张量分析基础
02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
c ab
ba
c a b (eijk a jbk )ei
ci a jbk eijk a jbk e jki
37
符号ij 与erst
★
a b a b cos
c ab
★
★
a b a b sin
(a b) a (a b) b 0
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围
和 i 相同。
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j,
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标,
, , …均为二维指标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u=ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
张量入门
3
2 33
ii
2
2 ii ( 11 22 33 ) i 1
3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自源自标号的数 量确定张量的阶次。◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 Ai j ， 就表示对一阶张量 Ai 的每一个分量对坐标参数
xj求导。
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
算子 i 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
★
关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii a a a
2 11 2 22
2
2
2 33
2
(aii ) (a11 a22 a33 )
张量分析基础
3
3
aklik i
k 1
k 1
i1
i1 k 1
x3
A
P
S P
x2
OO
x2
比较式（d）左端：
x1 x1
3
3
aii akk
i1
k 1
（d）
得到：
3
ai aklik k 1
3
ak ailik i1
33
F
aiji j
i1 j 1
保持不变，则称取决于两个下标 i、j 的9个量 aij 的集合为二阶张量。 aij 中的每一个量被称为此张量（对指定坐标系）的分量。如：
ij —— 应力张量， ij —— 应变张量
二阶张量的变换规律：
由题设条件，当坐标系变换时，有：
3 3
33
i1
k 1
3
将式（b）： i likk k 1
代入式（d）等号的左边，有
（d） （b）
设 (1,2 ,3 )、 (a1, a2 , a3 ) 和 (1 ,2 ,3 )、(a1 , a2 , a3 )分别为
两种坐标系中的分量， 根据题设，它们之间应有
x1
x2
x3
x1
l11
l12
l13
x2
l21
l22
l23
x3
l31
l32
l33
1,2 ,3 变换关系 1 ,2 ,3
1 l111 l21 2 l313
2 l121 l22 2 l323 3 l131 l23 2 l333
3
3
aii akk
x3
（d）
第一章 张量分析初步
eijk eijk 6
证明见例题
eijk与ij间的关系
由排列符号的性质 : ei e j eijk ek
ei e j • ek eijk
由于ei e j • ek表示的是混合积,其物理意义是单位立方体的体积.
另外,由矢量分析知, 平行六面体的体积可以表示成其三个棱的行
i e1, j e2, k e3
X1
X3 P(x1, x2, x3)
O
X2
➢ 再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)
➢ 基向量：ei, i=1,2,3 ei ➢ 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值
列式形式.
eeij
(i1, ( j1
i2,i3 , j2,
)
j3
)
ek (k1,k 2 ,k3)
ei,ej,ek为3个单位基向量， i,j,k互不相等。
i1 i2 i3 ei e j • ek j1 j2 j3 eijk
k1 k2 k3
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? 可总结为：aij x j bi
aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
两种方式:
将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；
只有当i=j时ij才不等于“0”，
∴
a j ij ai ii ( ii不求和) ai
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
学习张量必看一个文档学会张量张量分析
Appendix A.1
张量基本概念
➢ 指标符号使用方法
1. 三维空间中任意点 P 旳坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 旳分量旳点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：假如符号 旳两个指标中，有一种和同项中其他
因子旳指标相重，则能够把该因子旳那个重指标换成
旳另一种指标，而 自动消失。
30
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jkkl il
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特征
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称旳，即
ij ji
29
符号ij 与erst
2. ij 旳分量集合相应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
27
目录
引言 张量旳基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量旳分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
Appendix A
28
符号ij 与erst
➢ ij 符号 (Kronecker delta)
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
第一章张量分析基础知识
第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。
最基础最全张量分析
A 张量分析
T A B ( Aij Bij )eie j Tijeie j
二、矢量与张量的点积(点乘)
矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶
左点乘
a T (aiei ) (Tjk e jek ) aiTjk ijek b
第23页/共85页
§A-4 张量的代数运算
第20页/共85页
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei eii i
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk eie jek )(Brstereset )
Aijk Brst jr kseiet Aijk B jkteiet S
第28页/共85页
§A-4 张量的代数运算 六、张量的双叉乘
A 张量分析
A 张量分析
右点乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akei jk
Tij a jei c
aT T a
对称张量两 者才相等
第24页/共85页
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原 张量同阶
左叉乘
a T (aiei ) (Tjk e jek ) aiTjk eijr erek eijr aiTjk erek A
§ A-1 指标符号 一、求和约定和哑指标
张量分析基础
二阶张量的表示
P1 T11 P = T 2 21 P3 T31 T12 T22 T32 T13 Q1 T23 Q 2 T33 Q 3
傀标表示必须成对出现
爱因斯坦求和规则：傀标表示法
Pi =
∑T Q
j =1 ij
3
j
( i = 1, 2 ,3) ( i , j = 1, 2 ,3)
x1* a11 * x 2 = a 21 * x 3 a 31
a12 a 22 a 32
a13 x1 a 23 x 2 a 33 x 3
Neuman原理
物质张量、场张量
— 物质张量是建立晶体在外场作用下的响应与外场之间关系的物理性 能，物质张量受到晶体对称性的制约，如弹性系数 — 场张量：外场张量及晶体对外场响应后所产生的新的物理量，不受 晶体对称性的制约，如应力、电场 — 晶体响应，受外场、物理性能和晶体对称性的共同影响，如应变
—二次曲面方程系数与张量分量 具有相同的变换规律； —二次曲面方程称为张量S的示 性二次曲面； —示性二次曲面可描述具有二阶 对称张量性质的物理特性；
示性二次曲面的主轴
二次曲面的主轴方程
S x + S x + S x =1
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
P Q
Neuman原理
— 一个晶体的任何物理性能的对称性必须包括晶体点群的对称性， 即 G物性G点群； — 例1：属于立方晶系的晶体的介电系数可以是各向同性的； — 例2：属于立方晶系的晶体的介电系数不可以只有一个四次对称轴。
晶体对称性对二阶对称张量的制约
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第1章 张量分析基础剖析
张量分析与连续介质力学教材：《The Mechanics and Thermodynamics of Continua》M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010教学参考书：1、《An Introduction to Continuum Mechanics》, M.E. Gurtin, AcademicPress, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，19973、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，20034、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002x vy第一章张量分析基础第一节矢量和张量代数一、矢量代数本课程只在三维欧氏空间 内讨论连续介质力学的基础原理。
1、点——反应一定的空间位置，由x表示2、矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用v来表示。
（两点间的距离可由一矢量表示）（点x和矢量v之和是另一个点y）3、矢量的点积和叉积1）点积（θ为两个矢量间的夹角）u 表示矢量的大小，为一标量，有u u u ⋅=。
2）叉积w v u =⨯ （为一新的矢量）v u ⨯表示由u 和v 构成的平行四边形的面积。
θsin v u v u =⨯且u w ⊥，v w ⊥3）混合积()w v u ⨯⋅()w⋅表示由u，v和w三个矢量围成的体的体积。
vu⨯●如果该体的体积不为零，则称u，v和w线性无关。
●如果对于不为零的常数a，b，c，有：u cabv+w=+则称u，v和w线性相关。
不满足线性相关的矢量则是线性无关的。
4、矢量空间及其性质由欧氏空间ε中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间ν。
如果u，v和w是线性无关的，则{}wu,构成矢量空间ν的基，即ν中任一矢量v,都可以表示为：w v u γβα++=a1） 如果()0>⨯⋅w v u ，则基{}w v ,u,是正向的（右手法则）。
关于张量分析的数学原理和实际应用案例
关于张量分析的数学原理和实际应用案例引言张量分析是一门重要的数学分支，在科学和工程领域有着广泛的应用。
作为一种多维量、多方向、多变量的数据结构，张量在物理、力学、电磁学、地球物理学等领域的描述、建模与计算中起着不可或缺的作用。
本文将介绍张量分析的数学原理以及实际应用案例，旨在帮助读者更好地了解这门学科。
第一部分数学原理1.张量的定义按照一般的定义，张量是一个可用于表示多维量和多向量之间关系的数学对象。
它可以看做是一种多维矩阵，其中每个元素都有多个指标。
与标量和向量不同，张量的指标可以有多个，我们常常用字母来表示。
2.张量的运算在张量分析中，张量的运算包括加、减、乘等。
与标量和向量不同，张量的乘法并不等同于代数乘法，而是采用了一种特殊的“卷积运算”。
例如，两个二阶张量相乘的结果是一个四阶张量。
这种方法既能描述多维多向量之间的关系，又可以实现基本的数学运算。
3.张量的变换由于张量具有多个指标，所以张量的变换涉及到各个指标的变化。
例如，一个二阶张量在坐标系变换后，其各个分量会发生相应的变化。
我们可以通过矩阵变换来描述张量的变换规律。
这一点在物理领域的应用尤其常见。
第二部分实际应用案例1. 电磁场模拟电磁场模拟是利用计算机模拟电磁场分布的方法，是工程和科学研究中的一项重要任务。
在这个过程中，张量分析被广泛应用。
例如，可以用张量表示电场强度、磁场强度等物理量，通过各种运算描述它们之间的关系。
同时，也可以用张量来描述电磁波的传播规律，实现电磁场的精确计算。
这种方法被广泛应用于电子器件设计、通讯技术等领域。
2. 生物医学图像处理生物医学图像处理是生物医学领域研究的一个重要方向，包括了图像采集、处理、分析等各个环节。
其中，张量分析被广泛应用于图像处理中。
例如，可以用张量表示医学图像中的像素强度、颜色等信息，通过各种运算分析其空间分布与统计规律，实现对生物组织的诊断、治疗等应用。
这种方法在医学影像学、神经科学等领域有着广泛的应用。
弹塑性力学课件
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein
可以证明坐标转换矩阵具有正交性：βik βjk = βki βkj = δij 。
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
坐标变换
将向量看作 1 阶张量
u∗ j = ui βij
2 阶张量 T 的坐标分量满足 T∗ ij = βik βjl Tkl n 阶张量 R 满足下述坐标转换方程 R∗ i1 ······in = βi1 j1 · · · · · · βin jn Rj1 ······jn 而上述方程，在很多教科书中当作 n 阶张量的定义。
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
张量的并乘（张量积）
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张量的性质
张量的定义
— 张量是与坐标系有联系的一组量，并满足一定的坐标变换规律。
张量的性质
— 任何两个张量相乘所得到的新张量的阶数等于原张量阶数之和； — 两个张量间的比例系数一般是一个张量，其阶数等于原张量阶 数之和； — 张量的变换规律与坐标乘积的变换规律相同； — 变换矩阵与二阶张量的区别
二阶对称张量
δ ij =
1 i = j 0 i ≠ j
[ ]
1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
δ ij Pj = Pi δ ij Pi = Pj
δ ijT jl = Til δ ilT jl = T ji
i, j , k顺序轮换 i, j , k反序轮换 两个以上角标同
反对称三重积
ei × e j = ε ijk e j
傀标
Pi = Tij Q j
自由 下标
[A] + [B][C][D] = [E][F]
Aij + BikCkl Dlj = Eik Fkj
坐标变换
坐标轴变换
e1* a11 * e 2 = a 21 * e3 a 31 a12 a 22 a 32
*∧
X3’
X3
θ23
a13 e1 a 23 e 2 a 33 e3
x1* a11 * x 2 = a 21 * x 3 a 31
a12 a 22 a 32
a13 x1 a 23 x 2 a 33 x 3
Neuman原理
物质张量、场张量
— 物质张量是建立晶体在外场作用下的响应与外场之间关系的物理性 能，物质张量受到晶体对称性的制约，如弹性系数 — 场张量：外场张量及晶体对外场响应后所产生的新的物理量，不受 晶体对称性的制约，如应力、电场 — 晶体响应，受外场、物理性能和晶体对称性的共同影响，如应变
二阶张量的表示
P1 T11 P = T 2 21 P3 T31 T12 T22 T32 T13 Q1 T23 Q 2 T33 Q 3
傀标表示必须成对出现
爱因斯坦求和规则：傀标表示法
Pi =
∑T Q
j =1 ij
3
j
( i = 1, 2 ,3) ( i , j = 1, 2 ,3)
Neuman原理
— 一个晶体的任何物理性能的对称性必须包括晶体点群的对称性， 即 G物性G点群； — 例1：属于立方晶系的晶体的介电系数可以是各向同性的； — 例2：属于立方晶系的晶体的介电系数不可以只有一个四次对称轴。
晶体对称性对二阶对称张量的制约
立方晶系
— 只有1个独立系数
S 0 0
0 SБайду номын сангаас0
0 0 S
单轴晶系(三方、四方、六方)
— 有2个独立系数
S1 0 0
0 S1 0
0 0 S3
正交晶系
— 有3个独立系数
S1 0 0
0 S2 0
0 0 S3
单斜晶系
— 有4个独立系数
S 11 0 S 31
0 S 22 0
S 31 0 S 33
三斜晶系
—二次曲面方程系数与张量分量 具有相同的变换规律； —二次曲面方程称为张量S的示 性二次曲面； —示性二次曲面可描述具有二阶 对称张量性质的物理特性；
示性二次曲面的主轴
二次曲面的主轴方程
S x + S x + S x =1
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
P Q
张量分析基础
Fundamental of Tensor Analysis
Qing-Yu Zhang
State Key Laboratory for Materials Modification by Laser, Ion and Electron Beams
学习与思考
我的物理学家第一定律：“如果没有实验学 家的话，理论学家就倾向于漂浮。” 我的物理学家第二定律：“没有理论学家， 实验学家倾向于摇摆不定。” 李政道
对称张量的主轴化
坐标变换法
2 2 S11 x12 + S 22 x2 + S 33 x3 + 2 S 23 x2 x3 + 2 S 31 x3 x1 + 2 S12 x1 x2 = 1 * * * S1 x1 2 + S 2 x22 + S3 x32 = 1 * * *
特征方程法
S 11 λ S 21 S 31 S 12 S 22 λ S 32 S 13 S 23 S 33 λ =0
二阶对称张量的示性二次曲面
二次曲面方程
2 2 S11 x12 + S 22 x2 + S 33 x3 + 2 S 23 x2 x3 + 2 S 31 x3 x1 + 2 S12 x1 x2 = 1
坐标变换
Sij xi x j = 1
* xi = aki xk
x j = alj xl*
* * * Sij aki alj xk xl* = S kl xk xl* = 1 * S kl = aki alj Sij
二次曲面
— S1>0、S2>0、S3>0：椭球面
— S1、S2、 S3其中之一<0：单叶双曲面 — S1、S2、 S3其中之一>0：双叶双曲面
r S=1/r2
示性二次曲面的性质
— 示性二次曲面上的任意一条径矢长度r等于张量S在该径矢方向上的 量值平方根的倒数。S=1/r2 — 若Pi=SijQj，则对于给定的Q，P平行于Q在示性曲面交点的法向方向
ε ijk
1 = 1 0
二阶张量的变换
P* P → Q Q* P * = AP P = TQ Q = AQ* Pi * = aik Pk Pk = Tkl Ql Ql = a jl Q * j
P * = AT AQ* Pi* = aik Tkl a jl Q* j P * = T*Q* T* = AT A Pi* = Tij*Q * j Tij* = aik Tkl a jl
X2’ X2
θ21 θ22 X1 X1’
a ij = cos( ei e j )
矢量变换
[P
* 1
P2*
e1* * P3* e 2 = P1* * e3
]
[
P2*
a11 P3* a 21 a 31
]
a12 a 22 a 32
a13 e1 a 23 e 2 = P1 a 33 e3
— 有6个独立系数
S 11 S 12 S 31
S 12 S 22 S 23
S 31 S 23 S 33
对称变换与对称张量
矩阵法
— 四次轴：C4//Z — S=ASA-1
0 A = 1 0 1 0 0 0 0 1 S 11 S = S 12 S 31 S 12 S 22 S 23 S 31 S 23 S 33 S11 S12 S13 S22 S21 S23 S11 0 0 S S22 S23 = S12 S11 S13 = 0 S11 0 21 S31 S32 S33 S32 S31 S33 0 0 S33 1 A = 0 0 0 1 0 0 0 1
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
P = PA = AP = AP P=P P * = AP
*
P1* a11 * P2 = a 21 P3* a 31
a13 P1 a 23 P2 a 33 P3
置换矩阵
置换矩阵
ei e j = δ ij
[
P2
e1 P3 e 2 e3
]
P = P A
*
P = PA
*
1
线性变换
线性变换：矢量长度不变3个独立矩阵元
P * P * = PA PA = PA A P = P P AA = I A = A 1 AA = I a 11 A = ± 1 a 21 a 31
1
a12 a 22 a 32
二阶张量 三阶张量
Tij* = aik a jlTkl * Tijk = ail a jmaknTlmn
* Tij = akialjTkl * Tijk = ali amjankTlmn
* * 四阶张量 Tijkl = aima jnakoalpTmnop Tijkl = amianjaok aplTmnop
变换公式法
— d’ijk=aimajnakodmno
— 例：具有对称中心的晶体无压电效应 — d’ijk=-dijk 所以dijk=0
坐标乘积变换法 变换下标法
对称张量：Tij=Tji
— 对称张量有6个对立分量
1 6 5
6 2 4
5 4 3
— 简约表示：11→1、 22→2、 33→3、 23→4、 13→5、 12→6
反对称张量：Tij=-Tji
— 反对称张量有3个对立分量 — 简约表示：23→-α、 13→ β 、 12→ -γ
0 γ β γ 0 α β α 0
标量、矢量和二阶张量
标量：与方向无关，如密度、质量、温度等； 矢量：既有大小又有方向，如力、速度、电场强度等； 二阶张量：例—欧姆定律
—各向同性：
j = σE
σ 12 σ 22 σ 32
E
j
j1 σ 11 —各向异性： j = σ 2 21 j3 σ 31
σ 13 E1 σ 23 E 2 σ 33 E 3
矢量变换
a13 a11 a 23 a12 a 33 a13
a 21 a 22 a 23