复数的三角形式

复数的除法运算：
复数的除法运算的定理： z1=r1(cos +isin ),z2=r2(cos +isin )
z1 r1 cos i sin 那么 = z 2 r2
下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？ 1 1 （1） (cos i sin ) ； （2） (cos i sin ) ； 2 4 4 2 3 3 1 3 3 7 7 i sin ) ； i sin （3） (cos （4） cos ； 2 4 4 5 5 7 7 0 0 i cos ) （5） 2(cos90 i sin 30 ) ； （6） 4(sin 2 2
3 arg z 2 , 6、复数 z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2 并且 2
求实数 a 的取值范围
复数的三角形式
1、复数的辐角：我们把以 x 轴的正半轴为始边、向量 OZ 所在的射线为终边的角 ，叫做复数 z a bi 的辐角； 特别规定：复数 0 的辐角是任意的.
2、复数的辐角主值：我们把适合于 0 2 的辐角 的值 叫做辐角的主值，通常记作 arg z ，即 0 arg z 2 。
z 1 1 z 1 例 2、 （1）| |= ，arg = ,求复数 z z 2 z 3 （2）arg(z+1)= ,arg(z-1)= ,求复数 z. 6 3
1、复数 1 ictg( 2) 的三角形式是（
）
1 [cos( ) i sin( )] (A) sin 2 2 1 (sin cos ) (B) sin 1 [cos( ) i sin( )] (C) sin 2 2 1 3 3 [cos( ) i sin( )] (D) sin 2 2 3 2、集合 M={z|1≤|z|≤2,z∈C},N={z| <argz< , z∈C }， 4 4
则 M∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是（ (A) ）
4
(B)
2
(C)
3 4
(D)
3、设 a∈(-1,0),复数 cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为（ ） (A) arcsina (B)2 + arcsina (C) -arcsina (D) + arcsina 4、复数 1+cos200º+isin200º的辐角主值为（ ） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º
例、(1)设复数 z 满足：|z|=1 且 z +z=1,求复数 z 的值. (2)如果( 3 +i) =(1+i) ,m、n∈N，求自然数 m、n 的最小值
m n
5
5、化复数 z1=1+cos +isin ,z2=1-cos +isin ( ＜ <2 ) 为三角形式，并且求 argz1+argz2.
5 5 1 3 ⑤8(cos +isin )÷( + i) 6 6 2 2
7 7 2 2 ⑥ 3 (cos +isin )÷ 2 (cos -isin ) 4 4 3 3
2 2 例 2、(1)如果 z=cos +isin ,求： 1+z4+z8+z12+z16 之值 5 5
3i 7 (2)化复数 z=1+( ) 为三角式 2
化下列复数为三角形式： ① z= 3 +i ②z=1-i ④z=3-4i ③z=-1；
1 ⑤ (cos i sin ) 2 3 3
z 2 3z 6 例 1、(1)复数 z=1+i，求复数 的模和辐角主值 z 1
(2)求复数 z1=1+cos +isin (0≤ <2 )的模和辐角主值。
例 1、计算：
① 2 (cos +isin ) 3 (cos +isin ) 12 12 6 6
②3(cos75º+isin75º) 3 (cos15º+isin15º) ③(cos3A+isin3A) (cos2A-isin2A)
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4 4 5 5 ④4(cos +isin )÷2(cos +isin ) 3 3 6 6
定理的推广：设 zn=rn(cos n+isin n),其中 rn≥0 于是：z1z2z3„zn=r1r2r3„rn[cos( 1+ 2+ 3+„+ n) +isin( 1+ 2+ 3+„+ n)]
复数乘法的几何意义：
⑴两个复数 z1、z2 相乘时，可以先画出分别与 z1、z2 对应的 向量 OZ1 、 OZ 2 ，然后把向量 OZ 2 按逆时针方向旋转 1 再把模变为原来的 r1 倍，所得的向量 OZ 就表示积 z1z2. 特征：旋转+伸缩变换 ⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.
3、复数的三角形式：设 是复数的辐角，其模为 r ，则：
a rcos ， b r sin
z r ( c o s i s i n ) 叫复数的三角形式
三角形式的具体要求： ① r ≥0 ； ②前余后正 ③“+”号连接 ；④ 不一定是主值
复数的三角形式的乘法运算：
定理：设 z1=r1(cos +isin )，z2=r2(cos +isin )，r1≥0,r2≥0 那么：z1·z2= r1r2 cos i sin