电场力做功的特点与静电场的保守性

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静电场的保守性和环路定理

q i U ( p ) E d l i i p 4 r 0 ip q U(p) i 0r i 4 i

q1
q2
r1 r2
p
q3
ri
r3
qi
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电势的叠加就是总的电势。可写为：
集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
q
q
2 电势梯度电势分别为 U和U 的邻近等势面，其电力线 U 与二等势面分别相交于P、Q，两点间的垂直距离为 PQ n ，又等势面法向指向电势升高的方向。
U U d l P Q E
Q P
E
U
E n E n U n
l 方向，在两个
考方虑向任一
l
P
n
Q
n
n l cos U U n 于是可求出电势在 l 方向的变化率：
U U cos E cos E l n
n l
l
n l
结论：
U沿 n 方向的微商最大。
P
电势差与电势的零点选取无关。
电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（Volt,V），即1V＝1J/C
因此，当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：
二、举例：例一、点电荷产生的电场中的电势分布用场强分布和电势的定义直接积分。
电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
等势面的性质：除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。 N 证明：因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点， d l 电场力做功为零，而路径不为零 dl0 E

静电场环路定理

视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r

L

s

V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r

dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr

1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP

u1
u2

q
4 0r1

q
4 0r2

q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos

28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32

qxdx
Edx
xp

大学物理静电场3(电势)ppt课件

最新课件
9
单个点电荷的场的电势 U q
2）电势叠加原理（标量叠加）
q
Up Edl
Eidl
1
4
0r r1 r2
p
p
P Ei dl
qi
q2
4 0ri
或对连续分布带电体
U p
dq
4 0r
q
最新课件
dq
r
p
r3
ri
q3
qi
p
Up=?
10
Ua
i
qi
40ri
一个点电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。——电势叠加原理
电势叠加原理习题最指新课导件 P65 16
34
形状如图所示的绝缘细线，其上均匀分布着
正电荷。已知电荷线密度为λ，两段直线长均为a，半圆环的半径为a。求环心O点的电势？
电势叠加原理
求电势能和电力
习题指导P65 17
最新课件
35
３．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电量为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为：
b
W a W bA a bq 0 aE d r
二、电势差：
移动单位正电荷从电场中a 点到b点，静电力所做的功，为静电场中两点的电势差:
U abU aU ba bEdr最新W 课q 件aW qb 描只述与电电场场的有性关质6
➢某点 (a点) 的电势：
首先设定电势0点（b点）：
Ua
b
Edr
积分与路径无关
最新课件
4
对任何静电场，电场强度的线积分都只取决于起点和终点的位置而与积分路径无关－－静电场的

静电场力做功与路径无关静电场力是保守力(精)

•电势差和电势的单位相同
国际单位制(SI制)单位为：焦耳/库仑记作: J C1 也称为: 伏特 (Volt,V) 1J C1 1V
二、点电荷的电场的电势～用场强分布和电势的定义直接积分。
p E
E
q
4 0r 2
rˆ
r
q
V
v v E dl
r
p
电场所做的功为：
A r rA r
r
L
q0
r E
r
qg
rr '
dl
dr
r
rB
B
W
B
dW
A
rB rA
q0q dr
40r 2

q0q
4 0
1 ( rA

1 rB
)
②对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
vv v
v
由场强叠加原理: E E1 E2 L En
q
4 0 r
2
dr

q
4 0 r
•电势的正负与源电荷q正负有关
①正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电势越低。
②负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电势越高。
•场强总是从电势高处指向电势低处。
三、电势的叠加原理由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
场源电荷无限分布:不选 V 0
许多实际问题中选 V地球 0
2. 叠加法
①将带电体划分为电荷元 dq

《大学物理AI》作业 No.07 电势(参考解答)

3.带电量 Q 相同，半径 R 相同的均匀带电球面和非均匀带电球面。其球心处的电势是否相等（以无穷远为电势零点）？二者球内空间的 E、U 分布是否相同？答：均匀带电球面，球心处的电势 U 0
Q 4 0 R
，球内空间 E 处处为零，球内空间电势等于
3
U0
Q 4 0 R
。
非均匀带电球面，球心处的电势： U 0
零电势点
答：（1）不正确。根据电势定义 U P 定，而不是仅由该点的场强决定。
E dr 可知，电势是由场点位置到零电势点间的场强决
P

（2）不正确。由场强与电势的关系 E U 可知，某点的 E 应由该点附近电势分布求得。仅仅知道某一点的 U 是无法求出 E 的，必须知道 U 的分布才行。（3）不正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，电场强度处处相等，但是距带电平面垂直距离不同的地方电势不等。（4）正确。比如，无限大均匀带电平面的一侧，任取一平面，在该面上 E 值相等，但 U 显然不一定相等。而在电荷均匀分布的球面的电场中，在与它同心的球面上 E 值相等，且 U 值也相等。因此 E 值相等的曲面上，U 值不一定相等。（５）正确。U 值相等的曲面是等势面，在等势面上的场强不一定是相等的。这要看某点附近的电势分布。比如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是一等势面，但是中垂面上各点场强不相等；但在电荷均匀分布的球面的电场中，等势面上各点的场强大小相等。因此 U 值相等的曲面上， E 值不一定相等。
电场力将+q0 从内球面移到外球面做功 A q0 (U内 U 外 )
1
6.如图所示，电量为 q 的试验电荷，在电量为+Q 的点电荷产生的电场中，沿半径为 R 的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点，电场力做功为（0），再从 d 点移到无穷远

大学物理一复习第五章静电场和习题小结

r
q 4 π
0

dr r
2
r
q
1 q ( ) 4 r r 4 r q
0 0
r
E
V
q 4 π 0r
q 0, V 0 q 0, V 0
三、电势叠加原理
点电荷系
Va
q1
q2

a
E dl
V1 V 2 V n
第五章静电场
Nothing in life is to be feared. It is only to be understood. ----(Marie Curie)
本章参考作业：P190
5-1，5-2、5-9①、5-14、5-21、 5-23、5-26、5-27、5-30。
学习要点
的大小处处相等，且有
cos 1
cos 0
(目的是把“ E ”从积分号里拿出来)
计算高斯面内的电荷,由高斯定理求 E。
高斯定理运用举例： ---计算有对称性分布的场强
掌握所有例题
1、球对称——球体、球面、球壳等。 2、轴对称——无限长直线、圆柱体、圆柱面。 3、面对称——无限大均匀带电平面。
E
0
R
r
三、面对称——无限大均匀带电平面。
例6、求无限大均匀带电平面的场分布。已知面电荷密度为
o
p
dE
dE
解:对称性分析：垂直平面 E
选取闭合的柱形高斯面
左底侧
右底
侧 0

左底
E S
S＇
E S

右底
2 ES

静电场的环路定理(北邮)

Wa Aa
W Ua a q0
a

0
q 0 E dl
E

a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少，能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA

q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U

O
E dl

R
O
E dl E dl
R

E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上一点的场强。 r
o x p X

电场能的性质知识点

《电场能的性质》知识点一、电场力做功与电势能1.电场力做功的特点(1)电场中移动电荷时，电场力做功与路径无关,只与初末位置有关,可见电场力做功与重力做功相似.(2)在匀强电场中，电场力做的功W=旦凶，其中d为沿电场线方向的位移.2.电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能.电荷在某点的电势能，等于把它从该点移到零势能位置时电场力所做的功.(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量,即W AB=E^ -E DB.(3)电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在皿表面上的电势能规定为零.二' 电势.电势(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值.(2)定义式：9=舞(3)标矢性：电势是标量，其大小有正负之分，其正(负)表示该点电势比电势零点高(低).(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因零电势点的选取的不同而不同.(5)沿着电场线方向电势逐渐降低.3.等势面(1)定义：电场中电势相等的各点构成的面.⑵特点①电场线跟等势面垂直,即场强的方向跟等势面垂直.②在等势面上移动电荷时电场力不做功.③电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面.④等差等势面越密的地方电场强度越大；反之越小.⑤任意两等势面不相交.三、电势差.电势差：电荷q在电场中A、8两点间移动时，电场力所做的功必8跟它的电荷量q的比值，叫做A、B间的电势差，也叫电压.公式：U AB=^~.q.电势差与电势的关系：U AB=(P A —(P B，电势差是标量，可以是正值，也可以是负值，而且相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(axb)xc=ax(bxc)。

5 .乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)xc=axc+bxc 。

6 .减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。

大物AI作业_No.07 电势

3《大学物理AI》作业No.07电势班级________学号________姓名_________成绩______--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************1、理解静电力做功的特点，理解静电场的保守性；2、掌握静电场的环路定理；3、理解电势、电势差的概念，掌握利用场强积分和叠加原理求电势的方法；4、理解电势梯度的意义，并能利用它求电场强度；5、掌握点电荷、均匀带电球面、均匀带电球体等典型带电体的电势分布。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题1.以无穷远为电势零点，半径为0.1m的孤立导体球电势为300V，则距离导体球中心30cm 处的电势为V。

2.当导体表面电场强度足以击穿周围空气时，导体表面净电荷将流失，从而导致无法维持导体表面原有的电场强度。

已知空气的击穿场强为3MV/m，则处于空气中的一个半径为0.8m的球形导体能达到的最高电势为MV。

（其中1M=106，以无穷远为零电势点）3.金原子核可看做均匀带电球，其半径为6.60×10-15m，电荷为79×1.60×10-19C。

一个粒子的荷质比α=4.78×107C/kg，已知该粒子沿着二者连线方向以1.50×107m/s的速度从很远处射向金原子核，则该粒子能到达距离金原子核的最近距离为m。

2022物理第7章静电场第2节电场能的性质教案

第2节电场能的性质一、静电力做功和电势能1．静电力做功(1）特点:静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关.(2）计算方法①W＝qEd，只适用于匀强电场,其中d为带电体在沿电场方向的位移。

②W AB＝qU AB，适用于任何电场。

2．电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。

(2）说明:电势能具有相对性，通常把无穷远处或大地的电势能规定为零。

3．静电力做功与电势能变化的关系(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量,即W AB＝E p A－E p B。

（2)通过W AB＝E p A－E p B可知：静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。

（3)电势能的大小：由W AB＝E p A－E p B可知,若令E p B＝0，则E p A＝W AB,即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。

二、电势等势面1．电势（1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值.(2）定义式：φ＝错误!。

(3）矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高（低）。

(4)相对性:电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同.2．等势面（1)定义：电场中电势相同的各点构成的面.（2)四个特点：①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。

②电场线一定与等势面垂直,并且从电势高的等势面指向电势低的等势面.③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。

④任意两个等势面都不相交。

三、电势差1．定义：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力所做的功W AB与移动电荷的电荷量q的比值。

2．定义式：U AB＝错误!.3．影响因素电势差U AB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功W AB无关，与零电势点的选取无关.4．电势差与电势的关系：U AB＝φA－φB，U AB＝－U BA.5．匀强电场中电势差与电场强度的关系（1）电势差与电场强度的关系式:U AB＝E·d，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。

二、静电场的保守性——环路定理

9
3.电势迭加原理由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个表述：带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。表达式：U ( p)
p

p
E dl p ( E1 E2 ) dl
U ( p)
U2
14

r
1 E2 dl r E2dr r
rR
q q dr 2 4 0r 4 0 r
I区：球面内
r R, E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R, E2 U2 2 4 0 r 4 0 r
dl
dAMN
E dl Edl cos 0 E dl
E
M
19
3.由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。
4.电力线的方向指向电势降低的方向。等势面证明：假设电荷q0由2移到1，
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
dA q0
1
从 r到r
dr ,电场做的功：
b rb
q0 ra
r dr
dl r
a
cdr F
E

4 0 r
2
dr
dA q0
q 4 0 r
2
dr
rb
b
r dr
在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场力作功为：
4 q q UO i 1 4 0 ri 4 0 r 0 r

静电场力做功与路径无关静电场力是保守力

§8-7 电势 (electric potential) 一、电势 •依电势能（ Ep 0 ）
E pA q0

A
E dl
E pA q0

A
E dl
～与场中试验电荷 q0 无关，描述了静电场中A 点的性质的物理量。 •定义：
场点A的电势为：将单位正电荷从A点沿任意路径移到电势为零的点时，静电力所做的功。 •当电荷只分布在有限区域时， VA E dl A 零点通常选在无穷远处。
点电荷 qo 从 A 到 B 点，电场所做的功为：
4 0 r
0 2
er dl
r
q
rB
' r dr
dl
B
W dW
A
B
rB
rA
q0 q q0 q 1 1 dr ( ) 2 4 0 r 4 0 rA rB
②对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。由场强叠加原理: E E1 E2 En •任意点电荷系的电场力所作的功，等于组成此点电荷系的各点电荷的电场力所作功的代数和，即 W q0 E dr q0 ( E1 E2 En ) dl
•注意： ①电势为标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。 E dl ，不能认为仅取决于A点的电场 ② VA 取决于 A 强度 E 。二、电势差定义：静电场中A、B两点的电势差，在数值上等于把单位正试验电荷从点A移到点B时，静电场力所作的功。 B
U AB VA VB (VB VA ) E dl
Vi

静电场的基本性质知识点总结

静电场的基本性质知识点总结静电场是物理学中一个重要的概念，它在电学、电磁学等领域都有着广泛的应用。

下面我们来详细总结一下静电场的基本性质。

一、电场强度电场强度是描述电场强弱和方向的物理量。

我们可以通过在电场中放置一个试探电荷来定义电场强度。

试探电荷所受的电场力与试探电荷的电荷量之比，就是该点的电场强度。

电场强度是一个矢量，其方向与正电荷在该点所受电场力的方向相同。

如果在电场中有多个点电荷，那么空间某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。

电场强度的计算公式：对于点电荷产生的电场，电场强度 E ＝kQ/r²，其中 k 是静电力常量，Q 是点电荷的电荷量，r 是该点到点电荷的距离。

二、电场线为了形象地描述电场，我们引入了电场线的概念。

电场线是一些假想的曲线，曲线上每一点的切线方向都与该点的电场强度方向一致，而且电场线的疏密程度表示电场强度的大小。

电场线的特点：1、电场线从正电荷或无限远出发，终止于负电荷或无限远。

2、电场线在空间中不相交。

3、电场线越密的地方，电场强度越大；电场线越疏的地方，电场强度越小。

通过电场线，我们可以直观地了解电场的分布情况。

三、电势电势是描述电场能的性质的物理量。

在电场中，某点的电势等于把单位正电荷从该点移动到零电势点时电场力所做的功。

电势是一个标量，其大小与选取的零电势点有关。

通常情况下，我们把无穷远处或大地的电势规定为零。

电势差：电场中两点间的电势之差叫做电势差，也叫电压。

电势差的大小等于单位正电荷在这两点间移动时电场力所做的功。

四、电势能电荷在电场中具有的势能叫做电势能。

电势能与电荷量和电势有关，电势能的变化与电场力做功密切相关。

电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。

电场力做功的大小等于电势能的减少量。

五、静电场中的导体当导体处于静电场中时，会出现静电平衡现象。

在静电平衡状态下，导体内部的电场强度为零，电荷只分布在导体的表面，且表面的电场强度垂直于导体表面。

第13章静电场电势清华大学版大学物理

第13章电势章
功能问题是物理学的各个研究领域的重要关注点，重要关注点，本章将讨论电场力做功的性质，给出静电场的环路定理，性质，给出静电场的环路定理，揭示静电场有势性，并进一步讨论静电场的能量。场有势性，并进一步讨论静电场的能量。
第13章电势章
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 静电场的保守性电势差和电势电势叠加原理电势梯度电荷在外电场中的静电势能电荷系的静电能静电场的能量
二、静电场环路定理
L1 P2 L2
A = ∫ Fdr = ∫ q Edr 12
0
P1
=∫
p2 p1 ( L ) 1
p2 p1 ( L ) 1
v r p1 q0 E ⋅ dr + ∫
p2 ( L2 )
v r q0 E ⋅ dr
=∫
v r p2 q0 E ⋅ dr − ∫
p2 ( L2 )
v r q0 E ⋅ dr = 0
O
q
当静电场是由点电荷产生的当静电场是由点电荷产生的
A12 = ∫
( p2 ) ( p1 )
r 1
v r
P1
v dr
q0 L dr
θ
v E
q0 E ds cosθ =
∫
r2 r1
q0qd r 4πε 0 r 2
cosθds = dr
q0 q 1 1 ( − ) = 4πε 0 r1 r2
只与P 位置有关，只与 1、P2位置有关，而与路径L无关而与路径无关
在点电荷系q 产生的电场中，在点电荷系 1、q2、… 、qn产生的电场中，移动q 移动 0，电场力做功 v r p2 v r p2 A12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ q0 E ⋅ dr

如何证明静电场力是保守力

如何证明静电场力是保守力静电场力是一种保守力，这意味着无论沿着任何闭合路径进行线积分，其结果都会等于零。

这个性质可以用来解释静电场中的一些重要现象。

我们需要了解什么是保守力。

在物理学中，保守力是指该力所做的功只取决于起点和终点，而与路径无关。

换句话说，如果我们在同一起点和终点之间沿不同路径移动，所做的功是一样的。

这与非保守力不同，非保守力的功与路径有关。

对于静电场力来说，它是由电荷之间的相互作用引起的。

根据库伦定律，两个电荷之间的静电力与它们之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。

这意味着当我们沿着一条闭合路径进行线积分时，静电场力的大小和方向会随着路径的变化而变化。

由于静电场力是保守力，线积分的结果总是等于零。

这是因为静电场力是由一个势能函数所导出的。

在静电场中，我们可以定义一个电势能函数，它表示单位正电荷在静电场中的势能。

根据这个定义，沿着任何闭合路径进行的线积分就等于起点和终点之间电势能的差值。

无论我们选择哪条路径，只要起点和终点相同，线积分的结果都会是相同的。

这意味着静电场力不会产生任何环路的功，也就是说，它不会在回路上做功。

因此，静电场力对环路的总功为零。

这个性质在电场中有很多实际应用。

例如，在电容器中，我们可以利用静电场力来存储电荷。

电容器由两个带电板之间的介质组成，当我们在电容器上施加电压时，电荷会在两个板之间移动，但总功为零。

这意味着我们可以以零的能量损失来存储电荷。

静电场力是一种保守力，它沿着任何闭合路径的线积分等于零。

这个性质使得静电场力在电学中有很多重要应用，如电容器的工作原理。

这也说明了静电场力与路径无关，只与起点和终点有关。

我们可以通过以下步骤来证明这一点：1.定义静电场力：在电场中，一个带电粒子受到的力可以表示为F = qE，其中q是粒子的电荷量，E是粒子所在位置的电场强度。

2.计算线积分：对于任意一条闭合路径C，我们可以计算静电场力沿着这条路径的线积分。

线积分的定义是∫L F·dl，其中L是路径的长度，F·dl是力向量和路径上一小段向量的点积。

电势

Ua = ∑Uia
i=1
n
3) 连续分布电荷的电势 (选无穷远处为电势零点) 选无穷远处为电势零点) 由电势叠加原理
u = ∫ du = ∫q
2. 已知场强分布求电势
dq 4πε0r
dq
q
r
•P
Ua = ∫
★两个关键: 两个关键:
1) 选零势点
v 零势点 v E ⋅ dl a
2) 沿方便路径积分(积分与路径无关) 沿方便路径积分(积分与路径无关)
λ E= 2 0r πε
14
于是，轴积分可算得P 点与参考点P 于是，过P 点沿 x 轴积分可算得点与参考点 1的电势差
UP − UP1 = ∫
λ r1 dr r1 v v E ⋅ dr = r 2πε0 r r
∫
r1 λ ln = 2πε0 r
由于ln1=0，所以本题中若选离直线为 1=1 m处作为电势 0 所以本题中若选离直线为r 由于处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为零点，则很方便地可得点的电势为
∫
q R 0⋅ dr + r 4 q
πε0 ∫ r
∞dr R 2
O V
4πε0R
O
R
r
●讨论
1）一个均匀带电球面在球外任一点的电势等于把全部电荷）集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同； 2）均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域. ）均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域.
∫
∫
7
讨论： ● 讨论：
1) 电势是描述电场能量性质的物理量，与试验荷无关; 电势是描述电场能量性质的物理量，与试验荷无关; 2) 电势只具有相对意义, 决定于电势零点的选择. 电势电势只具有相对意义, 决定于电势零点的选择. 只具有相对意义具有绝对意义. 绝对意义差具有绝对意义. 3) 电势零点的选取是任意的. 有限区域带电体一般选电势零点的选取是任意的. 有限区域带电体一般选无穷远为电势零点; 无限大带电体一般只能取有限无穷远为电势零点; 为电势零点范围内某点为零势点. 范围内某点为零势点. 4) 一般在同一问题中,电势能和电势的零点选取一致. 一般在同一问题中,电势能和电势的零点选取一致. 5) 已知电势分布,可求电势能及作功. 已知电势分布,可求电势能及作功.

第3章电势

P 1
静电场是保守场
2、静电场的环路定理
由静电场的保守性，在静电场中取一任意闭合环路，把一检验电荷q 0 沿此闭合环路移动一周，其电场力作功为：
P2
L1
q0
P1
L2
A F dr q0 E dr 0 L L E dr 0
L
静电场的环路定理——静电场中电场强度沿任意闭合
r r r
1
r2
dr dr qo
E
P1
qo q dr dA F dr qo E dr qo E cos dr 2 4o r r2 qo q cos dr dr 1 1 q q o A12 dA dr r1 4 r 2 4 r r o o 1 2
E
q 4o r 2
q
r1
P
q
q
E dr

q 4 o r

P

P
E dr r Edr r
1 1
4 o r
dr 2
4o r1
例1、半径为R 的均匀带电球体，带电量为q。求电势分布。解：由高斯定律求得：
r qr E1 （r R） 3 3 o 4o R q E2 （r R） 2 4o r
路径的线积分为零。
物理意义：单位正电荷在静电场中沿任意的闭合环路移动一周，电场力作功为零。
3.2 电势差和电势
电荷q0在静电场中从从P1点移到P2点时，电场力所作 P2 P2 的功为
A12 q0 E dr q0 E dr
P 1 P 1
1、电势差由静电场的保守性，在静电场中，存在着一个由位置决定的标量函数，称为电势。

高中物理电场力做功的特点与计算方法

1、电场力做功的特点在匀强电场中，将一点电荷从A点移到B点，如图所示，设A、B两点沿场强方向相距为d，现将q分别沿三条不同的路径由A移到B。

可以证明电场力做的功. 即电场力做功跟移动电荷的路径无关.2、电场力做功的计算方法（1）由公式W＝F·s·cosθ计算. 此公式只适合于匀强电场中，可变形为W=qE·s·。

（2）由W=qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场。

利用W=qU计算电场力的功时可将q、U的正负号一起代入，计算出W的正、负，也可只代入q、U的绝对值，然后根据电荷的性质，电场力方向和移动方向判断功的正负.（3）由动能定理来计算：。

（4）由电势能的变化计算. 。

例1、如图1所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点荷Q为圆心的某一圆周交于B、C两点，质量为m、带电量为－q的有孔小球从杆上A点无初速下滑，已知q远远小于Q，AB=h，小球滑到B点时的速度大小为，求：(1)小球由A到B过程中电场力做的功(2)AC两点的电势差解析：因小球由A到B只有电场力和重力做功，则由动能定理可得：即则电场力做的功为：(2)因为B、C是在电荷Q产生的电场中处在同一等势面上的两点，即，则可得：即A、C两点间的电势差为例2、如图2所示，竖直面内正电荷从A处沿圆弧运动到B处，匀强电场的方向正好沿着半径OB竖直向上，若电荷电量为q，圆弧半径为R，场强为E，求电场力所做的功。

解析：按题意，A点与圆心O处于同一等势线上，则A、B间的电势差等同于O、B间的电势差，令其为U，则在匀强电场中U=ER。

则W=qU=qER从图中易知本题属正电荷逆电场方向移动，电场力与位移方向的夹角大于90°，故电场力做负功。

在W=qER中，qE是电荷在匀强电场中受的恒力，R是电荷在电场力方向上移动的距离，所以在匀强电场中，不管电荷移动路径如何，用电场力乘电荷在电场力方向上移过的距离就是电场力做功的值，此点与计算重力做功十分相似。

电势能、电势

电势能、电势一，静电场力做功的特点：1，点电荷的电场力的功：在路径上任取线元d l ，电场力作元功为：drrq q Edr q dl E q d q dA o o o o o 24cos πεθ===⋅=⋅=l E所以，从a 到b 所作功为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===⋅==⎰⎰⎰a o ob o o b a o o r r o o bao rqq r q q r r q q dr rq q d q dAA baπεπεπεπε4411442l E显然点电荷电场力做功与路径无关!2，点电荷系或带电体的电场力做功由于点电荷系或带电体的电场可视为点电荷电场的叠加，所以任意带电体的电场做功均与路径无关! 即：⎰=⋅l E d q所以有：静电场的安培环路定律——它说明静电场是保守场。

*【例】：设试验电荷q 0在均匀电场E 中沿任意路径从a 运动到b 。

求电场力所做功。

解：对任意线元d l ，电场力的元功为Edxq Edl q d q dA o o o ==⋅=θcos l E从a 到b 所作功为：)(a b o x x o x x E q Edx q dA A ba-===⎰⎰显然均匀电场力做功与路径无关！二，电势能由于静电场力是保守力，保守力做功等于势能的减少。

所以，在静电场力中可以引入静电势能E p ，且有：()pa pb p bao E E E d q --=∆-=⋅⎰l E对点电荷的静电场：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∆a b pa pb p rqq rqq E E E 000044πεπε 所以：C r q q E Cr q q E bpb apa +=+=000044πεπε可见，电场中某一点的电势能取决于待定常数C 。

常数C 可由零势能点的选择确定，对点电荷场，我们可以选无穷远为零势能点，即0)(=∞p E ，所以0014)(00=∴=+∞=∞C C q q E p πε这样我就得到了点电荷静电场中任意一点静电势能的最简表达式：rq q r E p 004)(πε=一般而言，电荷q 0在静电场中任意点a 的电势能等于电场力将该电荷从该点移到零势能点所做功：同其它势能一样（1）静电势能也是静电系统共有的；（2）静电势能是相对的，它取决于零势能点的选择，但势能差却是绝对的。