第十二讲_白噪声通过线性系统

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通信原理复习题-13通信

13通信工程《通信原理》复习题一、填空1.某四进制系统，4秒钟传输4800个四进制符号，则此系统的传码率R B4=，传信率R b=。

2.模拟调制系统的抗噪声性能主要用来衡量；数字调制系统的抗噪声性能主要用来衡量。

3.AM 调制的可靠性用衡量；DPSK 的可靠性用衡量。

4.某通信系统采用四进制数字序列传输方式，每传输一个码元需T=250×10-6s 时间，其传信率为，码元速率为，若传输了5s ，检测到50个码元误码，其误码率为。

5.八进制数字通信系统的误码率为10-5，系统的传输速率为600b/s ，则接收端在_______h 内能接收到144个错误码元。

6.已知能量信号f(t)的傅氏变换为F(w)，则根据帕塞瓦尔定理可得其能量为E==。

7.设一数字传输系统传送16进制码元，码元传输速率为2400波特，则此时系统的信息传输速率为；如果系统的误码率为10－4，则1小时内错误的码元个数为；如果系统的误比特率为2.5×10-5，则10分钟内错误的比特个数为。

1.1200B ，2400b/s 2.信噪比，误码率 3.信噪比，误码率4.8000，4000，2.5×10-35.206.，7. 9600b/s ， 864 ，21.61.在分析信道时，根据乘性干扰k(t)是否随时间变化，将信道分为_____信道和信道。

2.无失真传输系统的传输函数H 〔w 〕=____ 。

1.恒参，随参 2.3.已知调制信号，载波为t π410cos 2，则其DSB信号的表达式为。

4. 将n 路频率X 围为0.3~4KHz 的话音信号用FDM 方法进行传输，若采用AM 调制方式则n 路话音信号的最小传输带宽为，若采用SSB 调制方式则n 路话音信号的最小传输带宽为。

〔不考虑防护频带〕8nKHz ，4nKHz5.已知，设调频器灵敏度为，试求其已调波功率、载频、最大频偏、已调波带宽、调制信号表达式。

白噪声

其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳会求平稳过程的自相关、功率谱密度会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc

高斯白噪声平稳过程过线性系统

E

h u

X
t1

u
du
h v X

t 2

v dv

E

v h u h v dvdu

EX

t1

u X
t 2

v h u h v dudv
13
平稳随机过程通过线性系统
RXYt1,t2EXt1Yt2EXt1 Xt2uhudu EXt1Xt2uhudu RXt2t1uhudu RXuhuduRXhRXY
所以，X(t)和Y(t)的互相关函数为：RXYRXh X(t)和Y(t)的互功率谱密度为： PXYPXH
则X1和X2均为期望为0的高斯随机过程
若 1 t与 2 t在 0 ~ T 内正 0 T 交 1 t2 ， td t0 即
则X1和X2不相关且独立。
4
平稳随机过程通过线性系统
设:
X(t)为平稳随机过程,线性系统的单位冲激响应为h(t)， X(t) 通过线性系统后的输出为Y（t）。
高斯白噪声
高斯白噪声的性质:设n（t）为高斯白噪声
1、自相关函数： Rnn20
可见，n(t)只在 0 时才相关，它在任意两个时刻上的随
机变量都是互不相关的
2、数学期望：E[n（t）]=0
3、对高斯随机过程，不相关和独立等价
1
高斯白噪声
Pn(ω)
n0/2
0
ω
(a)
Rn(τ ) n0/2
0
τ
(b)
理想白噪声的功率谱密度和自相关函数
2

带通白噪声

显然当过程的每一个样本函数通过时不变系统时，可表示为

y1(t) h ( )x1(t ) d

yn (t) h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t) {y1(t),}, yn (t), 即系统的输入与输出可表示为
RY (t,t ) E [Y (t )]

E

h(1)
h(
2
)Байду номын сангаас
X
(t

1)X
(t

2
)
d1d
2

E

h(1)
h(
2
)
X
(t
1)
X
(t

1)d1d
2

) e d j(21)

h(1)
e
j1
d1

h( 2 )
e
d j2 2

RX
()
e
jd
H ()H ()GX () GX ()H ()H ()
GX () H 2
5. 系统的输入输出的互谱密度
通过对（6.15）式求付氏变换，并利用
GY () GX () H() 2，可以得到系统输出的功率谱密度为
这里假设输入信号为有界平稳过程

E [Y (t] h( ) E [X (t )] d

h( )M X d M X
h ( ) d

随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。

参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。

参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。

参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。

参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。

以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。

白噪声过程通过线性系统

fe
f
,故有关系式 2
0fe 1/ 4,也即0与fe成反比。
若f
e大，则
小，输出过程起伏变化快。
0
若fe ，则0 0，白噪声,起伏变化最快。
五、白噪声通过理想带通系统
理想带通网络输出过程的功率谱密度函数输出过程的自相关函数输出窄带噪声的总平均功率输出窄带噪声的相关系数窄带噪声的相关时间
C
y (t )
RC
et
t 0 ,令 1
RC
RX
( )
N0 2
( )
2、RC积分器的系统权函数
0, Rh ( )
h(t)h(t )dt
0
et e (t )dt e
0
2
根据对称性：
Rh
(
)
2
e| |
3、输出自相关函数
RY ( ) RX ( z)Rh (z)dz
此时只有低频分量才能通过电路，输出噪声起伏程度小，相关性强。
白噪声通过RC积分器－小结
若系统输入为白噪声过程时，输出过程由权函数决定。任一随机过程Y(t)都可以用白噪声过程通过特定结构的线性系统来产生，信号模型。
若系统输入为白噪声过程，通过实验方法测定过程Y(t)的特征，则该系统的特性就可以求出来，求系统。
一、基本概念
基本假设频谱法－自相关函数频谱法－方差冲击响应法
1、基本假设
冲击响应 h(t)
传递函数 H ( j)
输入噪声 X (t)的功率谱G N0 / 2 输出过程 Y (t) ?
2、频谱法－自相关函数
GY
()
GX
() |H(ຫໍສະໝຸດ j) |2 N0 2
|

随机信号处理考题答案

填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

北大随机信号分析基础课件3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽

3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽3.2.1 白噪声通过线性系统设线性系统的传输函数为)(ωH ，输入白噪声功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ωω=上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(ωH 决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。

输出自相关函数为：ωωπωωπτωτωτd e H N d e N H R j j Y ⎰⎰∞∞-∞∞-==2002)(42)(21)(输出平均功率为：ωωπd H N R t Y E Y ⎰∞∞-==202)(4)0()]([3.2.2 等效噪声带宽若在保持平均功率)0(Y R 不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。

若等效的功率谱密度的高度为2)0(H ，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e ω∆。

1．对于低通系统，用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：ee e H H ωωωωω∆>∆≤=)0()(22等效后系统输出的平均功率为：2020)0(2)(221)0(H N d H N R e e Y πωωωπ∆==⎰∞∞- 已知ωωπd H N R Y ⎰∞∞-=2)(4)0(可得ωωωωωππωd H H d H N H N e e ⎰⎰∞∞-∞∞-=∆=∆222020)0()(21)(4)0(2又2)(ωH 是偶函数，有ωωωd H H e ⎰∞=∆022)0()(2．若系统是以0ω为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在20)(ωH 处。

用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：其它022)()(00202ee e H H ωωωωωωω∆+<<∆-=等效后系统输出的平均功率为：20020)(2)(221)0(ωπωωωπH N d H N R e e Y ∆==⎰∞∞- 已知等效前系统输出的平均功率为：ωωπωωπd H N d H N R Y ⎰⎰∞∞∞-=02020)(2)(4)0(＝则有ωωωωωπωωωπd H H H N d H Ne e ⎰⎰∞∞=∆∆=0202200020)()()(2)(2等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。

白噪声相关资料

白噪声相关资料白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

所有频率具有相同能量密度的随机噪声称为白噪声。

定义白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。

一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。

白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。

换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。

相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。

理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。

实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。

然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。

一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。

例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。

高斯白噪声高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。

热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。

所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。

这是考查一个信号的两个不同方面的问题。

（一阶矩就是随机变量的期望，二阶矩就是随机变量平方的期望）。

高斯白噪声是指信号中包含从负无穷到正无穷之间的所有频率分量，且各频率分量在信号中的权值相同。

白光包含各个频率成分的光，白噪声这个名称是由此而来的。

它在任意时刻的幅度是随机的，但在整体上满足高斯分布函数。

参数功率谱密度恒定：S(ω)=S0信号自相关：R(τ)=S0δ(τ)数学期望：E(X(t)]=0均方值：E[X(t)^2]<∞其中δ(τ)是Dirac函数。

第十二讲白噪声通过线性系统

输出信号的功率谱 2 N0 GY ( ) H ( ) 2

( ) h( )d
FY () N0 H ()
输出平均功率
2
色噪声
RY ( )
N0 h( ) * h( ) 2
h( )
2 R XY ( ) N0
N0 2 WY H ( ) d RY (0) 2 0
•均值
mY (t ) mX (t ) * h(t )
mY m X h( )d m X H (0)
若X(t)平稳

1
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
R X (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t 2 )
h (t 2 )
h ( t1 )
RY (t1 , t 2 )
H ( )
K0
( 0 ) 2 | H ( ) | K 0 exp 2 2
0
0

2
2 ( ) 2 0 输出功率谱： FY ( ) N 0 H ( ) N 0 K 0 exp 2 2 2
相关函数：
N0 K RY ( ) e 2
i 0 i i
n
i
17
2、随机过程正态化
中心极限定理：
大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。
Y t lim
max i 0 i 1 n
X ht
i i
n
i
白噪声通过有限带宽线性系统
宽带随机信号通过窄带线性系统一般当输入信号的带宽为系统带宽的7—10倍，
0

•对于带通系统
2 FY ( )d H ( ) d e 0 0 2 FY (0 ) H (0 )

白噪声驱动的线性系统动态特性测量方法

中图分类号Ｔ３Ｐ１
ＡｅｈｄｆｒＭｅｓｒｎｈｎｍｉａａｔｒｓｉｓｏＭｔｏｏａｕｉｇｔｅＤｙａｃＣｈｒｃｅｉｔｃｆａＷｈｉ — ｏｓｔｍｕａｅｉｅｒＳｓｅｔｎｉｅＳｉｌｔｄＬｎａｙｔｍｅ
１引言
线性系统的动态特性测量方法有时域和频域两种＿。１ｊ
时域法一般用方波激励系统，统的动态特性表述为上升系时间、超调量等。然而待测系统的容性成分可能产生大的瞬态响应，出系统的线性范围，超引起饱和。频域法一般用正弦波进行激励，系统的动态特性表述为频率响应，即增益
ＬＵ０ｉＱＵｌｎＪｅＡｎｉａ
（ＨｕａｈｎｇＵｎｖｒｉｆＳｉｎｃｎｃｎｏｇｚｏｉｅｓｔｏｃｅｅａｄＴｅｈｏｌｙ，Ｗｕａ４０７）ｙｈｎ３０４
ＡｂｔａｃＴｈｅｉｕｓｅｐｎｅｒｆｅｔｈｎｅｎａｎａｉｈｒｃｅｉｔｃｆａｌｅｒｓｓｅｒＴｈｅｔｅｄｍａｎｃｏｓｃｒｅａｉｎｔｃｓｒｔｍｐｌｅｒｓｏｓｅｌｃｓｔｅｉｔｒｌｄｙｍｃｃａａｔｒｓｉｓｏｉａｙｔｒ￣ｎｉｏｉｒｓ—ｏｒｌｔｏｅｈ— ｍｎｑｏｒｉｅｉｙｎｈｐｌｅｒｓｏｓｆａｌｅｒｓｓｅｓｉｔｏｕｅ．Ｗｈｔｏｓｓｄｔｔｍｕａｅｔｅｕｋｏｙｔｍ，ｗｈｃｉｕｅｆｄｎｔｉｇｔｅｉｕｓｅｐｎｅｏｉａｙｔｍｗａｎｒｄｃｄｆｍｎｉｅｎｉｅｉｕｅｏｓｉｌｔｈｎｎｗｎｓｓｅｓｉｈ，ｉｎｔｉａｅ。ｉｑｖｌｎｏａｔｅｓｒｅｈｓｃｓｓｅｕｉａｅｔｔｉｅｉｓＡＲＭＡｄ１ｍｍｏｅ．ＭＡｄ ¨ ｓｓｉａｌｏｄｅｃｉｅｔｅｕｋｎｗｎｓｔｍ。ｂｃｕｓｈｏｆｉｉｎｓｏｈｍｏｅｕｔｂｅｔｓｒｂｈｎｏｙｓｅｅａｅｔｅｃｅｃｅｔｆｔｅｍｏｅｑａｏｔｅｖｌｅｆｈｉｃｅｅｉｕｓｅｐｏｅｓｑｅｃ．ＡｎｏｔｍａｒｂｅｉｏｓｒｃｅｏｓｌｅｔｅｉｎｉｉａｉｎｐｏｌｍｎｄｌｅｕｌｔｈａｕｓｏｅｄｓｒｔｍｐｌｅｒｓｎｓｅｕｎｅｔｐｉｌｐｏｌｍｃｎｔｕｔｄｔｏｖｈｓｄｅｔｆｃｔｒｂｅａｄｏｔｅＬｅｓｑａｅｃｉｅｉｎｉｓｄ，ｙｅｄｎｙｈａｔＳｕｒｒｔｒｏｓｕｅｉｌｉｇａｓｍｍｅｒｃＴｏｐｉｚｍａｒｘｅｕｔｏｔｉｅｌｔｉｑａｉｎ，ｗｈｃｓｔｅｏｖｄｗｉｈｔｅｒｃｒｉｅＬｅｉｓｎＤｕｂｉｌｔｉｈｉｈｎｓｌｅｔｈｅｕｓｖｖｎｏ－ｒｎａ— ｇｒｔｏｉｈｍ．Ｉｈｎｎｔｅｅｄ，ａｘｍｐｅｏｈａｕｅｎｔｉｒｖｄｄＴｈｅｕｔｓｏｈｉｏｉｒｓ—ｏｒｌｔｏｅｈｉｕｅｃｎｂｅｎｅａｌｆｔｅｍｅｓｒｍｅｓｐｏｉｅ．ｅｒｓｌｈｗｓｔｅｔｍｅｄｍａｎｃｏｓｃｒｅａｉｎｔｃｎｑａｅｕｓｄｔｓｉａｅｔｅｉｐｌｅｒｓｏｓｆａ１ｅｒｓｓｅｏｅｔｔｈｍｍｕｓｅｐｎｅｏｉａｙｔｍ．ｎＫｏｒｓｗｈｔｏｓ，ｉｕｓｅｐｎｅ，ｃｏｓｃｒｅａｉｎｔｃｎｑ，ｓｓｅｉｅｔｆｃｔｎ，ＡＭＲＡｏｅａｙＷｄｉｅｎｉｅｍｐｌｅｒｓｏｓｒｓ－ｏｒｌｔｏｅｈｉｕｅｙｔｍｎｉｉａｉｄｏｍｄｌＣｌｓａｓＮｕＴｂｅＴＰ１ ’ ｒ３

a、白噪声通过理想低通线性系统

图10.1
定义线性系统：如果系统的输入之间和响应等于各输入响应之和，则称这个系统是线性系统。简言这，若系统满足叠加原理，则系统是线性系统，而此时的L为线性算子。线性系统的数学表达式为：
na n Y (t ) L k xk (t ) k L [ xk (t )] k 1 k 1
RY (t , t ) E [Y (t )]
E h( 1 ) h( 2 ) X (t 1 )X (t 2 ) d 1d 2 E h( 1 ) h( 2 ) X (t 1 ) X (t 1 )d 1d 2
8
y (t )
x( ) h(t , )d
②线性时不变系统定义线性时不变系统：若对任意常数，有
y (t ，简称线性不变系统。通俗地讲就是输入信号X(t)发生一个时移，使输出Y(t)也只引起一个相同的时移。
3. 线性时不变系统输出信号的付氏变换
对于一个线性不变系统， x(t ), h(t ), y(t ) 设其相应的付氏变换为 X (), H ( ), Y ()，则
将
Y () y (t )e dt y (t ) x ( )h(t ) d e jt dt
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系统时，可表示为
y1 (t ) h ( ) x1 (t ) d

yn (t )

h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t ) { y1 (t ),}, yn (t ), 即系统的输入与输出可表示为

白噪声通过线性系统和等效噪声带宽PPT课件

(
2
sin( ) ) 2 d
1
0
2f
2
sin(ax) dx a 0
0x
2
2021/5/17
17
第17页/共31页
结论
✓ 功率谱的带宽变窄，由输入白噪声的频带无限宽变为输
出随机信号带宽为 2。
✓ 平均功率由输入端无限大变为输出端有限，且与系统带
宽 f 成正比。
✓ 相关性由输入端不相关变为输出端相关。
5 线性系统输出的概率分布
线性系统输出端随机信号的概率分布
难
①系统输入为高斯随机过程，则输出也为高斯随机过程 ②系统输入为非高斯过程，其等效带宽远大于系统带宽，则输出为高斯过程
为什么上述两种情况下成立?
2021/5/17
28
第28页/共31页
线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程。
Y (n) h(k)X (n k) h(n k)X (k)
k 0
k 0
输入 X (k)是高斯序列，在 k 时刻，X (k)是一个高斯变量，那么上式是 k 维高斯变量的线性组合( k 趋于无穷大)。由高斯变量的性质可知，k 维高斯变量组合仍为高斯分布，因此输出 Y (n) 也是高斯分布。
2021/5/17
29
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若系统输入的平稳随机过程为非高斯分布，只要输入过程的等效噪声带宽(功率谱带宽)远大于系统带宽时，则系统输出接近于高斯分布的随机过程。
2
2 2
e4
N0 A2
4
exp
2 2
e
j (0
)
d
N0 A2 e j0
4
exp
2 2
e

随机信号处理笔记之白噪声

随机信号处理笔记之⽩噪声1 随机信号处理笔记：⽩噪声1 随机信号处理笔记：⽩噪声1.1 关于⽩噪声1.1.1 ⽩噪声的概念1.1.2 ⽩噪声的统计学定义1.1.3 ⽩噪声的⾃相关函数1.2 ⽩噪声通过LTI系统1.2.1 限带⽩噪声1.2.1.1 低通⽩噪声1.2.1.2 带通⽩噪声1.3 等效噪声带宽1.3.1 等效原则1.3.2 等效公式引⾔在⼏乎所有的电⼦通信中，都不可避免地会有噪声⼲扰正常的通信质量。

因此对噪声统计特性的研究就显得很重要。

在分析通信系统的抗噪声性能时，常⽤⾼斯⽩噪声作为通信信道的噪声模型。

常见的电⼦热噪声近似为⽩噪声。

本⽂就‘⽩噪声’统计特性及其通过线性时不变系统的输出特性做简要总结。

1.1 关于⽩噪声1.1.1 ⽩噪声的概念“⽩噪声”，Additive White Gaussian Noise(AWGN)，符合⾼斯分布。

“⽩”的概念来⾃于光学，和⽩光的“⽩”是同⼀个意思，指的是包含所有频率分量的噪声，且这所有的频率分量是等值的。

1.1.2 ⽩噪声的统计学定义如果⽩噪声的功率谱密度在所有频率上都是⼀个常数：其中，；，。

则称该噪声为⽩噪声。

⽩噪声的单边功率谱密度：其中，；，。

1.1.3 ⽩噪声的⾃相关函数根据维纳-⾟钦定理，平稳随机过程的功率谱密度函数和⾃相关函数是傅⾥叶变换对。

⽩噪声的⾃相关函数：对于所有的，都有，说明⽩噪声仅在时刻才是相关的，⽽在其他时刻（）的随机变量都是不相关的。

⽩噪声的平均功率：因此真正“⽩”的噪声是不存在的。

实际⼯程应⽤中，只要噪声的功率谱密度均匀分布的频率范围远⼤于通信系统的⼯作频带（3dB带宽），就可将其视作⽩噪声。

1.2 ⽩噪声通过LTI系统尽管⽩噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程，当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不再均匀。

假设⽩噪声的功率谱密度，系统传函是，则LTI系统输出端的噪声功率谱密度函数为：由于LTI系统的传输函数，不是“⽩”的。

带通白噪声

jt
dt

d

x(
)

h(t

)
e
j (t
)
dt

e
j d
x( )H ()e j d
H () X ()
∴ Y () X () H () 当 y (t) x(t) * h(t)
上式表明，线性时不变系统的输出完全由系统的输入与系统的冲击响应卷积确定。这是在时间域给出了系统输出表示形式。当输出信号比较复杂时，我们同样考虑通过付氏变换将其变换到频率去研究，进而使问题得以简化。
3. 线性时不变系统输出信号的付氏变换
对于一个线性不变系统， x(t),h(t), y(t) 设其相应的
而 L [ (t )] 表示有个 (t ) 的输入函
数通过线性系统，其输出可记为
h (t, ) L [ (t )]
显然，h (t, ) 可称为 (t ) 函数（冲激函数）
的冲激响应。
8
y (t) x( ) h(t, )d
②线性时不变系统

E

X
(t)

h( ) X

(t

)
d`

E

X

(t)
h()
X
(t

)
d

E [X (t)X (t )] h() d
若 X (t) 为平稳过程，则有

RX ( ) h() d RXY ( )
Y (t)
设系统的输入 X (t) ，是两个联合平稳且单独，平稳的随机过程 X1(t) 与X 2 (t) 的和，即

4.9 白噪声通过理想线性系统2

随机信号分析CONTENTS 目录CONTENTS白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统白噪声通过理想带通线性系统输出相关函数为01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰00/220/21cos 2N A d ωωωωωτωπ+∆−∆=⎰200sin()cos 2N Aωτωτπτ∆=0()cos a τωτ=20sin(/2)()24/2N A a ωωττπωτ⎡⎤∆∆=⎢⎥∆⎣⎦其中白噪声通过理想带通线性系统几点讨论：0ωω∆<<1、这样的系统成为窄带系统。

2、自相关函数包含两种成分。

20sin(/2)()24/2N A a ωωττπωτ⎡⎤∆∆=⎢⎥∆⎣⎦0()()cos Y R a ττωτ=白噪声通过理想带通线性系统)(τY R 2πω∆4πω∆τ0cos ωτ()a τ3、带通与低通相关函数的关系。

()()Y R a ττ=带通系统输出的平均功率为220[()]2N A E Y t ωπ∆=为低通的2倍与低通的相差一个系数2带通系统输出的相关系数为==τττK R r K R Y Y Y Y Y (0)(0)()()()∆=∆ωτωτωτ/2cos sin(/2)0用慢变化的部分定义相关时间⎰∆=∆∞ωτττωτd /2sin(/2)00∆∆==ωπf 21有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）()H ω0ω−ω0ωO 1β2β21ββ>202()()exp 2H A ωωωβ⎧⎫−=−⎨⎬⎩⎭设输入白噪声的物理谱0()X G N ω=，输出物理谱为22002()()exp Y G N A ωωωβ⎧⎫−=−⎨⎬⎩⎭输出自相关函数为22200()exp cos 42Y N A R ββττωτπ⎛⎫=− ⎪⎝⎭等效噪声带宽为πβ有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）可以将随机信号通过线性系统等效为白噪声通过理想线性系统白噪声通过理想低通系统后，输出特性主要取决于理想系统的带宽，输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比理想带通系统为窄带系统时，白噪声激励下，输出相关函数包含两部分，但主要关注相关函数的包络信息。

高斯白噪声经过线性系统后等效带宽特性研究

高斯白噪声经过线性系统后等效带宽特性研究高斯白噪声经过线性系统后等效带宽特性研究朱春华;杨静;师黎明;李广平【期刊名称】《电视技术》【年(卷),期】2012(036)011【摘要】以随机信号经过线性系统理论为基础,研究了加性高斯白噪声经过滤波器后的带宽特性、等效带宽特性以及两者的关系,推导了以低通滤波器为例的线性系统的带宽和等效带宽公式.分析结果表明,等效带宽是说明线性系统滤波能力的一个重要参数,简单的使用带宽参数代替噪声等效带宽参数将使线性系统输出噪声功率的计算值增加,从而导致系统输出信噪比偏低,影响系统抗噪或滤波性能的评价.%Based on the theory on random signal through linear system, the bandwidth and equivalent bandwidth characteristics of additive white Gaussian noise through the filter system and their relations are researched. The bandwidth and equivalent bandwidth equations of the linear system are derived in case of lower pass filter. The analysis shows that the equivalent bandwidth parameter is a representative index of linear system filtering ability, the replacement of the equivalent bandwidth parameter by the bandwidth parameter for simplification will make linear system output noise power calculation value increased, which leads to the system output signal to noise ratio(SNR) smaller, thereby affects the system anti - noise or filtering performance evaluation.【总页数】3页(93-95)。

白噪声

2Ar cos 2 2
A2
J
r
2
2
exp
r2
A2
2Ar
2 2
cos
p r
0
p r, d
r
2
exp
r2 A2
2 2
0
1
2
exp
Ar cos 2
d
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0
x
2
0
1
2
exp x cos
p
r,
1
2
2
exp
r2
2 2
|
J
|
|J|为Jacobian行列式
因此
nc
| J | r nc
ns
r cos ns r sin
sin
r
r cos
p r,
r2ຫໍສະໝຸດ 2er2 2 2
则
p r
2
p
0
r,
d
r
2
r2
e 2 2
p
0
p
r,
dr
1
2
p r, p r p
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同相分量正交
exp
A2 cos2
2 2
2
A cos
Q
A
cos
1
2
exp
A2
2 2
1
2
A cos
Q
A cos
exp
A2 sin2