湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
2022-2023学年湖北省荆州中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}22,2,1,0,1,2M x x N =<=--∣M N ⋂=A ．B ．{}2,1,0,1,2--{}1,0,1-C ．D ．{}1,1-{}2,2-【答案】B【分析】解一元二次不等式求得集合M ，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】,,{}22{|M x x x x =<=<∣{}2,1,0,1,2N =--故{1,0,1}M N ⋂=-故选：B.2．命题“，”的否定是（ ）x ∀∈R 3210x x -+≤A ．，B ．，x ∃∈R 3210x x -+≥x ∃∈R 3210x x -+>C ．， D ．，x ∃∈R 3210x x -+≤x ∀∈R 3210x x -+>【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，x ∀∈R 3210x x -+≤x ∃∈R .3210x x -+>故选：B3．已知正数，满足，则的最小值为（ ）a b 2a b +=19a b +A ．6B ．8C ．16D ．20【答案】B【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.19a b +【详解】因正数，满足，则a b 2a b +=1911919()((10)22b a a b a b a b a b +=++=++，1(1082≥+=当且仅当，即时取“=”，由及解得：，9b aa b =3b a =3b a =2a b +=13,22a b ==所以当时，取得最小值8.13,22a b ==19a b +故选：B4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）x 2680kx kx k -++≥x R ∈k A ．B ．[]0,1(]0,1C ．D ．()(),01,-∞⋃+∞(][),01,-∞+∞ 【答案】A【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二0k =0k ≠次不等式恒成立问题.【详解】当时，该不等式为，成立；0k =80≥当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需0k ≠x 2680kx kx k -++≥x R ∈，解得，()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩01k <≤综上所述，的取值范围是，k []0,1故选：A.5．若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以2αy sin 20α<故选：D.方法二：当时，，选项B 错误；6πα=-cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭当时，，选项A 错误；3πα=-2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭由在第四象限可得：，则，选项C 错误，选项D 正确；αsin 0,cos 0αα<>sin 22sin cos 0ααα=<故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩12x x ≠1212()()0f x f x x x -<-的取值范围为（ ）a A ．B ．C ．D ．(),2∞-13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(],2∞-13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.R 【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x-<-所以函数是定义在上的减函数，()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩R 所以，解得，所以220112(2)2a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩2138a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩13,8a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∈故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊0.23(53)()=1et I K t --+病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）*t *tA ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t KI t e --=+()0.95I t K *=t *【详解】，所以，则，()()0.23531t K I t e --=+ ()()0.23530.951t K I t K e **--==+()0.235319t e *-=所以，，解得.()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.8．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）2y ax bx =+(0)bay x x =>A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即2y ax bx =+0a >bx 02a =->0b a <幂函数为减函数，符合题意；(0)b ay x x =>对于B ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+a<0bx 02a =->0b a <为减函数，不符合题意；(0)b ay x x =>对于C ，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数2y ax bx =+0a >12b x a =-=-2b a =为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；(0)b ay x x =>对于D ， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函2y ax bx =+a<0122b x a =->-01b a <<数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；(0)b ay x x =>故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.二、多选题9．关于角度，下列说法正确的是（ ）A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60︒B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若是第三象限角，则是第二或第四象限角α2α【答案】BD【分析】根据角度的知识确定正确答案.【详解】A 选项，时钟经过两个小时，时针转过的角度是，A 选项错误.60-︒B 选项，钝角的范围是；锐角的范围是，α90180α︒<<︒β090β︒<<︒，B 选项正确.αβ>C 选项，不是象限角，所以C 选项错误.90︒D 选项，，，3π2ππ2π2k k α+<<+π3πππ224k k α+<<+所以是第二或第四象限角，D 选项正确.2α故选：BD10．若不等式的解集是，则以下正确的有（ ）20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．a ＜0B ．1ca =-C ． 230a b c ++>D ．的解集为（﹣2，）20cx bx a ++>12【答案】ABC【分析】根据二次函数和一元二次不等式的性质可求解.【详解】解：不等式的解集是，开口向下，故A 正确；20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，是方程的个两根，，故B 正确；12-220ax bx c ++=12()12c a =⨯-=-根据对称轴和可推出，带入选项中的式子可得324b a -=420a b c ++=32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故C 正确；32323502a b c a a a a ⎛⎫++=+⨯--=-> ⎪⎝⎭，是方程的个两根，，12-220ax bx c ++=13222b a-=-=12()12c a =⨯-=-当，，故解得，D 错误；0x =0c >22302cx bx a cx cx c ++=+->1(,2)(,)2-∞-+∞ 故选：ABC11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b+≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-≤【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.1a b +=【详解】对于A ，，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=当且仅当时，等号成立，故A 正确；12a b ==对于B ，，所以，故B 正确；211a b a -=->-11222a b -->=对于C ，，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==-⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故C不正确；12a b ==对于D ，因为，2112a b =+≤++=时，等号成立，故D 正确；≤12a b ==故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12．已知为定义在上且周期为5的函数，当时，.则下列说法中()f x R [)0,5x ∈()243f x x x =-+正确的是（ ）A ．的增区间为，()f x ()()15,2535,55k k k k ++⋃++Zk ∈B ．若与在上有10个零点，则的范围是y a =()y f x =[]5,7-a ()0,1C ．当时，的值域为，则的取值范围[]0,x a ∈()f x []0,3a []1,4D ．若与有3个交点，则的取值范围为()20y kx k =->()y f x =k 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】首先作出的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利()f x 用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如时经分析可得与有3个交点，1k =()20y kx k =->()y f x =可判断选项D 不正确，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若与在上有10个零点，则的范围是，y a =()y f x =[]5,7-a ()0,1故选项B 正确；对于选项C ：，，由图知当时，的值域为，则的取值范围()10f =()43f =[]0,x a ∈()f x []0,3a ，故选项C 正确；[]1,4对于选项D ：当时，直线为过点，也过点，当时，1k =2y x =-()5,3()f x ()5,310x =，直线过点，而点不在图象上，由图知：当时，直线为1028y =-=()10,8()10,8()f x 1k =与有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，2y x =-()y f x =故选：BC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13．已知幂函数的图象过点，则=__________.()f x kx α=()2,4k α+【答案】3【分析】先由幂函数定义，再代入点的坐标即可求解.1k =【详解】解：由幂函数定义知，，又过，所以，，1k =()2,4422,αα==3k α+=故答案为：3【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题.14．已知扇形的周长为，面积为，扇形的圆心角（正角）的弧度数为_________．20cm 29cm 【答案】29【分析】利用扇形弧长和面积公式可构造方程求得扇形圆心角的弧度数.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则扇形弧长，r ()02παα<<202l r r α==-又扇形面积，或，()11202922S lr r r ==-⋅=1r ∴=9r =或，则（舍）或，18l ∴=2l =18α=29α=扇形圆心角的弧度数为.∴29故答案为：.2915．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则()y f x =[]1,1-()f x []0,1(1)()f a f a -<实数的取值范围是_______．a 【答案】1[0,)2【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若()y f x =[]1,1-()f x []0,1，()()1f a f a -<∴，解得：，111111a a a a ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩021112a a a ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩10a 2≤<故答案为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、双空题16．记定义为，若函数，则函数[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，()[]()[]()21234()f x I x I x -=-，，的最大值为__________；不等式的解集为__________．()f x ()2f x x≥-【答案】 1{|1}x x ≥【分析】根据 定义为，得到求解.[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，()22,13,121,234,340,4x x x f x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤≤⎪>⎪⎩【详解】解：因为定义为，[]()a b I x ，[]()a b a x a I x x a x bb x b <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，，，，，，，所以，[]()()[]()221,23,41,13,3,12,,344,24,4x x I x x x I x x x x x -<-<⎧⎧⎪⎪=-≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩所以，()[]()()[]()221,23,42,13,121,234,340,4x x x f x I x I x x x x x --<-⎧⎪--≤≤⎪⎪=-=<<⎨⎪-≤≤⎪>⎪⎩当 时，；1x <-()2f x =-当时，；12x -≤≤()[]3,1f x ∈-当时，；23x <<()1f x =当时，；34x ≤≤()[]0,1f x ∈当时，；>4x ()0f x =所以函数的最大值为1；()f x 当 时，，解得，此时无解；1x <-22x -≥-1x ≥当时，，即，解得或，此时；12x -≤≤232x x -≥-2230x x +-≥3x ≤-1x ≥12x ≤≤当时，，解得，此时；23x <<12x ≥-21x ≥-23x <<当时，，解得，此时；34x ≤≤42x x -≥-4x ≥-34x ≤≤当时，，解得，此时，>4x 02x ≥-0x ≥>4x 综上：不等式的解集为，()2f x x≥-{|1}x x ≥故答案为：1，.{|1}x x ≥五、解答题17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6(2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)根据诱导公式化简求值即可.【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg 5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg 5lg 2)=-+71=-；6=（2）25π10π13πsin cos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsin cos tan 634=+-11122=+-．0=18．已知全集，集合，集合.U =R {}2120A x x x =--≤{}11B x m x m =-≤≤+(1)当时，求；4m =()U A B ⋃ (2)若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 【答案】(1)或；{4x x ≤5}x >(2)或.4m <-5m >【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A 的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.()U B A ⊆ 【详解】（1）集合，{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤当时，，则或，4m ={}35B x x =≤≤{3U B x x =< 5}x >故或；()U A B = {4x x ≤5}x >（2）由题意可知或 ，,{3U A x x =<- 4}x >{}11B x m x m =-≤≤+≠∅由，则或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或.4m <-5m >19．已知函数sin()cos sin()cos(2)()cos tan()sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.1(),052f παα=-<<sin cos ,s cos in αααα⋅-【答案】（1）；（2）()sin cos f ααα=+75-【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.【详解】解：（1）sin()cos sin()cos(2)sin cos (sin )cos ()cos tan()cos cos tan sin 2f πααπαπααααααπαααααα-+--=+=+--⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以.()sin cos f ααα=+（2）由，平方可得，1()sin cos 5f ααα=+=221sin 2sin cos cos 25αααα++=即. 所以， 242sin cos 25αα⋅=-12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，，所以,02πα-<<sin 0α<cos 0α>sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.20．已知函数.()243x x f x x -+=（1）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；()fx )+∞（2）求函数在区间上的值域.()f x []1,4【答案】（1）见解析；（2）34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）在区间内任取两数,并规定好大小,再作差,根据函数单调性)+∞12,x x ()()12f x f x -的定义判断即可；（2）根据函数的单调性即可求得在区间上的值域.()f x []1,4【详解】解：（1，12x x <<则()()12f x f x -221121224433x x x x x x ++=--- ()()22121211224334x x x x x x x x --+⋅-+⋅=，()()1212123x x x x x x -⋅-=，12x x << 故，120x x -<，1230x x ->，120x x >故，()()12121230x x x x x x -⋅-<，()()120f x f x ∴-<即，()()12f x f x <函数在区间是增函数；∴()243x x f x x-+=)+∞（2）由（1）知函数在上是增函数，()243x x f x x -+=当时，任取x ⎡∈⎣121≤<x x 则()()12f x f x -221121224433x x x x x x ++=--- ()()22121211224334x x x x x x x x --+⋅-+⋅=，()()1212123x xx x x x -⋅-=121x x <≤<故，120x x -<，1230x x -<，120x x >故，()()12121230x x x x x x -⋅->，()()120f x f x ∴->即，()()12f x f x >函数在区间是减函数；∴()243x x f x x -+=⎡⎣，m ax ()4f x f ∴===-，()21413101f -⨯+== ，()244433444f -⨯+==故，()max 34f x =故函数在区间上的值域为.()f x []1,434,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：()f x D 1.取值：任取，，规定，1x 2x D ∈12x x <2.作差：计算；()()12f x f x -3.定号：确定的正负；()()12f x f x -4.得出结论：根据的符号得出结论.()()12f x f x -21．某市城郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲500m 500m ⨯广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示及的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积最大，并求出最大值S 【答案】（1），定义域是(6，500)；（2）设计时，运动场1500030306S x x =--50m 60m x y ，==地面积最大，最大值为2430平方米.【分析】（1）总面积为，且，可得，（其中，从而3000xy =26a y +=3000y x =15003a x =-6500)x <<运动场占地面积为，代入整理即得；(4)(6)S x a x a =-+-（2）由（1）知，占地面积，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的150003030(6S x x =-+的值．x 【详解】解：（1）由已知其定义域是.30003000,,xy y x =∴=(6,500)(4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-，，26a y += ∴1500332y a x =-=-，其定义域是.150015000(210)(3)30306S x x x x ∴=--=--(6,500)（2）150003030(6)3030303023002430,S x x =-+≤-=-⨯=当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =50(6,500)x =∈此时，，，．50x =60y =2430max S =答：设计 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m 60m x y ，==22．已知函数.1()ln 1x f x x -=+(1)求证：是奇函数；()f x (2)若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-t (3)若存在，且，使得函数在区间上的值域为,(1,)αβ∈+∞αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m【答案】(1)证明见解析(2)(,3ln 2)-∞-(3)209m <<【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）对于任意都有成立，仅需即可；[]3,5x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-（3）由单调性可得是方程，即的两实数根，根据()f x ,αβ112x m mx x -=-+22(2)20mx m x m +-+-=一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）又即解得，101x x ->+(1)(1)0x x -+>(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞所以的定义域为，关于原点对称，()f x (,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞又因为，1111()ln ln ln ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭所以是奇函数.()f x （2）由题意，令，2()ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2()11u x x =-+(()0)u x >因为在上为增函数，在上为增函数，()u x (1,)+∞ln u (0,)+∞所以在上为增函数，当时，，()f x (1,)+∞[]3,5x ∈ln 2()ln 2ln 3f x -≤≤-对于任意都有成立，仅需即可，[]3,5x ∈()3f x t >-min ()3f x t >-所以，解得.ln 23t ->-3ln 2t <-（3）由（2）可知在上为增函数，()f x (1,)+∞又因为在区间上的值域为，()f x [],αβln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以且，所以，0m >1ln ln 121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩112112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程，即的两实数根，,αβ112x m mx x -=-+22(2)20mx m x m +-+-=令，2()2(2)2h x mx m x m =+-+-则由题意对称轴，，，214m x m -=>2(2)42(2)0m m m ∆=--⨯⨯->(1)0h m =>解得.209m <<。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣1，0，1，2，3}（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，3} 2．（5分）命题“对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数”的否定是（）A．对任意的常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数B．对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数C．存在常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数D．存在常数α，函数f（x）＝xα是幂函数3．（5分）设a＝log20.3，b＝log0.30.2，c＝0.20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c4．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．C．D．5．（5分）已知a＜0＜c＜b，则下列各式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a2≤b2C．b+c＜bc D．6．（5分）某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快．经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）（单位：月）的关系有三种函数模型y＝pa x（p＞0，a＞1）、y＝m log a x（m ＞0，a＞1）和y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）可供选择，则下列说法正确的是（）A．应选y＝pa x（p＞0，a＞1）B．应选y＝m log a x（m＞0，a＞1）C．应选y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）D．三种函数模型都可以7．（5分）已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）x t﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（）A．B．C．32D．648．（5分）函数f（x）＝cos3x的图象大致是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（s，t），正数m，则（）A．m+n＝4B．m2+n2≥8C．mn≥4D．10．（5分）若将函数的图象先向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象（x）的说法错误的是（）A．g（x）的最小正周期为2πB．g（x）图象的一个对称中心坐标为C．g（x）的值域为D．g（x）图象的一条对称轴方程为11．（5分）已知4cos（﹣α﹣）＝sin（2α+），则下列结论正确的是（）A．B．C．tan4α＝0D．tanα＝112．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x），f（x+2）﹣f（x）＝0，1]时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称B．当x∈[4，5]时，f（x）＝﹣2（x﹣5）2C．当x∈[2，3]时，f（x）单调递减D．a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有75%的学生喜欢足球或游泳，56%的学生喜欢足球，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）3，则f（x）＝．16．（5分）已知函数g（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0）满足，g（π），且最小正周期，则符合条件的ω的取值个数为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）①角α的终边上有一点M（2，4）；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为；③2α为锐角且，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．问题：已知角α的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，______．求18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+m≤0}，B＝{y|y＝3x，x≤n}．（1）若集合A为空集，求实数m的取值范围；（2）当m＝﹣8时，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数n的取值范围．19．（12分）体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置1≠x2）．方式一：小明一半的时间以x1m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以x1m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走，平均速度为．（1）试求两种行走方式的平均速度，；（2）比较，的大小．20．（12分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝4x﹣m•3x﹣2，其中m是常数．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）用定义法证明：f（x）在[0，+∞）上单调递增．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示（，1），（，0）．（1）求f（x）的解析式；（2）设M，N为函数y＝t的图象与f（x）的图象的两个交点（点M在点N左侧），求t的值．22．（12分）已知函数f（x）＝（log4x）2﹣a log4x+3，其中a为常数．（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；（2）若对，1≤f（x）≤27恒成立2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣1，0，1，2，3}（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，3}【分析】直接利用交集的运算法则求解即可．【解答】解：集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{﹣3，0，1，8，则M∩N＝{0，1，5}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）命题“对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数”的否定是（）A．对任意的常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数B．对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数C．存在常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数D．存在常数α，函数f（x）＝xα是幂函数【分析】利用含有一个量词的命题的否定进行求解即可．【解答】解：命题“对任意的常数α，函数f（x）＝xα是幂函数”是全称命题，其否定是特称命题，故其否定为“存在常数α，函数f（x）＝xα不是幂函数”．故选：C．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3．（5分）设a＝log20.3，b＝log0.30.2，c＝0.20.3，则a，b，c之间的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵a＝log20.7＜log21＝7，b＝log0.33.2＞log0.60.3＝2，0＜c＝0.80.3＜7.20＝3，∴b＞c＞a．故选：B．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．C．D．【分析】根据正切函数的定义与性质，即可求得f（x）的单调增区间．【解答】解：函数中，令，k∈Z；解得，k∈Z；所以f（x）的单调增区间为（kπ﹣，kπ+）．故选：C．【点评】本题考查了正切函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5．（5分）已知a＜0＜c＜b，则下列各式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a2≤b2C．b+c＜bc D．【分析】直接利用不等式的基本性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：①因为a＜0＜c＜b，a2，b3的大小无法确定，A，B均不正确；②取b＝1.2，c＝2.1，所以C不正确；③可得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．（5分）某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快．经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米（单位：平方米）与经过时间x（x∈N）（单位：月）的关系有三种函数模型y＝pa x（p＞0，a＞1）、y＝m log a x（m ＞0，a＞1）和y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）可供选择，则下列说法正确的是（）A．应选y＝pa x（p＞0，a＞1）B．应选y＝m log a x（m＞0，a＞1）C．应选y＝nxα（n＞0，0＜α＜1）D．三种函数模型都可以【分析】利用题中给出的三个函数解析式，判断三个函数增长速度情况进行选择，然后代入求解即可．【解答】解：该植物生长蔓延的速度越来越快，而y＝pa x（p＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝m log a x（m＞2，a＞1）和y＝nxα（n＞0，4＜α＜1）的增长速度越来越慢，故应选择y＝pa x（p＞0，a＞7）．由题意知，解得．所以．故选：A．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用问题，涉及了利用函数解析式判断函数性质的应用，属于基础题．7．（5分）已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）x t﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（）A．B．C．32D．64【分析】先利用幂函数的定义得到t2﹣4t﹣4＝1，求出t的值后，再利用幂函数的单调性进行判断，即可得到答案．【解答】解：由f（x）＝（t2﹣4t﹣6）x t﹣2是幂函数，可知t2﹣2t﹣4＝1，即t2﹣4t﹣5＝5，解得t＝﹣1或t＝5，所以f（x）＝x﹣2或f（x）＝x3，又幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＝x﹣5，所以．故选：B．【点评】本题考查了幂函数的理解和应用，主要考查了幂函数的定义以及幂函数的单调性，属于基础题．8．（5分）函数f（x）＝cos3x的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行判断即可．【解答】解：因为，所以函数f（x）为奇函数，D；又，排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（s，t），正数m，则（）A．m+n＝4B．m2+n2≥8C．mn≥4D．【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，基本不等式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意得，函数f（x）的图象过定点（2，s＝t＝2，所以A正确；由重要不等式m4+n2≥2mn可得3（m2+n2）≥（m+n）4＝16，故m2+n2≥4，当且仅当m＝n＝2时取等号；由基本不等式可得，，当且仅当，故C错误；又＝，当且仅当，即m＝n＝2时取等号．故选：ABD．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于中档题．10．（5分）若将函数的图象先向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象（x）的说法错误的是（）A．g（x）的最小正周期为2πB．g（x）图象的一个对称中心坐标为C．g（x）的值域为D．g（x）图象的一条对称轴方程为【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数的图象先向右平移，可得y＝sin（x﹣；再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象，故函数f（x）的最小正周期T＝π，所以A错误；因为，所以g（x）的图象关于点，所以B正确；易知g（x）的值域为[﹣1，1]；∵，函数取得的不是最值，故，所以D错误，故选：ACD．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11．（5分）已知4cos（﹣α﹣）＝sin（2α+），则下列结论正确的是（）A．B．C．tan4α＝0D．tanα＝1【分析】利用诱导公式对已知条件转化为，然后再由两角和与差的三角函数和二倍角公式进行变形处理，得到，所以cosα﹣sinα＝0或，据此对各个选项进行分析判断即可．【解答】解：由可得，即，即，所以cosα﹣sinα＝3或，由可知，故cosα﹣sinα＝0，即cosα＝sinα，所以tanα＝8，且，故tan4α＝7．故选：BCD．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，属于中档题．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x），f（x+2）﹣f（x）＝0，1]时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称B．当x∈[4，5]时，f（x）＝﹣2（x﹣5）2C．当x∈[2，3]时，f（x）单调递减D．a的取值范围是【分析】先根据题意得到函数f（x）为偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合的方法以及函数的性质对选项逐一判断即可．【解答】解：由f（x）﹣f（﹣x）＝0，可知f（x）是偶函数，由f（x+2）﹣f（x）＝8，可知知f（x）是周期为2的周期函数，因为当x∈[0，2]时2，所以f（x）图象关于x＝﹣1对称，故选项A正确；当x∈[6，5]时2，故选项B正确；当x∈[5，3]时，f（x）单调性与x∈[0，所以当x∈[7，3]时，故选项C错误；设g（x）＝log a（x+1），则函数y＝f（x）﹣log a（x+6）在（0，+∞）上至少有三个不同的零点，等价于函数f（x）与g（x）图象在（0，+∞）上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有g（2）＞f（2）a（3+1）＞﹣2，解得．故选：AB．【点评】本题考查了命题真假的判断，主要考查了函数的综合应用，涉及了函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，同时考查了函数的零点与方程根之间的关系，知识点考查的面广，对学生掌握知识的广度有较高的要求，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数的定义域为{x|x＞1且x≠2}或（1，2）∪（2，+∞）．【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．【解答】解：由题意可得，解得x＞2且x≠2，即该函数的定义域为{x|x＞1且x≠3}．故答案为：{x|x＞1且x≠2}或（8，2）∪（2．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题．14．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有75%的学生喜欢足球或游泳，56%的学生喜欢足球，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是19%．【分析】设有x%的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有（56﹣x）%只喜欢足球，有（38﹣x）%只喜欢游泳，列出方程能求出该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例．【解答】解：设有x%的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有（56﹣x）%只喜欢足球，有（38﹣x）%只喜欢游泳，由题意得：（56﹣x）%+x%+（38﹣x）%＝75%，解得x＝19．故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是19%．故答案为：19%．【点评】本题考查该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例的求法，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）3，则f（x）＝x3．【分析】根据条件构造方程组进行求解即可．【解答】解：因为2f（x）﹣f（﹣x）＝3x2，①所以2f（﹣x）﹣f（x）＝﹣3x2，②②除以2得，③①+③得，即f（x）＝x7．故答案为：x3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用条件构造方程组是解决本题的关键，是基础题．16．（5分）已知函数g（x）＝3cos（ωx+φ）（ω＞0）满足，g（π），且最小正周期，则符合条件的ω的取值个数为5．【分析】由，g（π）＝3，且最小正周期可得，由此即可求解．【解答】解：因为g（x）满足，g（π）＝2，所以，得0＜ω≤6，，所以，解得0≤n≤4，故ω的取值共有5个，故答案为：5．【点评】本题考查了三角函数的周期性，考查了学生的运算能力，属于基础题．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）①角α的终边上有一点M（2，4）；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为；③2α为锐角且，补充在下面问题中的横线上，并加以解答．问题：已知角α的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴上，______．求【分析】选条件①．利用任意角的三角函数的定义可求cosα，sinα的值，利用二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，利用两角和的余弦公式即可计算求解；选条件②．利用任意角的三角函数的定义可求cosα，sinα的值，利用二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，利用两角和的余弦公式即可计算求解；选条件③．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求，．利用两句话的余弦公式即可计算得解．【解答】解：方案一：选条件①．由题意可知，．所以，．所以＝＝．方案二：选条件②．因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为，所以，．所以，．所以＝＝．方案三：选条件③.，结合2α为锐角，解得，所以，．所以＝＝．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x+m≤0}，B＝{y|y＝3x，x≤n}．（1）若集合A为空集，求实数m的取值范围；（2）当m＝﹣8时，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数n的取值范围．【分析】（1）根据集合为空集的定义进行求解即可．（2）根据充分条件和必要条件与集合关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）因为集合A为空集，所以△＝4﹣4m＜8，解得m＞1，即实数m的取值范围是{m|m＞1}．（2）当m＝﹣6时，A＝{x|x2﹣2x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，因为B＝{y|y＝3x，x≤n}＝{y|0＜y≤8n}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以3n≤4，解得n≤3log32，故实数n的取值范围是{n|n≤4log32}．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件与集合之间的关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．19．（12分）体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置1≠x2）．方式一：小明一半的时间以x1m/s的速度行走，剩余一半时间换为以x2m/s的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以x1m/s的速度行走，剩余一半路程换为以x2m/s的速度行走，平均速度为．（1）试求两种行走方式的平均速度，；（2）比较，的大小．【分析】（1）方式一种的平均速度易求，方式二中设出用的时间已经路程，然后根据条件即可求解；（2）作差比较即可求解．【解答】解：（1）易知，设方式二中所用时间为t，路程为s，则；（2）＝，因为x1＞0，x8＞0，且x1≠x7，所以，即．【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了学生对题干的理解能力，属于基础题．20．（12分）已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝4x﹣m•3x﹣2，其中m是常数．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）用定义法证明：f（x）在[0，+∞）上单调递增．【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行转化求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】（1）解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即43﹣m⋅30﹣2＝0，解得m＝﹣1．故当x≥3时，f（x）＝4x+3x﹣8，设x＜0，则﹣x＞0﹣x+5﹣x﹣2，而f（x）是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣4﹣x﹣3﹣x+2，所以当x＜0时，f（x）＝﹣8﹣x﹣3﹣x+2．（2）证明：由（1）知当x≥6时，f（x）＝4﹣x+3﹣x﹣3，任取x1，x2∈[4，+∞）1＜x2，则＝，因为x1＜x7，所以，，所以，所以f（x8）﹣f（x2）＜0，即f（x3）＜f（x2），所以f（x）在[0．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是基础题．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示（，1），（，0）．（1）求f（x）的解析式；（2）设M，N为函数y＝t的图象与f（x）的图象的两个交点（点M在点N左侧），求t的值．【分析】（1）由函数图象可得A，函数周期，利用周期公式可求ω，将最高点代入，结合，可求，即可得解函数解析式．（2）设M（x0，t），，则，利用两角和的正弦公式计算可得sin2x0＝0，求得，进而可求t的值．【解答】解：（1）由题意易知A＝1，周期，所以f（x）＝sin（8x+φ）．将最高点代入f（x）＝sin（5x+φ）中可得，得，即．又因为，所以．所以．（2）设M（x0，t），，则，所以＝，所以sin3x0＝0，所以7x0＝kπ（k∈Z），即，所以．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝（log4x）2﹣a log4x+3，其中a为常数．（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；（2）若对，1≤f（x）≤27恒成立【分析】（1）利用换元法结合一元二次函数的性质进行求解即可．（2）利用换元法结合不等式恒成立进行转化求解即可．【解答】解．（1）令t＝log4x，易知t∈R2﹣8t+3在R上的值域．因为y＝t2﹣8t+3＝（t﹣1）7+2，所以f（x）的值域为[2．（2）对，1≤f（x）≤27恒成立，即，恒成立，设u＝log4x，因为．故等价于，1≤g（u）＝u6﹣au+3≤27恒成立，即等价于对恒成立，令，，则在上单调递增，所以．令，，由基本不等式可知，当且仅当时取等号．所以，即实数a的取值范围是．【点评】本题主要考查函数值域以及不等式恒成立问题，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键，是中档题．。
2020-2021学年湖北省高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合A＝{x|x−1≤0}，B＝{x|x2−x−6<0}，则A∩B＝（）A.(−1, 2)B.(−2, 1]C.[1, 2)D.[−2, 3)2. sin454∘+cos176∘的值为（）A.sin4∘B.cos4∘C.0D.2sin4∘3. 函数f(x)＝ln x−的零点所在的大致区间是（）A.（，1)B.(1, e)C.(e, e2)D.(e2, e3)4. 设p：实数a，b满足a>1且b>1，q：实数a，b满足，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771<lg3<0.4772，则下列各数中与最接近的是（）A.1033B.1053C.1073D.10936. 把函数的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值为（）A. B. C.或 D.或7. 已知，则＝（）A. B. C. D.8. 已知函数，若不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−3)<0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（）A.(−∞，2−1)B.C. D.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）如果角α与角γ+45∘的终边相同，角β与γ−45∘的终边相同，那么α−β的可能值为（）A.90∘B.360∘C.450∘D.2330∘下列函数中，既是偶函数又是区间(1, +∞)上的增函数有（）A.y＝3|x|+1B.y＝ln(x+1)+ln(x−1)C.y＝x2+2D.已知f(x)＝cos(sin x)，g(x)＝sin(cos x)，则下列说法正确的是（）A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1, 1]B.f(x)为偶函数且g(x)也为偶函数C.f(x)的值域为[cos1, 1]，g(x)的值域为[−sin1, sin1]D.f(x)与g(x)最小正周期为2π高斯(Gauss)是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[−2.3]＝−3，[15.31]＝15．已知函数，G(x)＝[f(x)]，则下列说法正确的有（）A.G(x)是偶函数B.G(x)的值域是{−1, 0}C.f(x)是奇函数D.f(x)在R上是增函数三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为________．已知实数a，b满足log4(a+9b)＝log2，则a+b的最小值是________．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且f(x)=2f(1x)√x−1，则f(x)=________．已知函数f(x)＝A sin(2x+φ)−(A>0，0<φ<），g(x)＝，f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，则实数m的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2−2ax+(a2−1)<0}．（1）当a＝2时，求(∁U A)∩(∁U B)；（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=sin(5π2−ωx)(ω>0)，且其图象上相邻最高点、最低点的距离为√4+π2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若已知sinα+f(α)=23，求2sinαcosα−2sin2α1+tanα的值．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L(x)元与用电量x（度）间的函数关系；(2)李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？(3)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？已知函数f(x)=2sinωx，其中常数ω>0．（1）若y=f(x)在[−π4, 2π3]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心．已知连续不断函数，．（1）求证：函数f(x)在区间上有且只有一个零点；（2）现已知函数g(x)在上有且只有一个零点（不必证明），记f(x)和g(x)在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．已知f(x)＝log2(4x+1)−kx(k∈R)．（1）设g(x)＝f(x)−a+1，k＝2，若函数g(x)存在零点，求a的取值范围；（2）若f(x)是偶函数，设ℎ(x)＝log2(b⋅2x−43b)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】由A＝{x|x−1≤0}＝{x|x≤5}，B＝{x|x2−x−6<2}＝{x|−2<x<3}，则A∩B＝{x|−4<x≤1}，2.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由题意利用诱导公式，化简可得结果．【解答】sin454∘+cos176∘＝sin94∘−cos4∘＝cos4∘−cos6∘＝0，3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】由于连续函数f(x)＝ln x−满足f(1)<0，f(e)>0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．【解答】由于连续函数f(x)＝ln x−满足f(1)＝−1<4>0，且函数在区间( 3, e)上单调递增的零点所在的区间为( 1．故选：B．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当a>1且b>1时，ab>8，即充分性成立，反之当a＝4，b＝1时但a>1且b>2不成立，即p是q的充分不必要条件，5.【答案】D【考点】对数的运算性质【解析】根据条件可得M≈3361，N≈1080，由对数性质有3＝10lg3≈100.477，从而得到M≈3361≈10172.2，由此能求出结果．【解答】∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．∴M≈3361，N≈1080，根据对数性质有8＝10lg3≈100.477，∴M≈3361≈(100.477)361≈10172.2，∴≈＝1092.2≈1093，6.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的值．【解答】把函数的图象向左平移φ(7<φ<π)个单位，可以得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−）的图象，若g(x)是偶函数，则2φ−＝，k∈Z，∴分别令k＝0、k＝1，或φ＝，7.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式化简即可计算求解．【解答】因为，所以sin（+θ)＝-，则＝cos[+θ)]＝sin（．8.【答案】A 【考点】函数恒成立问题【解析】利用函数奇偶性的判定方法判定奇偶性，然后根据复合函数的单调性判定单调性，化简不等式，然后将m分离，利用基本不等式求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．【解答】因为f(−x)+f(x)＝−2x+ln（）+2x+ln（，所以函数f(x)是奇函数，由复合函数的单调性可知y＝ln（）在R上单调递增，所以函数f(x)在R上单调递增，所以不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−2)<0对任意x∈R均成立等价于f(3x−6x)<−f(m⋅3x−3)＝f(2−m⋅3x)，即3x−3x<3−m⋅3x，即m<对任意x∈R均成立，因为≥，所以m<．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【答案】A,C【考点】终边相同的角【解析】由已知，表示出α，β，再结合选项考虑．【解答】如果角α与γ+45∘终边相同，则α＝2mπ+γ+45∘角β与γ−45∘终边相同，则β＝2nπ+γ−45∘，∴α−β＝4mπ+γ+45∘−2nπ−γ+45∘＝2(m−n)π+90∘，(k＝m−n+6)，即α−β与90∘角的终边相同，观察选项，【答案】A,C,D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝3|x|+1，其定义域为R，有f(−x)＝5|−x|+1＝3|x|+7＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，在区间(1, +∞)上|x|+1＝y＝5x+1，为增函数，符合题意，对于B，y＝ln(x+1)+ln(x−3)，有，即函数的定义域为(1，不是偶函数，对于C，y＝x7+2为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，+∞)上的增函数，对于D，y＝x2+，其定义域为R2+＝x2+＝f(x)，可令t＝x2，可得t＝x8在(1, +∞)递增在(5，则函数y＝x2+为增函数，【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A根据正弦和余弦函数性质判断；B根据奇偶函数定义判断；C根据复合函数值域判断；D根据周期函数定义判断．【解答】对于A，f(x)与g(x)的定义域都是R；对于B，因为f(−x)＝f(x)，f(x)和g(x)都是偶函数，所以B对；对于C，因为sin x∈[−1，），所以f(x)的值域为[cos1，因为cos x∈[−1, 7]⊂(−，），）内单调递增，所以g(x)的值域为[−sin1, sin2]；对于D，f(x)＝cos(sin x)＝cos|sin x|，所以D错．【答案】B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的值域及其求法【解析】根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合可得答案．【解答】根据题意，对于A，G(1)＝[f(1)]＝0，G(1)≠G(−1)，A错误，对于B，＝-，由1+2x>5，则-，则有G(x)的值域是{−1，B正确，对于C，，其定义域位R-＝-，则f(−x)+f(x)＝6，C正确，对于D，＝-，设t＝1+4x，则y＝-，t＝2x+1在R上是增函数，y＝-，+∞)也是增函数，则f(x)在R上是增函数，D正确，故选：BCD．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）【答案】9【考点】扇形面积公式【解析】先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．【解答】半径r＝＝＝4，根据扇形面积公式S＝|α|r3＝×8×32＝3，【答案】16【考点】基本不等式及其应用对数的运算性质【解析】由对数的运算法则知a+9b＝ab，从而有a+b＝(a+b)⋅（），展开后，再利用基本不等式，得解．【解答】∵log4(a+9b)＝log7＝log4（）2，∴a+4b＝ab，即＝7，∴a+b＝(a+b)⋅（）＝4+9++＝16，当且仅当＝，即a＝3b＝12时，∴a+b的最小值是16．【答案】2 3√x+13【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据f(x)=2f(1x )√x−1，考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，用1x代替x代入f(x)=2f(1x )√x−1，解关于入f(x)与f(1x)的方程组，即可求得f(x)．【解答】解：考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，故可考虑利用换元法进行求解．在f(x)=2f(1x )√x−1，用1x代替x，得f(1x )=√x1，将f(1x)=√x−1代入f(x)=2f(1x)√x−1中，可求得f(x)=23√x+13．故答案为：23√x+13【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．可得f(0)＝A sinφ−＝1，sin(2×+φ)＝±1．根据A>0，0<φ<，可得φ，A．利用三角函数的单调性可得f(x)min．g(x)＝＝−m，利用函数的单调性可得g(x)min．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，可得g(x1)min≥f(x2)min，即可得出．【解答】f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝．∴f(0)＝A sinφ−＝1+φ)＝±1．又A>4，0<φ<，A＝．∴f(x)＝sin(7x+，x ∈[0，]，∴(8x+）∈，∴sin(2x+）∈，∴f(x)∈．∴f(x)min＝1．g(x)＝＝−m，∵x∈[−1, 3]min＝−m．若对于任意的x6∈[−1, 2]6∈[0，]，使得g(x4)≥f(x2)，则g(x1)min≥f(x3)min，∴−m≥7．∴实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1<x<a+6}．当a＝2时，B＝(1，则∁U A＝{x|x≥2或x<2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤6}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≥5或x≤1．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，即实数a的取值范围是[3, 3]．【考点】交、并、补集的混合运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可．（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，根据条件转化为真子集关系进行求解即可．【解答】A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1<x<a+6}．当a＝2时，B＝(1，则∁U A＝{x|x≥2或x<2}，∁U B＝{x|x≥3或x≤6}，则(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≥5或x≤1．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，即实数a的取值范围是[3, 3]．【答案】解：（1）∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx，故其周期为2πω，最大值为1．设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22，解得ω=1，∴函数f(x)=cos x．（2）∵sinα+f(α)=23，∴sinα+cosα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】（1）设最高点为(x1, 1)，最低点为(x2, −1)，结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为√4+π2列式，求出周期，代入周期公式求得ω，则函数解析式可求；（2）有题意可得sinα+cosα=23，两边平方可解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】解：（1）∵函数f(x)=sin(5π2−ωx)=cosωx，故其周期为2πω，最大值为1．设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为√4+π2=√(πω)2+22，解得ω=1，∴函数f(x)=cos x．（2）∵sinα+f(α)=23，∴sinα+cosα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，解得：2sinαcosα=−59，cosα−sinα=±√143，∴2sinαcosα−2sin2α1+tanα=2sinαcosα−2sin2α1+sinαcosα=2sinαcosα(cosα−sinα)sinα+cosα=±5√1418．【答案】解：(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x也可不取0）；(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，∴25<x≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，∴30<x<50；综上，25<x<50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）分0≤x≤30、x>30两种情况讨论即可；（2）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)=35计算即得结论；（3）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)<0.58x计算即得结论．【解答】解：(1)当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，∴L(x)={2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x也可不取0）；(2)当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，∴李刚家该月用电60度；(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，∴25<x≤30；当x>30时，由L(x)<F(x)，得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，∴30<x<50；综上，25<x<50．故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．【答案】解：（1）∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，∴ω⋅2π3≤π2，∴ω≤34．（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin2(x+π6)的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象【解析】（1）由条件利用正弦函数的单调性求得ω的范围．（2）利用y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，可得g(x)的图象的对称中心，从而求得g(x)的图象离原点O最近的对称中心．【解答】解：（1）∵函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，∴ω⋅2π3≤π2，∴ω≤34．（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin2(x+π6)的图象；再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．【答案】证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间，故函数f(x)在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x3＝．【考点】函数零点的判定定理函数的零点与方程根的关系【解析】（1）通过判断f(0)与的正负，结合函数的单调性，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用零点的定义可得，将其变形为＝0，通过g(x)有且只有一个零点x2，即可得到x1，x2的关系，即可求解．【解答】证明：函数，因为，，所以，又y＝sin x和y＝在区间，故函数f(x)在区间上单调递增，由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，所以，即，即＝0，因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，所以，则x1+x3＝．【答案】由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．又f(x)＝log2(4x+1)−2x＝log2(4x+14x)＝log2(1+14x)，易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x>1，log2(4x+14x)>0，即f(x)>0，所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．∵f(x)＝log2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，∴f(−1)＝f(1)，∴log2(14+1)+k＝log2(4+1)−k，∴k＝1检验f(x)＝log2(4x+1)−x＝log2(2x+2−x)，f(−x)＝log2(4−x+1)+x＝log2(2x+2−x)，∴f(x)＝f(−x)，∴f(x)为偶函数，函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，∴方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根，令t＝2x>0，则方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t=−34，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3③若一个正根和一个负根，则−1a−1<0，即b>1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解，转化为利用函数的单调性求出a的范围；（2）先根据偶函数的性质求出k的值，再根据函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)＝ℎ(x)有且只有一个实根，化简可得方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根令t＝2x>0，则转化才方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，讨论b＝1，以及△＝0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数b的取值范围．【解答】由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．又f(x)＝log2(4x+1)−2x＝log2(4x+14x)＝log2(1+14x)，易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x >1，log2(4x+14x)>0，即f(x)>0，所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．∵f(x)＝log2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，∴f(−1)＝f(1)，∴log2(14+1)+k＝log2(4+1)−k，∴k＝1检验f(x)＝log2(4x+1)−x＝log2(2x+2−x)，f(−x)＝log2(4−x+1)+x＝log2(2x+2−x)，∴f(x)＝f(−x)，∴f(x)为偶函数，函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，∴方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程2x+12x =b⋅2x−43b有且只有一个实根，令t＝2x>0，则方程(b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，①当b＝1时，t=−34，不合题意，②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3③若一个正根和一个负根，则−1a−1<0，即b>1时，满足题意，∴实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．。
湖北省荆州市沙市中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
【分析】
（1）利用“1”的变换，基本不等求最值；（2）根据三角函数的定义求 ， ，以及 ，再代入 求值.
【详解】
（1）
，当且仅当 时，即 时等号成立， 的最小值是
（2）由条件可知 ， ，
，
18．条件性选择见解析，（1） ；（2）单调递增区间为 ；
对称中心的坐标为 ；对称轴为直线 ， .
【分析】
由函数值域为 求得 的范围，然后进行判断．
【详解】
依题意知：函数 的值域为 ，
则 或 ，解得： 或 ，
故选：ABD．
13．11
【分析】
根据分段函数的解析式，先计算 ，然后计算 即可.
【详解】
由题可知：
所以 ，
则
故答案为：11
14．
【分析】
由已知的等式变形后求出 的值，然后利用同角三角函数间的基本关系把所求式子中的分母的“1”变形为 ，然后再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到关于 的关系式，将 的值代入即可求出值.
16．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 ________．
四、解答题
17．（1）设 ，若 ，求 的最小值；
（2）若角 的终边经过点 ，求 的值．
18．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
①函数 ．
②函数 ；
③函数 对任意 都有 成立；
已知_______（填所选条件序号），函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
所以排除B，故C正确
故选：C
8．C
【分析】
先化简函数的解析式，然后利用 的范围求出 的范围，根据题意列不等式求解 .
【详解】
，因为 ，得 ，因为函数在 有且只有四个零点，则 ，解得 .
湖北省荆州市公安县2020-2021学年高一上学期期末数学试题
可知 ，周期为1
所以
当 时，
所以
当 时， ，所以
故选：B
【点睛】
本题考查函数的性质，属基础题.
12．D
【分析】
根据正弦函数的性质，结合整体法以及排除法，可得结果.
【详解】
当 时，可知
由 在 上的图象有且仅有3个最高点
可知 ，得
故④正确，
【分析】
由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星Leabharlann 与亮度满足 ,令 ,.故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
11．B
【分析】
根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果.
【详解】
由当 时， ，
（1）用 ， 表示向量 ；
（2）若点 为线段 的中点，求 的值.
20．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 ，乙选择了模型 ，其中 为患病人数， 为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．在 中， ， ， .D是BC边上的动点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
11．已知函数 的定义域为R，当 时， ，当 时， ，当 时， ，则 （）
湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题
湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}8U x N x =∈≤，集合{}1,3,7A =，{}2,3,8B =，则()()U U C A C B ⋂=( )A ．{}1,2,7,8B ．{}4,5,6C ．{}0,4,5,6D ．{}0,3,4,5,6【答案】C【解析】{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}0,2,4,5,6,8U C A =，{}0,1,4,5,6,7U C B =，所以()(){}0,4,5,6U U C A C B ⋂=，故选择C. 2．下列函数()f x 与()g x 是相同函数的是( )A ．()f x =()1g x x =-B ．21()1x f x x -=-；()1g x x =+C ．11()x x f x ee +-=⋅；2()x g x e =D ．()lg(1)lg(1)f x x x =++-；()2()lg 1g x x =-【答案】C【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可. 【详解】解：对于A ，()1f x x ==-，对应关系不同，不是同一函数；对于B ，21()1x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，()1g x x =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数；对于C ，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D ，()lg(1)lg(1)f x x x =++-的定义域为{}|1x x >，()2()lg 1g x x =-的定义域为{|1x x <-或1}x >，定义域不同，不是同一函数， 故选：C. 【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题.3．已知函数()241f x x kx =+-在区间[]1,2上是单调函数,则实数k 的取值范围是（）A ．(,16][8,)-∞-⋃-+∞B ．[16,8]--C ．(,8][4,)-∞-⋃-+∞D ．[8,4]--【答案】A【解析】根据二次函数的单调性，先求出()f x 的对称轴，即可得到()f x 的单调区间。
2024届湖北省荆州市荆州中学数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析
2024届湖北省荆州市荆州中学数学高一上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（） A.tan y x = B.2log y x = C.2y x=D.3y x =2．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ） A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤<D.{|14}<<x x3．在空间中，直线AB 平行于直线EF ，直线BC 与EF 为异面直线，若150ABC ∠=，则异面直线BC 与EF 所成角的大小为（） A.30 B.60C.120D.1504．函数()212log 231y x x =-+的单调减区间为（ ） A.()1,+∞B.3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．函数()2=f x 的定义域是（ ） A.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．若点()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则=a （） A.0 B.1 C.2D.1-7．已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上的一动点，BP ＋PE 的最小值为14，则该四面体内切球的体积为（） A.25639π B.13π C.43π D.4327π 8．已知命题,,则为（ ）A.，B.，C.，D.，9．()f x 是定义在R 上的函数，()()f x f x =-，且()f x 在[)0,+∞上递减，下列不等式一定成立的是A.cos tan 36f f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.225cos 234f f a a π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.()sin324f f a π⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭D.2225224f f a a a ⎛⎫⎛⎫<-+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭10．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12m 3的部分3元/m 3 超过12m 3但不超过18m 3的部分 6元/m 3 超过18m 3的部分9元/m 3若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（） A.173m B.183m C.193mD.203m11．已知函数()()22log 12f x x x =+++，则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1,13⎛⎫⎪⎝⎭D.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.3πB.4πC.24π+D.34π+二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若()cos sin f x x x =-在[]0，a 上是减函数，则a 的最大值是___________. 14．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论 ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________15．大圆周长为4π的球的表面积为____________ 16．已知πcos()6α-= 35，则πsin(+)3α =_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，()2xf x a =+（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在R 上的解析式；（3）若对任意实数()2,(1)0m f m f m t -++>恒成立，求实数t 的取值范围 18．已知圆C 的方程为：2222242x y mx my m +-+=- （1）求圆C 的圆心所在直线方程一般式；（2）若直线:40l x y -+=被圆C 截得弦长为22，试求实数m 的值；（3）已知定点(2,2)P ，且点,A B 是圆C 上两动点，当APB ∠可取得最大值为90︒时，求满足条件的实数m 的值19．已知幂函数()y f x =的图象经过点()4,16M （1）求()f x 的解析式； （2）设()()1g x f x x=+， （i ）利用定义证明函数()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 （ii ）若()2122g x t t -≥在[)2,+∞上恒成立，求t 的取值范围 20．已知正方体1111ABCD A B C D -，,E F 分别为AC 和1A D 上的点，且EF AC ⊥，1EF A D ⊥.（1）求证：1//EF BD ；（2）求证：1,,BE D F DA 三条直线交于一点. 21．已知函数()()sin 20,6g x a x b a b R π⎛⎫=++>∈ ⎪⎝⎭.若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0. （1）求函数()g x 的解析式；（2）求出()g x 在()0,π上的单调递增区间.22．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆是边长为2的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//OD 平面PAC ； （2）求证:OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥P ABC -的体积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、D【解析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 而233ππ>，但2tan 33tan 33ππ=-<=，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x =在定义域上不是增函数，故C 错误.对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数， 而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D. 2、B【解析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3、A【解析】根据异面直线所成角的定义与范围可得结果.【详解】因为//AB EF 且150ABC ∠=，故异面直线BC 与EF 所成角的大小为ABC ∠的补角，即为30. 故选：A. 4、A【解析】求出x 的范围，函数()212log 231y x x =-+的单调减区间为2231y x x =-+的增区间，即可得到答案. 【详解】由22310x x -+>可得1x >或12x <函数()212log 231y x x =-+的单调减区间为2231y x x =-+的增区间()1,+∞故选：A 5、C【解析】函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义【详解】解：要使原函数有意义，需10310x x ->⎧⎨+>⎩解得113-<<x ，所以函数的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选C【考点】函数的定义域及其求法【点睛】先把函数各部分的取值范围确定下来，然后求它们的交集是解决本题的关键 6、A【解析】利用AB AC k k =结合斜率公式可求得实数a 的值.【详解】因为()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则AB AC k k =，即3132131a ++=++，解得0a =. 故选：A. 7、D【解析】首先设正四面体的棱长为a ，将侧面ABC 和ACD △沿AC 边展开成平面图形，根据题意得到BP PE +的最小值为BE ==，从而得到a =r =再计算其体积即可.【详解】设正四面体的棱长为a ，将侧面ABC 和ACD △沿AC 边展开成平面图形，如图所示：则BP PE +的最小值为22172144222a a BE a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，解得22a =.如图所示：VD 为正四面体的高，122262332CD =⨯=，正四面体高()2226432233VD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以正四面体的体积()21431382233223V =⨯⨯⨯⨯=. 设正四面体内切球的球心为O ，半径为r ，如图所示：则O 到正四面体四个面的距离相等，都等于r ，所以正四面体的体积()21138422323V r =⨯⨯⨯⨯=，解得3r =所以内切球的体积343433327V ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D 8、A【解析】特称命题的否定为全称命题，所以，存在性量词改为全称量词，结论直接改否定即可. 【详解】命题,,则：,答案选A【点睛】本题考查命题的否定，属于简单题. 9、B【解析】对于A ，由()f x 为偶函数可得11cos 322f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又3tan 63f f π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1323<及()f x 在[)0,+∞上为减函数得cos tan 36f f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错；对于B ，因251244a a -+≥同理可得225cos 234f f a a π⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故B 对；对于C ，因2,322a -+无法比较大小，故C 错；对于D ，取1a = ，则2221522244a a a =>=-+-；取1a =- ，则22217522244a a a =<=-+-，故222a -与2524a a -+大小关系不确定，故D 错，综上，选B点睛：对于奇函数或偶函数，如果我们知道其一侧的单调性，那么我们可以知道另一侧的单调性，解题时注意转化 10、D【解析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答. 【详解】依题意，设此户居民月用水量为3m x ，月缴纳的水费为y 元，则3,012366(12),1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当1218x <≤时，3672y <≤，当18x >时，72y >，因此，由90y =得：99090x -=，解得20x ，所以此户居民本月的用水量为320m . 故选：D 11、C【解析】考虑()f x 是偶函数，其单调性是关于y 轴对称的， 只要判断出0x >时的单调性，利用对称关系即可. 【详解】()()()()()2222log 12log 12f x x x x x f x -=-++-+=+++=，()f x ∴是偶函数；当0x ≥时，由于22y x =+增函数，()()22log 1log 1y x x =+=+是增函数，所以()f x 是增函数，()f x 是关于y 轴对称的，当0x <时，是减函数，作图如下：欲使得()()21f x f x >-，只需21x x >-，两边取平方，得23410x x -+<，解得113x <<；故选：C. 12、D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、34π 【解析】求出导函数()'f x ，然后解不等式()0f x '≤确定a 的范围后可得最大值【详解】由题意()sin cos '=--f x x x ，()sin cos 0'=--≤f x x x ，sin cos 0x x +≥，22sin cos 022x x +≥，sin 04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，22,4k x k k Z ππππ≤+≤+∈，322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴3(0,]4a π∈，a 的最大值为34π故答案为：34π【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可． 14、①②④【解析】①取BD 的中点O ，连接OA,OC,所以,OA BD OC BD ⊥⊥,所以BD ⊥平面OAC ，所以AC ⊥BD ；②设正方形的边长为a ，则在直角三角形ACO 中，可以求得OC=a ，所以△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成45角；④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力. 点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量. 15、16π【解析】依题意可知2π4π,2r r ==，故求得表面积为24π16πr =. 16、35##0.6 【解析】寻找角之间的联系，利用诱导公式计算即可 【详解】ππππ3sin(+)sin[()]cos()32665ααα=--=-= 故答案为：35三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、 (1) -1a =;(2) 11,0()221,0xx x f x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩;(3) 5.4t > 【解析】(1)由题利用(0)0f =即可求解；（2）当x ＜0，则﹣x ＞0，根据函数为奇函数f （﹣x ）＝﹣f （x ）及当x ＞0时，()2xf x a =+，可得函数在x ＜0时的解析式，进而得到函数在R 上的解析式；（3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数t 的取值范围．【详解】解：（1）函数()y f x =是定义在R 上的奇函数0(0)20f a ∴=+=,解得-1a =（2）由(1) ()21xf x =-当0x <,0x ->又()f x 是奇函数，()()21(),x f x f x -∴-=-=- 11,01()()+1(0),()2221,0xx x x f x x f x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪∴=-<∴=⎨⎝⎭⎪-≥⎩(3)由2(1)()0f m f m t -++>及函数()y f x =是定义在R 上的奇函数得22(1)(+)=()f m f m t f t m ->---，由()21xf x =-的图像知()f x 为R 上的增函数，222151,1()+24m t m t m m m ∴->-->--+=-+， 5.4t ∴> 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键．18、（1）0x y +=； （2）1m =-或3m =-； （3）2m =±【解析】（1）配方得圆的标准方程，可得圆心坐标满足x my m=⎧⎨=-⎩，消去m 可得圆心所在直线方程；（2）由弦长、半径结合勾股定理求出圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，两者相等可解得m ；（3）根据题意判断出四边形PACB 是正方形，进而求得22CP =m 【小问1详解】由已知圆C 的方程为：()()224x m y m -++=，所以圆心为x my m =⎧⎨=-⎩， 所以圆心在直线方程为0x y +=. 【小问2详解】（2）由已知r =2，又弦长为所以圆心到直线距离d ==所以d ==解得1m =-或3m =-. 【小问3详解】由APB ∠可取得最大值为90︒可知点P 为圆外一点，所以0m ≠，当PA 、PB 为圆的两条切线时，∠APB 取最大值.又,,CA PA CB PB CA CB ⊥⊥=，所以四边形PACB 为正方形，由r =2得到||CP =，即P 到圆心C 的距离d'==m =.19、（1）()2f x x =（2）（i ）证明见解析；（ii ）15t -≤≤【解析】（1）设()αf x x =，然后代点求解即可；（2）利用定义证明函数()g x 在区间[)1,+∞上单调递增即可，然后可得在[)2,+∞上，()()min 522g x g ==，然后可求出t 的取值范围 【小问1详解】设()αf x x =，则416α=，得2α=，所以()2f x x =【小问2详解】（i ）由（1）得()211x g x x x x+==+任取1x ，[)21,x ∈+∞，且12x x <，则()()()21111212121212121111x x g x g x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭ ()()1212121212111x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭因为121x x ≤<，所以120x x -<，121x x >，所以()()120-<g x g x ，即()()12<g x g x 所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增 （ii ）由（i ）知()g x 在[)2,+∞单调递增， 所以在[)2,+∞上，()()min 522g x g ==因为()222t g x t -≥在[)2,+∞上恒成立，所以251222t t -≥，解得15t -≤≤20、（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）连结1AB 和1B C ，由条件可证得1EF AB C ⊥平面和11BD AB C ⊥平面，从而得到EF ∥1BD .（2）结合题意可得直线1D F 和BE 必相交，根据线面关系再证明该交点直线DA 上即可得到结论【详解】证明：(1)如图，连结1AB 和1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D B C ， ∵1EF A D ⊥， ∴1EF B C ⊥，又EF AC ⊥，1AC B C C ⋂=， ∴1EF AB C ⊥平面又在正方体1111ABCD A B C D -中，11B C BC ⊥，111B C D C ⊥,1111BC D C C ⋂=∴111B C BC D ⊥平面， 又111BD BC D ⊂平面， ∴11B C BD ⊥同理可得11B A BD ⊥， 又111B A B C B ⋂=， ∴11BD AB C ⊥平面 ∴EF ∥1BD .（2）由题意可得1EF BD <（或者1D F 和BE 不平行）， 又由(1)知EF ∥1BD ，所以直线1D F 和BE 必相交，不妨设1BE D F G ⋂=， 则1G D F ∈，又111D F AA D D 平面⊂， 所以11G AA D D ∈平面， 同理G ABCD ∈平面因为11AA D D ABCD AD ⋂=平面平面， 所以G AD ∈，所以BE 、1D F 、DA 三条直线交于一点【点睛】（1）证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利用线面垂直的性质进行证明，解题时要注意合理选择方法进行求解（2）证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三条直线上．解题时要依据空间中的线面关系及三个公理，并结合图形进行求解 21、（1）()2sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数()g x 的解析式； （2）由()0,x π∈可计算出26x π+的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数()g x 在()0,π上的单调递增区间.【详解】（1）由题意知，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72666x πππ≤+≤，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为0a >，所以3102a b a b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得21a b =⎧⎨=⎩，所以()2sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）因为()0,x π∈，所以132666x πππ<+<， 正弦函数sin y x =在区间13,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递增区间为,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦和313,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时即2662x πππ<+≤或3132266x πππ≤+<，得06x π<≤或23x ππ≤<， 所以()g x 在()0,π上的递增区间为π0,6⎛⎤⎥⎝⎦和2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 22、 (1) 证明见解析；(2)证明见解析；(3) 13P ABC V -=. 【解析】(1) 欲证线面平行，则需证直线与平面内的一条直线平行.由题可证//OD AP ,则证得//OD 平面PAC ； (2) 欲证线面垂直，则需证直线垂直于平面内的两条相交直线.连接OC ，可证得,OP OC OP AB ⊥⊥，从而可证得OP ⊥平面ABC ；(3) 由 (2) 可知，OP 为三棱锥P ABC -的高，平面ABC 为三棱锥 P ABC -的底面，应用椎体体积公式即可求解. 【详解】(1)证明：,O D 分别是,AB PB 的中点//OD AP ∴，又OD ⊄平面PAC ，AP ⊂平面 PAC//OD ∴平面PAC(2) 如图，连接OC ，2AC CB ==O 是AB 的中点， 2AB =,1OC AB OC ∴⊥=同理,1OP AB OP ⊥= 又2222,2PC PC OC OP =∴=+=OP OC ∴⊥，又,OP AB AB OC O ⊥= OP ∴⊥平面ABC(3) 由 (2) 可知，OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP =，1111(21)13323P ABC ABC V S OP -∆∴=⨯=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的判定定理以及椎体体积公式的应用，考查空间想象能力与思维能力，属中档题.。
2021-2022学年荆州中学高一上学期期末数学复习卷(含解析)
2021-2022学年荆州中学高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4}，A={1,2,3}，B={2,4}，则(∁U A)∪B=()A. {0,2,4}B. {2,3,4}C. {1,2,4}D. {0,2,3,4}2.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()A. y=x与y=x2xB. y=±x与y=√x2C. y=x与y=3x3D. y=|x|与y=(√x)23.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是减函数则()．A. f(3)<f(−2)<f(1)B. f(1)<f(−2)<f(3)C. f(−2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(−2)4.设非空集合满足，则()A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得5.下列函数中，是奇函数的是()A. y=2xB. y=log2xC. y=xx−1D. y=√1−x2x6.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 27.下列关系式中，成立的是()A. log34>1>log1310 B. log1310>1>log34C. log34>log1310>1 D. log1310>log34>18. 5.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只要将f(x)的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度9.若全集，则集合的子集共有( )A. 个B. 个C. 个D. 个10. 为了得到函数的图象，只需把函数y =lgx 的图象上所有的点( )A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度11. 若向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(x,1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =( )A. 2B. 3C. 4D. 512. 若关于x 的方程|x +1x |−|x −1x |−kx −1=0有五个互不相等的实根，则k 的取值范围是( )A. (−14,14)B. (−∞,−14)∪(14,+∞) C. (−∞,−18)∪(18,+∞)D. (−18,0)∪(0,18)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知奇函数f(x)满足f(x)=−f(x +2)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，若af 2(x)+bf(x)+c =0在x ∈[0,6]上恰有5个根，且记为x i (i =1,2,3,4,5)，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5= ______ ． 14. 砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分.已知OA =0.5m ，AD =0.9m ，∠AOB =100°，则该扇环形砖雕的面积为______ m 2．15. 已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5五个点，满足A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A n+1A n+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(n =1,2,3)，|A n A n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A n+1A n+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n +1(n =1,2,3)，则|A 1A 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______．16. 设，若，则a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知α、β均为锐角，且cos(α+β)=1213，cos(2α+β)=35，求cosα的值．18. 设f(x)是偶函数，且x ≥0时，f(x)={x(2−x),0≤x ≤2(x −2)(x −a),x >2 (1)当x <0时，求f(x)的解析式．(2)设函数在区间[−4,4]上的最大值为g(a)的表达式．19. 已知f(x)=4sinωxsin(ωx +π3)−1(ω>0)，f(x)的最小正周期为π． (Ⅰ)当x ∈[0,2π3]时，求f(x)的最大值；(Ⅱ)请用“五点作图法”画出f(x)在[0,π]上的图象．20. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为600，且|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1，若向量c ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，向量d ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ． (Ⅰ)求a ⃗ ⋅b ⃗ 的值； (Ⅱ)求c ⃗ 与d ⃗ 的夹角余弦值．21. 22．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=x 2+10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)=51x +−1450(万元)，每件商品售价为0．05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润为多少？22. 已知幂函数f(x)=x2−k(k∈N∗)满足f(2)<f(3)．(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)=1−mf(x)+(2m−1)x，在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查了补集与并集的运算问题，是基础题．根据补集与全集的定义，求出∁U A，再求并集．解：全集U={0,1,2,3,4}，A={1,2,3}，∴∁U A={0,4}，又B={2,4}，∴(∁U A)∪B={0,2,4}．故选A．2.答案：C=x(x≠0)的定义域不同，不是相等函数；解析：解：对于A，y=x(x∈R)与y=x2x对于B，y=±x不是函数，与y=√x2=|x|(x∈R)不是相等函数；对于C，y=x(x∈R)与y=3x3=x(x∈R0)的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；对于D，y=|x|(x∈R)与y=(√x)2=x(x≥0)的定义域不同，对应关系也不同，不是相等函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是相等函数，进行判断即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同．3.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论．解：∵定义在R上的函数f(x)在[0,+∞)上是减函数，∴f(3)<f(2)<f(1)，∵函数是偶函数，∴f(3)<f(−2)<f(1)，故选：A．4.答案：B解析：因为所以所以，有故答案选．考点：集合间的关系．5.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=log2x，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=xx−1，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不是奇函数，不符合题意；对于D，y=√1−x2x，其定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=−f(x)，为奇函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．利用数量积运算律求解即可．解：∵a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a⃗2=b⃗ 2=1，a⃗⋅b⃗ =1×1×cos120°=−12．∴(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−12−2=−52．故选：A．7.答案：A解析：解：∵log34>log33=1，log1310<log131=0，∴log34>1>log1310，故选：A．根据对数函数的单调性即可比较大小．本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．8.答案：B解析：先求再进行变换.由，得.再由得，即.从而．依选项A知不合题意舍．依选项B知，故选B．9.答案：D解析：本试题考查了集合的真子集的概念运用。
湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 (含解析)
湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，，则A∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3] C．（1，+∞）D．[3，+∞）2．已知α∈R，则“cosα＝﹣”是“α＝2kπ+，k∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知角α的终边过点（x，1﹣2x）（x≠0），若sinα＜0，则实数x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．4．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．0 B．﹣1 C．2 D．2或﹣15．计算：＝（）A．B．0 C．D．6．已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（）A．B．C．D．7．已知函数是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则实数m＝（）A．﹣1 B．C．1 D．28．已知函数的零点为a，设b＝3a，c＝lna，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c二、多项选择题（共4小题）.9．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角10．已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，则（）A．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＜f（x2）B．当x1+x2＝﹣2时，f（x1）＝f（x2）C．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小与a有关11．已知函数f（x）＝2sin2x cos2x+cos42x﹣sin42x，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的单调递增区间为D．f（x）的图象关于点对称12．已知函数f（x）满足：当x≤1时，f（x﹣4）＝f（x），当x∈（﹣3，1]时，f（x）＝|x+1|﹣2；当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．f（x）为周期函数B．f（x）的值域为RC．实数a的取值范围为（2，+∞）D．实数a的取值范围为三、填空题（共4小题）.13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为．14．命题“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数解”的否定是．15．若sin（α+）＝（sinα+2cosα），则tanα＝．16．已知函数有最小值，则的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知tanα＝．（1）若α为锐角，求；（2）求．18．已知函数f（x）＝log a（2﹣2x）+log a（x+4），其中a＞1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数．20．如图是边长为100米的正方形场地，其中AE＝60米，CD＝80米，△DEF区域被占用，现在五边形ABCDE区域内规划一个矩形BNPM区域，使点P，M，N分别在线段DE，AB，BC上．（1）设PN＝x米，MP＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM面积的最大值，并确定点P的位置．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2m cos2x+m（m∈R）．（1）若m＝1，求f（x）的单调递减区间；（2）若，将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最值．22．已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图象过点．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（2x）﹣mf（x﹣1）+1，且在区间（﹣1，+∞）上有两个零点，求实数m的取值范围．湖北省荆州市六县市区2020-2021学年高一（上）期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，，则A∩B＝（）A．[1，3）B．（1，3] C．（1，+∞）D．[3，+∞）解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≤3}，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．2．已知α∈R，则“cosα＝﹣”是“α＝2kπ+，k∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由cosα＝﹣，解得，“α＝2kπ+，k∈Z”可以推出“cosα＝﹣”，满足必要性，“cosα＝﹣”不能推出“α＝2kπ+，k∈Z”，不满足充分性，所以“cosα＝﹣”是“α＝2kπ+，k∈Z”的必要不充分条件．故选：B．3．已知角α的终边过点（x，1﹣2x）（x≠0），若sinα＜0，则实数x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．解：∵角α的终边过点（x，1﹣2x）（x≠0），若sinα＝＜0，∴1﹣2x＜0，∴2x＞20，∴x＞0，故选：A．4．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．0 B．﹣1 C．2 D．2或﹣1解：由函数f（x）是幂函数，则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，又函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，则m3﹣1＜0，即m＝﹣1，故选：B．5．计算：＝（）A．B．0 C．D．解：原式＝，故选：A．6．已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（）A．B．C．D．解：设y＝x（3﹣3x）则y＝﹣3（x2﹣x）＝﹣3（x﹣）2+∵0＜x＜1当x＝时，函数取得最大值：．故选：C．7．已知函数是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则实数m＝（）A．﹣1 B．C．1 D．2解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝+，又由函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上恒成立，即（﹣）+（+）＝＝0在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上恒成立，必有2m﹣1＝0，即m＝，故选：B．8．已知函数的零点为a，设b＝3a，c＝lna，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c解：由已知得＜0，a＞0，可得：0＜a＜1，∴b＞1，c＜0，∴c＜a＜b．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：由已知得2kπ﹣＜2θ＜2kπ，所以kπ﹣＜θ＜kπ，即θ在第二或第四象限．故选：BD．10．已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，则（）A．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＜f（x2）B．当x1+x2＝﹣2时，f（x1）＝f（x2）C．当x1+x2＞﹣2时，f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小与a有关解：二次函数f（x）＝ax2+2ax+4（a＞0）的图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，当x1+x2＝﹣2时，x1，x2关于x＝﹣1对称，此时f（x1）＝f（x2），选项B正确；当x1+x2＞﹣2时，x1与x2的中点大于﹣1，又x1＜x2，∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，∴f（x1）＜f（x2），选项A正确，C错误；显然当a＞0时，f（x1）与f（x2）的大小与a无关，选项D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）＝2sin2x cos2x+cos42x﹣sin42x，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的单调递增区间为D．f（x）的图象关于点对称解：∵函数f（x）＝2sin2x cos2x+cos42x﹣sin42x＝sin4x+cos4x＝2sin（4x+），故它的最小正周期为＝，故A错误；令x＝，求得f（x）＝1，不是最值，故（x）的图象不关于直线对称，故B错误；令2kπ﹣≤4x+≤2kπ+，可得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z，故C正确；令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得（x）的图象关于点对称，故D正确，故选：CD．12．已知函数f（x）满足：当x≤1时，f（x﹣4）＝f（x），当x∈（﹣3，1]时，f（x）＝|x+1|﹣2；当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．若函数f（x）的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（）A．f（x）为周期函数B．f（x）的值域为RC．实数a的取值范围为（2，+∞）D．实数a的取值范围为解：根据题意，依次分析选项：对于A，当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1），不是周期函数，A错误，对于B，当x＞1时，f（x）＝log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1），这部分函数的值域为R，则f（x）的值域为R，B正确，对于C，当x∈（﹣3，1]时，f（x）＝|x+1|﹣2，且当x≤1时，f（x﹣4）＝f（x），作出函数f（x）在（﹣∞，0]上的部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数f（x）的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数f（x）＝log a（x﹣1）的图象与所作的图象至少有三个交点，必有，解得a＞2，C正确，对于D，由C的结论，D错误，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为3．解：扇形的圆心角θ＝，即r＝＝＝3，所以r＝3．故答案为：3．14．命题“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数解”的否定是∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．解：因为：“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数根”是特称命题，所以其否定为全称命题；所以，其否定为：∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．故答案为：∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．15．若sin（α+）＝（sinα+2cosα），则tanα＝﹣3．解：若sin（α+）＝（sinα+2cosα），则sinα×+cosα×＝（sinα+2cosα），∴sinα+3cosα＝0，tanα＝＝﹣3，故答案为：﹣3．16．已知函数有最小值，则的取值范围为[2，3）．解：当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）2+2的最小值为2；当x＞2时，要使f（x）存在最小值，必有a+log22≥2，解得a≥1．∴，∴．故答案为：[2，3）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知tanα＝．（1）若α为锐角，求；（2）求．解：由tanα＝，得cosα＝2sinα，（1）由，解得sinα＝，cosα＝，或sinα＝﹣，cosα＝﹣，∵α为锐角，∴sinα＝，cosα＝，∴cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝﹣＝．（2）∵tanα＝，则tan2α＝＝＝，∴＝＝＝﹣7．18．已知函数f（x）＝log a（2﹣2x）+log a（x+4），其中a＞1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣4＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣4，1）；（2）函数可化为f（x）＝log a（2﹣2x）+log a（x+4）＝，∵﹣4＜x＜1，∴．∵a＞1，∴，即，由，解得．19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+mx，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数．解：（1）由图可知f（﹣2）＝（﹣2）2+m（﹣2）＝0，解得m＝2，设x＞0，则﹣x＜0，∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），∴f（x）＝x2﹣2x（x＞0），∴f（x）＝．（2）作出函数f（x）的图象如图所示：易知f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，方程f（x）﹣a＝0的根的个数等价于y＝a与函数f（x）的图象交点的个数，由图可知，当a＜﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为0，当a＞0或a＝﹣1时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为2，当﹣1＜a＜0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为4，当a＝0时，关于x的方程f（x）﹣a＝0的根的个数为3．20．如图是边长为100米的正方形场地，其中AE＝60米，CD＝80米，△DEF区域被占用，现在五边形ABCDE区域内规划一个矩形BNPM区域，使点P，M，N分别在线段DE，AB，BC上．（1）设PN＝x米，MP＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM面积的最大值，并确定点P的位置．解：（1）作PQ⊥AF于点Q，∴PQ＝100﹣x米，EQ＝y﹣60米．又△EPQ∽△EDF，∴，即，∴y＝﹣2x+260，定义域为{x|80≤x≤100}；（2）设矩形BNPM的面积为S（x）平方米，则S（x）＝xy＝x（﹣2x+260）＝﹣2x2+260x，由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为x＝65，∴当80≤x≤100时，S（x）单调递减，∴当x＝80米时，矩形BNPM的面积取得最大值，其最大值为﹣2×802+260×80＝8000平方米．此时PN＝80米，MP＝100米，即点P在点D的位置时，矩形BNPM的面积最大．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2m cos2x+m（m∈R）．（1）若m＝1，求f（x）的单调递减区间；（2）若，将f（x ）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x ）在区间上的最值．解：（1）若m＝1，函数f（x）＝2sin x cos x﹣2m cos2x+m＝2sin x cos x﹣2cos2x+1＝sin2x﹣cos2x ＝sin（2x ﹣）．令2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，求得f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）若，将f（x）＝2sin（2x ﹣）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x +﹣）＝2sin（2x ﹣）的图象，当x∈[0，]时，2x ﹣∈[﹣，]，11当2x ﹣＝﹣即x＝0时，g（x）取最小值为﹣1；2x ﹣＝即x ＝时，g （x）取最大值为2．22．已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图象过点．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（2x）﹣mf（x﹣1）+1，且在区间（﹣1，+∞）上有两个零点，求实数m的取值范围．解：（1）由题意，f（x ）的图象过点，∴，解得，故函数f（x ）的解析式为；（2）∵g（x）＝f（2x）﹣mf（x﹣1）+1，∴，令，由于x∈（﹣1，+∞），则t∈（0，2），∴y＝t2﹣2mt+1，t∈（0，2），函数在（﹣1，+∞）上有两个零点，等价于y＝t2﹣2mt+1在t∈（0，2）上有两个零点，则，解得，所以，故实数m 的取值范围为．12。
2020-2021学年湖北省荆州中学高一(上)期末数学试卷 (含解析)
2020-2021学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．计算cos（﹣330°）＝（）A．B．C．D．2．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）3．若a＝20210.2，b＝log0.22021，c＝（0.2）2021，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．已知函数f（x）＝tan x﹣k sin x+2（k∈R），若，则＝（）A．0B．1C．3D．55．现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）＝sin xC．D．6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小值为0B．f（x）的最大值为2C．D．在上有解8．已知函数f（x）＝，则方程f（f（x））﹣1＝0的根的个数是（）A．4B．5C．6D．7二、多项选择题（共4小题）.9．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．10．给出下面四个结论，其中正确的是（）A．角是的必要不充分条件B．命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”C．方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点D．若奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则f（2021）＝111．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣mx+2＝0的两个实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣m B．C．m+tanα≥4D．tan（α+β）＝﹣m12．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．f（0）＝1B．在区间上单调递增C．D．若f（a）＝f（b）＝1，则|a﹣b|的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．14．若函数f（x）＝ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，则a＝；若m＝bx+，则x∈[1，2]时，m的取值范围为．15．写出一个最小正周期为2的偶函数f（x）＝．16．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见如表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图．车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）且如图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为．（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．若幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范围．18．已知x0，x0+是函数的两个相邻的零点．（1）求的值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．19．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P（m，n）（n＞0），将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．（1）若m＝，求Q点的坐标；（2）若sinβ+cosβ＝﹣，求tanα的值．20．已知函数f（x）＝sin2x+cos x﹣a．（1）当a＝0时，求f（x）在上的值域；（2）当a＞0时，已知g（x）＝a log2（x+3）﹣2，若∈[1，5]有f（x1）＝g（x2），求a的取值范围．21．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：001：002：003：004：005：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻6：007：008：009：0010：0011：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻18：0019：0020：0021：0022：0023：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有 1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？22．若函数f（x）对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数f（x）为I上的“局部奇函数”；满足f（﹣x）＝f（x），则称函数f（x）为I 上的“局部偶函数”．已知函数f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k为常数．（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，当x∈[﹣3，3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣3，﹣1）∪（1，3]上是“局部偶函数”，．（ⅰ）求函数F（x）的值域；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．计算cos（﹣330°）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣330°）＝cos（﹣360°+30°）＝cos30°＝．故选：B．2．已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）解：∵A＝{x|x≥0}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，∴A∩B＝[0，1]．故选：B．3．若a＝20210.2，b＝log0.22021，c＝（0.2）2021，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b解：∵a20210.2＞a0＝1，b＝log0.22021＜log0.21＝0，0＜c＝（0.2）2021＜0.20＝1，∴a＞c＞b．故选：C．4．已知函数f（x）＝tan x﹣k sin x+2（k∈R），若，则＝（）A．0B．1C．3D．5解：根据题意，函数f（x）＝tan x﹣k sin x+2，则f（﹣x）＝tan（﹣x）﹣k sin（﹣x）+2＝﹣tan x+k sin x+2，则f（x）+f（﹣x）＝4，若，则＝4﹣（﹣1）＝5，故选：D．5．现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）＝sin xC．D．解：现将函数的图象向右平移个单位，可得y＝sin（2x﹣）的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（x﹣）的图象，故选：D．6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．解：∵AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm（其中．设∠ABC＝2θ．∴则sinθ＝＝0.866≈，∵由题意θ必为锐角，可得θ≈，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则α+2θ＝π，∴α＝π﹣＝．故选：A．7．已知函数f（x）＝|sin x|+|cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小值为0B．f（x）的最大值为2C．D．在上有解解：对于A，∀x∈R，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝≥1，所以f（x）的最小值是1，选项A错误；对于B，∀x∈R，f（x）＝|sin x|+|cos x|＝≤，所以f（x）的最大值是，选项B错误；对于C，函数f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝|cos x|+|sin x|＝f（x），所以选项C正确；对于D，x∈[0，]时，x+∈[，]，sin（x+）∈[，1]，所以函数f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[1，]，f（x）＝在x∈[0，]上无解，选项D错误．故选：C．8．已知函数f（x）＝，则方程f（f（x））﹣1＝0的根的个数是（）A．4B．5C．6D．7解：函数f（x）＝的图像如图：令f（x）＝t，则方程f（f（x））﹣1＝0即为f（t）＝1对应的t值，则t＝10或t＝﹣3或t＝﹣1，t＝10时对应的x有2个，t＝﹣3时对应的x有1个，t＝﹣1时对应的x有1个，故方程f（f（x））﹣1＝0的根的个数是4个，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．解：∵a＜b，∴a+c＜b+c，e﹣a＞e﹣b，ac2≤bc2（c＝0时取等号），与的大小关系不确定．故选：AB．10．给出下面四个结论，其中正确的是（）A．角是的必要不充分条件B．命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”C．方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点D．若奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则f（2021）＝1解：因为，所以2α＝或2α＝，k∈Z，所以α＝或α＝k∈Z，所以不能推出，也不能推出，即角是的既不充分又不必要条件，故选项A不正确；命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”，故选项B正确；令f（x）＝log3x+x﹣3，f（2）＝log32﹣1＜0，f（3）＝1＞0，所以f（x）的零点在（2，3）上，而f（x）在定义域内单调递增，所以方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点，故选项C正确；因为f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x），即y＝f（x）的周期为4，所以f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1），又因函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1，故选项D不正确．故选：BC．11．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣mx+2＝0的两个实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣m B．C．m+tanα≥4D．tan（α+β）＝﹣m解：∵，且tanα，tanβ是方程x2﹣mx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝m＞0，故A错误；tanα•tanβ＝2，tan（α+β）＝＝＝﹣m，故D正确；∴m＞2＝2，故B正确；m+tanα＝2tanα+tanβ≥2＝4，当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立，故C正确．故选：BCD．12．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A．f（0）＝1B．在区间上单调递增C．D．若f（a）＝f（b）＝1，则|a﹣b|的最小值为解：由图可知﹣A＝﹣2，所以A＝2，，所以T＝π＝，即ω＝2，将（，﹣2）代入f（x）＝2sin（2x+φ）得2sin（2×+φ）＝﹣2，即φ＝+2kπ（k∈Z），所以f（x）＝2sin（2x+），f（0）＝2sin＝，故选项A不正确；当x∈时，2x+∈[﹣，]，函数y＝2sin x在[﹣，]上单调递增，所以f（x）在区间上单调递增，故选项B正确；＝﹣2sin[2（）+]＝2sin（2x+）＝f（x），故选项C正确；令f（x）＝2sin（2x+）＝1，即sin（2x+）＝，所以2x+＝或（k∈Z），即x＝或（k∈Z），若f（a）＝f（b）＝1，则|a﹣b|的最小值为＝，故选项D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，则＝．解：因为，则＝cos2（）1﹣2sin2（）＝1﹣2×（）2＝．故答案为：．14．若函数f（x）＝ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，则a＝2；若m＝bx+，则x∈[1，2]时，m的取值范围为[1，2]．解：因为函数f（x）＝ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，且a﹣4+a＝0，所以a＝2，且f（0）＝b＝0，此时m＝在x∈[1，2]上单调递减，故m∈[1，2]．故答案为：2；[1，2]．15．写出一个最小正周期为2的偶函数f（x）＝cos（πx）（答案不唯一）．解：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，可以联想余弦函数，则f（x）＝cos（πx），故答案为：cos（πx）（答案不唯一）16．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见如表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图．车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）且如图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为6．（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）解：由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，所以，解得，解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，因为n∈N*，所以n的值为6．故答案为：6．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．若幂函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范围．解：（1）由函数f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1是幂函数，所以2m2+m﹣2＝1，解得m＝1或m＝﹣；当m＝1时，f（x）＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝﹣时，f（x）＝x﹣2，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f（x）＝x3．（2）由f（x）＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f（2﹣a）＜f（a2﹣4）等价于2﹣a＜a2﹣4，化简得a2+a﹣6＞0，解得a＜﹣3或a＞2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．18．已知x0，x0+是函数的两个相邻的零点．（1）求的值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．解：（1）f（x）＝（1+cos2ωx）﹣[1﹣cos（2ωx﹣）]＝cos2ωx+（cos2ωx+sin2ωx）＝cos2ωx+sin2ωx＝（cos2ωx+sin2ωx）＝sin（2ωx+），∵x0，x0+是函数的两个相邻的零点．∴＝x0+﹣x0＝，即＝，得ω＝1，即f（x）＝sin（2x+），则＝sin（2×+）＝sin＝．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z∵0≤x≤π时，∴当k＝0时，﹣≤x≤，此时0≤x≤，当k＝1时，≤x≤，此时≤x≤π，综上函数的递增区间为[0，]，[，π]．19．在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P（m，n）（n＞0），将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．（1）若m＝，求Q点的坐标；（2）若sinβ+cosβ＝﹣，求tanα的值．解：（1）∵β＝α+，若m＝，则cosα＝m＝，sinα＝，设Q（x，y），则x＝cosβ＝﹣sinα＝，y＝sinβ＝cosα＝，即Q（，）．（2）∵sinβ+cosβ＝﹣，∴sin（α+）+cos（α+）＝﹣，即cosα﹣sinα＝﹣，①，平方得1﹣2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＞0，∵sinα＝n＞0，∴cosα＞0，则sinα+cosα＝＝＝＝②，由①②得cosα＝，sinα＝，则tanα＝．20．已知函数f（x）＝sin2x+cos x﹣a．（1）当a＝0时，求f（x）在上的值域；（2）当a＞0时，已知g（x）＝a log2（x+3）﹣2，若∈[1，5]有f（x1）＝g（x2），求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝sin2x+cos x﹣a＝1﹣cos2x+cos x﹣a＝﹣cos2x+cos x+1﹣a，当a＝0时，f（x）＝﹣cos2x+cos x+1，当x∈时，﹣1≤cos x≤0，令t＝cos x，则t∈[﹣1，0]，所以y＝﹣t2+t+1，对称轴为t＝，开口向下，所以y在[﹣1，0]上单调递增，则﹣1≤y≤1，所以函数f（x）在上的值域为[﹣1，1]；（2）当时，﹣1≤cos x1≤0，所以﹣1﹣a≤f（x）≤1﹣a，故f（x1）的值域为[﹣1﹣a，1﹣a]，当x2∈[1，5]时，a＞0，g（x2）＝a log2（x2+3）﹣2在[1，5]上单调递增，所以g（1）≤g（x2）≤g（5），即2a﹣2≤g（x2）≤3a﹣2，故g（x2）的值域为[2a﹣2，3a﹣2]，因为∈[1，5]有f（x1）＝g（x2），所以[2a﹣2，3a﹣2]⊆[﹣1﹣a，1﹣a]，则，解得，所以a的取值范围为．21．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：001：002：003：004：005：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻6：007：008：009：0010：0011：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻18：0019：0020：0021：0022：0023：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有 1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？解：（1）由表中的数据可得：A＝2.5，b＝5，观察可知3：00和15：00时刻水深相同，故T＝12，因为ω＞0，所以ω＝，因为x＝3时y取到最大值，所以3×φ＝，解得φ＝2kπ，k∈Z，所以函数的解析式为y＝2.5sin x+5（1≤x≤23）；（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米，所以2.5sin x+5≥6.25，即sin，所以，解得1+12m≤x≤5+12m，m∈N，取m＝0或1，得1≤x≤5或13≤x≤17，故该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时．22．若函数f（x）对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数f（x）为I上的“局部奇函数”；满足f（﹣x）＝f（x），则称函数f（x）为I 上的“局部偶函数”．已知函数f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k为常数．（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，当x∈[﹣3，3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣3，﹣1）∪（1，3]上是“局部偶函数”，．（ⅰ）求函数F（x）的值域；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣（2x+k•2﹣x），整理可得（k+1）（2x+2﹣x）＝0，解得k＝﹣1，即f（x）＝2x﹣2﹣x，当x∈[﹣3，3]时，不等式，即为2（2x）2﹣3•2x﹣2＞0，可得2x＞2，即x＞1，则原不等式的解集为（1，3]；（2）（ⅰ）F（x）＝，令t＝2x，则y＝t﹣在[，2]递增，当x∈[﹣1，1]时，F（x）∈[﹣，]；因为y＝t+在（2，4]递增，所以x∈（1，3]时，F（x）∈（，]；又因为f（x）在[﹣3，﹣1）∪（1，3]为“局部偶函数”，可得x∈[﹣3，﹣1）∪（1，3]时，F（x）∈（，]；综上可得，F（x）的值域为[﹣，]∪（，]；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，可得2F（x）min+5＞mF（x）max，即有2×（﹣）+5＞m，解得m＜，即m的取值范围是（﹣∞，）．。
湖北省荆州市2020年高一上学期数学期末考试试卷A卷
湖北省荆州市2020年高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A=｛x|x2-4>0},B={x|2x<1}，则（）A . {x|x>2}B . {x|x<-2}C .D . {x|x<-2或x>2}2. （2分） (2016高一下·黄石期中) sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·吉林月考) 函数的最小正周期是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·鹤岗月考) 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2016高一下·福建期末) 已知角α的终边上一点P的坐标为（，﹣1），则角α的最小正值为（）A .B .C .D .6. （2分）设,且,则（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 若向量，且，则（）A .B .C .D .8. （2分）cos12°sin72°﹣sin12°cos72°=（）A . ﹣B .C . ﹣D .9. （2分）已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A . 0≤k＜B . 0＜k＜C . k＜0或k＞D . 0＜k≤10. （2分） (2018高二下·驻马店期末) 设双曲线的一个焦点为 ,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为 ,且与另一条渐近线交于点 ,若 ,则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .11. （2分） (2019高三上·北京月考) 已知函数，，若成立，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分）函数f（x）=2﹣x﹣|lnx|的两个零点分别为a和b，下列成立的是（）A . 0＜ab＜1B . ab=1C . 0＜ab＜eD . ab＞e二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南京模拟) 如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为________．14. （1分） (2019高二上·湖南期中) 已知函数，则 ________.15. （1分）若sin（）= ，则cos（）=________．16. （1分） (2017高一上·眉山期末) 已知a = （a＞0），则log a=________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2018高一上·吉林期末) 已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18. （10分） (2018高三上·湖南月考) 在锐角△ABC中， .(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求的取值范围．19. （10分） (2016高一下·福建期末) 设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（）= ．（1）求ω和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．20. （15分） (2015高三上·石家庄期中) 设f（logax）= ，（0＜a＜1）（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）对于f（x），当x∈（﹣1，1）时，恒有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．21. （15分） (2016高三上·枣阳期中) 已知函数f（x）=sin2x+2 sin2x+1﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[ ， ]时，若f（x）≥log2t恒成立，求t的取值范围．22. （10分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数m和n的值；（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|1},{|A x x B x y =>==，则A B =（ ）A ．[1,3)B ．[3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(1,3]【答案】D【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{|1},{|A x x B x y =>== 所以(1,),(,3]A B =+∞=-∞，所以(]1,3A B =．故选：D ．2．已知R α∈则“1cos 2α=-”是“22,Z 3k k παπ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由题意可知22,3k k παπ=±∈Z ，再根据充分必要条件的概念，即可得到结果.【详解】因为1cos 2α=-，解得22,3k k παπ=±∈Z ， ∴“1cos 2α=-”是“22,3k k παπ=+∈Z ”的必要不充分条件. 故选：B .3．已知角α的终边过点(),12(0)xx x -≠，若sin 0α<，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义，得到不等式，再解指数不等式即可； 【详解】解：因为角α的终边过点(),12(0)xx x -≠，由sin 0α<，得120x -<，解得0x >．即(0,)x ∈+∞ 故选：A ．4．已知函数()()3211mf x m m x-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则m =（ ） A ．0 B ．-1 C ．2 D ．2或-1【答案】B【分析】由函数()f x 是幂函数，结合函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求出m ．【详解】由函数()()3211mf x m m x-=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-.又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，则310m -<，即1m =-. 故选：B.5．计算：123log 279-+-=（ ）A ．23-B ．0C ．103D ．283【答案】A【分析】利用指数和对数的运算法则求解 【详解】原式121349=+-,123433=+-=-故选：A ．6．已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．23D ．34【答案】D【分析】易知10,0x x ->>，结合基本不等式，可得()11x x =+-≥而可求出(33)x x -的最大值.【详解】因为01x <<，所以10,0x x ->>，所以()1x x +-≥，当且仅当1x x =-，即12x =时，等号成立，所以1≤，整理得()114x x -≤，即3(33)4x x -≤.所以(33)x x -的最大值为34.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．已知函数2e ()e 1x x m mf x x-=-+是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则实数m =（ ） A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】用奇函数的定义判断即可.【详解】因为2()1x x m e m f x e x -=-+，所以2()1x x m e mf x e x----=++，又函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则有()()f x f x -=-，即21211x x x x me mm e m e x e x ⎛⎫--+=-- ⎪++⎝⎭恒成立， 所以()(21)10xm e -+=．因为10x e +>，所以12m =． 故选:B .8．已知函数()lg f x x =的零点为a ，设3a b =，ln c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】根据零点定义将()f x 零点转化成函数lg y x =，y =得01a <<，根据指数函数和对数函数的单调性判断出b ，c 值，之后比较大小即可得出答案.【详解】解：由已知得lg a =01a <<， 则1b >，0c <， 所以c a b <<．【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.二、多选题9．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】BD【分析】依题意求出2θ的取值范围，从而得出θ的取值范围，即可判断θ所在的象限； 【详解】解：由已知得2222k k ππθπ-<<，k Z ∈，所以4k k ππθπ-<<，k Z ∈，当k 为偶数时，θ在第四象限，当k 为奇数时，θ在第二象限，即θ在第二或第四象限． 故选：BD ．10．已知函数2()24(0)f x ax ax a =++>，若12x x <，则（ ） A ．当122x x +>-时，()()12f x f x < B ．当122x x +=-时，()()12f x f x = C ．当122x x +>-时，()()12f x f x > D ．()1f x 与()2f x 的大小与a 有关【答案】AB【分析】由已知得二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，当122x x +=-时，1x 与2x 的中点为1-，可判断B ；当122x x +>-时，1x 与2x 的中点大于1-，又12x x <可判断A C ；当0a >时，()1f x 与()2f x 的大小与a 无关可判断D ．【详解】函数2()24(0)f x ax ax a =++>，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，当122x x +=-时，1x 与2x 的中点为1-．∴()()12f x f x =，选项B 正确；当122x x +>-时，1x 与2x 的中点大于1-，又12x x <，∴点2x 到对称轴的距离大于点1x 到对称轴的距离，∴()()12f x f x <，选项A 正确，C 错误； 显然当0a >时，()1f x 与()2f x 的大小与a 无关，选项D 错误．【点睛】本题考查了二次函数的单调性，关键点是二次函数的单调性和开口方向和对称轴的位置有关，分析问题时一定注意这个问题，考查了分析问题的能力及数形结合思想.11．已知函数)(442cos 2cos 2sin 2f x x x x x =+-，则（ ）A ．)(f x 的最小正周期为π B ．)(f x 的图象关于直线6x π=对称C ．)(f x 的单调递增区间为)(,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣D ．)(f x 的图象关于点,024π⎛⎫-⎪ ⎭⎝对称 【答案】CD【分析】先利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再利用三角函数的周期公式可判断A ；利用正弦函数对称性、单调性、对称中心，可判断BCD ．【详解】)(()()22222cos 2cos 2+sin 2cos2sin 2f x x x x xx x =+-4cos 42sin 46x x x π⎛⎫=+=+⎪ ⎭⎝，所以)(f x 的最小正周期为242ππ=， 令)(462x k k Z πππ+=+∈，解得)(124k x k Z ππ=+∈，所以)(f x 的图象关于直线)(124k x k Z ππ=+∈对称， 令+24+2,262k x k k Z πππππ-<+<∈，解得++,62122k k x k Z ππππ-<<∈，所以)(f x 的单调递增区间为)(,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，令)(46x k k Z ππ+=∈，解得)(244k x k Z ππ=-+∈，所以)(f x 的图象关于点)(,0244k k Z ππ⎛⎫-+∈⎪ ⎭⎝对称， 故选：CD.【点睛】方法点睛：在解决()()sin f x A x ωφ=+的性质：单调性、对称轴、对称中心，常运用整体代换法得以解决.12．已知函数()f x 满足：当1x 时，(4)()f x f x -=，当(3,1]x ∈-时()|1|2f x x =+-；当1x >时，()log (1)a f x x =-（0a >，且1a ≠）．若函数()f x 的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（ ） A ．()f x 为周期函数B ．()f x 的值域为RC ．实数a 的取值范围为(2,)+∞D ．实数a 的取值范围为[22,)+∞【答案】BC【分析】当1x >时，根据函数的解析式，即可判断函数不具有周期性，且函数的值域为R ，作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出该部分图象关于原点对称的图象，依题意函数()log (1)a f x x =-的图象与所作的图象至少有三个交点，即可得到不等式，解得即可，【详解】解：当1x >时，()log (1)a f x x =-（0a >且1a ≠），不是周期函数，且值域为R ，因为当1x 时，(4)()f x f x -=，当(3,1]x ∈-时()|1|2f x x =+-； 作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象如下所示，再作出该部分图象关于原点对称的图象．如图所示，若函数()f x 的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数()log (1)a f x x =-的图象与所作的图象至少有三个交点，所以1,log (51)2,aa >⎧⎨-<⎩解得2a >．故选：BC ．三、填空题13．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的半径为_______． 【答案】3【分析】利用弧长公式可求半径.【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =．故答案为：3.14．命题“m ∃∈R ，使关于x 的方程210mx x -+=有实数解”的否定是_________. 【答案】m R ∀∈，关于x 的方程210mx x -+=无实数解 【分析】直接利用特称命题的否定为全称命题求解即可. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题， 否定特称命题是，既要否定结论，又要改变量词，所以命题“m ∃∈R ，使关于x 的方程210mx x -+=有实数解”的否定为： “m R ∀∈，关于x 的方程210mx x -+=无实数解”. 故答案为：m R ∀∈，关于x 的方程210mx x -+=无实数解15．若sin 2cos )4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【答案】3-【分析】利用和差公式展开sin cos )42πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，然后代入化简计算，可得tan α.【详解】因为sin cos )2cos )4πααααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，得sin 3cos 0αα+=．所以tan 3α=-．故答案为：3-16．已知函数2223,2()log ,2x x x f x a x x ⎧-+≤=⎨+>⎩有最小值，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为__________． 【答案】[2,3)【分析】函数()f x 有最小值，所以求出1a ≥，则有101a<≤，代入()f x 求出()f x 的取值范围.【详解】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2．当x 2>时，要使()f x 存在最小值，必有2log 22a +≥，解得1a ≥．101a∴<≤，21112[2,3)fa a ⎛⎫⎛⎫∴=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：[2,3).【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论.四、解答题 17．已知1tan 2α=． （1）若α为锐角，求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭； （2）求tan 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭． 【答案】（1）10；（2）-7.【分析】（1）由α为锐角，可求出sin α和cos α，利用两角和与差的余弦公式代入求值即可；（2）利用正切的二倍角公式求出tan 2α，进而利用两角和与差的正切公式求值即可． 【详解】由1tan 2α=，得cos 2sin αα=．（1）由解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩α为锐角，sin αα∴==cos 3πα⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭cos cossin sin33ππαα=-12=10=．（2）由1tan 2α=， 则22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 41tan 213tan 27441tan 213πααα++⎛⎫∴+===- ⎪-⎝⎭-．18．已知函数()()()log 22log 4a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最大值为2.求a 的值. 【答案】（1）(4,1)-；（2）2a =.【分析】（1）根据对数的性质进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合配方法、对数复合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则有22040x x ->⎧⎨+>⎩，解得41x -<<，所以函数()f x 的定义域为(4,1)-.（2）函数可化22325()log (22)log (4)log (268)log 222a a a a f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=--+=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因为41x -<<，所23252502222x ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭.因为1a >，所以232525log 2log 222a ax ⎡⎤⎛⎫-++≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即max 25()log 2af x =， 由25log 22a=，解得522a =. 19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()f x x mx =+，函数()f x 在y 轴左侧的图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论关于x 的方程()0f x a -=的根的个数．【答案】（1）222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩；（2）具体见解析．【分析】（1）根据偶函数的定义求出0x >时的函数解析式即可. （2）对参数a 分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.【详解】解：（1）由图可知2(2)(2)(2)0f m -=-+⨯-=，解得2m =． 设0x >，则0x -<，∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴22()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=，∴2()2(0)f x x x x =->．∴222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩．（2）作出函数()f x 的图象如图所示：min ()(1)(1)1f x f f =-==-．由图可知，当1a <-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为0；当0a >或1a =-时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为2；当10a -<<时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为4；当0a =时，关于x 的方程()0f x a -=的根的个数为3．【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.20．如图是边长为100米的正方形场地，其中60AE =米，80CD =米，DEF 区域被占用，现在五边形ABCDE 区域内规划一个矩形BNPM 区域，使点P ，M ，N 分别在线段,,DE AB BC 上．（1）设PN x =米，MP y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形BNPM 面积的最大值，并确定点P 的位置．【答案】（1）2260y x =-+，定义域为{|80100}x x ≤≤；（2）8000平方米；点P 在点D 的位置.【分析】（1）由EPQ EDF ，写出对应比例关系可得函数关系，结合图形可得定义域；（2）由()S x xy =代入（1）所得关系式，可得面积二次函数，再研究二次函数的最值即可.【详解】作PQ AF ⊥，交AF 于点Q ，所以100PQ x =-米，60EQ y =-米．又EPQ EDF ，所以EQ EF PQ FD =，604010020y x -=-． 所以2260y x =-+，函数定义域为{|80100}x x ≤≤．（2）设矩形BNPM 的面积为()S x 平方米，则2()(2260)2260S x xy x x x x ==-+=-+， []80,100x ∈由二次函数得性质知，且其图象开口向下，对称轴为65x =，所以当80100x ≤≤时，()S x 单调递减．所以当80x =米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，其最大值为2280260808000-⨯+⨯=平方米．此时80PN =米，100MP =米，即点P 在点D 的位置时矩形BNPM 的面积最大． 答: 点P 在点D 的位置时，矩形BNPM 的面积最大为8000平方米.21．已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x m x m m =-+∈R ．（1）若1m =，求()f x 的单调递减区间；（2）若3m ()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案】（1）37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）最小值1-；最大值2．【分析】（1）若1m =，()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3222,242k x k k πππππ+-+∈Z 可求；（2）若m =()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则根据x 的取值范围可求. 【详解】解：()2()sin 22cos 1sin 2cos2f x x m x x m x =--=-，（1）∵1m =，∴()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由3222,242k x k k πππππ+-+∈Z ，得37,88k x k k ππππ++∈Z ． ∴函数()f x 的单调减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）当m =()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 取最小值1-；当226x ππ-=时，即3x π=时，()g x 取最大值2． 【点睛】本题考查利用三角函数的恒等变化求三角函数的性质，解题的关键是正确利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为正弦型函数.22．已知指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图象过点1,22⎛ ⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()(2)(1)1g x f x mf x =--+，且在区间(1,)-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将点的坐标代入即可. （2）换元后，用二次函数根的分布求解.【详解】（1）由题意()f x的图象过点12⎛⎝⎭，∴122a =，解得12a =． 故函数()f x 的解析式为1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）∵()(2)(1)1g x f x mf x =--+， ∴211()2122x x g x m ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令1,(0,2)2x t t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，∴221,(0,2)y t mt t =-+∈， 函数211()2122x x g x m ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(1,)-+∞上有两个零点，等价于221y t mt =-+在(0,2)t ∈上有两个零点， 则22202010,22210,(2)4110,202,2m m m m ⎧-⨯+>⎪-⨯+>⎪⎪⎨∆=--⨯⨯>⎪-⎪<-<⎪⎩即210,5,41,02,m m m >⎧⎪⎪<⎪⎨⎪>⎪<<⎪⎩ 解得514m <<． 故实数m 的取值范围为51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
2020-2021学年湖北省荆州市现代学校高一数学理期末试题含解析
2020-2021学年湖北省荆州市现代学校高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列的前n项和为s=n2+2n-1，则a1+a3+a5+……+a25=( )A 350B 351C 337D 338参考答案：A2. 如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h. 若在容器内放入一个半径为1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O（水没有溢出），则h的值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°，可得半球和水的体积和，从而得水的体积，将水的体积用h表示出来，进而求出h．【详解】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°＝，当锥体内水的高度为h时，底面半径为h×tan30°＝h，设加入小球后水面以下的体积为V′，原来水的体积为V，球的体积为V球．所以水的体积为：，解得：．故选：B．【点睛】本题考查锥体和球的体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．3. 不等式的解集是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由不等式可得或者，由此解得x的范围.【详解】解：由不等式可得或者不等式得解集为故选A.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.4. 已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的范围是（）A． B．C． D．参考答案：B试题分析：方程有个不同的实根,可转化为函数与轴有个不同的交点,当时,,可得在上有个零点,即当时,与轴有个交点,等价于在上有解,有解,在单调递增,且,所以只需,故选B.考点：函数与方程.【方法点晴】本题考查学生的是函数与方程思想的应用,属于中档题目.函数与方程思想是数学四大思想之一,在函数题中均有体现,方法为函数的零点即为函数与轴的交点,也可转化为函数等于时的方程根,本题首先可判断出时的根个数为个,因此时有个根,通过参变分离,转化为与在只有一个交点.5. 已知集合A={2，4，5}，B={1，3，5}，则A∩B=（）A. ?B. {1，2，3，4，5}C. {5}D. {1，3}参考答案：C略6. 已知,当时，有,则的大小关系是（）A．B． C．D．参考答案：C7. 的值为（）A. B.C.D.参考答案：A考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.8. 在△ABC中，，那么的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D9. 已知平行四边形顶点的坐标，则A4的坐标为（）（A） (B)(C) (D)参考答案：D10. 若则（）.A． B．C． D．参考答案：.D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。
2020-2021学年荆州中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年荆州中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.sin2010°=( )A. 12B. −12C. √32D. −√322.集合M ={x|x >0,x ∈R}，N ={x||x −1|⩽2,x ∈Z}，则M ∩N =( )A. {x|0<x ⩽2,x ∈R}B. {x|0<x ⩽2,x ∈Z}C. {−1,−2,1,2}D. {1,2,3}3.函数f(x)=1og 12x(x ∈[116,12])，则f(x)的最大值为( )A. 4B. 8C. −4D. −84.对于任意函数f(x)，若f(−x)也有意义，则称g(x)=f(x)+f(−x)2为f(x)的偶部，称ℎ(x)=f(x)−f(−x)2为f(x)的奇部，若f(x)=(x +1)⋅(|x|−1)，则不等式g(x)⋅ℎ(x)>0的解为( )A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (0,1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(−1,0)5.已知函数的图象与函数的图象关于点对称，则=( )A.B.C.D.6.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是( )A. 3n(sin 30°n +tan 30°n )B. 6n(sin 30°n +tan 30°n) C. 3n(sin60°n+tan60°n)D. 6n(sin60°n+tan60°n)7.若函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)，则f(x)在[−π8,π8]上的最大值为( )A. √24B. √22C. 12D. 18. 定义在R 上的偶函数f(x)，对任意实数x 都有f(x +2)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−kx −k 有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−14,14]B. (0,14]C. (14,13]D. (0,13)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.若a >b >0，则以下结论正确的是( )A. ac 2>bc 2B. a 2>ab >b 2C. lga >lgbD. 1a <1b10. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)内为减函数，且函数y =f(x +8)为偶函数，则下列结论正确的是( )A. f(6)>f(5)B. f(6)=f(10)C. f(7)>f(9)D. f(7)>f(10)11. 若函数f(x)={2x 2lnx,x >0−x 3−4x 2,x ≤0的图象和直线y =ax 有四个不同的交点，则实数a 的取值可以是( )A. 4B. 2C. 0D. −1e12. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)，ω>0，则下列说法正确的是( )A. 若将f(x)图象向右平移π4个单位，所得图象与图象重合，则ω的最小值为8 B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为12C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54] D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=______．14. 奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(6)+f(−3)=______．15. 已知函数f(x)={2x −4,x >0−x −3,x <0，则f(f(−4))=______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 设a ∈R ，定义<x >为不小于实数x 的最小整数(如<π>=4，<−π>=−3)，若n ∈Z ，则满足<n +a >=n 的实数a 的取值范围是 (1) ；若a ∈R ，则方程<3x +1>=2x −12的根为 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 二次函数y =ax 2+bx +c(x ∈R)的部分对应值如下表：x−3−2−11234求不等式ax2+bx+c>0的解集．18.已知函数f(x)=12sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，点P，Q分别为函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，且|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=√2，f(Aπ)=√34，求角C的大小．19.已知tanα、tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根，且α、β∈(−π2,π2)，求α+β的值．20.已知函数f(x)=|x+1|+|x−3|．(1)求不等式f(x)<4x的解集；(2)若关于x的方程f(x)=|m|存在实数解，求实数m的取值范围．21.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为(2n2+10n)万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；哪一种方案较为合算？请说明理由．22.已知函数f(x)=2x．(1)解方程f(log4x)=3；(2)已知不等式f(x+1)≤f[(2x+a)2](a>0)对x∈[0,15]恒成立，求实数a的取值范围；(3)存在x∈(−∞,0]，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：sin2010°=sin(5×360°+210°)=sin210°=sin(180°+30°)=−sin30°=−12．故选：B．直接利用三角函数的诱导公式计算得答案．本题考查利用三角函数的诱导公式求值，是基础的计算题．2.答案：D解析：解：解绝对值不等式|x−1|⩽2得：−1≤x≤3，又x∈Z，所以N={−1,0,1,2,3}，又M={x|x>0,x∈R}，所以M∩N={1,2,3}，故选：D．由绝对值不等式的解法及集合交集的运算得：N={−1,0,1,2,3}，又M={x|x>0,x∈R}，所以M∩N={1,2,3}，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．3.答案：A解析：解：∵116≤x≤12；∴log1212≤log12x≤log12116；∴1≤f(x)≤4；∴f(x)的最大值为4．故选：A．根据题意可得出116≤x≤12，从而得出log1212≤log12x≤log12116，从而可求出f(x)的值域，进而得出f(x)的最大值．考查函数最值的定义及求法，以及对数函数的单调性，对数的运算．4.答案：C解析：解：∵f(x)=(x+1)⋅(|x|−1)，∴f(−x)=(−x+1)⋅(|−x|−1)=(−x+1)⋅(|x|−1)，∴g(x)=f(x)+f(−x)2=(|x|−1)(x+1−x+1)2=|x|−1，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2=(|x|−1)(x+1+x−1)2=x(|x|−1)，∴不等式g(x)⋅ℎ(x)>0即为x(|x|−1)2>0，解得0<x<1或x>1，故选：C．由f(x)的解析式写出f(−x)的解析式，从而得g(x)和ℎ(x)的解析式，再解不等式即可．本题考查不等式的解法，考查学生的运算求解能力，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查函数图象关于点对称的函数，利用相关动点法，设点P(x,y)为f(x)上任一点，借助中点坐标公式求出P关于点(0,1)的对称点，将对称点坐标代入g(x)即可．解：设上任意一点坐标为(x,y)，关于点对称的点的坐标为(−x,2−y)，所以代入得：．即：y=．故选B．6.答案：A解析：本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查任意角的三角函数定义，考查运算能力，属于中档题．设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．解：如图，设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，。
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荆州中学2020级高一年级上学期期末考试
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算0
cos(330)-=
A ．
12
B ．
2
C ．12-
D ．2
-
2.已知{
{}|,|sin ,A x y B y y x x R ==
==∈,则A B =
A ．[]1,1-
B ．[]0,1
C ．[0,)+∞
D ．[1,)+∞
3.若0.22021
0.22021,log 2021,(0.2)a b c ===,则
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >> 4.已知函数()tan sin 2()f x x k x k R =-+∈，若13f π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5 5.现将函数()sin(2)6
f x x π
=+
的图像向右平移
6
π
个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为 A ．()sin(4)
3g x x π
=-
B ．()sin g x x =
C ．()sin()
12g x x π
=-
D ．()sin()6
g x x π
=-
6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的下嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：
6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中
3
0.8662
≈）.根据测量得到的结果推算：《蒙娜丽莎》中女子的下嘴唇视作的圆弧对应的圆心角．．．
大约等于
A.
3π B.4π C. 2π D. 23
π
7.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小值为0
B ．()f x 的最大值为2
C ．(
)()
2
f x f x π
-=
D ．1()2f x =
在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解 8.已知函数20
()lg 0
x x f x x
x ⎧+≤=⎨
>⎩，则方程(())10f f x -=的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是
A ．a c b c +<+
B ．a b e e -->
C ．22ac bc <
D ．11a b
> 10.给出下面四个结论，其中正确的是 A ．角6
π
α=
是1
cos 22
α=-
的必要不充分条件 B ．命题“2
,210x R x x ∀∈-+≥”是的否定是“2
,210x R x x ∃∈-+<”
C ．方程3log 30x x +-=在区间(2,3)上有唯一一个零点
D ．若奇函数()f x 满足(2)(),f x f x +=-且当10x -≤≤时，(),f x x =-则(2021)1f =
11.已知02
π
αβ<<<
，且tan ,tan αβ是方程220x mx -+=的两个实根，则下列结论正确的是
A ．tan tan m αβ+=-
B ．22
m > C ．tan 4m α+≥ D ．tan()m
αβ+=-
12.函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图像如图所示，下列结论正确的是 A ．(0)1f = B ．在区间,03π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C ．2()(
)3f x f x π
=--
D ．若()()1f a f b ==，则a b -的最小值为
3
π
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1sin(),54π
α-
=则2cos(2)5
πα-= 14.若函数[](),4,f x ax b x a a =+∈-的图像关于原点对称，则a = ，若a
m bx x
=+
，则[]1,2x ∈时m 的取值范围为
15.写出一个最小正周期为2的偶函数()f x = .
16.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值
见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图.
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
且右图表所示的函数模型0.540sin 13,02
3()9014, 2.x x x f x e x π-⎧⎛⎫
+≤<⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪⋅+≥⎩
假设该人喝一瓶啤酒后至少经过(*)n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为 （参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈）
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)
若幂函数2
21
()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.
（1）求()f x 的解析式;
（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围. 18.(本小题满分12分) 已知00,2
x x π
+是函数22()cos sin ()(0)6
f x x x π
ωωω=--
>的两个相邻的零点.
（1）求(
)12
f π
的值；
（2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间.
19.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点(,)(0),P m n n >将角α的终边按逆时针方向旋转
2
π
后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为.Q （1）若5
13
m =
，求Q 点的坐标； （2）若1
sin cos 5
ββ+=-，求tan α的值.
20.(本小题满分12分)
已知函数()2
sin cos f x x x a =+-.
（1）当0a =时，求()f x 在,2ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的值域； （2）当0a >时,已知2()log (3)2g x a x =+-，若12,,[1,5]2x x ππ⎡⎤
∃∈∀∈⎢⎥⎣⎦
有12()()f x g x =，求a 的取值范围.
21．(本小题满分12分)
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头,卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
试求出这个函数解析式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船这一天中何时能进入港口？每次在港口最多能呆多久？
22．(本小题满分12分)
若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”
；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,x
x
f x k -=+⨯其中k 为常数.
（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3
()2
f x >的解集； （2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)
(1,3]--上是
“局部偶函数”， (),[1,1]
()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨
∈--⎩
(i)求函数()F x 的值域；
(ii)对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数
m 的取值范围.。