复数的三角形式

合集下载

复数的三角形式与指数形式

复数的三角形式与指数形式复数是数学中的一种概念，可以用于表示实数范围之外的数。

复数由实部和虚部组成，其中虚部可以加上单位虚数单位i。

复数的表示有两种常用形式：三角形式和指数形式。

1. 三角形式复数可以用极坐标系表示，其中实部对应坐标轴上的横坐标，虚部对应坐标轴上的纵坐标。

三角形式将复数表示为模长和辐角的形式。

模长表示复数到原点的距离，辐角表示复数与正实轴的夹角。

设复数为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。

则复数z在极坐标系下的三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

模长r可以通过勾股定理计算得到，即r=√(a^2+b^2)。

辐角θ可以通过反三角函数计算得到，即θ=arctan(b/a)。

三角形式的优点是直观且易于计算。

可以通过模长和辐角计算复数的加减乘除等运算，也可用于复数的求解和复数函数的分析。

2. 指数形式指数形式是将复数表示为自然指数的形式，也称为欧拉公式形式。

复数的指数形式为z=re^(iθ)，其中r为模长，e为自然对数的底，i为虚数单位，θ为辐角。

指数形式的优点在于运算更加简便。

复数的加法和减法可以直接对实部和虚部进行计算，而无需使用三角函数。

复数的乘法和除法也可以通过指数形式的运算规则来进行计算，简化了复数运算的复杂度。

指数形式还有广泛的应用，例如在复数的幂运算中，指数形式可以简化计算；在解线性差分方程和傅里叶级数等数学问题中，指数形式可以提供更加简洁的解法。

综上所述，复数可以用三角形式和指数形式来表示。

三角形式直观易懂，适用于计算复数的模长和辐角等问题；指数形式简洁高效，适用于复数的加减乘除和复杂运算。

根据具体问题的需求，可以选择不同的表示形式来处理复数运算。

复数三角公式

复数三角公式一、复数的基本概念复数是指具有实部和虚部的数，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

实部a表示复数在实数轴上的位置，而虚部b表示复数在虚数轴上的位置。

复数是复平面上的一点，实部为横坐标，虚部为纵坐标。

二、复数的三角形式为了方便表示和计算复数，我们可以将复数转化为三角形式。

复数a+bi 在复平面上对应的点与原点连线的长度称为模长，记作|a+bi|。

复数的幅角表示为θ，满足θ∈[0，π]。

复数a+bi的三角形式可以表示为：a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r=|a+bi|，θ为幅角。

三、复数三角公式的推导1.复数的模长公式：|a+bi| = √(a+b)2.复数的共轭复数：conj(a+bi) = a-bi3.复数的乘法公式：((a+bi) × (c+di)) = (ac-bd) + (ad+bc)i4.复数的除法公式：((a+bi) ÷ (c+di)) = (ac+bd) / (c+d) - (ad-bc)i / (c+d)5.复数的三角函数：sinθ = b / r，cosθ = a / r，tanθ = b / a四、复数三角公式的应用1.计算复数的模长、共轭复数、幅角等；2.简化复数的乘除运算；3.求解复数方程组；4.分析复数的收敛性、周期性等性质；5.应用到信号与系统、量子力学等领域。

五、总结与拓展复数三角公式是复数理论中非常重要的内容，掌握这些公式有助于我们更好地理解和处理复数相关问题。

在实际应用中，复数三角公式为我们提供了一种简便的方法来处理复数的各种运算和性质。

复数的三角形式

复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。

其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。

需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。

复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。

任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。

2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。

下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。

例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。

2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。

复数的三角形式

复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值（1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。

所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）i 2；（3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用

复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用复数的三角式与指数式的相互转换方法及应用复数是数学中的一个重要概念，其中涉及到了复数的三角式和指数式的相互转换。

本文将针对复数的三角式和指数式的相互转换方法进行介绍，并且探讨这些转换方法在实际中的应用。

一、复数的三角式和指数式1. 复数的三角式复数的三角式是指将一般复数 $a + bi$ 表示成 $r(\cos{\theta} +i\sin{\theta})$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。

其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。

2. 复数的指数式复数的指数式是指将复数表示成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。

二、复数的三角式和指数式的相互转换方法1. 从复数的三角式到指数式的转换将复数 $a + bi$ 的三角式 $r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ 中的$\cos{\theta}$ 和$\sin{\theta}$ 分别用$e^{i\theta}$ 的实部和虚部表示，即 $\cos{\theta} = \text{Re}(e^{i\theta})$，$\sin{\theta} =\text{Im}(e^{i\theta})$，则有 $a + bi = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) =r\text{e}^{i\theta}$。

复数三角公式

复数三角公式摘要：一、引言二、复数三角公式定义1.余弦公式2.正弦公式3.辅助公式三、复数三角公式的应用1.解析复数2.计算复数模3.求解复数三角形式四、复数三角公式与其他公式关系1.欧拉公式2.指数和对数公式五、结论正文：复数三角公式是复分析中一种将复数表示为三角形式的重要工具。

通过复数三角公式，我们可以更直观地理解复数，并且方便地进行复数的计算和求解。

一、引言复数三角公式是复分析中的重要公式，可以将复数表示为三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。

二、复数三角公式定义复数三角公式包括余弦公式、正弦公式和辅助公式。

1.余弦公式余弦公式是指复数Z=x+yi（x,y∈R）的三角表示形式为：Z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|Z|，θ=arg(Z)。

2.正弦公式正弦公式是指复数Z=x+yi（x,y∈R）的三角表示形式为：Z=r(cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2))，其中r=|Z|，θ=arg(Z)。

3.辅助公式辅助公式是指已知复数Z=x+yi（x,y∈R）的模r 和幅角θ，可以求解出复数Z 的三角表示形式。

三、复数三角公式的应用复数三角公式在解析复数、计算复数模以及求解复数三角形式等方面有着广泛的应用。

1.解析复数通过复数三角公式，可以将复数表示为三角形式，从而更直观地理解复数。

2.计算复数模通过复数三角公式，可以直接计算出复数的模，而不需要进行复杂的计算。

3.求解复数三角形式通过复数三角公式，可以直接求解出复数的三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。

四、复数三角公式与其他公式关系复数三角公式与其他公式，如欧拉公式、指数和对数公式等有着密切的关系。

1.欧拉公式欧拉公式是指复数e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中x∈R。

欧拉公式是复数三角公式的一个特例。

2.指数和对数公式指数和对数公式是指复数的指数和对数可以表示为三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。

五、结论复数三角公式是复分析中一种将复数表示为三角形式的重要工具。

第17讲复数的三角形式(讲义)解析版

第17讲复数的三角形式知识梳理1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则r ＝|z |根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)，上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z 2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)×r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(n θ)＋isin(n θ)].例题解析1.代数形式化为三角形式例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）3-；（2.【答案】（1）11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭（277cos isin 244ππ⎛⎫=⎝+⎪⎭【分析】（1）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是(3,在第四象限，求出()11arg 36π=，最后写成三角形式.（2）先根据模公式r =求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出)7arg4π=，最后写成三角形式.【详解】（1）r ==因为与3-对应的点在第四象限，所以()11arg 36π-=，所以11113cos isin 66ππ+⎫-=⎪⎭.（2）2r ==.对应的点在第四象限，所以)7arg4π=，77cosisin 244ππ⎛⎫= ⎝+⎪⎭. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 【巩固训练】1．（202012i +化成三角形式，正确的是（） A ．cossin33i ππ+B ．cossin66i ππ+C ．22cos sin 33i ππ+ D ．1111cos sin 66i ππ+ 【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解: 因为cos6π=1sin 62π=1cos sin 266i i ππ+=+ 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．2．（2020·全国高一课时练习）复数1-+的三角形式是 A ．222cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．552cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．552cossin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．11112cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据复数的三角形公式(cos sin )z r i θθ=+求解或利用定义直接求解即可.【详解】解法一：设复数的三角形式为(cos sin )z r i θθ=+,则2r ==,tan θ=,可取2arg 3z πθ==,从而复数1-+的三角形式为222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法二：1⎡⎤-=12222cos sin 2233i ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.3．（2020·全国高一课时练习）复数1z i =-（i 为虚数单位）的三角形式为（）A ．45cos 45)z i ︒︒=-B ．45isin 45)z ︒︒=-C ．45)sin(45)]z i ︒︒=---D ．45)+sin(45)]z i ︒︒=--【答案】D【分析】复数的三角形式是()cos sin z r i θθ=+，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得r ==复数1z i =-对应的点在第四象限，且cos θ=，因此，arg 315z ︒=，结合选项知D 正确，故选：D.【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．总结规律：复数的代数形式化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角． (4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．2.三角形式化为代数形式例1．（2020·全国高一课时练习）“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差2π的整数倍即可. 【详解】当复数12,z z 的模与辐角分别相等时，一定有12z z =，充分性成立；但当12z z =时，1z 与2z 的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立.综上，“复数12,z z 的模与辐角分别相等”是“12z z =”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以()cos sin z r i θθ=+的形式，其中)0r θπ=≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z =，则z 的辐角主值为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】2155cos sin42266i z i i ππ-====-+=+，所以辐角主值为56π．故选：D ．例3．（2020·全国高一课时练习）已知复数z 1cos sin1212i ππ⎫+⎪⎭，z 2cossin66i ππ⎫+⎪⎭，则z 1z 2的代数形式是（）A cossin44i ππ⎫+⎪⎭B cossin1212i ππ⎫+⎪⎭C D 【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭[cos()s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题. 例4．（2020·全国高一课时练习）复数55sin cos 1818z i ππ=-+的辐角主值为 A ．518π B ．169πC ．29π D ．79π 【答案】D【分析】化简55sincos 1818z i ππ=-+利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】5577sin cos cos sin 181899z i i ππππ=-+=+,故复数z 的辐角主值为79π.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.例5．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4(cos sin )66i ππ+；（2）2(cossin )33i ππ- 【分析】（1）复数4(cossin )66i ππ+为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；（2）先把复数2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，转化为三角形式552cossin 33i ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；【详解】（1）复数4(cossin )66i ππ+模r ＝4，辐角的主值为θ＝6π.4(cossin )66i ππ+4cos 4sin 66i ππ=+1442i =+⨯2i =. （2）2cossin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2cos 2sin 233i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552cos sin 33i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，复数的模为2，辐角的主值为θ＝53π，2cos sin33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭552cos 2sin 33i ππ=+12222i ⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭1=. 【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）442cos sin 55i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）33sincos 55i ππ+. 【答案】（1）不是，992cossin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）不是，cos sin 1010i ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可. 【详解】（1）不是.44442cos sin2cos sin 5555i i ππππ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭44992cos sin 2cos sin 5555i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （2）不是.3333sincos cos sin cos sin 5525251010i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.总结规律：复数的三角形式z ＝rcos θ＋isin θ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.3.复数三角形式的乘、除运算例1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）771333cos sin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3232i ；（2）32i【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得；【详解】解：（1）771333cossin cos sin 44222i i ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2232i ⎫⎛⎫=÷-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 226323222i i ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭（2）1222cos sin 233i i ππ⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭113222i ⎛⎫=÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭1422ii⎛⎫-⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.【巩固训练】2．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32；(2)2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ3.[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3＋isinπ32＝(2)2⎝⎛⎭⎪⎫cos23π＋isin23π＝2⎝⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝－1＋3i.(2)12－12i＝22⎝⎛⎭⎪⎫22－22i＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π，所以2(cos 75°＋isin 75°)×⎝⎛⎭⎪⎫12－12i＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos512π＋isin512π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22⎝⎛⎭⎪⎫cos74π＋isin74π＝2×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＋isin⎝⎛⎭⎪⎫512π＋74π＝cos2612π＋isin2612π＝cosπ6＋isinπ6＝32＋12i.(3)因为－12＋32i＝cos23π＋isin23π，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π＋isin 23π÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π3＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝14＋34i. 总结规律：1．乘法法则：模相乘，辐角相加． 2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角为n 倍．4.复数三角形式乘、除运算的几何意义例1．（2020·全国高三二模（文））在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为()1,0Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（）A ．122i + B ．122i + C ．122i - D ．122- 【答案】A【分析】设z a bi '=+，根据三角函数的定义可求得a 、b 的值，进而可得出复数z '的值.【详解】设z a bi '=+，由题意知，3cos302a ==1sin 302b ==，所以12z i '=+，故选：A ．【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.例2．（2020·全国高一课时练习）将复数1对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是A i -B iC ．iD ．i +【答案】A【分析】先将复数1+写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数1的三角形式是2cossin33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.例3．（2020·全国高一课时练习）将复数1i +对应的向量OM 绕原点按逆时针方向旋转4π，得到的向量为1OM ，那么1OM 对应的复数是 A ．2i BC．22+ D【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】复数1i +cossin44i ππ⎫+⎪⎭,向量1OM 对应的复数cos sin cos sin 4444i ππππ⎫⎛⎫+⨯+⎪ ⎪⎭⎝⎭cos sin 22i ππ⎫=+=⎪⎭故选：B【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数22i -+对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【详解】与所得向量对应的复数为()()22cos75sin75i i -+⨯︒+︒)()cos135sin135cos75sin 75i i =︒+︒⨯︒+︒()()cos 13575sin 13575i =︒+︒+︒+︒⎤⎦)cos210sin 210i =︒+︒=12i ⎫-⎪⎪⎭=.【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.例5．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设O 为坐标原点，点,A B 所对应的复数分别为12,z z ，且12,z z 的辐角主值分别为,αβ，模长均为1.若AOB 的重心G 对应的复数为11315i +，求()tan αβ+. 【答案】512【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.【详解】由题意，可知12cos sin ,cos sin z i z i ααββ=+=+.∵AOB 的重心G 对应的复数为11315i +， ∴12113315z z i +=+，即cos cos 11sin sin 5αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴2cos cos 12212sin cos 225αβαβαβαβ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴1tan 25αβ+=， ∴()22tan 52tan 121tan 2αβαβαβ++==+-. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.例6．（2020·全国高一课时练习）设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在复平面上对应向量1OZ ，将向量1OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转34π后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则tan ϕ=（）A ．2tan 12tan 1θθ+-B ．2tan 12tan 1θθ-+C ．12tan 1θ+D ．12tan 1θ- 【答案】A【分析】先把复数1z 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数2z ，利用复数相等的条件得到sin ϕ和cos ϕ的值，求出tan ϕ.【详解】因为1z ==所以1z ⎫=，设cos β=sin β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos tan 2sin θβθ=，23355cos sin cos +sin +4444z i i ππππββββ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎦即r =5cos cos 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin sin 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故5sin 54tan tan tan 544cos 4πβππϕββπβ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭ cos 11tan 2tan 12sin cos 1tan 2tan 112sin θβθθθβθθ+++===---. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将1z 、2z 化为三角形式然后再计算.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】+【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()4cos15sin15i +÷︒+︒()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()8cos45sin 45i =︒+︒22822i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 4242i =+.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.2．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，求复数z （用代数形式表示）. 【答案】22i 22z =- 【分析】把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°得到()()cos45isin 45i =︒+︒⨯-z ，再把三角形式转化为代数形式运算，整理为a bi + 的形式.【详解】由题意得()()()22cos 45isin 45i i i 22z⎛⎫=︒+︒⨯-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭22i 22=-. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.总结规律：两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量，，然后把向量绕点O 按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量，表示的复数就是积z 1z 2.5.三角形式下复数的乘方与开方【巩固训练】1．（2020·全国）复数()()452213i i +-=（）A ．13iB ．13i -+C ．13iD ．13i --【答案】B【分析】由复数的三角形式得22cos sin 44i i ππ+=+），1=2(cos sin )33i ππ-，代入运算可得选项.【详解】22cos sin 44i i ππ+=+），故46(22)2(cos sin )i i ππ+=+=62-，1=2(cos sin )33i ππ-，故5555(1)2cos sin 33i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，46512222552(cos sin )33i ππ⎛⎫-- ⎪-===-⎝⎭⎝⎭12()12=--=-+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式的运算，属于基础题.2．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒；（2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【答案】（1）1-；（2）13232i -+ 【分析】根据复数的乘方及乘法法则计算可得；【详解】解：（1）()5cos36sin 36i -︒+︒()5111cos180sin180cos36sin 36i i ===-︒+︒︒+︒ （2）4 2cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 412cos isin 33ππ=⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 14 16cos isin 334ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎝⎭12⎛⎫- ⎪=⎝⎭⎝⎭132=-+ 【点睛】本题考查复数代数形式的乘方运算及除法运算，属于中档题.3．（2020.【答案】8-+【分析】根据复数三角形式的乘方运算及代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解51322i ⎫⎪=532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=5532sin cos i ππ⎛⎫+ ⎪=13222i ⎛⎫-+ ⎪=)132228i i ⎛⎫-+ ⎪==-+ 【点睛】本题考查复数三角形式的乘方运算及代数形式的除法运算，属于基础题.反思总结：知识：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．方法：两个复数三角形式乘法的法则可简记为：模相乘，辐角相加，并且可以作以下推广；(1)有限个复数相乘，结论亦成立．即z1·z2…z n＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…r n(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…r n[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．(2)当z1＝z2＝…＝z n＝z时，即r1＝r2＝…＝r n＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有z n＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)]，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．。

复数的三角形式和欧拉公式

复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示实数以外的数。

复数有两种常见的表示方法，一种是常规的代数形式，即a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位；另一种是三角形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。

复数的三角形式是由欧拉公式推导而来的。

欧拉公式是数学中非常重要而优美的公式之一，它将自然对数的底e、虚数单位i和余弦函数、正弦函数之间建立了一种神奇的关系：e^(iθ)=cosθ+isinθ。

通过欧拉公式，我们可以将复数用指数形式表示为r×e^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。

这样的表示形式更加简洁而且直观，方便于进行复数的运算。

复数的三角形式有许多重要的性质。

首先，复数的三角形式可以用于求解复数的乘法和除法。

当两个复数相乘时，只需要将它们的模相乘，幅角相加即可；而当两个复数相除时，只需要将被除数的模除以除数的模，被除数的幅角减去除数的幅角即可。

这使得复数的乘除运算变得简单而直观。

此外，复数的三角形式还可以用于求解复数的幂运算。

由于指数运算具有幂相乘的性质，我们可以将复数的幂表示为(r×e^(iθ))^n=r^n×e^(inθ)，其中n是正整数。

这样，我们可以通过对模进行乘方，对幅角进行n倍来求解复数的幂，从而进一步简化了运算过程。

最后，复数的三角形式还可以用于求解复数的根。

通过将复数表示为r×e^(iθ)，我们可以利用欧拉公式求解复数的n次根。

具体的方法是通过将模开n次根号，幅角除以n来求解。

这样，我们可以方便地找到复数的根，并且我们可以得到全部n个根。

综上所述，复数的三角形式是一种非常有用的表示方法，它简化了复数的运算和求解过程。

欧拉公式的推导和应用，使得我们在处理复数时更加方便、直观，并且可以通过几何的方法来理解复数的运算和性质。

因此，对于学习和应用复数的人来说，掌握复数的三角形式和欧拉公式是十分重要而有价值的。

复数的三角表示形式

复数的三角表示形式
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示成 a+bi 的形式，其中a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位。

除此之外，复数还可以用三角形式表示，即：
z = r(cosθ + i sinθ)
其中，r 表示复数 z 的模，θ表示 z 的幅角。

模 r 的计算公式为：
r = |z| = √(a + b)
幅角θ的计算公式为：
θ = arg(z) = tan(b/a) + kπ (k∈Z)
在三角形式中，复数可以看作是平面直角坐标系中一个点的极坐标，其中实部和虚部分别对应该点在 x 轴和 y 轴上的投影长度。

使用三角形式表示复数有以下几个优点：
1. 易于计算复数的乘法和除法，只需按照平面向量的乘法和倒数公式进行计算。

2. 易于用欧拉公式表示复数，即 e^(iθ) = cosθ + i sinθ，可以方便地进行复杂的数学推导。

3. 易于理解复数在复平面上的几何意义，可以通过旋转和缩放的方式进行操作。

因此，三角形式是复数的重要表示形式之一，对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。

- 1 -。

复数的三角表示

三. 复数乘除法的几何意义的应用
例5 已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，
把向量
uuuur P1P2
绕P1点按顺时针方向旋转
2
后，得到向量
uuur P1P
，求向
量
uuur P1P
和点P对应的复数分别是什么？
uuuur
解：由题意知向量 P1P2 对应的复数是
z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.
【名师点拨】将复数的三角形式r（cos θ+isin θ）化为代数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcos θ， b＝rsin θ. 【注意】复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点（a，b）是一一对应的.
二. 利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3.
5
3.复数代数形式和三角形式的转化
a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ），
a
b
其中 r＝ a2 b2 ， cos θ＝ r , sin θ＝ r .
(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.
cos
6

isin
6

·
2

cos
4

isin
4

＝
.
【解析】
5

cos

6
ห้องสมุดไป่ตู้

复数的三角形式

复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值（1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。

所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角想一想：复数的三角形式有哪些特征下列各式是复数的三角形式吗（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）i 2；（3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

高中数学复习：复数的三角形式

高中数学复习：复数的三角形式考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x 轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi 的辐角。

(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi 的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。

非零复数与它的模和辐角主值一一对应。

(3)常用的有关辐角主值的结论当a R +时arg a=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。

2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。

3.复数的三角形式复数z=a+bi 可以用复数的模r 和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中22b a r +=，ra =θcos ，r b=θsin 。

r(cosθ+isinθ)叫作复数z 的三角形式，而a+bi 叫作复数z 的代数形式。

考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。

则。

这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n 个复数相乘：=。

因此，如果就有[。

这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n 倍。

2.复数的除法设则z ₁除以z ₂的商：)]。

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。

【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．以下不满足复数13i 22-的三角形式的是（）．A ．ππcos isin 33⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；B ．5π5πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；C ．cos isin 3π3π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；D ．11π11πcos isin 33⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．设54ππθ<<，则复数cos 2isin 2cos isin θθθθ+-的辐角主值为（）A ．23πθ-B ．32θπ-C ．3θD ．3θπ-3．复数22i z =-的三角形式是（）A ．2cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．332cos isin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．772cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．552cosisin 44ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭题型二：复数的辐角4．任意复数i z a b =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位）都可以写成()cos s i in z r θθ=+的形式，其中()2202r a b θπ=+≤<该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数31i 22z =+，则z 的辐角主值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．复平面内，向量OP 对应复数的共轭复数为3i --，则OP对应复数的幅角主值为（）A ．76πB ．6π-C ．116πD ．56π6．欧拉公式()i e cos i sin e 2.71828θθθ=+= 是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知πi 613i 22e θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，则θ=（）A ．()π2π3k k +∈Z B ．()π2π6k k +∈Z C ．()ππ3k k +∈Z D ．()ππ6k k +∈Z题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z -=+，则z 的辐角为（）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π48．计算：(1)ππππ3cos isin2cos isin 6666⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦(3)13ππi cos isin 2266⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()ππ1i cos isin 66⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭9．（1）计算：4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]；（2）已知复数z ＝r (cos θ＋i sin θ)，r ≠0，求1z的三角形式.【双基达标】一、单选题10．下列结论中正确的是（）．A ．复数z 的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；B ．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C ．实数0不能写成三角形式；D ．复数0的辐角主值是0．11．已知i 为虚数单位，()12cos 60isin 60z =︒+︒，()222sin 30i cos30z =︒-︒，则12z z ⋅等于（）A ．()4cos90isin 90︒+︒B ．()4cos90isin 90︒+︒C ．()4cos30isin 30︒-︒D ．()4cos0isin 0︒+︒12．欧拉公式i e cos isin x x x =+建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①iπe 10+=；②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin i 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．下列说法正确的是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对13．已知复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，则22zz=（）．A ．22i 22--B ．22i 22-+C ．22i 22-D ．114．复数4i z =-化成三角形式，正确的是（）A ．334cos isin 22ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．334cos isin 22ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．334cos isin 22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．334cos isin 22ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．回答下面两题(1)求证：1cos i sin cos i sin θθθθ=-+；(2)写出下列复数z 的倒数1z的模与辐角：①ππ4cos isin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②ππcos i sin 66z =-；③()21i 2z =-．16．设复数13i 22ω=-+，求证：(1)ω，2ω，1都是1的立方根；(2)210ωω++=．【高分突破】一、单选题17．设12z z z ∈C ､､，则下列命题中的真命题为（）A ．若12z z >，则12z z z z +>+B ．若0z z +=，则z 为纯虚数C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若12z z z =，则12arg arg arg z z z =+18．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，R x ∈）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．πi 2e 的虚部为i B ．3πi 422ei 22=-C ．i ecos sin x x x=+D ．πi 3e 的共轭复数为13i22-19．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos θi sin θθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（）A ．πi 2e i=B ．πi 4e1=C ．313i 12⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πiπi 44πe ecos 42-+=20．复数()()cos 25isin 25cos50isin 50z =++的三角形式是（）A ．()()cos 25isin 25-+-B ．sin 75i cos 75+C ．cos15isin15+D ．cos75isin 75+21．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，3i e 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°二、多选题23．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数2i e 对应的点位于第三象限B ．i 2e π为纯虚数C ．复数i e 3ix +的模等于12D ．i 6e π的共轭复数为13i22-24．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位，e 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（）A ．3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B ．i e 10π+=C ．313i 122⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭D ．i i e e cos 2-+=θθθ25．以下不是复数13i --的三角形式是（）A ．ππ2cos i sin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7π7π2cos i sin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭26．欧拉公式i e cos i sin x x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数65i e π的值为31i 22--B ．i e π为纯虚数C ．复数i e 1i x +的模长等于22D ．42i i 33e e 10ππ++=27．欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）A ．复数i 2e π为纯虚数B ．复数i2e 对应的点位于第二象限C ．复数i 3e π的共轭复数为31i 22-D ．复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆28．已知i 为虚数单位，若()1111cos i is n z r θθ=+，()2222cos i is n z r θθ=+，…，()cos isin n n n n z r θθ=+，则()()12121212cos isin n n n n Z Z Z r r r θθθθθθ=+++++++⎡⎤⎣⎦ .特别地，如果12(cos i sin )n z z z r θθ====+ ，那么()()cos isin cos isin nn r r n n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误．．的是（）A ．若cosi sin66z ππ=+，则413i22z =-+B ．若cos i sin 55z ππ=+，则51iz =+C ．若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1266i z z ⋅=+D ．若123233cos i sin 1212z ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12636i z z ⋅=-29．cos sin i e i θθθ=+（θ∈R ，i 是虚数单位，e 是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）A ．对任意的θ∈R ，i e 1θ=B ．i e 在复平面内对应的点在第一象限C ．iπe 10-=D ．()i i i e e e αβαβ+=30．任何一个复数i z a b =+（其中,a b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：(cos si )i n z r θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：*[(cos isin )](cos isin )()n n n z r r n n n N θθθθ=+=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22||z z =B ．当2r =，6πθ=时，13iz =-C ．当1r =，3πθ=时，31z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数31．已知复数22cos isin 33z ππ=+，则下列关于复数z 的结论中正确的是（）A ．||1z =B ．44cos i sin 33z ππ=+C ．复数z 是方程310x -=的一个根D ．复数z -的辐角主值为23π-三、填空题32．设13i 22ω=-+，则10ω=______．33．已知z 的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是______．34．计算：5ππ3cos isin55⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．35．已知复数z 满足||5,arg arctan 2z z ==．若z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则b c +=______．36．任意一个复数Z 都可以表示成三角形式即i (cos isin )a b r θθ+=+.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示）()1111z cos i sin r θθ=+，()2222z cos i sin r θθ=+，则：()()12121212z z cos isin r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦，”已知复数13i 22z =+，则17z z +=______.37．计算：553cos i sin 2cosi sin 3366ππππ⎛⎫⎛⎫+÷+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．(用代数形式表示)38．将复数z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化为代数形式为________．四、解答题39．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π．(1)观察()2cos i sin cos 2i sin 2θθθθ+=+，()3cos i sin cos 3i sin 3θθθθ+=+，()4cos i sin cos 4i sin 4θθθθ+=+，…猜测：()cos i sin nθθ+（直接写出结果）；(2)若复数3i z =-，利用（1）的结论计算10z ．40．复数ω的辐角主值是34π，且22()i ωωω+-为一实数，求复数ω．41．已知()1f z z =-，且()1244i f z z -=+，若122i z =-．(1)求复数1z 的三角形式与1arg z ；(2)求1212z z z z -+．42．在复平面内，设复数z 对应向量1OZ ，它的共轭复数z 对应向量2OZ．(1)若复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，求出实数k 的取值范围，并用k 表示||z z -；(2)若i 12z =+，且P 点满足122Z P PZ =，求1POZ 的重心G 所对应的复数G z ；(3)若cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，可知θ在变化时会对应到不同的复数z ，若取不同的[0,2π)i θ∈，1,2,3,4i =，使得其所对应的复数i z 满足410i i z ==∑，求证：1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．高中数学复习：复数的三角形式答案1．C【分析】逐一计算每个选项即可得答案.【详解】对于A ：13cos isin πi 2π332⎛⎫⎛⎫-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于B ：5π5π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合；对于C ：13cos isin i 33π22π⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合；对于D ：11π11π13cos isin i 3322⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，符合2．B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：cos 2isin 2cos 2isin 2cos3isin 3cos isin cos()isin()θθθθθθθθθθ++==+--+-，因为54ππθ<<，所以15334θππ<<，所以7324θππ<-π<，所以该复数的辐角主值为32θπ-．3．C【分析】根据复数的三角形公式(cos i sin )z r θθ=+可求解.【详解】解：22222222i22i (2)(2)(2)(2)(2)(2)⎡⎤⎢⎥-=+-⨯-⎢⎥+-+-⎣⎦22772i 2cos i sin 2244ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．A【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数31i cos i sin 2266z ππ=+=+，因此，复数31i 22z =+的辐角主值为6π.5．D【分析】由已知得到向量OP 对应复数，并求出OP的模，再表示成(cos i sin )r θθ+的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在02π～范围的辐角主值．【详解】因为复数3i --的共轭复数为3i -+，即向量OP对应的复数为3i z =-+，2OP z ∴==uu u r ，312i 22z ⎛⎫∴=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 的幅角主值为56π即OP 对应复数的幅角主值为56π【点睛】方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．6．B【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.【详解】i e cos isin θθθ=+ ，i 613ecos isin i6622πθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ1cos 62π2π63π3sin 62k θπθθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪∴⇒+=+⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩()26k k θπ∴=+∈Z π，7．C【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i --===--++，故22551i 2i 2cos πisin π2244z ⎛⎫⎛⎫=--=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π4θ=.8．(1)6(2)2i (3)i (4)3131i 22-+-【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)ππππππππ3cos isin 2cos isin 6cos isin cos +isin 66666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ6cos isin 66666⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ππππ6cos isin 3cos isin 3366⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππππππ2cos isin cos isin 2cos isin 2i336262⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)13ππ2π2πππi cos isin cos isin cos +isin 22663366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcos isin i 22=+=(4)()ππππππ1i cos isin 2cos sin cos isin 664466⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷+=-+-÷+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ2cos sin 4646⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2321232131312i i 2222222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯-⨯+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.9．（1）13i -+；（2）()1cos sin i rθθ-【分析】（1）由复数三角形式的除法公式直接可求；（2）1可看作11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，结合复数三角形式的除法公式即可求解.【详解】由()()11112222cos sin ,cos sin z r i z r i θθθθ=+=+，则()()()()11111121222222cos sin cos sin cos sin r i z r i z r i r θθθθθθθθ+==-+-⎡⎤⎣⎦+进行计算即可：（1）因为()()cos320cos 40,sin 320sin 40︒=-︒︒=-︒所以4(cos80°＋i sin80°)÷[2(cos320°＋i sin320°)]()()4cos 8040sin 8040132i i =︒+︒+︒+︒=-+⎡⎤⎣⎦；（2）因为()z r cos isin θθ＝＋,令11z =，即()1,0，1z 对应的辐角为0，所以()()()1111cos 0sin 0cos sin z i i z z r r θθθθ⎡⎤==-+-=-⎣⎦【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.10．B【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【详解】A ：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π整数倍，错误；B ：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C ：0(cos isin )0θθ⨯+=其中R θ∈，故实数0能写成三角形式，错误；D ：复数0的辐角主值不唯一，错误.11．D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】222(sin 30i cos30)22(cos300isin 300)z =︒-︒=︒+︒ ，122(cos 60isin 60)22(cos300isin300)z z ︒︒+︒⋅=+⋅︒∴()()4cos 60300isin 60300=︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()4cos360isin360=︒+︒()4cos 0isin 0=︒+︒.12．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①iπe 1cosπisinπ111=0+=++=-+②ππ2π2π9π9πcos isin cos isin cos isin 101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π2π9ππ2π9π9πi +++i i i i 10101010101029π9π=e e e e e cos isin i 22⎛⎫ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯===+= 则①②均正确13．A 【分析】由已知，可根据题意直接表示出22z z，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数cos67.5isin 67.5z ︒︒=+，2222222(cos 67.5sin 67.5)cos 67.5sin 67.52cos 67.5isin 67.5z z ︒︒︒︒︒︒+=-+ 1122i cos135isin1352222i 22︒︒===--+-+14．A【分析】求出复数z 的模与辐角主值，从而即可求解.【详解】解：设复数z 的模为r ，则220(4)4r =+-=，3arg 2z π=，所以复数4i z =-的三角形式为334cos isin 22z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．15．【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；证法2，等价转化为证明两个复数相乘；（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出1z，再化为三角形式.【详解】（1）证法1：左边cos 0isin 0cos(0)isin(0)cos isin cos isin θθθθθθ+==-+-=-=+右边证法2：22(cos isin )(cos isin )cos (isin )θθθθθθ+-=- 22cos sin 1θθ=+=，1cos isin cos isin θθθθ∴=-+∴原等式成立.（2）①ππ4cos i sin 1212z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，111ππ123π23πcos isin cos isin ππ41212412124cos isin 1212z ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，1z ∴的模为14，辐角为23π2π,Z 12k k +∈.②ππcos isin 66z =-时，11ππcos isin ππ66cos isin 66z ==+-.1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 6k k +∈.③2(1i)2z =-时，1222ππi cos i sin 1i 2244z ==+=+-，1z ∴的模为1，辐角为π2π,Z 4k k +∈.16．【分析】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；（2）利用复数的三角运算求出2ω，进而可得21ωω++的值.【详解】（1）132π2πi cos isin 2233ω=-+=+ 332π2π2π2π(cos isin )cos(3)isin(3)cos 2πisin2π13333ω=+=∴⨯+⨯=+=，236322()()11ωωω====，311=，所以ω，2ω，1都是1的立方根；（2）222π2π2π2π4π4π13(cosisin )cos(2)isin(2)cos isin i 33333322ω=+=⨯+⨯=+=-- ，2131311i i 02222ωω∴++=-+--=17．C【分析】根据虚数不能比较大小判断A ，取0z =可判断B ，根据复数模的性质判断C ，取特例可判断D.【详解】当z 为实数时，12z z z z +>+成立，否则不成立，故A 错误；当0z =时，满足0z z +=，但z 不为纯虚数，故B 错误；当120z z =时，2211||0||||z z z z ==，故1||0z =或2||0z =，所以10z =或20z =，故C 正确；当120,i z z ==时，120z z z ==，π002∴≠+，即12arg arg arg z z z ≠+，故D 错误.18．D【分析】对于A ，由πi 2e i =，其虚部为1，可判断A ；对于B ，3πi 422ei 22=-+，判断B ；对于C ，i 22e cos sin 1x x x =+=，判断C ；对于D,求得πi 3e ，结合共轭复数的概念即可判断.【详解】对于A ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，其虚部为1，故A 错误；对于B ，3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，故B 错误；对于C ，i e cos i sin x x x =+，则i 22e cos sin 1x x x =+=，故C 错误；对于D,πi 3cos is ππ13e i 33n 2i 2=+=+，故πi 3e 的共轭复数为13i 22-，D 正确，19．C【分析】根据iθe cosθi sin θ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为iθe cosθi sin θ=+所以πi 2ππe cos +isin i 22==，故A 正确πi 4ππ22e cos +isin +i 4422==，22πi 422e +122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确3213i 13i 13i 13i 13i 122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫------==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误πi πi 44ππππcos isin cos isin e eπ4444cos 224-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确20．D 【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.【详解】()()()()cos 25isin 25cos50isin 50cos 2550isin 2550z =++=+++ cos75isin 75=+ .21．B【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：3i e cos3isin 3=+，又3rad 357.3171.9≈⨯= ，为第二象限角，故cos 30,sin 30<>，故3i e 在复平面内对应的点()cos3,sin3位于第二象限.22．B【分析】根据复数乘法运算的三角表示即可得出结果.【详解】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°．23．BC【分析】根据欧拉公式写出2i e cos 2isin 2=+、i 2e cos isin 22πππ=+、6e cos isin 66i πππ=+，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.【详解】由题知2i e cos 2isin 2=+，而cos20<，sin 20>，则复数2i e 对应的点位于第二象限，故A 错误；i 2e cos isin i 22πππ=+=，则i 2e π为纯虚数，故B 正确；ie cos isin (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos i 443i 3i(3i)(3i)x x xx x x x x x ++-+-===++++-，则i e 3i x +的模为2222223cos sin 3sin cos 3cos sin 3sin cos 144162x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；631e cos isin i 6622i πππ=+=+，其共轭复数为31i 22-，故D 错误．24．BCD【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A ：3i e cos3isin 3=+，因为32ππ<<，所以sin 30>，cos 30<，所以3i e 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A 错误；对于B ：i e 1cos i sin 1110πππ+=++=-+=，故B 正确；对于C ：333i i 313i cos isin e e cos isin 12233ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：由i cos isin e θθθ=+，i n e cos()isi ()cos isin θθθθθ-=-+-=-，所以i i 2co es e θθθ-=+，所以i i e e cos 2-+=θθθ，选项D 正确；25．AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 2i 2cos isin 2233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以B 正确，而7π7πsin i cos 661313i 2i 222⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故C 正确.26．CD【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．【详解】由于5i 65531cos i sin e i 6622πππ=+=-+，所以A 错误；i e cos isin 1πππ=+=-为实数，故B 错误；复数ie 1i x +的模长为|cos isin |12|1i |22x x +==+，故C 正确；42i i 331313e 1i i 102222e ππ⎛⎫++=--+-++= ⎪ ⎪⎝⎭，D 正确．27．ABD【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A ：因为复数i 2e cos sin 22πππ=+=i i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数i2cos 2isin2e =+，因为cos 20,sin2>0<，所以复数i2e 对应的点为()cos 2,sin2位于第二象限，B 正确；对C ：复数i 313e is i cos in 3322πππ++==的共轭复数为13i 22-，故选项C 错误；对D ：复数i )cos i e sin (θθθθ+∈=R 在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ，因为22cos sin 1θθ+=，所以复数i e ()θθ∈R 在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确.28．BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若cosi sin 66z ππ=+，则44413cos isin i 6622z ππ=+=-+，所以该选项正确；B.若cos i sin 55z ππ=+，则5cos i sin 1z ππ=+=-，所以该选项错误；C.若1772cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，211113cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12336cos isin 6i 22z z ππ⎛⎫⋅=+=- ⎪⎝⎭，所以该选项错误；D.123233cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，24cos i sin 44z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12131312cos isin 636i 66z z ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以该选项错误.29．ABD【分析】根据已知的欧拉公式，利用复数和三角函数的性质直接带入运算即可.【详解】对于A 选项，i 22e cos cos sin 1isin θθθθθ=+=+=，正确；对于B 选项，i e cos11isin =+，而cos10,sin10>>，故i e 在复平面内对应的点(cos1,sin1)在第一象限，正确；对于C 选项，iπe 1cos ππ12,isin -=+-=-错误；对于D 选项，()()i i e e cos cos isin isin αβααββ=++=2cos cos cos cos i sin sin isin isin αββααβαβ+++=()cos cos sin sin sin cos sin cos iαβαββααβ-++=()()cos isin αβαβ+++()i e αβ+=，正确.30．AC【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【详解】对于复数i z a b =+有，()2222i 2iz a b a b ab =+=-+222z a b ∴=+，而222z a b =+，所以选项A 正确；根据复数的三角形式，π26r θ==，时，ππ2cos 3i 66z isin ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭此时，3i z =-，选项B 错误；π13r θ==，时，ππ13cos i 3322z isin =+=+根据棣莫弗定理，()331z r cos isin ππ=+=-，所以选项C 正确；π14r θ==，时，ππcos 44n n n z isin =+，n 为偶数时，设2,*n k k Z =∈,ππcos,*22n k k z isin k Z =+∈，所以k 为奇数时，n z 为纯虚数；k 为偶数时n z 为实数，选项D 错误.31．ABC【分析】利用复数的三角运算及得复数的几何意义，即可得到答案；【详解】 13i 22z =-+，∴13||144z =+=，故A 正确； 1344i cos isin 2233z ππ=--=+，故B 正确； 366cos sin 133z i ππ=+=，∴310z -=，故C 正确； 13i 22z -=-，∴复数z -的辐角主值为53π，故D 错误；32．13i 22-+【分析】将复数ω表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简10ω.【详解】因为132π2πi cos isin 2233ω=-+=+，所以，101020π20π2π2π13cos isin cos isin i 32π2πcos isin 3333322ω⎛⎫==+=+=-+ ⎪⎝⎭+.33．7π4【分析】根据复数的三角表示可得22i 22z r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，从而可得其共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得共轭复数的辐角主值.【详解】解：z 的辐角主值是π4，则ππ22cos isin i 4422z r r ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0r >，所以共轭复数227π7πi cos sin i 2244z r r ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则共轭复数的辐角主值是7π4.34．243-【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可.【详解】解：()55ππππ3cos isin 3cos 5isin 5243cos πisinπ2435555⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦35．9【分析】根据题意求出12z i =+，然后根据z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根即可求解.【详解】设i(R,R)z x y x y =+∈∈，因为arg arctan 2z =，所以2y x=，且复数z 在第一象限，又复数z 满足|z |5=，所以12z i =+，因为z 是实系数一元二次方程230x bx c ++=的一个根，则有23(12i)(12i)0b c ++++=，也即(122)i -90b b c +++=，所以122090b b c +=⎧⎨+-=⎩，则9b c +=，36．1【分析】将z 化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简17z z +，即可得结果.【详解】由13cos sin 2233ππz i i =+=+，所以1716ππ16π16π(1)(cosisin )(cos isin 1)3333z z z z +=+=+++，而16π16π4π4π135π5πcos isin 1cos isin 1i cos isin 33332233++++==+=-，所以17ππ5π5πcos i sin cos i sin cos 2πi sin 2π13333z z ⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.37．3i 2-【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可.【详解】553553cos isin 2cos isin cos isin 336623636ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+÷+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33cos isin i 2222ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦38．1－i【分析】计算出三角函数值后化简即可.【详解】z ＝ππ2cos 44isin ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ222(cos isin )2(i)1i 4422=-=-=-．39．(1)cos isin n n θθ+(2)5125123i+【分析】（1）观察规律即可得；（2）由特殊角三角函数得11π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.【详解】（1）由观察得()cos i sin cos i sin nn n θθθθ+=+；（2）3111π11π3i 2i 2cos i sin 2266z ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）得10101011π11π2cos i sin 66z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1011π11π2cos10i sin1066⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭1055π55π2cos isin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10ππ2cos 18πisin 18π33⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦10ππ2cos i sin 33⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10132i 22⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭5125123i+=40．1iω=-+【分析】根据辐角主值的定义，写出ω的表达式，并带入化简22()i ωωω+-，结合22()i ωωω+-为一实数求出参数2r =，进而得到ω的值.【详解】∵复数ω的辐角主值是34π，且3π23π2sin ,cos 4242==-，22i 22r r ω∴=-+，22i 22r r ω∴=--，22222i i 22r r r ω⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2222i+2(i i)2()2222i 22r r r i r r ωωω--+-+-∴=--()()2222222222+2i 22r r r r r r r r r ⎡⎤+-++-+-⎢⎥⎣⎦=，22()i ωωω+- 为实数，()2222+202r r r r ∴-+-=，整理得：()220r -=，2r ∴=，1iω∴=-+41．(1)17π7π22cos i sin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，17πarg 4z =(2)41【分析】（1）求出复数1z 的模和辐角主值后，可得复数1z 的三角形式；（2）根据()1f z z =-，()1244i f z z -=+以及122i z =-求出2z ，将1z 和2z 代入1212z z z z -+可求出结果.【详解】（1）因为122i z =-，所以其模222(2)22r =+-=，设其辐角为θ，则22cos 222θ==，22sin 222θ-==-，因为复数122i z =-对应的点(2,2)-在第四象限，所以1arg z 7π4=，所以复数1z 的三角形式为17π7π22cos isin 44z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()1f z z =-，所以()12121f z z z z -=--121z z =--44i =+，因为122i z =-，所以22i +2144i z --=+,所以232i z =--，所以232z i =-+，所以1212z z z z -+22i 32i 22i 32i -+-=--+54i 1-=-241641=+=.42．【分析】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案；（2）设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 求得21,3x y ==-，由三角形重心坐标公式求得1POZ 的重心G 坐标，由此可得复数G z ；21（3）求得||1z =，说明1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 在单位圆上，再410i i z ==∑取值，说明,AC BD 为单位圆的两直径，即可证明结论.【详解】（1）复数z 是关于x 的方程2240x x k ++=的一个虚根，R k ∈，则1680,2k k =-<> ，即实数k 的取值范围(2,)+∞；解方程2240x x k ++=得4816i 224i 42k k x -±--±-==，不妨令复数224i 2z k -+-=，另一根为224i 2z k ---=，故||24,(2)z z k k -=->.（2）由i 12z =+可知12i z =-，故21(1,2),(1,2)OZ OZ ==- ，设(,)P x y ，则由122Z P PZ = 得(1,2)2(1,2)x y x y --=---，即12(1)22(2)x x y y -=-⎧⎨-=--⎩，解得21,3x y ==-，故2(1,)3P -，故1POZ 的重心G 为202101243,,3339⎛⎫-++ ⎪++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，故24i 39G z =+.（3）由于cos isin ,[0,2π)z θθθ=+∈，则22||cos sin 1z θθ=+=，则1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 都在单位圆上，又410i i z ==∑，则1234cos cos cos cos 0θθθθ+++=且1234sin sin sin sin 0θθθθ+++=，不妨取3142π+,π+θθθθ==，[0,π),1,2i i θ∈=，则,AC BD 为单位圆的两直径，则四边形ABCD 的对角线互相平分且对角线相等，则四边形ABCD 为矩形，即1234,,,z z z z 所对应的点,,,A B C D 可以构成矩形．。

4复数的三角形式与指数形式

4复数的三角形式与指数形式复数的三角形式和指数形式是描述复数的两种不同方式。

三角形式主要通过复数的模和辐角来表示，而指数形式则使用复数的指数函数形式表示。

本文将详细介绍这两种表示方法，并通过示例来说明它们的应用。

1.复数的三角形式：复数的三角形式表示为\[z = ，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]其中，$，z，$表示复数的模，$\theta$表示复数的辐角（也叫幅角或参数角），$i$为虚数单位。

复数的模表示复数的长度，或者可以认为是复数到原点的距离。

复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角（逆时针方向），一般用弧度来表示。

模和辐角可以由复数的实部和虚部计算得到：\[，z， = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}\]\[\theta = \arctan(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)})\]其中，$\mathrm{Re}(z)$表示复数的实部，$\mathrm{Im}(z)$表示复数的虚部。

复数的三角形式具有以下性质：- 相等性质：如果复数$z$和$w$的模和辐角分别相等$，z，=，w，$，$\theta = \phi$，那么$z=w$。

- 乘法性质：两个复数$z_1$和$z_2$的乘积的模等于两个复数的模的乘积，辐角等于两个复数的辐角之和：$，z_1z_2，=，z_1，z_2，$，$\theta_{z_1z_2} = \theta_{z_1}+\theta_{z_2}$。

2.复数的指数形式：复数的指数形式表示为\[z = ，z，e^{i\theta}\]其中，$，z，$和$\theta$的定义与三角形式相同。

指数形式表示复数的主要特点是使用指数函数$e^x$来表示复数。

指数函数可以使用级数展开形式\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]将$ix$代入级数展开式可得：\[e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]因此，复数$，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$可以写成$，z，e^{i\theta}$的形式。

复数的三角形式与极坐标

复数的三角形式与极坐标复数，即由实数部分和虚数部分构成的数，是数学中的一个重要概念。

复数的表示方法有多种，其中三角形式和极坐标是常用的两种方法。

本文将详细介绍复数的三角形式和极坐标，并探讨它们之间的关系。

一、复数的三角形式复数的三角形式是将复数表示为模长和辐角的形式。

我们先来了解一下复数的定义：定义：设实数a和b，其中b不等于0，那么形如z=a+bi的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

对于复数z=a+bi来说，它可以表示为z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r为模长，θ为辐角。

模长r可以通过勾股定理计算得到，即r=√(a²+b²)。

而辐角θ可以通过反三角函数计算得到，即θ=arctan(b/a)。

二、复数的极坐标复数的极坐标是将复数表示为距离原点的距离和与正实轴的夹角的形式。

我们知道，复平面可以看作是一个二维平面，其中横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

复数的极坐标利用了极坐标系的概念。

在极坐标系中，复数z可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模长，θ为复数与正实轴的夹角。

与三角形式类似，模长r可以通过勾股定理计算得到，辐角θ可以通过反三角函数计算得到。

三、三角形式与极坐标的关系复数的三角形式和极坐标都可以用来描述复数，它们之间存在一定的关系。

1. 从三角形式转换到极坐标假设有复数z=a+bi，利用三角函数的定义可以得到：r = √(a²+b²)θ = arctan(b/a)其中，r为复数的模长，θ为复数的辐角。

所以，可以将复数z转换为极坐标表示形式：z=r(cosθ+isinθ)。

2. 从极坐标转换到三角形式假设有复数z=r(cosθ+isinθ)，利用三角函数的定义可以得到：a = rcosθb = rsinθ其中，a为复数的实部，b为复数的虚部。

所以，可以将复数z转换为三角形式表示：z=a+bi。

通过以上的转换关系，可以看出三角形式和极坐标是等价的，它们可以相互转换，灵活使用。

复数的三角形式和指数转换公式

复数的三角形式和指数转换公式
复数的三角形式和指数转换公式
复数是在实数范围之外的数，可以写成 a+bi（其中a和b是实数，i
是虚数单位）。

复数有常见的三种表达方式：代数形式、三角形式和
指数形式，其中三角形式和指数形式适用于分析和计算复数的幅值和
相位角。

三角形式是把复数表示为一个大小为r的向量，它与实轴的夹角为θ（0 ≤ θ ＜2π），表示为r (cos θ + i sin θ)。

其中，r 是复数的模（或幅值），即复数到原点的距离，θ 是向量与正半轴的夹角。

因此，对于任意复数，都有一个唯一的三角形式。

指数形式表示为r e^(iθ)，其中 r 和θ 同上，e 是自然对数的底数。

指数形式可以转换为三角形式，使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ，然后乘上r。

同样，从三角形式到指数形式，可以使用欧拉公式和三角函数的关系，即cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2，sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/2i。

将这
些代入三角形式得到指数形式。

指数形式应用广泛，因为它简洁且易于计算。

复杂的运算可以转换为
求指数函数。

例如，假设要计算z^4，其中z=3(cosπ/4 + i sinπ/4)。

使用指数形式，先将 z 转换为指数形式，得到3e^(iπ/4)，然后计算
3^4，再乘以e^(4iπ/4)。

结果为 -27-27i。

此外，在电路分析、信号处理和量子力学等领域中，指数形式也经常用于描述和计算复数。

复数的三角形式与指数形式

复数的三角形式与指数形式复数是数学中一个重要的概念，用于描述虚数。

复数可以通过两种形式表示，即三角形式和指数形式。

本文将从定义、转换以及应用等角度，详细介绍复数的三角形式与指数形式。

一、复数的定义复数是由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i表示虚数单位。

在复平面中，实数部分与虚数部分分别表示在实轴和虚轴上的坐标。

二、复数的三角形式复数的三角形式使用极坐标系表示，通过表示复数的模和幅角来确定复数的值。

假设复数为z=a+bi，其中a和b为实数，则复数的模r和幅角θ可以通过以下公式计算：r = √(a²+b²)θ = arctan(b/a)这样，复数可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r表示复数的模，θ表示复数的幅角。

三、复数的指数形式复数的指数形式可以利用欧拉公式来表示，欧拉公式是数学中的一个重要公式，表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中i表示虚数单位，e是自然对数的底。

对于复数z=a+bi，我们可以将其表示为re^(iθ)，其中r表示复数的模，θ表示复数的幅角。

四、从三角形式到指数形式的转换复数的三角形式和指数形式之间可以相互转换。

从三角形式到指数形式的转换可以使用欧拉公式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

通过将三角形式的模和幅角代入公式，即可得到相应的指数形式表示。

五、从指数形式到三角形式的转换从指数形式到三角形式的转换可以利用欧拉公式的逆运算，即将指数形式的复数z=re^(iθ)化简为三角形式的表示。

通过取实部和虚部，即可得到对应的三角形式表示。

六、复数的应用复数的三角形式与指数形式在数学和工程上都有广泛的应用。

在电路分析中，复数用于描述电压和电流的相位关系；在信号处理中，复数用于频域分析和滤波等。

综上所述，复数的三角形式与指数形式是描述复数的两种常用表示形式。

三角形式通过模和幅角来确定复数的值，而指数形式则利用欧拉公式表示复数。

复数的三角形式

复数的三角形式与指数形式

复数三角公式

复数的三角形式

复数的三角形式

复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用

复数三角公式

第17讲 复数的三角形式(讲义)解析版

复数的三角形式和欧拉公式

复数的三角表示形式

复数的三角表示

复数的三角形式

高中数学复习：复数的三角形式

4复数的三角形式与指数形式

复数的三角形式与极坐标

复数的三角形式和指数转换公式

复数的三角形式与指数形式

第17讲复数的三角形式(讲义)解析版