2019-2020学年北京师大附中高二(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.命题p：“∀x∈(−∞,0)，3x≥4x”的否定￢p为()A. ∀x∈(−∞,0)，3x<4xB. ∀x∈(−∞,0)，3x≤4xC. ∃ x0∈(−∞, 0), 3x0<4x0D. ∃ x0∈(−∞, 0) , 3x0≤4x02.在等比数列{a n}中，a3=2，a5=8，则a4=()A. 4B. 5C. ±4D. ±53.若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是()A. ab>acB. ac>bcC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c24.设0<x<1，则a=√2x，b=1+x，c=1中最大的一个是()1−xA. aB. bC. cD. 不能确定5.在等比数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于()A. 2nB. 3nC. 2n+1−1D. 3n−16.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=()A. 4B. 2C. −2D. −47.设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积(i=1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是()A. {a n}是等比数列B. a1，a3，…，a2n−1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C. a1，a3，…，a2n−1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D. a1，a3，…，a2n−1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，则a7=______ ．10.若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．11.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1．其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______ .(填序号，只有一个正确选项)12.已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=________．13.等比数列{a n}中，若前n项的和为S n=2n−1，则a+a22+⋯+a n2=______．14.珠海市板樟山森林公园(又称澳门回归公园)的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999−12−20标示澳门回归日，中央靠下有23−50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1 到100 共100 个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2 中对角线上数字(从左上到右下)之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=−a5．(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．16.已知命题：“∃x∈{x|−1<x<1}，使等式x2−x−m=0成立”是真命题，(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x−a)(x+a−2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．17.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可)元．获得利润是100(5x+1−3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18.已知p：(x+1)(2−x)≥0，q：关于x的不等式x2+2mx−m+6>0恒成立．(1)当x∈R时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n−1，n∈N∗.数列{b n}满足b n=1a n −1a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a1、d和T n；(2)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围．20.已知无穷数列{a n}(a n∈Z)的前n项和为S n，记S1，S2，…，S n中奇数的个数为b n．(Ⅰ)若a n=n，请写出数列{b n}的前5项；(Ⅱ)求证：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若a i=b i，i=1，2，3，…，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则￢p：∃ x0∈(−∞, 0), 3x0<4x0，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a5=a3⋅q2，所以q=±2，都符合题意，所以a4=a3⋅q=±4，故选：C．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5=a3⋅q2，解可得q的值，代入通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用．3.【答案】A【解析】解：a>b>c且a+b+c=0，∴a>0>c，b∈R．∴ab>ac，ac<bc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定．则上述不等式中正确的是A．故选：A．a>b>c且a+b+c=0，可得a>0>c，b∈R.利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<x<1，∴1+x>2√x=√4x>√2x．∵1+x −11−x =1−x 2−11−x=−x 21−x<0，∴1+x <11−x．故选：C ．先由基本不等式确定a ，b 的大小，再对b ，c 作差比较即可．本题主要考查比较几个数的大小问题．比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成．5.【答案】B【解析】解：因数列{a n }为等比，则a n =3q n−1， 因数列{a n +1}也是等比数列， 则(a n+1+1)2=(a n +1)(a n+2+1)∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2∴a n +a n+2=2a n+1 ∴a n (1+q 2−2q)=0 ∴q =1 即a n =3， 所以s n =3n ， 故选：B ．根据数列{a n }为等比可设出a n 的通项公式，因数列{a n +1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出s n ． 本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．6.【答案】D【解析】解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，可设a =b −d ，c =b +d ，由题设得，{b −d +3b +b +d =10(b −d)2=b(b +d)， 解方程组得{b =2d =6，或{b =2d =0，∵d ≠0， ∴b =2，d =6，因为a ，b ，c 成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b −d ，b ，b +d ，再根据已知条件寻找关于b ，d 的两个方程，通过解方程组即可获解．此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x −d ，x ，x +d ．7.【答案】D【解析】解：依题意可知A i =a i ⋅a i+1， ∴A i+1=a i+1⋅a i+2， 若{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i=q(q 为常数)，则a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比均为q ； 反之要想{A n }为等比数列则A i+1A i=a i+2a i需为常数，即需要a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等；故{A n }为等比数列的充要条件是a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同． 故选D根据题意可表示A i ，先看必要性，{A n }为等比数列推断出a i+2a i为常数，可推断出a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要a i+2a i为常数，即a 1，a 3，…，a 2n−1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．8.【答案】B【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t(万元)， 分流后剩余(100−x)人每年创造的产值为(100−x)(1+1.2x%)t ， 则由{0<x <100(100−x)(1+1.2x%)t ≥100t ，解得：0<x <503．∵x ∈N ，∴x 的最大值为16． 故选：B ．不减少，可列不等式组求解．本题考查数学建模思想方法，关键是考查学生理解题意的能力，是中档题．9.【答案】1【解析】解：由a n+1=a n +a n+2，得a n+2=a n+1−a n ，所以a 3=a 2−a 1=1，a 4=a 3−a 2=1−2=−1，a 5=a 4−a 3=−1−1=−2，a 6=a 5−a 4=−2−(−1)=−1，a 7=a 6=a 5=−1−(−2)=1． 故答案为：1．根据递推公式a n+1=a n +a n+2，得a n+2=a n+1−a n ， 把a 1=1，a 2=2带入可依次求出前7项，从而得到答案．本题考查数列的递推公式，数列的递推公式是给出数列的一种方法．10.【答案】4【解析】解：若实数x ，y 满足xy =1， 则x 2+4y 2≥2x ⋅2y =4xy =4，当且仅当x =2y =±√2时，上式取得最小值4． 故答案为：4．运用不等式a 2+b 2≥2ab(当且仅当a =b 取得等号)，计算可得所求最小值． 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】③【解析】解：关于①，a +b >1，可取a =23，b =23，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”；关于②，a +b =2，可取a =1，b =1，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于④，a 2+b 2>2，可取a =−2，b =−2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”； 关于⑤，ab >1，可取a =−2，b =−2，不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”． 关于③，若a +b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的． 证明如下：假设a ≤1且b ≤1， 则a +b ≤2．与已知条件“a +b >2”矛盾，故选③．本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2.”，由些推理可得到正确结论．本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例．本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题．12.【答案】64【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．依题意，a1=1，(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)，又a1=1，∴d2−2d=0，公差d≠0，∴d=2，∴其前8项和S8=8a1+8×72×d=8+56=64．故答案为：64．13.【答案】43(4n−1)【解析】解：∵a1=S1=1，a2=S2−S1=3−1=2，∴公比q=2．又∵数列{a n2}也是等比数列，首项为a12=1，公比为q2=4，∴a12+a22+⋯+a n2=1×(1−42)1−4=43(4n−1)故答案为：43(4n−1)由已知可得等比数列{a n}的首项和公比，进而可得数列{a n2}也是等比数列，且首项为a12=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题．14.【答案】505【解析】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505， 故答案为：505．将图中对角线上数字从左上到右下相加即可．本题考查了简单的合情推理问题，考查n 阶幻方，是一道基础题．15.【答案】解：(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若S 9=−a 5，则S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，变形可得a 5=0，即a 1+4d =0，若a 3=4，则d =a 5−a 32=−2，则a n =a 3+(n −3)d =−2n +10； (2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，当n =1时，不等式成立，当n ≥2时，有nd2≥d −a 1，变形可得(n −2)d ≥−2a 1， 又由S 9=−a 5，即S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，则有a 5=0，即a 1+4d =0， 则有(n −2)−a 14≥−2a 1，又由a 1>0，则有n ≤10， 则有2≤n ≤10，综合可得：1≤n ≤10.n ∈N ．【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题．(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，由S 9=−a 5，即可得S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，变形可得a 5=0，结合a 3=4，计算可得d 的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；(2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，分n =1与n ≥2两种情况讨论，求出n 的取值范围，综合即可得答案．16.【答案】解：(1)命题：“∃x ∈{x|−1<x <1}，使等式x 2−x −m =0成立”是真命题，等价于∃x ∈{x|−1<x <1}，使得m =x 2−x =(x −12)2−14，∵−1<x <1， ∴−14≤m <2，M ={m|−14≤m <2}. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，①当a >2−a ，即a >1时，N ={x|2−a <x <a}， 则{2−a <−14a ≥2a >1，解得a >94；②当a <2−a ，即a <1时，N ={x|a <x <2−a}， 则{a <1a <−142−a ≥2，解得a <−14；③当a =2−a 即a =1时，N =⌀，此时不满足条件， 综上可得，a 的取值范围是(−∞,−14)∪(94,+∞)．【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次不等式求解，集合之间包含关系的应用，考查了特称命题与必要条件，考查了分类讨论思想，属于中档题．(1)利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；(2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，分类讨论即可求解，17.【答案】解：(1)由题意可得：200(5x +1−3x )≥3000，即5x −3x ≥14，解得x ≥3，又1≤x ≤10， ∴3≤x ≤10．(2)设生产1200千克产品的利润为y ， 则y =100(5x +1−3x )⋅1200x=120000(−3x 2+1x +5)=120000[−3(1x −16)2+6112]，∴当1x =16即x =6时，y 取得最大值610000．故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．【解析】(1)根据题意列不等式求出x 的范围即可；(2)设总利润为y ，得出y 关于x 的函数解析式，配方得出最大值即可． 本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵4m 2+4m −24<0，∴m 2+m −6<0，∴−3<m <2， ∴实数m 的取值范围为：(−3,2)． (2)p ：−1≤x ≤2，设A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2+2mx −m +6>0}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B①由(1)知，−3<m <2时，B =R ，满足题意；②m =−3时，B ={x|x 2−6x +9>0}={x|x ≠3}，满足题意； ③m =2时，B ={x|x 2+4x +4>0}={x|x ≠−2}，满足题意； ④m <−3，或m >2时，设f(x)=x 2+2mx −m +6， f(x)对称轴为x =−m ，由A ⊊B 得 {−m <−1f(−1)>0或{−m >2f(2)>0， ∴{m >1−3m +7>0或{m <−23m +10>0，∴1<m <73或−103<m <−2，∴−103<m <−3或2<m <73综上可知：−103<m <73【解析】(1)由△<0得含m 的不等式，解之得m 的取值范围；(2)把p 是q 的充分不必要条件转化为由A ⊊B ，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m 的取值范围．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵a 12=S 1=a 1，a 1≠0，∴a 1=1.….(1分) ∵a 22=S 3=a 1+a 2+a 3，∴(1+d)2=3+3d ，∴d =−1，2，当d =−1时，a 2=0不满足条件，舍去． 因此d =2.….(4分)∴a n =2n −1，∴b n =12n−1−12n+1，∴T n =2n2n+1.….(6分) (2)当n 为偶数时，λ⋅2n2n+1<n +8，∴λ<(2n+1)(n+8)2n =12(2n +8n +17)，∵2n +8n ≥8，当n =2时等号成立，∴12(2n +8n +17)最小值为252，因此λ<252.….(9分)当n为奇数时，λ<(2n+1)(n−8)2n =12(2n−8n−15)，∵2n−8n 在n≥1时单调递增，∴n=1时12(2n−8n−15)的最小值为−212，∴λ<−212.….(12分)综上，λ<−212.….(14分)【解析】(1)利用a n2=S2n−1，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；(2)分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题．20.【答案】解：(I)a n=n，S n=n(n+1)2．∴S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15．∴b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．证明：(II)(充分性)∵a1是奇数，a i(i=2,3，4…)为偶数，∴对于任意i∈N∗，S i都是奇数，∴b n=n，∴数列{b n}是单调递增数列．(不必要性)当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i=2,3，4…)均为奇数，∴b n=n−1，数列{b n}是单调递增数列，∴“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的不必要条件．综上，：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)(1)当a k为奇数时，若S k为偶数，若a k+1是奇数，则S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为偶数，与a k+1=b k+1矛盾；若a k+1为偶数，则S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为奇数，与a k+1=b k+1矛盾．∴当a k为奇数时，S k不能为偶数；(2)当a k为偶数，若S k为奇数，若a k+1为奇数，则S k+1为偶数，∴b k+1=b k=a k为偶数，与a k+1=b k+1矛盾，若a k+1为偶数，则S k+1为奇数，∴b k+1=b k+1=a k+1为奇数，与a k+1=b k+1矛盾，∴当a k为偶数时，S k不能是奇数．综上，a k与S k同奇偶，∵a1=b1=S1为偶数，且0≤b1≤1，∴b1=a1=0，∵a2=b2≤b1+1=1，且b2≥0，∴b2=a2=0，以此类推，得到a n=0．.由此能写出数列{b n}的前5项．【解析】(I)推导出a n=n，S n=n(n+1)2(II)先证充分性，推导出b n=n，从而数列{b n}是单调递增数列；再证不必要性，当数列{a n}中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，S i(i=2,3，4…)均为奇数，b n= n−1，数列{b n}是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，a i(i=2,3，4，…)为偶数”是“数列{b n}是单调递增数列”的充分不必要条件．(Ⅲ)当a k为奇数时，推导出S k不能为偶数；当a k为偶数，推导出S k不能是奇数，从而a k 与S k同奇偶，由此得到a n=0．本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。