2020版高考理科一轮复习：选修4-4 第1节 坐标系
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选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系 [考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解 极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极 坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：Error!的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
1
π
A．ρ＝
，0≤θ≤
cos θ＋sin θ
2
1
π
B．ρ＝
，0≤θ≤
cos θ＋sin θ
4
π C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
2
π D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
4
A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
( ) 1
π
∴ρ＝
0 ≤ θ ≤ .]
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
第3页 共7页
( )π
[解] (1)由 ρcos θ－ ＝1 得 3
( ) 1
3
ρ cos θ＋ sin θ ＝1.
2
2
13 从而曲线 C 的直角坐标方程为 x＋ y＝1，即 x＋ 3y－2＝0.
4 的最大值为 2＋4＝6.]
平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现)
x2 1．求椭圆 ＋y2＝1 经过伸缩变换Error!后的曲线方程．
4 [解] 由Error!得到Error! ①
Biblioteka Baidu
x2
4x′2
将①代入 ＋y2＝1，得 ＋y′2＝1，即 x′2＋y′2＝1.
4
4
x2 因此椭圆 ＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋y2＝1.
sin θ＋cos θ
2
4．在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2 θ＝cos θ 和 ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标 系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为________．
第2页 共7页
(1,1) [由 ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由 ρsin θ＝1⇒y＝1，联立Error!⇒Error! 故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)．]
(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆．
由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.
由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公
22 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)．
( ) π
23
23π
当 θ＝ 时，ρ＝ ，所以 N ， .
2
3
32
( )2 3
(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0， . 3
( )3
所以 P 点的直角坐标为 1， ， 3
( ) 2 3 π
则 P 点的极坐标为 ， . 36
π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)．
( ) π
π
所以 ρ2－2 2ρ cos θcos ＋sin θsin ＝2，
4
4
即 ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.
所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
|－k＋2|
4
当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以
＝2，故 k＝－ 或 k＝0.经检
k2＋1
3
4 验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝－3时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点．
1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴
第5页 共7页
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求 C2 的直角坐标方程；
(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． [解] (1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
6
[规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入直角坐标方程并化简即可.
2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，再应用公式
进行代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ 及方程两边平方是常用的变形技巧.
第4页 共7页
( )π 2
即 ρsin θ＋ ＝ . 42
极坐标方程的应用(例题对讲)
【例 2】 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程；
π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ 4 (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
4
x2 y2 2．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆 ＋ ＝1 的一个伸缩变换公式为 φ：Error!求 a，b 的值．
94
X2 Y2 [解] 由Error!得Error!代入 x2＋y2＝1 中得 ＋ ＝1，
a2 b2
所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
[规律方法] 平面上的曲线 y＝fx在变换 φ：Error!的作用下的变换方程的求法是将Error!，整理之后 得到 y′＝hx′，即为所求变换之后的方程.
( )π
2
[解] 由 ρsin θ＋ ＝2，得 (ρsin θ＋ρcos θ)＝2，
4
2
可化为 x＋y－2 2＝0.圆 ρ＝4 可化为 x2＋y2＝16，
|－2 2|
圆心(0,0)到直线 x＋y－2 2＝0 的距离 d＝
＝2，
2
由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2 r2－d2＝2 42－22＝4 3.
故所求弦长为 4 3.
π 5．在极坐标系中，圆 ρ＝8sin θ 上的点到直线 θ＝ (ρ∈R)距离的最大值是________．
3 π
6 [圆 ρ＝8sin θ 即 ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋(y－4)2＝16，直线 θ＝ ，则 tan θ 3
|－4| ＝ 3，化为直角坐标方程为 3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为 ＝2，所以圆上的点到直线距离
|k＋2|
4
当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以
＝2，故 k＝0 或 k＝ .经检验，
k2＋1
3
4 当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝3时，l2 与 C2 没有公共点．
4
综上，所求
C1
的方程为
y＝－ |x|＋2. 3
2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos
. θ
由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标x，y与变换后的点的坐标x′，y′.
极坐标系与直角坐标系的互化(例题对讲)
【例 1】 (2019·合肥质检)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C
( )π
的极坐标方程为 ρcos θ－ ＝1(0≤θ＜2π)，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点． 3
[解] (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2，
C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
π (2)将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
4
ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.
( )π
x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为 1，－ . 2
( ) ( ) π
π
法二：由 ρ＝－2sin θ＝2cos θ＋ ，知圆心的极坐标为 1，－ ，故选 B.]
2
2
3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y＝1－
x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
( )π
已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－2
2ρcos θ－ ＝2. 4
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解] (1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，
所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4.
( )π
因为 ρ2－2 2ρcos θ－ ＝2， 4
3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
Error!Error!
4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
( ) π
π
ρ＝2rcos θ － ≤ θ ≤
(2)极坐标
①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 ρ.
②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为
ρ≥0，θ 可取任意实数．
2
2
( )π
圆心为 r， ，半径为 r 的圆 2
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为 α 的直线
θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R)
第1页 共7页
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
( ) π
π
ρcos θ＝a － ＜θ＜
2
2
( )π
过点 a， ，与极轴平行的直线 2
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)
故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2.
1
由于
C2
的半径为
1，所以△C2MN
的面积为 . 2
[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于
增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.
( )π
(2019·广州调研)在极坐标系中，求直线 ρsin θ＋ ＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长． 4
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
( )π
(2)若点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的一个极坐标是 2，－ .( ) 3
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )
(4)极坐标方程 θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)在极坐标系中，圆 ρ＝－2sin θ 的圆心的极坐标是( )
( )π
A. 1， 2
( )π
B. 1，－ 2
C．(1,0)
D．(1，π)
B [法一：由 ρ＝－2sinθ，得 ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，化成标准方程为
系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角 坐标方程；
( )π
(2)设点 A 的极坐标为 2， 3
，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
第一节 坐标系 [考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解 极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极 坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：Error!的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
1
π
A．ρ＝
，0≤θ≤
cos θ＋sin θ
2
1
π
B．ρ＝
，0≤θ≤
cos θ＋sin θ
4
π C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
2
π D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
4
A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
( ) 1
π
∴ρ＝
0 ≤ θ ≤ .]
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程．
第3页 共7页
( )π
[解] (1)由 ρcos θ－ ＝1 得 3
( ) 1
3
ρ cos θ＋ sin θ ＝1.
2
2
13 从而曲线 C 的直角坐标方程为 x＋ y＝1，即 x＋ 3y－2＝0.
4 的最大值为 2＋4＝6.]
平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现)
x2 1．求椭圆 ＋y2＝1 经过伸缩变换Error!后的曲线方程．
4 [解] 由Error!得到Error! ①
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x2
4x′2
将①代入 ＋y2＝1，得 ＋y′2＝1，即 x′2＋y′2＝1.
4
4
x2 因此椭圆 ＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋y2＝1.
sin θ＋cos θ
2
4．在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2 θ＝cos θ 和 ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标 系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为________．
第2页 共7页
(1,1) [由 ρsin2θ＝cos θ⇒ρ2sin2θ＝ρcos θ⇒y2＝x，又由 ρsin θ＝1⇒y＝1，联立Error!⇒Error! 故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)．]
(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆．
由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.
由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公
22 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)．
( ) π
23
23π
当 θ＝ 时，ρ＝ ，所以 N ， .
2
3
32
( )2 3
(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0， . 3
( )3
所以 P 点的直角坐标为 1， ， 3
( ) 2 3 π
则 P 点的极坐标为 ， . 36
π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)．
( ) π
π
所以 ρ2－2 2ρ cos θcos ＋sin θsin ＝2，
4
4
即 ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.
所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ＝1，
共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
|－k＋2|
4
当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以
＝2，故 k＝－ 或 k＝0.经检
k2＋1
3
4 验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝－3时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点．
1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴
第5页 共7页
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求 C2 的直角坐标方程；
(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程． [解] (1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
6
[规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入直角坐标方程并化简即可.
2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，再应用公式
进行代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ 及方程两边平方是常用的变形技巧.
第4页 共7页
( )π 2
即 ρsin θ＋ ＝ . 42
极坐标方程的应用(例题对讲)
【例 2】 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求 C1，C2 的极坐标方程；
π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ 4 (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
4
x2 y2 2．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆 ＋ ＝1 的一个伸缩变换公式为 φ：Error!求 a，b 的值．
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X2 Y2 [解] 由Error!得Error!代入 x2＋y2＝1 中得 ＋ ＝1，
a2 b2
所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
[规律方法] 平面上的曲线 y＝fx在变换 φ：Error!的作用下的变换方程的求法是将Error!，整理之后 得到 y′＝hx′，即为所求变换之后的方程.
( )π
2
[解] 由 ρsin θ＋ ＝2，得 (ρsin θ＋ρcos θ)＝2，
4
2
可化为 x＋y－2 2＝0.圆 ρ＝4 可化为 x2＋y2＝16，
|－2 2|
圆心(0,0)到直线 x＋y－2 2＝0 的距离 d＝
＝2，
2
由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2 r2－d2＝2 42－22＝4 3.
故所求弦长为 4 3.
π 5．在极坐标系中，圆 ρ＝8sin θ 上的点到直线 θ＝ (ρ∈R)距离的最大值是________．
3 π
6 [圆 ρ＝8sin θ 即 ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x2＋(y－4)2＝16，直线 θ＝ ，则 tan θ 3
|－4| ＝ 3，化为直角坐标方程为 3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为 ＝2，所以圆上的点到直线距离
|k＋2|
4
当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以
＝2，故 k＝0 或 k＝ .经检验，
k2＋1
3
4 当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝3时，l2 与 C2 没有公共点．
4
综上，所求
C1
的方程为
y＝－ |x|＋2. 3
2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos
. θ
由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标x，y与变换后的点的坐标x′，y′.
极坐标系与直角坐标系的互化(例题对讲)
【例 1】 (2019·合肥质检)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C
( )π
的极坐标方程为 ρcos θ－ ＝1(0≤θ＜2π)，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点． 3
[解] (1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－2，
C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
π (2)将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
4
ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.
( )π
x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为 1，－ . 2
( ) ( ) π
π
法二：由 ρ＝－2sin θ＝2cos θ＋ ，知圆心的极坐标为 1，－ ，故选 B.]
2
2
3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y＝1－
x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
( )π
已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ2－2
2ρcos θ－ ＝2. 4
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解] (1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，
所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4.
( )π
因为 ρ2－2 2ρcos θ－ ＝2， 4
3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
Error!Error!
4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
( ) π
π
ρ＝2rcos θ － ≤ θ ≤
(2)极坐标
①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 ρ.
②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为
ρ≥0，θ 可取任意实数．
2
2
( )π
圆心为 r， ，半径为 r 的圆 2
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为 α 的直线
θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R)
第1页 共7页
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
( ) π
π
ρcos θ＝a － ＜θ＜
2
2
( )π
过点 a， ，与极轴平行的直线 2
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)
故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2.
1
由于
C2
的半径为
1，所以△C2MN
的面积为 . 2
[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于
增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.
( )π
(2019·广州调研)在极坐标系中，求直线 ρsin θ＋ ＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长． 4
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )
( )π
(2)若点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的一个极坐标是 2，－ .( ) 3
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )
(4)极坐标方程 θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)在极坐标系中，圆 ρ＝－2sin θ 的圆心的极坐标是( )
( )π
A. 1， 2
( )π
B. 1，－ 2
C．(1,0)
D．(1，π)
B [法一：由 ρ＝－2sinθ，得 ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，化成标准方程为
系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角 坐标方程；
( )π
(2)设点 A 的极坐标为 2， 3
，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．