计算电磁学-第八章-矩量法概述
计算电磁场的矩量法
计算电磁场的矩量法
计算电磁场的矩量法是一种通过求取电场和磁场的矩来计算电磁场行为的方法。
在矩量法中，电磁场被描述为一个有限数量的电荷和电流分布的集合。
这些分布被称为电荷和电流矩。
电荷矩是电荷分布的一种表示方式，它描述了电荷随其位置的变化而变化的程度。
电荷矩可以通过对电荷密度函数乘以相应的位置幂次项进行积分得到。
例如，一阶电荷矩可以通过对电荷密度函数乘以位置的一阶幂次项进行积分得到。
磁场矩是磁场分布的一种表示方式，它描述了磁场随其位置的变化而变化的程度。
磁场矩可以通过对磁场密度函数乘以相应的位置幂次项进行积分得到。
通过计算电荷和电流矩，可以得到电场和磁场的矩。
这些矩可以进一步用于计算电磁场的行为，例如电磁场的势能和辐射模式等。
矩量法在计算电磁场行为时具有一定的优点，例如可以处理复杂的几何形状和电磁场分布。
然而，在实际应用中，由于计算电荷和电流矩需要对电荷和电流分布进行积分，因此计算量较大。
此外，对于高阶电荷和电流矩，其计算误差可能会增加。
因此，在实际应用中需要综合考虑计算精度和计算效率等因素。
电磁场矩量法解金属圆柱导体散射
用于天线和电磁散射问题， 至今已有 50 年的发展历史。 矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法。 其基本原理是：先选定基函数对未知函数进行近似展开， 带入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的 意义下方程的余量等于零，由此将连续的算子方程转换 为代数方程。剩下的问题就是利用计算机进行大量的数 字计算。原则上，矩量法可用于求解微分方程和积分方 程，但用于微分方程时所得到的的系数矩阵往往是病态 的，故在电磁场中主要用于求解积分方程。矩量法是一 种严格的数值方法，求解精度高，加之格林函数直接满 足辐射条件，无需设置吸收边界条件，因而可以灵活解 决边界比较复杂的一些问题，在电磁辐射和散射、天线 电流分布、天线设计、微波网络、生物电磁学、辐射效 应研究、微带线分析、电磁兼容等方面得到广泛应用。 下面本文就将对 TM 波入射无限长金属圆柱导体的雷达 散射截面采用矩量法做进一步的计算分析。 2 问题分析 矩量法把泛函方程转化为矩阵方程，然后通过矩 阵方程求解。一般表达式会是如下的泛函方程： （1）
计算电磁学
计算电磁学简介在天线的分析和设计领域，计算电磁学（CEM ）中有两种数值方法比较突出，他们是矩量法（MOM ）和和时域有限差分法（FD —TD ）。
前者的使用已有数十年了，而后者在天线工作中的潜能仅在近几年才开始。
本章中将着重介绍矩量法。
计算电磁学所用技术的分类方法有多种，本章主要将其分为两大类别：数值方法和高频或渐进方法，如图2所示。
通常数值方法用于天线或散射体的尺寸在一个波长到几十个波长量级的场合。
高频方法则是用于尺度为很多波长的物体。
图22.2矩量法的基本原理 2.2.1矩量法简介矩量法是一种将连续方程离散化成代数方程组的方法，他既适用于求解微分方程，又适用于求解积分方程。
由于已有有效的数值计算方法求解微分方程，所以目前矩量法大多用于求解积分方程。
根据线性空间理论，N 个线性方程的线性方程组、微分方程组、差分方程组、积分方程组等均属于希尔伯特空间中的算子方程，这些算子方程可化为矩阵方程求解。
由于在求解过程中，需要计算广义矩量，所以这种方法又称为矩量法。
实际上，矩量法是将算子方程化为矩阵方程，然后求解该矩阵方程的方法，进一步分析还可看出，它实质上是内域基加权余量法。
设有算子方程L(f)=g （2.1.1）式中L 为算子，算子方程可以是微分方程、差分方程或积分方程，g 是已知函数如激励源，f 为未知函数如电流。
假定算子方程的解存在且是唯一的，于是有逆算子L1-存在，则()g f L 1-= 成立。
算子 L 的定义域为算子作用于其上的函数f 的集合，算子L 的值域为计算电磁学 数值方法 高频方法 基于积分方程 基于微分方程 时域 频域 时域 MOM FD —TD 基于场 基于流 GO/GTD PO/PTD 频域算子在其定义域上运算而得的函数g 的集合。
假定两个函数f1和f2以及两个任意常数a 1和a2有如下关系：()()()f a f a fa f a L L L 22112211+=+则称L 为线性算子。
矩量法在电磁散射中的应用
矩量法在电磁散射中的应用一矩量法在电磁散射问题中的应用电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。
矩量法作为一种有效的数值计算方法在其中有着广泛的应用。
但作为一种计算方法它也有着自己的缺陷，为了解决这些问题，人们提出了各种方案，矩量法在这个过程中也获得了很大的发展。
MoM(Method of Moments)原本是一种近似求解线性算子方程的方法，通过它可以将算子方程转化为一矩阵方程，进而通过求解此矩阵方程得到最终的近似解。
MoM最早是由两位数学家L. V. Kantorovich和V. I．Krylov提出的，后来由K．K．Mei引入计算电磁学，最终被R．F. Harryington在其著作《计算电磁场中的矩量法》中加以系统描述。
利用矩量法求解电磁问题的主要优点是：它严格地计算了各个子系统间的互耦，而算法本身又从根本上保证了误差系统总体最小而不产生数值色散。
如今MoM被广泛应用于计算电磁学中，虽然它不能处理电大尺寸目标的电磁问题，但基于MoM的各种加速方法仍受到极大重视，如多层快速多极子方法MLMFA等。
电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。
在实际生活中，遇到的散射目标往往不仅具有复杂的几何形状，而且构成的材料也各不相同。
因此对复杂目标的电磁散射特性进行快速、高效的分析，具有重要的理论意义和实用价值。
电磁散射问题只有在相对简单的情况下才可以用严格的解析法来求解，比如对极少数形状规则的物体。
对于电大物体，可以用高频近似方法，例如几何光学法(GO)、物理光学法(PO)、几何绕射理论(GTD)、物理绕射理论(PTD)、一致性几何绕射理论(UTD)、复射线法(CT)等来求解散射场。
反之，对于电小物体，可以用准静态场来进行分析。
介乎这两者之间的物体，一般采用数值方法。
矩量法在电磁散射中的应用介绍
矩量法在电磁散射中的应用一矩量法在电磁散射问题中的应用电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与散布，拥有十分重要的本质意义。
矩量法作为一种有效的数值计算方法在此中有着宽泛的应用。
但作为一种计算方法它也有着自己的缺点，为认识决这些问题，人们提出了各样方案，矩量法在这个过程中也获取了很大的发展。
MoM(Method of Moments) 本来是一种近似求解线性算子方程的方法，经过它能够将算子方程转变为一矩阵方程，从而经过求解此矩阵方程获取最后的近似解。
MoM 最早是由两位数学家L. V. Kantorovich和 V. I．Krylov 提出的，后出处K．K．Mei 引入计算电磁学，最后被R．F. Harryington 在其著作《计算电磁场中的矩量法》中加以系统描绘。
利用矩量法求解电磁问题的主要长处是：它严格地计算了各个子系统间的互耦，而算法自己又从根本上保证了偏差系统整体最小而不产生数值色散。
现在 MoM 被宽泛应用于计算电磁学中，固然它不可以办理电大尺寸目标的电磁问题，但鉴于 MoM 的各样加快方法仍遇到极大重视，如多层快速多极子方法 MLMFA 等。
电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与散布，拥有十分重要的本质意义。
在本质生活中，碰到的散射目标常常不单拥有复杂的几何形状，并且组成的资料也各不同样。
所以对复杂目标的电磁散射特征进行快速、高效的剖析，拥有重要的理论意义和适用价值。
电磁散射问题只有在相对简单的状况下才能够用严格的分析法来求解，比方对很少量形状规则的物体。
关于电大物体，能够用高频近似方法，比如几何光学法 (GO)、物理光学法 (PO)、几何绕射理论 (GTD)、物理绕射理论 (PTD)、一致性几何绕射理论 (UTD)、复射线法 (CT)等来求解散射场。
反之，关于电小物体，能够用准静态场来进行剖析。
西南交通大学研究生课件-矩量法
矩量法(Method of Moment)MoM, MM§1矩量法的基本原理1、内积两元素f和g的内积<f, g>是一个标量，性质：<f, g>=<g, f><(a1f+ a2g), h>= a1<f, h>+ a2<g, h> , a1，a2为标量<f, f*> >0 (0f); <f, f*> >0 (f=0) . f*为f的共轭2、算子方程L(f)=g, L～微分、差分、积分算子线性算子L ：L(a 1 f 1+a 2f 2 )=a 1L(f 1)+a 2L(f 2), （a 1，a 2为常数） 若 <Lf, g>=<f, L a g>, 则称L a 为L 的伴随算子 若L a =L ，则L a 为自伴算子互易定理：若 源a ：a m a J J ,→场a ：a a H E ,；源b ：b m b J J ,→场b ：b b H E,； 则 <La, b>=dV J d H J d E bm a b V a )(1∙-∙⎰⎰⎰<a, L b>=dV J d H J d E amb a V b )(2∙-∙⎰⎰⎰ 若V1和V2重合，则<La, b>=<a, Lb> →互易定理（反应守恒）3、矩量法)()'((z g z f L = (1)g(z)为已知函数，为待求的未知函数（注意f, g 完全可能是矢量）∑==≈Nn n n n z f a z f 1)'()'( (2)n a 为待定系数（可以是复数），)'(z f n 为基函数（线性独立） 将（2）带入（1），交换L 与求和的次序（线性算子的性质）)()]'([1z g z fL a N n n nn≈∑== (3)残数（残差）：)()]'([)(1z g z f L a z N n n n n -=∑==ε 将上式两端与检验函数（权函数）求内积：><-><>=<∑==)(,)]'([,)(,1z g W z f L W a z W m Nn n n m n m ε (4)若令残数矢量对检验函数空间的投影为零，即：><)(,z W m ε=0 (5)即：0)(−−→−∞=N z ε由于误差正交于投影，所以它是二阶无穷小。
计算电磁学3-有限元法、里兹法、伽辽金法、矩量法
电磁波方程
Yee格式及蛙跳机制
电磁波方程的离散
激励源
Mur吸收边界条件
解的数值稳定性
Yee格式及蛙跳机制
n d 2 l E dl = 0 dt A H dS 1 = 0 H n1 dS H n dS A A t d H d l = E dA J dA 0 l A dt A
t H x 0
E
n 1 z i , j , k 1/2
Hx z
n 1 2 i , j 1/2, k 1/2
Hz
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
Hz x
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
n 1 2 J Source _y
f x x
xi
1 2 f x x f x x O x i i 2x
离散
计算机处理
1.积分 f xi x
矩量法报告
普遍解是所有的电流元 J z ds产生的Ez叠加,即
kη ∫C J z ( ρ ')G( ρ , ρ ')d ℓ ', 4 G ( ρ , ρ ') = H 0(2) (k | ρ − ρ ' |), 二维自由空间格林函数 Ezi ( ρ ) =
导电柱体，ＴＭ情况 导电柱体，ＴＭ情况 ，ＴＭ 怎样使用任务
1 ˆ ˆ n × ∫ n'×H × ∇' Gds ' S 2π 1 或者 J ( r ) = 2n × H i (r ) + ˆ ˆ n × ∫ J (r ' ) × ∇' Gds' S 2π e − jk|r −r '| 在这里 G(r , r ' ) = 是三维的格林函数 | r − r '| ˆ ˆ n × H ( r ) = 2n × H i ( r ) +
The Moment Methods 矩量法
祁云平 2008-10-30 008-10-
预备知识
– 线性操作符 １内积 < f, g > = < αf + βg, h > = α < f, h > + β < g, h >
< f , g >= < g , f >
< f , f >:= f
–
2
> 0 = 0
0 fn (ρ ) = 1
令 J z = ∑α n fn
在 ∆Cn上 在所有其余 ∆Cm上
，带入（２）式，并在每个 ∆Cm的中点(xm ,y m ) 满
足所得方程，便得到以下矩阵方程
导电柱体，ＴＭ情况 导电柱体，ＴＭ情况 ，ＴＭ 存储建模
矩量法
2 矩量法矩量法（method of moment ）在电磁场分析中有着广泛的应用。
其概念相当简单，基本上是用未知场的积分方程去计算给定媒质中场的分布。
在静电学中，在由点()'','z y x 的电荷分布在点()z y x ,,产生的电位分布可以表示为()()⎰=''',','41,,v v Rdv z y x z y x V ρπε (2-1)这里()'','z y x v ρ实质上是电位分布的源，R 是点()z y x ,,和点()'','z y x 间的距离。
然而一般情况下()',','z y x v ρ是未知的，而源区电位的分布是给定的。
因此，为了求出空间每个地方的电位分布，我们必须估计源区的电荷分布()'','z y x v ρ。
设()'','z y x v ρ的一个解是()()()()()∑==+⋅⋅⋅++=ni i i n n v z y x z y x z y x z y x z y x 12211'',''',''',''',''','ραραραραρ(2-2)这里()'','z y x i ρ是源区一些离散位置上预先选定的电荷分布，i α是待定未知系数，以式（2-2）代入式（2-1）得()()⎰∑==='1''','41,,v ni iij j j j Rdv z y x z y x V V ραπε (2-3)()∑⎰==ni v jiii ij iR dv z y x V 1''','41ρπεα (2-4)这里n j ,,2,1⋅⋅⋅=。
MOM_矩量法
r0
G(rv) C e jkr D e jkr
r
r
无穷远处无源
G(rv) D e jkr r
MOM
De jkr
dV
dVk 2 De jkr 1
V
r
V
r
高斯定理 dV 4 r2dr
lim 4 r2
d
e jkr D
n 40
1
dd
(xm )2 ( ym )2
mnLeabharlann lnn b bd
b b
d
4 0
1
2b ln 1
2 2 0
2
<5> 根据 [lmn ][n ] [gn ]
[n ] [lmn ]1[ gn ]
N
n n n1
MOM
MOM
&4.3 MOM在电磁散射问题中的应用
场的等效原理
Ea , Ha
考点 • 3）用多项式插值得到整个子区域的函数 • 4）子区域函数叠加得到整个区域待定函数的表达式
▪ 关键
• 选择子区域形状 • 选择插值参数
MOM
❖ 权函数
▪ 伽略金法
fn wn
▪ 点匹配法
(x x0) f (x)dx f (x0)
• 方便－避免了积分 • 精度有限
MOM
&4.3 MOM在静电场中的应用
MOM
学术大师
❖ 周永祖教授 (Prof. W. C. Chew，IEEE Fellow)
Dean of Faculty of Engineering, The University of Hong Kong
当代“计算电磁学世界第一人” 主要研究方向 ： 计算电磁学、集成电路、微带天线、 电磁散射与逆散射、地下探测等
MOM 矩量法
<5> 根据 [lmn ][n ] [ gn ]
[n ] [lmn ] [ gn ]
1
n n
n 1
N
MOM
MOM
&4.3 MOM在电磁散射问题中的应用
场的等效原理
Ea , H a Eb , Hb
ˆ n
ˆ n
Ea , H a
Eb , Hb
(a)
(b)
Ea , H a
2 2
2 2
' ? (r , r )
' ' ( k )G(r , r ) (r r )
' ' ' ' (r , r ) dr G (r , r ) s (r )
Eb , Hb
ˆ n
ˆ n
Eb , Hb
Ea , H a
(c)
(d)
ˆ ˆ J s n (Ha Hb ); Jms n (Ea Eb )
MOM
拉芙（Love）场的等效原理
ˆ n
E, H E, H
ˆ n
V2
V1
零场
V2
V1
J ms
S
（a）
S
（b）
Js
ˆ ˆ J s n H; J ms n E
算子方程
L( f ) g
L取不同形式，便可描绘不同的电磁工程问题
MOM
不同电磁问题的算子方程
L 1
0
l'
dl ' 4R
L
L 0 2
L k ( 2) H 0 ( K e e )dl e 4
矩量法-细天线
一．细天线在天线的分析与设计中，矩量法应用非常广泛。
这里我们利用矩量法来分析细天线的辐射。
分析的思路是将矩量法应用于一个适当的叠加积分，就可以求解。
在R.F.Harrington 的1968年的著作《计算电磁场的矩量法》中，展示了一种利用滞后位积分来建立积分方程的方法，现在我们看看这种矩量法的模型是如何建立的。
1.1 积分方程的建立在外加场E ，的作用下，在导体上S 的电荷密度σ和电流密度J 的方程可用下述方法求得。
0E j A ωμ→→=−−∇Φ （1-1）4jkRSA Jds Reμπ−=∫∫（1-2）14jkRsds Re σεπ−Φ=∫∫ (1-3) J j σω−∇⋅= (1-4)根据边界条件，我们还可以得到：'n n E E ×=−× （1-5） R图1-1图1-1表示一根任意的细导线，我们作如下近似：（1）假定电流只是沿导线轴方向流动；（2）电流和电荷密度可以近似地认为是线电流I 及在导线轴上的σ。
（3）只对导线表面上E 的轴向分量使用边界条件式（1-5）。
近似后的公式为：'l l j E A lω∂Φ−=−−∂ （1-6） I(l)4jkRA dl Re μπ−=∫轴上 （1-7）1()4jkRldl R e σεπ−Φ=∫轴上（1-8） 1Ij lσω−∂=⋅∂ （1-9） 上式中l 是沿导线轴的长度变量，R 是从轴上源点指向导线表面的场点之间的距离。
图1-2上述方程的积分可以近似为沿N 个小段积分的总和，此时，在每个小段上将I 和q 视为常数。
图1-2表明将导线轴划分为N 个小段，第n 小段由始点n ，中点n 和终点n 组成，增量△ln 表明是在−+n −与n +之间，nl−Δ和nl+Δ分别表示增量沿l 上移动负的和正的二分之一增量。
所以（1-6）至（1-9）的积分变为：'()()()l l m m m j m E A l ω+−Φ−Φ−≈−−Δ （1-10） ()()4n jkRl n eA m I m dl R μπ−Δ≈∑∫ （1-11）1()()4n jkRnem n l dl R σεπ+−++ΔΦ≈∑∫ （1-12） 1(1)()()nI n I n j l σω++−+−≈⋅Δn （1-13） 由式(1-13)可以看出，各个σ可以用各个I 来表示。
[小学教育]第八章 动量矩定理
![[小学教育]第八章 动量矩定理](https://img.taocdn.com/s3/m/f3deeacb28ea81c758f5787d.png)
Jz.
解：
J z J1 J 2
1 2 m1 R1
2
2
1 2
m 2 R2
2
其中
m1 R1 l
m2 R2 l
2
4 4
Jz
1 2
l ( R1 R2 )
l ( R1 R2 )( R1 R2 )
2 2 2 2
2 2
1 2
由
l ( R1 R2 ) m，得
(e)
由
v R
,
dv dt
a， 得
2
a
MR mgR sin J mR
2
例8-2：已知 m, 求:（1） （2）O处约束力
JO ,
m1, m2 , r1, r2 ,不计摩擦.
FN
1 2
（3）绳索张力 FT ，FT
解： (1)
LO J O m1v1r m2 v2 r2 1
2
3．平行轴定理
J z J z md
C
2
式中 z 轴为过质心且与
C
z
轴平行的轴，d 为
z
与
zC 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积.
证明：
J z mi ( x1 y1 )
C
2
2
J z m i r m i (x y )
dt
v （O为定点）
v mv 0
因此
d dt
M O (mv ) M O ( F )
称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对
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16 16
对于一维问题，如图2所示，假定函数的定义域 为 0 χ 1 ，将定义域分成 M 个宽度相同的子区 间，每个子区间的宽度为 n (n 1, 2, , M )，其中
n 1/ M
17 17
则脉冲基函数为
1(当x位于xn内) Pn ( x) 0(当x不在xn内)
B an 是 M 1 阶矩阵， 矩阵K mn 是 M M 阶矩阵， 是 M M 阶矩阵。
mn
Bmn (Wm N n ) d
9 9
所以矩量法利用基函数和权函数将最初 的本征值问题（式（6.1-1））转换成了矩 阵的本征值问题（式（6.1-6））,通过求 解矩阵方程可到近似解。 [a ] 有非零解,其系 为使矩阵方程（6.1-6） Kmn ] －[ Bmn ] 的行列式必须为零，即 数矩阵 [ det(K mn Bmn ) 0 （6.1-7）
K mn Wm , LN n
(r rm )LN n d
LN n (r rm )
Bmn (Wm , N n ) N n (r rm )
20 20
•例2求表示在图5中的微带片状电容器的电容。
解 设地为电位参考点，加在微带片上的电压 为 U ，根据电容的定义，微带片的电容为:
解
将本征函数近似表示成
a an N n
n 1
11 11
M
选定基函数和权函分别为 n N n x(1 x )
Wm x(1 x m )
将选定的基函数和权函数代入式（6.1-6） 其中:[ K mn ][an ] [ Bmn ][an ]
K mn
2 d m n χ (1 χ ) χ (1 ) d χ 2 0 dχ mn m n 1 1
(r ) a n Pn (r )
n 1 M
1 (r 位于S i中) Pn(r ) 0 (r 不位于S i中)
a 它表示 S 上的电荷密度是均匀的，数值为 采用点配法，权函数为：
i
n
，
Wm ( χ χ m ) ( y ym )
23 23
求得
Kmn [b lg(a a2 b2 ) a lg(b a2 b2 ) b lg b a lg a] 2
1
2
2
Sn ( 2 ph 2 ph) p 1
24 24
2.当 m n 时，求得
K mn 1 [ 4 Sn
n
解方程（6.1-7）可求得 M 个本征值 i (i 1,2,, M ) ,对每一个本征值 i ,由式 （6.1-6）可求得本征矢量 a n i ain
10 10
最后求得相应的本征函数
fi
a
n 1
M
in
Nn
• 例1．求不定解域的本征值问题。
d 2 近似地用三角形基函数的线性组合 来表示，即有
19 19
( χ ) an N n ( χ )
n 1
M
其中: an ( n )
•3.权函数的选择
前已述及，矩量法的第二步是用权函数 Wm求 内积是很困难的，但如果将权数选为 函数， 即 Wm (r rm )
xm xn ym yn
2
2
(1 )[
p 1
p 1Sn
xm xn ym yn 2 ph
2 2
而 Bm Wm ,U 解方程求得电荷密度
U
an k mn 1 Bm
因此微带片上的总电荷为
Q
a
n 1
C Q /U
21 21
其中Q 是微带片上的总电荷。设微带片的 电荷密度为 (r )，微带片上的电压与电荷密度 间满足积分方程：
(r ) U G (r , r ) dS s
1 G(r, r ) 4 1 2 2 ( ) ( y y )
Bmn
1
0
mn(m n 6) χ (1 χ )(1 χ ) d χ 3(m 3)(n 3)(m n 3)
2 m n
12 12
为简单起见，选 M 2 ，则方程（6.1-6）变成
1 3 1 2 1 1 1 30 20 a1 2 a1 4 a 2 8 a 2 1 5 20 105
M
n
S n
将其代入式 C Q / U 即可求得电容值。
25 25
其中
Kmn an Bm
1 2 p 1 K mn I 0 (1 ) I p 4 P 1
Ip
dxdy ( xm x) ( y m y ) 2 ph
2 2
S n
p 0,1,2,
上式是可积的。 1.当 m n 时，求得
待求的函数用脉函数的线组合近似，于是有
( ) an pn ( )
n 1 M
其中: an ( n )
系数an 等于函数 在 处的值，但是 d 对包含二阶导数 d χ的算子不能选脉冲函数作 为基函数，这是因为脉冲函数的二阶导数包 含有对 函数的导数
n
2 2
P 1
(1 )
2 2 2 ( χ χ ) ( y y ) (2 ph)
P 1
其中：
0 0
22 22
采用矩量法求解积分方程,将微带片的宽 和 长 l 分别等分成 i和j 等分,即将微带片分成 M ij 个小矩形的宽为 a ,长为 b ，每个小矩形的面积 为 S n ab 。选用脉冲基函数，将板上的电荷密度 表示成
6 6
在波导壁上 Ez m 0
2 2 K / c k 2 2 z , kz 其中 c 是沿柱状导轴向的传播常
数，这是一典型的本征值问题,本征值 k c2 2 算子 L T ，本征函数 f E z m 。 •矩量法的解体步骤:
• 第一步是将式（6.1-1）中的未知函数 f 近似 表示成函数 N n 的线性组合，即
Wm , L an N n Wm , an N n
n1 n1 M M
（6.1-4）
式（6.1-4）可以重新写成
8 8
a
n 1
M
n
(Wm LNn )d an (Wm Nn )d (m 1,2, , M )
n 1
M
（6.1-5） 将式（6.1-5）写成矩阵的形式 K mn an Bmn an （6.1-6） 其中: K (W LN ) d mn m n
5 5
6.1 矩量法的基本原理
• 首先以有 Ω 域内满足第一类边值条件的本 征值问题为例说明矩量法的基本原理。本 征值问题写成一般的形式为
Lf f
（6.1-1）
其中算子 L 可以是微分算子也可以是积分算子。 在横截面为 Ω 的柱状空心波导中电磁波的传播 规律，即
2 2 K T c Ez m 0
3 3
f f
N
an Bn
n 1
M
• 对于不完备基，误差函数为
d( f , f ) f f
N N
f an Bn
n 1
M
• 通过选择标量系数αn，使得误差与N维基函 数都正交，则为正交投影函数。即
Bn , f f N 0, n 1, 2, ,N
4 4
• 一个三维相量，在三维基下是精确的；在二维基 下，差相量与xoy平面垂直的近似误差最小。
f f a an N n
n 1 M
（6.1-2）
7 7
其中函数 N n 是已知的独立函数，称为基数;an 是未知的待定系数，将式（6.1-2）代入式 （6.1-1）得
L a n N n a n N n
n 1 n 1 M M
（6.1-3）
• 第二步是用权函数Wm（又称检验函数）对式 （6.1-3）两边取内积，即有
0 1 2 1
d χ 1
1/ 2 a 30 5.4772 求得: 11
同理可求得: a21 43.474 因此本征值问题的近似解为:
1 5.4772 χ (1 χ ), 1 10
2 2 43.474 χ (1 χ ) χ (1 2 ), 2 42 3
第六章
矩
量
法
矩量法是由哈林登（Harrington）1968 年提出的，已成功地用于求解许多实际 的电磁问题。本节主要介绍矩量法的基 本原理，包括矩量法的求解步骤，基函 数和权函数的选择。
1 1
几个数学概念
• 泛函：以函数为自变量的函数（以数量为因 变量）。 • 希尔伯特空间：完备的内积空间； • 自伴算子：希尔伯特空间的线性算子， T*=T • 变分：研究求泛函极大值（极小值）的方法 。即求泛函极值的问题。
2 2 sin χ , 9.8696 其精确解是 1 1
14 14
2 2 sin χ, 2 (2 ) 2 39.4784 图1中给出了 的精确解（图中实线）和用矩量
法求得的近似解（图中虚线）的曲线，图中可 以看出两者是非常接近的。
图1 本征值问题的矩量法解与精确解的比较
（6.1-7）
为使上述方程有非零解，其系数矩阵的行列式 必须为零，即本征值心须满足方程
1 3 30 1 2 20 1 2 20 0 4 8 5 105
（6.1-8）
求得两个本征值分别为 1 10, 2 42 。