数学实验 实验11最速降线

x, 0, a
5
4
1.14997 3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 27 x 6 ^ 2 20 3; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
2 Sum Sqrt d^2 t i 1 t i ^ 2 Sqrt 2 g t i 1 Sqrt 2 g t i , i, 1, 10 ;
FindMinimum ft t , y1, 0.3 , y2, 0.6 , y3, 0.9 , y4, 1.2 , y5, 1.5 , y6, 1.8 , y7, 2.1 , y8, 2.4 , y9, 2.7
Integrate Sqrt 1 gg1 x ^2 2 g gg x , x, a 2, a
1.15943
过点(a/2,2.1)，即上面的m=2.1时
1.20474
沿一条抛物线(过(0,0)(a/2,y)(a,h))
a 3; h 5; g 9.8; m 3.5; f x_
Fit 0, 0 , a 2, m , a, h , x, x^ 2 , x ; f1 x_ D f x , x ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
For k 1, k 10, k ,
n Length lst ; d lst 2, 1 lst 1, 1
2;
med ;
For i 1, i n 1, i ,
y0 lst i, 2 ; y1 lst i 1, 2 ;
f y_ :
2 Sqrt d^2 y y0 ^2
2g ^ 1 2
y^ 1 2 y0 ^ 1 2
x, 0, a
1.17803
沿圆弧(x-14)2+(y+5)2=221 {x,0,3}
a 3; h 5; g 9.8;
f x_ : Sqrt 14^2 25 x 14 ^2 5;
f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ;
NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
1.47686, y1 2.40648, y2 3.62584, y3 4.66055, y4 5.59009, y5 6.43673, y6 7.2272, y7 7.96669, y8 8.67472, y9 9.35019
作近似的最速降线
a 3; h 5; lst 0, 0 , a, h ; g 9.8;8 6 4 21
2
3
4
5
等时曲线 Isochronous curve
R 2.0; g 9.8; x v_ : R v Sin v ; y v_ : R 1 Cos v ; x1 v_ : R 1 Cos v ; y1 v_ : R Sin v ; lst ; For i 1, i 15, i ,
x, 0, a
1.14527
寻找最速降线
求T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小 值点(y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点Pi 等时曲线
运用FindMinimum
Clear y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ; d 0.3; y0 0; y10 10; g 9.8; t y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10 ; ft t_List :
x, 0, a
5
4
1.15383
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
沿折线
a 3; h 5; g 9.8; m 3; ff x_ Fit 0, 0 , a 2, m , 1, x , x ; ff1 x D ff x , x ; gg x_ Fit a 2, m , a, h , 1, x , x ; gg1 x D gg x , x ; Integrate Sqrt 1 ff1 x ^2 2 g ff x , x, 0, a 2
11.1 时间的计算
设A(0,0),B(a,h). 将x区间[0,a]平均分成n段：
xi=ia/n,i=0,1,2,…,n. 曲线上的点Pi(xi,yi)将曲线分成
n段，逐段计算时间T。
沿直线段y=h/a x A(0,0)->B(a,h)
A 0,0 B 3,5 a 3; h 5; g 9.8; f x_ : h a x; NIntegrate Sqrt 1 h a ^2 2 g f x ,
1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923
2020/1/23
精品课件！
2020/1/23
精品课件！
摆线 Cycloid
2
4
6
8
10
12
2 4 6 8
For s 1, s n 1, s , lst Insert lst, 2 s 1 d, med s
, 2s
; p1 ListPlot lst
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 3 4 5
最速降线的形状
2
4
6
8
10
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
旋轮线 Cycloid x R Cos
y R 1 Cos
x, 0, a
5
4
3
1.14456 2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
沿抛物线
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 21 x h ^ 2 125 21; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
Sqrt d ^2 y1 y ^2 2 g ^ 1 2
y^ 1 2 y1 ^ 1 2 ;
x0 y0; x3 y1; Do x1 x0 0.382 x3 x0 ; x2 x0 0.618 x3 x0 ; t1 f x1 ; t2 f x2 ; If t1 t2, x0 x1, x3 x2 , i, 20 ; AppendTo med, x0 x3 2 ; ;
v0 0.2 i; AppendTo lst,
NIntegrate Sqrt x1 v ^2 y1 v ^ 2 Sqrt 2 g y v y v0 , v, v0 0.00000000000001, Pi ;
lst
1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923