北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》PPT课件

A.4年
B.5年 C.6年
D.7年
解析 由图象得 y＝－(x－6)2＋11，令 y＞0 得 6－ 11＜x＜6＋ 11，∴客车有营
运利润的时间为 2 11，又 6＜2 11＜7，故选 D.
答案 D
3.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一 年繁殖数量为100只，则到15年繁殖数量为________只. 解析 f(1)＝100，∴a＝100， ∴f(15)＝100log216＝400. 答案 400
题型一 实际问题的函数刻画 【例1】 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太
阳的平均距离(天文单位)如下表：
行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )
距离 0.7
1.0
1Baidu Nhomakorabea6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现 了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的 位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
长速度的差异，理解“对数增长”、“直线
上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
新知探究
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂 盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛 羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死 了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只 增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中， 种群数量的增长为对数增长.
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少 才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按 你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字).
解 由图表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数模型. 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)； 一次函数的解析式为y＝bx. 把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)， 得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－ 0.15(x－4)2＋2表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.
[微训练]
1.某人从2015年1月1日到银行存入a元，若年利率为x，按复利计算，则2020年1
月1日到期时可取款________元( )
A.a(1＋x)5
B.a(1＋x)6
C.a＋(1＋x)5
D.a(1＋x5)
答案 A
2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运 的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，则客车有营运利润的时间不超过 ()
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
分段函数
f(x)＝acxx＋＋db，，xx≥<mm
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按
§2 实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画
课标要求
素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和
规律的重要工具. 通过本节内容的学习，使学生
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画 体会常见函数的变化异同，提
现实问题的变化规律. 升学生数学抽象、数学建模、
3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增 数据分析等素养.
问题 指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？ 提示 都是增函数，而y＝ax(a>1)时增长速度越来越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞) 上增长速度非常缓慢.
1.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变 量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画 的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式.
【训练1】 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润 列成下表：
投资A种商品 金额(万元) 获纯利润(万元) 投资B种商品 金额(万元) 获纯利润(万元)
1
2
3
4
5
6
0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
1
2
3
4
5
6
0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
2.常见的函数模型 函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝b·ax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
∵f(5)＝256＝5.2，f(6)＝10， ∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6， 所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面是天王星，它与太阳距离大约 是19.6天文单位.
规律方法 建立模拟函数解应用题的一般步骤为： (1)作图：根据已知数据作出散点图； (2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，找出比较接近的 函数模型； (3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式； (4)利用所求得的函数模型解决问题.
解 由数值对应表作散点图如图.
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c. 代入(1，0.7)，(2，1.0)，(3，1.6)得：aabb＋ 2＋cc＝＝01.7.0，，①②
ab3＋c＝1.6，③
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②， 得24aa＋ ＋cc＝ ＝01..70，解得ac＝＝2523，0， ∴f(x)＝230·2x＋25.
九折出售，则每件还能获利.( × ) 2.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20
件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为y＝－4x＋200.( × )
3.在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ ) 提示 1.100×(1＋10%)×0.9－100＝－1. 2.y＝－14x＋50.