子群的陪集

第二章：群的进一步讨论 Chapter 2 Extension of Group Theory
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
2.1.2 拉格朗日定理(Lagrange Theorem)
§2.1 轨道，子群的陪集
(2.1 Orbit, Coset of Subset)
我们曾经利用一个整数n把全体整数分成n个剩余类。 在这一节我们要利用群G的一个子群H来作G的一个分 类，这就是子群的陪集. 然后由这个分类推出一个重要 定理。
2.1.1 子群的陪集(Coset of Subset)
定义:设(G，· )是一个群，H≤G， a∈G，则称aH 为H的一个左陪集(Left Coset)。 Ha称为H的一个右陪 集(Right Coset)。 当G是可换群时，子群H的左、右陪集是相等的。
Lagrange定理：设G是n阶有限群，H为G的m阶子 群， [G:H]＝s ，则 |G|=|H|[G:H] (或n=ms) 。
s
证明: [G:H]＝s，于是存在x1，x2，…，xs∈G， 使{ x1H，…，xsH}为G的左陪集分解集，即G= x H
`i＝1 i
且xiH∩xjH=φ (i≠j)。 而每一个陪集元素个数(基数)均为H，即任意 x∈G，|xH|=|H|。故得
Байду номын сангаас
子群的陪集的性质
定理:设(G，· )是一个群，H≤G， a,b∈G，则
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
a∈ aH;
aH= H的充分必要条件是a∈H；
aH为子群的充分必要条件是a∈H； aH= bH的充分必要条件是a-1b∈H； aH与bH或者完全相同，或者无公共元素；
|aH| = |bH|.
我们只证明⑴和 ⑵，其余留给读者。
例1. S3={(1)(12)(13)(23)(123)(132)}, H={(1)(12)} 则H的左陪集aH有 (1)H=(12)H=H (13)H=(123)H={(13)(123)} (23)H=(132)H={(23)(132)} H的右陪集Ha有 H(1)=H(12)=H H(13)=H(132)={(13)(132)} H(23)=H(123)={(23) (123)} 注1. 陪集的表示形式不唯一，且aH与Ha不一定相等。 注2. 更一般地，G是集S上的一个变换群，x∈S，称 xG = {xa|a∈G} 为x的 G 轨道。 注3. G 的分类：{ xH | x∈G } 称为G关于H的左陪集分解 L(H) (类似右陪集分解R(H)) 。