A 是对角矩阵，BA AB =，则B 也是对角矩阵。

5.设B A ,都是半正定矩阵，则AB 的特征值大于或等于0。

6.设),2,1(s i V i =是n 维线性空间V 的子空间，n s <≤2，若{}0=j i V V

()j i ≠，则s V V V +++ 21是直和。

7.实矩阵n m R A ⨯∈的秩为n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵C B ,，有AC AB =可推得C B =。

8.设b a ,属于数域P ,[]{}{}0))((,)()( n x f x P x f x f V <∂∈=，则V 是一个线性空间，并且)()(:b ax f x f +→ϕ是V 上的一个线性变换。 9.)(λλA 矩阵-是可逆的当且仅当)(λA 的行列式0)(≠λA 。

10.在n 维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。

二、计算题（每小题10分，共40分）

1.设()n j i a j

i n

j n i ij ,2,1,=--=

βαβα，n 阶方阵()ij a A =，求A 的行列式A 。 2.求⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=143021002A 的所有不变因子，初等因子以及若尔当()Jordan 标准形。

3.设[]4x P 是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换

()()()()()x f x f x f x x f ++='''2ϕ的特征值，求最大特征值的特征向量。 4.已知三维欧几里得空间V 中有一组基321,,ααα，其度量矩阵为

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=110121012A ，求向量312ααβ-=的长度。

三、证明题（1，2题每小题10分，3，4题每小题15分，共50分）

1.设V 是一个n 维线性空间，1V 是一个r 维子空间，2n

r ≤，证明：存在一个线性

变换ϕ，使得()V V ϕϕ⊆=-011。

2.设分块实对称矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=b A a A '1'00γγβ

β，其中n n n R A R R b a ⨯∈∈∈1,,,,γβ，证明：A 正定的充要条件是0,0>>b a 且矩阵''11

1γγββb

a A --正定。

3.设[]x C 是由所有复系数多项式所构成的集合，n n C A ⨯∈，令

[]{}x C x f A f V ∈=)()(，设A 最小多项式的次数为m ，证明：（1）V 是一个有限维线性空间；（2）12,,,,-m A A A E 构成V 的一个基。

4.设V 是数域P 上的有限维线性空间，ϕ是V 上的线性变换，()()

2

21)(--=λλλf 是ϕ的最小多项式；再设()()2,1=-=k k Ker V k

k ϕε，其中()•Ker 表示核空间，证明：21V V V ⊕=。

高等代数

考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。

一、（20分）c bx ax x x f +++=23)(是整系数多项式，若c a ,是奇数，b 是偶数，证明：)(x f 是有理数域上的不可约多项式。

二、（20分）设ϕ是欧式空间V 的一个正交变换，λ和μ是ϕ两个不同的特征值，设ϕ的属于λ的特征向量为α，属于μ的特征向量为β，证明：α和β是正交的。

三、（20分）设B A ,为n 级矩阵满足22,2B B E A A ==+且BA AB =，证明：存在可逆矩阵Q 使得AQ Q 1-和BQ Q 1-都是对角矩阵。

四、（30分）求二次型2

11)(∑∑==⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=n

i n j j

i n

x x x f 的矩阵及正负惯性指数。

五、（30分）设ϕ是有限维线性空间V 上的线性变换，证明：()01-⊕=ϕϕV V 的充要条件是V V ϕϕ=2。

六、（30分）设n 维线性空间上的线性变换ϕ的特征多项式为

()(),,)(212121λλλλλλλ≠--=n

n

f

并有()()1112111111,,-=-=-=n n ααελϕααελϕαλϕα ，

， ()()1212212122,,-=-=-=n n ββελϕββελϕβλϕβ ，

证明：211121,,n n βββααα，，

，，， 构成整个线性空间的一组基，并写出ϕ在这组基下的矩阵。

高等代数

一、（15分）计算行列式7

300047000007300047300047

=

n D 。

二、（15分）设整系数多项式3)(2

4

-++=bx ax x x f ，记())(),(x g x f 为)(x f 和)(x g 的

首项系数为1的最大公因式，)('

x f 为)(x f 的导数，若

(

)

)

(),()

('x f x f x f 为二次多项式，求

22b a +的值。

三、（16分）设矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=102111003A ，求矩阵A 的若尔当标准形和A 的有理标准形。

四、（15分）设n 级行列式ij ij n A a D ,0≠=为n D 中的元素ij a 的代数余子式，证明：当n

r <时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++0

00

221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a

有一个基础解系为：()jn j j A A A ,,,21 ， n r r j ,,2,1 ++=。

五、（20分）设V 是由数域F 上x 的次数小于n 的全体多项式，再添上零多项式构成的线

性空间，定义V 上的线性变换A ，使())()()('

x f x xf x f A -=，其中)('

x f 为)(x f 的导数，

（1）求A 的核()01

-A 与值域AV ；（2）证明：线性空间V 是()01

-A 与AV 的直和。