SXA204高考数学必修_利用函数单调性解抽象函数不等式问题

利用函数单调性解抽象函数不等式问题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数，特别是抽象函数不等式问题，是抽象函数的最常见题型．下面介绍两例．

例1 若()f x 是定义在(0，＋∞)上的减函数，且对一切a 、b ∈(0，＋∞)，都有()a f b

=()f a －()f b ，且(4)f = 1，解不等式(6)f x +－1()f x

＞2． 解：因为()a f b

=()f a －()f b ，且(4)f = 1， 所以有(6)f x +－1()f x ＞2⇒(6)f x +－1()f x

＞2(4)f ⇒2(6)f x x +－(4)f ＞(4)f ⇒26()4x x f +＞(4)f ．

由于()f x 是 (0，＋∞)上的减函数，因此有210,60,6 4.4

x x x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪+⎪<⎩⇒0,6,8 2.x x x >⎧⎪>-⎨⎪-<<⎩⇒0＜x ＜2．

故原不等式的解为0＜x ＜2．

评注：⑴若函数()f x 在区间D 上单调递增，且x 1、x 2∈D ，则由1()f x ＜2()f x 可得x 1＜x 2；⑵若函数()f x 在区间D 上单调递减，且x 1、x 2∈D ，则由1()f x ＜2()f x 可得x 1＞x 2．利用这两个性质，

就能去掉抽象函数中的符号“f ”，将不等式中的函数关系式转化为自变量之间的关系．

例2 若非零函数()f x 满足下列三个条件：①对任意实数a 、b 均有()f a b -=

()()f a f b ；②当x ＜0时，()f x ＞1；③(4)f =

116．试解不等式(3)f x -·2(5)f x -≤14． 解：在()f a b -=()()f a f b 中令a = b ，得(0)f = 1，()f b -=(0)f b -=1()

f b ， 所以()f a b +=[()f a b --=()()

f a f b -=()f a ·()f b ． 所以()f x =()22x x f +=()2x f ·()2x f =2()2

x f ＞0 (因为()f x ≠0)．

从而(4)f =2(2)f =116，得(2)f =±14

． 又因为对一切x ∈R ，()f x ＞0，所以(2)f =14

． 原不等式可化为(3)f x -·2(5)f x -=[(3)f x -+2(5)]x -≤14

=(2)f ． 设x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0⇒12()f x x -＞1，即12()f x x -=12()()f x f x ＞1， 又由已知2()f x ＞0，则1()f x ＞2()f x ，即y =()f x 是减函数． 所以不等式[(3)f x -+2(5)]x -≤(2)f 可化为x －3＋5－x 2≥2，解得0≤x ≤1． 故原不等式的解为0≤x ≤1．

评注：解抽象函数不等式，关键步骤为：一是把不等式化为()f x ＞()f ∆的形式，二是要判断函数的单调性．然后再根据函数的单调性，将抽象函数不等式的符号“f ”去掉，得到具体的不等式求解．