名校必备解几中一个倒数和定值的结论

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七年级数学倒数知识点总结

七年级数学倒数知识点总结数学倒数知识点总结数学是一门抽象而又奇妙的学科，倒数是数学中很常见的概念之一。

在我们的日常生活和学习中，倒数有着广泛和重要的应用。

在七年级的数学课中，学生将接触和学习各种与倒数相关的知识。

在这篇文章中，我将总结七年级数学的倒数知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一重要概念。

一、倒数的基本概念倒数是指一个数的倒数是指这个数的倒数与这个数相乘的结果等于1。

比如，2的倒数是1/2，1/2乘以2等于1。

在乘除法中，倒数可用于化简分数。

若a不为零，则a的倒数是1/a；若a的倒数为b，即a除以b等于1，则b称为a的倒数。

二、倒数的性质1. 任何数的倒数不为 0，因为 0 没有倒数。

2. 任何数的倒数不为 1，只有 1 的倒数才是 1。

3. 两个数的积的倒数等于这两个数的倒数乘积。

比如，（3*4）的倒数等于3的倒数乘4的倒数，即1/12=1/3*1/44. 两个数的商的倒数等于这两个数倒数的商。

比如，10/3和3/4的倒数相除，我们可以先将其转换为乘法，即（10/3）*（4/3），在将其化简为（40/9）的倒数，即 9/40。

三、倒数的运算1. 倒数的加减法：若a和b是不为零的实数，则它们的倒数之和的倒数为(a+b)的倒数，即1/(1/a+1/b)=ab/(a+b),它们的倒数之差的倒数为(a-b)的倒数，即1/(1/a-1/b)=ab/(b-a)。

2. 倒数的乘法：两个数的倒数相乘，等于这两个数的积的倒数。

即，(a的倒数)*(b的倒数) = (a*b)的倒数。

比如，(1/5) *(1/6)=1/303. 倒数的幂运算：一个数的倒数的幂等于这个数的幂的倒数。

比如，(2的倒数)的平方等于2的平方的倒数，即1/4。

四、倒数的应用1. 计算机网络中的带宽和延迟在计算机网络中，带宽和延迟是两个重要的指标。

带宽表示单位时间通过网络传输的数据量，其倒数称为网络延迟。

比如，带宽为10Mbps的网络的延迟是1/10^-7 = 0.1 毫秒。

倒数题型归纳总结

倒数题型归纳总结倒数题型是在各个考试中常见的一种题型，其解题方法灵活多样，需要考生具备一定的数学思维能力和逻辑分析能力。

本文将对倒数题型进行归纳总结，帮助考生更好地理解和应对这类题目。

一、倒数的定义和性质倒数是指一个数的倒数，即这个数的倒数是其分数形式的表示。

比如数a的倒数记作1/a。

倒数具有以下性质：1. 任何非零数的倒数都存在。

2. 0没有倒数，因为0乘以任何数都等于0，无法找到一个数使得它乘以0等于1。

3. 正数的倒数仍然是正数，负数的倒数是负数。

二、倒数的计算方法在计算倒数时，可以运用以下的方法：1. 借助分数：将给定的数转化为分数形式，然后将分子和分母互换位置即可得到倒数。

例如，数3的倒数可以表示为1/3，数5/7的倒数可以表示为7/5。

2. 利用除法：将1除以给定的数即可得到倒数。

例如，数2的倒数可以表示为1/2，数3/4的倒数可以表示为4/3。

3. 利用指数运算：一个数的倒数等于这个数的-1次方。

例如，数4的倒数可以表示为4^(-1)，数8的倒数可以表示为8^(-1)。

三、倒数的运算规律在进行倒数运算时，有一些基本的运算规律需要掌握：1. 倒数的乘法：两个数的倒数相乘，等于这两个数的倒数的和的倒数。

即对于数a和数b，(1/a) * (1/b) = 1/(a*b)。

2. 倒数的除法：一个数的倒数除以另一个数的倒数，等于这两个数的商。

即对于数a和数b，(1/a) / (1/b) = b/a。

3. 倒数的加减法：两个数的倒数相加或相减，可以先求出它们的和或差，然后再求倒数。

即对于数a和数b，(1/a) + (1/b) = 1/(a+b)，(1/a) - (1/b) = 1/(a-b)。

四、倒数在实际问题中的应用倒数在实际问题中经常被用到，尤其是涉及到比例和速度等概念的计算中。

以下是一些实际问题的例子：1. 比例问题：某项工作需要3个小时完成，那么完成该项工作的速度为1/3个小时/工作。

2. 速度问题：甲车和乙车同时从A地出发，甲车的速度为60km/h，乙车的速度为40km/h，如果两车相向而行，它们相遇的时间为1/(60+40)个小时。

倒数定理的应用

倒数定理的应用数学中有一种著名的定理叫做倒数定理，这个定理的应用范围很广，今天我们就来研究一下倒数定理的应用。

一、倒数定理的概念倒数定理是指两个数的乘积等于它们的和与它们的倒数之积的和。

数学符号表示为：a×b=a+b(ab)。

二、倒数定理的证明倒数定理的证明很简单，可以通过以下步骤来证明：首先，假设a+b+ab=0，那么有：a+b+ab=0(a+1)(b+1)=1根据倒数的定义，我们知道a和b的倒数分别为1/(a+1)和1/(b+1)，因此：1/(a+1)+1/(b+1)=1这样，我们就完成了倒数定理的证明。

三、3.1. 判断两数关系倒数定理可以用来判断两个已知数的大小关系。

例如，已知两个数a和b，如果它们的积ab很大，那么它们的和a+b就很小，这时我们可以通过倒数定理来判断a和b的大小。

假设我们要比较两个正数a和b的大小，且ab>1，则有：a+b(ab)>a+b+ab(a+1)(b+1)>2(a+b)1/(a+1)+1/(b+1)<1/2这样，我们就可以通过倒数定理得出结论，如果1/(a+1)+1/(b+1)<1/2，则a>b，否则a<b。

3.2. 求解方程倒数定理可以用来求解一些数学方程的根。

例如，我们要求方程ax^2+bx+c=0的根，且已知方程的两个根为x1和x2，那么我们可以利用倒数定理来求解a、b和c的值。

步骤如下：首先，设P=x1+x2，Q=x1x2，则有以下方程：x^2-Px+Q=0(a-b)/(a+b)=(x1/x2)^2(x1/x2)+(x2/x1)=-b/a由于P=x1+x2=-b/a，Q=x1x2=c/a，因此，我们可以将方程转化为：(a-b)/(a+b)=(-Q/P^2)(1/x1)+(1/x2)=-b/a这样，我们就可以通过倒数定理来求解a、b和c的值。

3.3. 求解三角函数值倒数定理可以用来求解一些三角函数值，例如正切函数的值。

高考数学倒数知识点归纳

高考数学倒数知识点归纳高考数学作为考试科目中的重要分支，对于学生来说常常是一个令人头疼的难题。

尤其是在备考的过程中，很多同学会陷入困境，迷失在复杂的数学知识里。

为了帮助考生更好地备考数学，下面将对高考数学中的倒数知识点进行归纳总结。

一、倒数的概念与性质倒数是数学中一个重要的概念，它是一个数的倒数与该数的乘积为1。

即如果一个数a的倒数是b，那么ab=1。

在高考数学中，经常会涉及到倒数的运算。

倒数的性质也是我们需要掌握的重要内容，包括倒数的倒数仍为原数、倒数的倒数是其倒数等。

二、常见倒数的计算在高考数学中，经常会涉及到对一些常见数的倒数进行计算。

比如倒数的加减乘除运算、对分数的倒数进行计算等。

其中，分数的倒数的计算是非常重要的一点。

三、倒数的应用倒数在实际生活中也有着广泛的应用。

比如在物理学中，电阻、电导率等概念的倒数经常被使用。

在经济学中，乘数与边际倒数的概念也是常见的。

在几何学中，切线的斜率等也与倒数有关等等。

四、倒数的四则运算倒数的四则运算是我们需要掌握的重要内容之一。

在高考数学中，常常会出现类似于“若a，b互为倒数，求a+b的值”或者“若a，b满足ab=1，求a+b的值”等题目。

对于这类题目，我们可以通过解方程的方法来求解。

五、倒数的概念在函数中的应用在高考数学中，函数是一个非常重要的内容。

函数中常常涉及到倒数的概念。

比如在求导数的过程中，我们就需要用到倒数的相关知识。

对于函数f(x)，其导数即为f(x)的倒数。

六、倒数的倒数规律在高考数学中，倒数的倒数规律也是我们需要掌握的重要内容。

即一个数的倒数的倒数仍为原数。

七、倒数的变形在高考数学中，倒数的变形也是经常会遇到的一种情况。

比如倒数的平方、倒数的立方等等。

对于这类情况，我们需要掌握相应的求解方法。

八、倒数与其他数学概念的联系倒数与其他数学概念有着紧密的联系。

在高考数学中，我们常常需要结合其他数学概念来求解倒数的问题。

比如在三角函数的计算中，我们常常需要求解倒数。

数学高中倒数知识点总结

数学高中倒数知识点总结一、基本概念1.1 分数的倒数在数学中，分数的倒数是指原分数的倒数，即倒数是分数的分子和分母对调位置，并将其取倒数。

举例来说，分数1/2的倒数为2/1，即2。

在代数运算中，倒数是一个常见的概念，常用来计算分数的乘法和除法等运算。

1.2 实数的倒数除了分数的倒数，实数的倒数也是一个重要的概念。

在数学中，每一个非零的实数都有其倒数，其计算方式是将该实数取倒数。

例如，实数3的倒数为1/3。

在代数式、方程式以及函数的运算中，实数的倒数也被广泛使用。

1.3 函数的倒数在函数的理论中，倒数是指一个函数的导数的倒数。

在微积分中，导数与倒数的概念是密切相关的，而倒数则是导数的一种特殊形式。

函数的倒数在解析几何、微积分以及物理等领域中都有广泛的应用。

二、常见性质2.1 分数倒数的性质分数的倒数具有一些常见的性质，包括：（1）倒数的倒数为原数，即1/(1/x) = x；（2）非零数的倒数仍为非零数；（3）零的倒数不存在；（4）倒数的乘法等于原数的乘法的倒数，即(1/a)×(1/b) = 1/(a×b)；（5）倒数的除法等于原数的除法的倒数，即(1/a)/(1/b) = b/a。

2.2 实数倒数的性质实数的倒数同样具有一些常见的性质，包括：（1）实数的倒数为其分数形式的倒数，即1/(a/b) = b/a；（2）非零实数的倒数仍为非零实数；（3）零的倒数不存在；（4）倒数的乘法等于原数的乘法的倒数，即(1/a)×(1/b) = 1/(a×b)；（5）倒数的除法等于原数的除法的倒数，即(1/a)/(1/b) = b/a。

2.3 函数倒数的性质函数的倒数在微积分中具有特殊的性质，包括：（1）函数的导数和倒数的关系，即函数的导数f'(x)的倒数为1/f'(x)；（2）倒数的链式法则，即由复合函数的导数计算规则得出，若函数f(x)和g(x)互为倒数，则(f/g)' = -f'/(g^2)。

倒数定义知识点总结高中

倒数定义知识点总结高中在高中数学中，学生通常会接触到倒数的概念，了解倒数的性质、应用以及相关计算等。

本文将从倒数的定义、性质、应用和计算等方面来总结倒数的知识点。

一、倒数的定义在数学中，倒数是一个整数序列，以大于零的整数n为起点，依次减去1，直到达到零为止的序列。

可以表示为n, n-1, n-2, ..., 2, 1, 0的形式。

例如，以5为起点的倒数序列为5, 4, 3, 2, 1, 0。

二、倒数的性质1. 倒数是有限的整数序列，它从一个大于零的整数开始，依次减1，直到达到零为止。

2. 倒数的长度是n+1，其中n表示倒数的起点。

3. 倒数序列的和是n*(n+1)/2。

例如，以5为起点的倒数序列的和为5*（5+1）/2=15。

4. 倒数序列的平均数是（n+1）/2。

例如，以5为起点的倒数序列的平均数是（5+1）/2=3。

5. 倒数序列中任意相邻两个数的差是1。

6. 倒数序列中任意两个数之间的差是确定的，可以通过计算得到。

7. 倒数序列中的每一个数都是比它前面的数小1的整数。

三、倒数的应用1. 在数学竞赛中，倒数可以作为解决问题的方法之一，例如计算倒数序列的和、平均数等。

2. 在生活中，倒数可以用来表示倒计时，例如倒计时五天、四天、三天、二天、一天、零天。

3. 在计算学习中，倒数可以作为一种练习计算的方式，例如计算以5为起点的倒数序列的和、平均数等。

四、倒数的计算1. 首先确定倒数的起点n。

2. 确定倒数的长度n+1。

3. 计算倒数序列的和：n*(n+1)/2。

4. 计算倒数序列的平均数：（n+1）/2。

5. 根据需要计算倒数序列中任意两个数之间的差、倒数序列中任意两个数的和等。

以上是关于倒数的定义知识点总结，通过对倒数的定义、性质、应用和计算等方面的了解，可以帮助学生更好地理解和掌握倒数的概念，提高数学素养和解决问题的能力。

应用相反数、倒数及绝对值概念解题

应用相反数、倒数及绝对值概念解题相反数、倒数、绝对值的概念有广泛的应用．举例说明如下：例1 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，计算a+b+x2-cdx的值．(九年义务教材代数第一册(上)P176B组-4)解由题设知a+b＝0，cd＝1，又|x|＝1，∴x＝±1①当x＝1时，原式＝0+12－1＝0；②当x＝－1时，原式＝0+(－1)2+1＝2．例2 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则2a bm cda b c++-++的值为__________.(96年哈尔滨市中考)解由题设知a+b＝0，cd＝1，又|m|＝2，∴m2＝4例3 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则2||a bcd mm+-+=__________.(95年咸阳市中考)解由题设知a+b＝0，cd＝1，又|m|＝2，∴m＝±2，m2＝4例4 若a、b互为相反数，cd互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市初中数学竞赛) 解由题设知a+b＝0，cd＝-1，则|a+b+cd|＝|0－1|＝1例5 若m、n是不为零的互为相反数，x、y互为倒数，c的绝对值为2，那么5410010 ()()()m n xxy c m nn m y-+÷-⋅+的值是[ ]A．16 B．－16C．48 D．－48(96年希望杯邀请赛初一培训题)解由题设知xy＝1，m+n＝0，∴选(A)例6 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy的负倒数是________．(95年希望杯邀请赛初一培训题)解由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0例7 已知a、b是互为相反数，c、d是互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则x3+abcdx+a-bcd的值是_______．(94年希望杯邀请赛初一试题)解由题设知a+b＝0，cd＝－1．又x的绝对值等于它的相反数的2倍，∴x＝0，∴原式＝0×3+0+a-b·(-1)＝a+b＝0练习题已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于1，则a+b+x2-cdx的最大值是_______．(94年希望杯邀请赛初一培训题)(结果为2和0，故最大值为2)。

倒数知识点总结

倒数知识点总结倒数是数学中的一个重要概念，在我们的日常生活和学习中都会经常遇到倒数的概念。

倒数的概念在数学中有着广泛的应用，从基本的数学计算到更加复杂的数学问题中都会涉及到倒数的概念。

因此，了解和掌握倒数的知识是非常重要的。

在本文中，我们将对倒数的相关知识进行总结和介绍，希望能够帮助大家更好地理解和应用倒数的概念。

一、倒数的定义及表示1.倒数的定义倒数是指一个数的倒数就是这个数的倒数，也就是1除以这个数。

例如，2的倒数是1/2，3的倒数是1/3，以此类推。

倒数的概念是指一个数与其倒数的乘积为1。

2.倒数的表示在数学中，我们通常用“1/数”的形式来表示某个数的倒数，例如1/2表示2的倒数，1/3表示3的倒数。

在代数中，我们可以用x^-1来表示x的倒数，例如x的倒数可以表示为1/x。

二、倒数的性质1.任何非零数的倒数都是一个非零数这个性质表明，任何一个非零数的倒数都是一个非零数。

因为任何一个非零数除以自己本身都不等于0，所以非零数的倒数都是一个非零数。

2.倒数的积为1倒数的概念是指一个数与其倒数的乘积为1。

因此，任何一个数与其倒数的乘积都等于1。

例如，2的倒数是1/2，那么2乘以1/2等于1。

3.倒数的倒数就是原数倒数的概念是指一个数的倒数就是这个数的倒数。

例如，2的倒数是1/2，那么1/2的倒数就是2。

4.零没有倒数零没有倒数这一性质是倒数的一个特殊性质。

因为任何一个数除以零都是无穷大或者没有意义，因此零没有倒数。

三、倒数的应用1.在分数的化简中在分数的化简中，我们常常需要用到倒数的概念。

例如，当我们需要将一个分数化简为最简分数的时候，就需要将分子与分母的倒数相乘，这样可以得到最简分数。

2.在代数中的应用在代数中，倒数的概念常常用于表示未知数的倒数。

例如，当我们需要求一个值的倒数时，可以用未知数的幂指数表示其倒数，例如x的倒数可以表示为x^-1。

3.在物理中的应用在物理学中，倒数的概念常常用于表示物理量的倒数。

数学高考倒数知识点

数学高考倒数知识点高考即将来临，考生们纷纷投入数学备考中。

而在数学备考中，倒数知识点的复习尤为重要。

本文将从几个常见的高考数学考点出发，探讨一些相关的解题技巧。

一、概率在概率题中，符号的运用是非常重要的。

考生们在解题时要特别注意符号的准确使用，并理解各种概率符号的含义。

例如，P(A|B)表示事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(A与B同时发生)用P(A∩B)表示。

在计算题中，考生们需要熟悉排列、组合以及二项式定理等概念，掌握相应的计算方法。

在概率问题中，往往会出现求互斥事件、有序事件和充分事件的概率的计算。

对于互斥事件的概率计算，可以利用概率加法规则，即：P(A或B)=P(A)+P(B)；对于有序事件的概率计算，可以利用概率乘法规则，即：P(A和B)=P(A)×P(B|A)；对于充分事件的概率计算，可以直接根据给定的条件进行计算。

掌握这些计算方法，对于概率题的解答具有很大的帮助。

二、数列和数列极限在数学高考中，数列和数列极限是一类常见的考点。

对于等差数列、等比数列等常见数列的求和问题，考生们需要了解相应的求和公式，并能够熟练应用。

对于数列极限的计算，考生们需要掌握极限的定义和计算规则。

特别要注意的是，在求极限的过程中，要考虑序列的性态和序列的特征，合理选择极限的计算方式。

对于初等函数和初等代数式的极限计算，考生们需要通过变量代换等方法，将复杂的极限问题化简成简单的形式进行计算。

此外，极限存在的判断以及等价无穷小量的运算规则也是考生们需要掌握的重点。

三、平面几何在平面几何中，对于线段、角、三角形、圆等基本图形的性质要熟练掌握。

在解题过程中，可以运用相似三角形、勾股定理、正弦定理和余弦定理等几何关系，帮助解决几何问题。

在解决几何题目时，还要注意利用图形的对称性、垂线特性等性质，合理利用已知条件推出要证明的结论。

此外，在求解几何题目时，还可以利用向量的性质，运用向量的平行、垂直运算，解决部分几何问题。

倒数关键知识点总结

倒数关键知识点总结1. 倒数的定义倒数是一个数的倒数，即数a的倒数是1/a。

倒数的概念最早出现在古希腊数学中，当时的数学家们发现，很多时候，我们需要求一个数的倒数，以便更方便地进行运算。

比如，如果我们要将一个数除以另一个数，就可以先求其中一个数的倒数，然后再进行乘法运算，这样就更方便了。

2. 倒数的性质倒数有一些非常有趣的性质，这些性质在数学中有着广泛的应用。

其中一些重要的性质包括：（1）任何非零数的倒数都是一个非零数，即0的倒数是没有意义的。

（2）两个数的倒数的乘积等于它们的乘积的倒数，即(a*b)的倒数等于a的倒数乘以b的倒数。

（3）一个数的倒数的倒数等于它本身，即(a的倒数)的倒数等于a。

3. 倒数的应用倒数在数学中有着广泛的应用，它不仅在基本的数学运算中有着重要的作用，还在很多更高级的数学概念中有着重要的地位。

其中一些典型的应用包括：（1）在分数中，倒数是一个非常重要的概念。

分数可以看作是一个数的倒数，它在数学中有着广泛的应用。

（2）在概率论中，倒数是一个非常重要的概念。

概率可以看作是一个事件的发生概率的倒数，它在统计学中有着广泛的应用。

（3）在微积分中，倒数是一个非常重要的概念。

微积分中的导数和微分可以看作是一个函数的倒数，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。

总之，倒数是一个非常重要的数学概念，它在数学中有着广泛的应用。

通过对倒数的定义、性质和应用的深入研究，我们可以更深入地理解倒数这一概念，从而更好地应用它来解决实际问题。

希望这篇文章能帮助读者更好地理解倒数这一重要的数学概念。

倒数相关知识点总结

倒数相关知识点总结一、倒数的定义在数学中，如果一个数除以另一个数的结果为1，那么这个数就是另一个数的倒数。

通常用分数的形式表示，如果一个数是a，它的倒数就是1/a。

例如，数3的倒数为1/3，数5的倒数为1/5。

在实际应用中，倒数通常表示"每个"，比如说1/4表示"每四分之一"，1/5表示"每五分之一"。

因此，在日常生活中，倒数经常出现在一些比例、概率和速度的表示中。

二、倒数的性质1. 任何非零实数的倒数都是非零实数。

因为任何非零实数除以自身都不等于0，所以它的倒数也不可能是0。

2. 任意两个数的倒数相乘等于1。

例如，(a的倒数)乘以(b的倒数)等于1，即1/a * 1/b = 1。

这个性质在计算中经常被使用。

3. 0没有倒数。

因为任何实数除以0都是无穷大或无穷小，所以0没有倒数。

三、倒数的计算方法在实际计算中，倒数的计算方法是非常重要的。

通常有以下几种方法：1. 直接计算：对于小数、分数可以直接求倒数。

例如，数4的倒数为1/4，数0.25的倒数也是4，数2的倒数为1/2。

2. 变形计算：对于复杂的倒数，可以利用数学公式和变形技巧进行计算。

比如说，对于a/b的倒数，可以变形为b/a。

3. 反过程计算：有时候可以通过求两个数相乘等于1得到倒数。

例如，求3的倒数可以通过解方程3*x=1得到倒数为1/3。

四、倒数在实际生活中的应用1. 比例和概率：在比例和概率的计算中，倒数经常被使用。

比如说，如果一支队伍以3比1的比分赢得比赛，就可以表示为3:1，其中3的倒数表示了该队伍获胜的概率。

2. 速度和时间：在速度和时间的计算中，倒数也经常被使用。

比如说，如果一辆车以60公里/小时的速度行驶，那么它每分钟行驶的距离就是60的倒数，即1/60公里/分钟。

3. 反比关系：在物理学和工程学中，许多现象都具有反比关系，即一个物理量的变化与另一个物理量的变化成反比。

高中数学破题致胜微方法(抛物线的几何性质及相关结论)：四、抛物线焦半径倒数和的定值性质

本内容主要研究抛物线焦点弦的一个性质.过抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则11FA FB +为定值．例：已知AB 是过抛物线px y 22=)0(>p 焦点F 的动弦.求证： p FB FA 211=+.图111||||||AA A M MA =+||cos p AF θ=+,11||||||BB B N NB =-||cos p BF θ=-因此||||cos AF p AF θ=+，||||cos BF p BF θ=-所以焦半径||1cos p AF θ=-，焦半径||1cos p BF θ=+. 11cos AF p -θ∴= 11cos BF p +θ= ∴pFB FA 211=+整理：过抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则pFB FA 211=+，p 是焦准距（焦点到对应准线的距离）．再看一个例题：例：过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =▲【解析】方法一：抛物线24y x =的准线:1l x =-.设(0)AFx θθπ∠=<<，BF m =.∵||3AF =，∴根据抛物线的定义，点A 到准线:1l x =-的距离为3.∴323cos θ=+，即1cos 3θ=.又由BF m =，得2cos()m m πθ=+-，即231cos 2m θ==+ 方法二：根据p FB FA 211=+=1，又||3AF =，则||BF =32. 显然方法二计算量小.总结：1.过抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则pFB FA 211=+，p 是焦准距（焦点到对应准线的距离）．2.掌握抛物线焦点弦的这个定值性质，处理相关焦半径问题时非常简捷.练习：1.过抛物线m ：2y ax =（a ＞0）的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于（）．A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a2.过抛物线y 2=2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若25||12AB =,|AF |<|BF |,则|AF |=________.答案：1.解：2y ax =，21=x y a ，得112=412--+=p q a a ，选C. 2.2222(2)04k k x k x -++=,因为|AF |<|BF |,即x 1<x 2,所以解方程得113x =,所以 115||26AF x =+=. 方法二：由抛物线方程可知焦点F 的坐标为(12,0),设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 1225||112AB x x =++=,所以121312x x +=, 根据2124p x x ==14，因为|AF |<|BF |,即x 1<x 2,所以解方程组得113x =,234=x 所以 115||26AF x =+=. 方法三：根据p FB FA 211=+=2，又|AF |+|BF |=25||12AB =,|AF |<|BF |，解得5||6=AF .显然方法三计算量小.。

倒数应用知识点总结

倒数应用知识点总结一、倒数的基本概念倒数是指一个数的倒数，即一个数除以1后的结果。

比如，数3的倒数就是1/3，数5的倒数就是1/5。

倒数反映了一个数与1的比值，它的大小与原数的大小成反比。

倒数的概念还可以更广泛地应用到分数和整数的倒数上。

比如，分数1/2的倒数是2，整数2的倒数是1/2。

从这个角度看，倒数实际上是求倒数时所得数与原数的倒数。

倒数的表示方法参考了分数的表示方法，用“1/数”表示一个数的倒数。

比如，5的倒数可以表示为1/5。

在数学中，我们通常用倒数来描述两个数之间的相对大小关系。

数值越大，其倒数越小；数值越小，其倒数越大。

倒数的概念和性质为我们理解和利用倒数提供了理论基础。

了解倒数的基本概念有助于我们更好地应用倒数知识点，并在实际问题中运用它们进行计算和分析。

二、倒数在数学上的应用1. 倒数在运算中的应用在数学中，倒数在运算中有着重要的应用。

比如，在计算两个数的乘积时，我们可以用其中一个数的倒数替代它，将乘法运算转化为除法运算，从而简化运算过程。

例如，计算12×1/3，我们可以将1/3替代12，得到12×1/3=12÷3=4。

这样，我们就可以用12的倒数1/3替代12，将乘法转化为除法，从而简化了运算。

2. 倒数在比例和倍数中的应用倒数还可以用在比例和倍数中。

在比例中，我们可以用数的倒数来表示两个数之间的对应关系。

在倍数中，我们也可以用数的倒数来表示数值的放大或缩小倍数。

例如，在比例题中，如果一个数是另一个数的三倍，我们可以说这两个数之间的比是3：1。

如果我们用倒数来表示这个比，就是1/3：1，这样可以更直观地表示两个数之间的相对大小关系。

3. 倒数在函数中的应用在函数中，倒数也有着重要的应用。

比如，在求函数的导数或者积分时，倒数可以用来表示量的增减率，或者对应的面积。

倒数在函数中的应用是数学分析和微积分等相关学科的基础知识，对于理解和运用这些知识点有着重要的意义。

倒数的知识点总结

倒数的知识点总结倒数的基本概念倒数是指数学中一个数的倒数，即这个数乘上它的倒数等于1。

举例来说，一个数的倒数可以用1除以这个数来得到，比如2的倒数是1/2，3的倒数是1/3。

倒数的概念在分数中也有体现，比如分数1/2就是2的倒数。

倒数在数学运算中的应用在数学运算中，倒数有着重要的应用。

比如在求解方程时，求一个数的倒数可以简化运算的步骤，使得求解过程更加方便。

在分数的运算中，倒数也经常会出现，比如求两个分数的乘积的倒数等等。

此外，在概率统计中，倒数也常常用来表示概率的逆运算，比如事件发生的概率与事件不发生的概率之和等于1。

倒数的概念和运算对于一个数a，它的倒数通常用1/a来表示。

倒数的计算可以通过取分数的逆运算来得到，即将1除以这个数。

举例来说，如果要求3的倒数，可以用1/3来表示。

倒数的计算在数学运算中有其独特的规律，比如任何一个数的倒数的倒数仍然是这个数本身。

倒数的性质倒数有着一些重要的性质，比如：1. 任何一个数的倒数的倒数等于这个数本身，即(a的倒数)的倒数等于a。

2. 0的倒数不存在，因为任何数乘0都等于0，即1/0是不存在的。

3. 当一个数不等于0时，它的倒数一定存在，并且是一个非零数。

倒数在日常生活中的应用倒数在日常生活中也有着广泛的应用。

比如在倒计时中，我们可以用倒数的方式来表示距离某个事件发生的时间。

在体育比赛中，我们经常会看到倒数排名，表示最后一名、倒数第二名等等。

倒数还可以用来表示速度的逆运算，比如每小时60公里表示的速度的倒数就是1/60小时/公里。

倒数在数学中的深层应用倒数在数学中不仅仅停留在基本的概念和运算中，它还有着深层的应用和研究。

比如在微积分中，倒数的概念被用来表示函数的导数，进而用来描述函数的变化率。

在数论中，倒数也常常出现，比如在数的因数分解中可以用倒数的概念来简化运算。

结语倒数是数学中一个基础而又重要的概念，它在日常生活中有着广泛的应用，同时也在数学的各个领域中都有着重要的地位。

倒数认识知识点总结

倒数认识知识点总结倒数是日常生活中不可或缺的概念，可以应用于时间、距离、数量等各种方面。

在数学中，倒数是一个重要的概念，我们可以从不同的角度来认识和理解倒数，学习倒数的知识点对于提高数学解题能力和逻辑思维能力都十分重要。

下面我将从不同方面总结倒数的相关知识点，帮助大家更好地理解和运用倒数的概念。

一、倒数的定义倒数是一个数的倒数是指这个数与1的商的乘法逆元（也就是这个数的倒数再乘以它自己得到1），倒数的概念主要应用于分数和小数。

例如，数x的倒数是1/x，数y的倒数是1/y，以此类推。

在分数中，倒数的概念对于求解分式和解决实际问题都有着重要的作用。

二、倒数的性质1. 任何非零数的倒数仍然是一个非零数，例如任何非零数的倒数都不是零。

2. 任何数的倒数与这个数的倒数的倒数相等，例如数x的倒数是1/x，1/x的倒数又是x。

3. 任何数的倒数的倒数是它自己，例如数x的倒数是1/x，1/x的倒数又是x。

4. 0的倒数不存在，因为任何数与0的乘积都是0，所以0没有倒数。

5. 正数的倒数仍然是一个正数，负数的倒数仍然是一个负数，只有符号不同。

三、倒数的运算1. 两个数的乘积的倒数等于它们的倒数的乘积的倒数，即(AB)的倒数等于A的倒数乘以B的倒数。

2. 两个数的商的倒数等于它们的倒数的商的倒数，即(A/B)的倒数等于A的倒数除以B的倒数。

3. 一个数的n次幂的倒数等于这个数的n次幂的倒数，即(A^n)的倒数等于A的倒数的n次幂。

四、倒数的应用1. 在实际问题中，倒数常常用于求解分式，例如计算速度、密度、浓度等物理和化学问题中，都需要用到倒数的概念。

2. 倒数还可以应用于在解方程、解不等式和化简表达式等数学运算中，可以帮助我们更快地求解问题。

五、倒数的扩展1. 在实际问题中，我们还可以用倒数的概念来理解和解释很多现象，例如倒数可以帮助我们理解速度、密度、比例等概念。

2. 在数学中，我们还可以通过倒数的概念来推导和证明很多定理和公式，例如通过倒数的概念推导出勾股定理、导数的定义等。

七年级下册数学倒数知识点

七年级下册数学倒数知识点数学作为一门基础学科，在学习中，我们应该每个知识点都认真吸收，再从实践中加深理解。

对于初中七年级下册数学倒数知识点，我们应该理清思路，深入学习，下面就为大家详细讲解七年级下册数学倒数知识点。

一、倒数倒数是数学中的一个概念，指的是一个数的倒数是这个数的倒数分之一，即该数的分子为1。

如3的倒数是1/3，5的倒数是1/5。

二、倒数的性质1.任何一个数的倒数均不为0，即分母不为0，倒数只有在分母不为0的条件下才有意义。

2.任何一个数的倒数都是它的倒数，即a的倒数的倒数还是a。

3.倒数的乘积等于1，即若a、b都有倒数，则它们的倒数相乘等于1，即a的倒数×b的倒数=1。

4.倒数的除法等于分子除以分母，即a/b的倒数等于b/a。

三、倒数的应用1.比例问题：在比例问题中，我们需要调整比例，倒数就可以很好的帮助我们解决问题。

比如我们常用的万用表测试电阻，会出现数字很大，这时我们就可以使用倒数，变成分数，便于比较了。

2.平均速度问题：平均速度= 总路程/总时间，我们若知道速度，可以通过求速度的倒数来得出它的时间或路程。

3.比例分配问题：当需要按比例分配某些物品，我们就可以通过倒数来换算比例，更方便计算。

四、倒数在复杂运算中的应用1.分式的通分：通分时需要使用倒数，如5/6和7/8通分成60/48时，先求出分母的最小公倍数24，那么5/6乘以4/4即为20/24，7/8乘以3/3即为21/24。

2.分式的约分：分式的约分就是将分子和分母同时除以一个数，这个数可以是分子和分母的公因数，例如3/6就可以约分成1/2，此时我们可以使用倒数，将1/2的倒数求出来，即为2/1。

3.两数的调和平均值：当求两个数的调和平均数时，我们可以使用它们的倒数求出平均数，即2/(1/a + 1/b)。

综上所述，七年级下册数学倒数知识点囊括了倒数的概念、性质、应用和在复杂运算中的应用。

在学习数学倒数知识点的过程中，我们要理清思路，树立正确的数学思想，以便对倒数知识有更深入的了解。

倒数知识点和题型总结

倒数知识点和题型总结一、倒数基础知识点总结1. 基本概念倒数是指从整数起始数值递减至零的过程或数值。

在数学中，倒数是指一个数的倒数，即这个数的倒数是1/这个数。

例如，2的倒数是1/2，3的倒数是1/3，以此类推。

倒数在日常生活和数学中都有广泛的应用，如计时器的倒计时、商业活动的倒数计时等。

2. 倒数的概念在数学中，倒数是指一个数除以1，通常记作1/x，其中x是一个非零数。

倒数是数学中一个重要的概念，它与整数、分数等相关联，广泛应用于代数、数论、几何等领域。

3. 倒数的性质- 非零数的倒数是小数。

- 任意数的倒数是1与这个数的倒数的积等于1。

4. 倒数的运算- 计算倒数：要计算一个数的倒数，只需要将1除以这个数即可得到其倒数。

- 倒数的性质：对于任意非零数a，其倒数记作1/a，即a的倒数是1/a。

二、常见倒数题型总结1. 计算倒数问题描述：计算给定数的倒数。

解题方法：将1除以给定数即可得到其倒数。

例题：计算以下数的倒数：a) 2; b) 5; c) 1/3; d) 0.25。

2. 倒数的运算问题描述：运用倒数概念，对数进行加、减、乘、除的运算。

解题方法：先求出各数的倒数，然后进行常规的加、减、乘、除运算。

例题：计算以下数的和的倒数：a) 1/2 + 1/3; b) 2*3; c) 1/4 ÷ 1/5。

3. 倒数的应用问题描述：运用倒数的概念解决实际问题。

解题方法：根据问题描述，找出倒数的应用场景，并分析实际解决方法。

例题：若甲乙两人相约在某地见面，甲离目的地有5公里，乙离目的地有8公里。

若两人同时起步，那么两人能在多长时间后相遇？三、倒数题型解题方法1. 计算倒数- 例题1：计算以下数的倒数：a) 2; b) 5; c) 1/3; d) 0.25。

解题方法：a) 1/2; b) 1/5; c) 3; d) 4。

2. 倒数的运算- 例题2：计算以下数的和的倒数：a) 1/2 + 1/3; b) 2*3; c) 1/4 ÷ 1/5。

最新高考数学考前冲刺活用12个二级结论——高效解题

最新高考数学考前冲刺活用12个二级结论——高效解题活用12个二级结论——高效解题高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.解析显然函数f(x)的定义域为R，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案2A.－1 B.0 C.1 D.2答案D结论2函数周期性问题A.－2 B.－1 C.0 D.1则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2020)＝0＋f(1)＝－1.答案B【训练2】奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝() A.－2 B.－1 C.0 D.1解析由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.答案D结论3函数的对称性【例3】函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________.解析因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2016)＋f(2018)＝－f(2014)＋f(2014＋4)＝－f(2014)＋f(2014)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.答案4【训练3】(1)(2019·贵阳调研)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为()(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析(1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象A满足.(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(－1)＝f(3)＝3.答案(1)A(2)3结论4两个经典不等式【例4】已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.(2)证明由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－lnx>0.得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项D.当x>0时，由经典不等式x>1＋lnx(x>0)，以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)，所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，排除A，C，易知B正确.答案B所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.结论5三点共线的充要条件答案C解析如图，连接MN 并延长交AB的延长线于T.结论6三角形“四心”向量形式的充要条件A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB边的中点∴点P，C，D三点共线，故点P的轨迹一定经过△ABC的重心.答案C∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.答案(1)D(2)C结论7与等差数列相关的结论【例7】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()显然可得am≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.答案(1)C(2)10【训练7】(1)(2019·成都诊断)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝50，则S30＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.解析(1)(S20－S10)－S10＝(S30－S20)－(S20－S10)，S30＝3S20－3S10＝3×50－3×20＝90.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.答案(1)90(2)5结论8与等比数列相关的结论答案B解析设等比数列{an}的公比为q，易知S3≠0.答案C 结论9多面体的外接球和内切球答案C【训练9】(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为()答案(1)A(2)A结论10焦点三角形的面积公式答案3结论11圆锥曲线的切线问题【例11】已知抛物线C：x2＝4y，直线l：x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.【训练11】(1)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()解析(1)如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1).结论12过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦【例12】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()解析由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD 于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，答案B【训练12】(2019·郑州调研)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()答案D【例1】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，f(x)＝＝1＋，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，解析令g(x)＝ln(－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg＝－lg2，所以g(lg2)＋g＝0，所以f(lg2)＋f＝g(lg2)＋1＋g＋1＝2.【训练1】已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f＝()已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T ＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.解析因为f＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－f＝f(x)，则f(x)的周期T＝3.【例2】已知定义在R上的函数f(x)满足ff(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝()已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)x＝a对称.(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.(3)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.(1)对数形式：x≥1＋lnx(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1).①若a≤0，因为f＝－＋aln2<0，所以不满足题意.②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，…令x＝1＋，得ln【训练4】(1)(2019·广安调研)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为()(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x ＋1有唯一公共点.(1)解析由由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为增函数，且g(0)＝0.(2)证明令g(x)＝f(x)－＝ex－x2x－1，x∈R，则g′(x)＝ex－x－1，设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.特别地，当P为线段AB的中点时，＝＋.A.－B.C.－D.【例5】在△ABC中，＝2，＝3，连接BF，CE，且BF与CE交于点M，＝x＋y，则x－y等于()联立①②解得所以x－y＝－＝－.所以＝x＋y＝x＋y.因为＝3，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.解析因为＝2，所以＝，由B，M，F三点共线得x＋y＝1.①由C，M，E三点共线得x＋y＝1.②答案∴＝λ＋μ，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.由已知易得AB＝AT，∴＝＝λ＋μ，【训练5】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心||＝||＝||＝.(2)O为△ABC的重心＋＋＝0.(3O为△ABC的垂心·＝·＝·.(4)O为△ABC的内心a＋b＋c＝0.【例6】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，又＋＝1，解析取AB的中点D，则2＝＋，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，A.外心B.内心C.重心D.垂心(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【训练6】(1)P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的((2)设BC的中点为M，则＝，则有＝＋λ，即＝λ.解析1)由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn.(1)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.(2)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.(3)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)amS奇－S 偶＝am，＝.A.3B.4C.5D.6(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5.(2)由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.解析(1)∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，∴数列也为等差数列.经检验，m＝5符合题意.又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列，其公比为.(2)公比q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N).(3)若等比数列的项数为2n(n∈Nq，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.(4)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.则Sm＋n＝Sm ＋qmSn(m，n∈N).解析由已知＝3，得S6＝3S3且q≠－1，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3).化简得S9＝7S3，从而＝＝.A.2 B. C. D.3【例8】(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝()解①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝.故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.②由①及题意可得log2an＝n－2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.①求数列{an}的通项公式；②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.A.或5B.或5C.D.【训练8】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn 是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.(1)长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.(2)棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.A.B.C.D.【例9】已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()依题意，＝，得x＝2，易得小三棱锥的高为.设小球半径为r，则S底面·＝4×S底面·r(S底面为小三棱锥的底面积)，得r＝.故小球的表面积S＝4πr2＝.解析当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等).A. B.2 C.4 D.3(2)(2019·重庆诊断)已知球O的直径PA＝2r，B，C是该球面上的两点，且BC＝PB＝PC＝r，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为()A.64πB.32πC.16πD.8π解析(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1补成正四16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.(2)如图，取PA的中点O，则O为球心，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以VO－BCP＝r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝r3，令r3＝，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.(1)在椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan，其中θ＝∠F1PF2.(2)在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2.A.B.C.D.【例10】如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan45°＝，即bb＝1.故双曲线的离心率e＝＝＝.解析设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.所以a＝c－b＝3－1＝2.答案D解析在焦点三角形PF1F2中，⊥，所以∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝b2tan＝b2tan45°＝9，则b＝3.【训练10】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.(1)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2.(2)过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.(3)已知点M(x0，y0)，抛物线C：y2＝2px(p≠0)和直线l：y0y＝p(x＋x0).①当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线.②当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线，即直线l为切点弦所在的直线.解联立方程得消去y，整理得x2－4x＋8＝0，由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2(y＋y0)，即y＝x0x－y0.Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l与抛物线C相离.A.2x＋y－3＝0B.2x－y－3＝0C.4x－y－3＝0D.4x＋y－3＝0(2)设椭圆C：＋＝1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.答案(1)A(2)x＋2y－4＝0(2)由于点P在椭圆＋＝1上，故切线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.故直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x＋y－3＝0.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(1)xA·xB＝.(2)yA·yB＝－p2.(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.所以cosθ＝＝，∴sin2θ＝.A.4 B. C.5 D.6A.B.C.D.故|yA－yB|＝＝6.与抛物线方程联立，化简得4y2－12y －9＝0，因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.解析法一由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.法二由2p＝3，及|AB|＝得|AB|＝＝＝12.。

无私奉献解几中一个倒数和定值的结论

词·清平乐禁庭春昼，莺羽披新绣。

百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。

日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。

谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。

解几中一个倒数和定值的结论，可解多道考题结论：A 、B 是椭圆：)0,0(,12222>>=+b a by ax 上的任意两点，O 是椭圆中心，若OB OA ⊥，22||1||1OB OA +2211ba+=，证明：设),(),,(2211y x B y x A ，当OA 的斜率是0或不存在时结论显然成立；当OA 的斜率存在且不为0时，设OA 的斜率是k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=12222b y a x kx y 得：2222221b k a b a x +=，所以：)1(||12222222k b a bka OA ++=，同理：)1(||12222222k b a kb a OB ++=于是：22||1||1OB OA +2211ba+=，推论1 A 、B 是椭圆：)0,0(,12222>>=+b a by ax 上的任意两点，O 是椭圆中心，则OB OA ⊥的充要条件是O 到AB 的距离是22baab d +=；证明：必要性：因为OB OA ⊥，由上面结论得：22222211||||||||baOB OA OB OA +=+得：2222211||||||baOB OA AB +=又：||21||||21AB d OB OA S ==，2222211||||baAB dAB +=，即22baabd +=；充分性：当斜率不存在时可得结论成立，设AB 有斜率，并设直线AB ：m kx y +=，代入到12222=+by ax 得：02)(222222222=-+++b a m a x kma x k a b ，由韦达定理得;222222221222221,2ka b ba ma x x ka b kmax x +-=+-=+，因为O 到AB 的距离是22baab d +=，得：2221||baabkm +=+，即：)()1(222222b a m b a k +=+…………①于是：))((21212121m kx m kx x x y y x x +++=+ 221212)()1(m x x km x x k ++++=22222222222222))(1(m ak b kmakm a k b b a ma k ++-⋅++-+=22222222222222)1()1(m ak b a m k b a k ma k ++-+-+=22222222222222)()1(m ak b am k b am ma k ++-+-+=（代入了①式）0222222222=++--=m ak b am k b m ，所以：02121=+y y x x ，即OB OA ⊥；推论2 A 、B 是双曲线：)0(,12222>>=-a b by ax ，上的任意两点，O 是椭圆中心，若OB OA ⊥，22||1||1OB OA +2211ba-=，推论3 A 、B 是双曲线：)0(,12222>>=-a b by ax 上的任意两点，O 是椭圆中心，则OB OA ⊥的充要条件是O 到AB 的距离是22abab d -=，用以上结论可以轻松解决一些高考压轴题和竞赛题例1、（2009山东高考）椭圆E ：12222=+by ax ，)0,0(>>b a 过)2,2(M ，)1,6(N 两点，O 是原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点，且OB OA ⊥，若存在写出圆的方程，并求出||AB 的取值范围，不存在说明理由。

认识倒数知识点总结

认识倒数知识点总结一、倒数的定义倒数是指一个数的倒数是它的倒数，例如：1/2的倒数是2，1/3的倒数是3……一般地，一个非零数a的倒数是1/a，其中a≠0。

倒数就是相对于数a而言的倒数1/a。

在数学表达上通常采用表示法。

倒数的概念在数学中是非常常见的，常常用于计算和推导。

二、倒数的性质1. 非零数a的倒数是1/a，其中a≠0。

2. 零没有倒数，因为0的倒数是1/0，而1/0在数学上是无意义的。

3. 一个数的倒数与这个数的符号相同，例如1/3的倒数是3，-1/3的倒数是-3。

4. 一个数的倒数的倒数还是它本身，例如(1/3)的倒数是3，而3的倒数是1/3。

5. 两个数的积的倒数等于它们的倒数的积的倒数，即(1/a)*(1/b) = 1/(a*b)。

三、倒数的应用1. 在分数运算中，倒数常常用于求分数的倒数或分数的乘除运算。

2. 在物理学中，倒数常常用于求速度的倒数，即加速度。

3. 在金融学中，倒数常常用于计算利率的倒数，即本金。

4. 在工程学中，倒数常常用于求导数、微分方程和特殊函数。

四、倒数的计算1. 求一个数的倒数，只需要将这个数取倒数即可。

2. 求两个数的倒数的积的倒数，只需要将这两个数的倒数相乘然后取倒数即可。

3. 求一个分数的倒数，只需要将分子和分母交换位置即可。

4. 求一个多项式的倒数，可以先分别求出每一项的倒数，然后再将它们相加即可。

5. 求一个函数的导数的倒数，可以先求出这个函数的导数，然后再取倒数即可。

五、倒数的相关定理1. 数学中有一条重要的定理叫做倒数定理：如果一个数和它的倒数相乘等于1，则这个数就是这个数的倒数，即a*1/a=1，a≠0。

2. 在微积分中，有一个定理叫做倒数法则：如果一个函数f(x)的导数是f'(x)，那么它的倒数的导数就是-f'(x)，即(d/dx)(1/f(x)) = -f'(x)/f(x)^2。

六、倒数的特殊情况1. 当一个数的绝对值越来越接近0时，它的倒数的绝对值就会越来越接近无穷大；而当一个数的绝对值越来越接近无穷大时，它的倒数的绝对值就会越来越接近0。