小题满分限时练(五)~(八)

限时练(五)

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A.(2，3] B.(－∞，1]∪(2，＋∞) C.[1，2)

D.(－∞，0)∪[1，＋∞)

解析 因为∁U A ＝{x |x ＞2，或x ＜0} ，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪[1，＋∞). 答案 D

2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 2

9＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( ) A.(2，4) B.(2，4] C.[2，4)

D.(2，＋∞)

解析 椭圆x 225＋y 2

9＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即b

a ＜tan 60°＝3，即

b ＜3a ，∴

c 2－a 2＜3a 2.整理得c ＜2a .∴a ＞2，又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2，4). 答案 A

3.若数列{a n }满足1a n ＋1－1

a n

＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列.已知

数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )

A.10

B.20

C.30

D.40

解析

∵数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1x

n 为调和数列，∴

11x n ＋1－11x n

＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列. 又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20（x 1＋x 20）2＝20（x 5＋x 16）

2

，

∴x 5＋x 16＝20. 答案 B

4.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，

3x ＋4y ≥4，y ≥0，

则x 2＋y 2＋2x 的最小值是(

)

A.25

B.2－1

C.2425

D.1

解析

满足约束条件件⎩⎨⎧x ≥0，

3x ＋4y ≥4，y ≥0

的平面区域如图中阴影部分所示：

∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，表示(－1，0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1，故选D.

答案 D

5.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，

且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＞f (π)，则φ等于( )

A.π6

B.5π6

C.7π6

D.11π6

解析 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6为函数的最大值或最小值，

即2×π6＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z ， 则φ＝k π＋π6，k ∈Z 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＞f (π)，

即sin φ＜0，0＜φ＜2π，

当k ＝1时，此时φ＝7π

6，满足条件，故选C. 答案 C

6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1，则S n 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

12，＋∞ 解析 已知a n ＋S n ＝1①，当n ＝1时，得a 1＝1

2；当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝1②，①②两式相减，得a n －a n －1＋a n ＝0，2a n ＝a n －1，由题意知，a n －1≠0，∴a n a n －1＝1

2

(n ≥2)，

∴数列{a n }是首项为12，公比为1

2的等比数列， ∴S n ＝

12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n

， ∴S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.

答案 C

7.二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n 等于( ) A.7

B.6

C.5 D .4

解析 (x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n n n

，

依题意，得C 2n ＝15，解得n ＝6(n ＝－5舍去). 答案 B

8.设随机变量X ～B ⎝ ⎛

⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )

A.5

16

B.316

C.58

D.3

8

解析 X ～B ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫6，12，由二项分布可得，

P (X ＝3)＝C 36

⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－123＝516.

答案 A

9.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ，

若BC →

＝－2BF →

，|AF |＝3，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝12x B.y 2＝9x C.y 2＝6x

D.y 2＝3x

解析 分别过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 过A 作AD ⊥x 轴.∴|BF |＝|BB 1|，|AA 1|＝|AF |.

又∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠CBB 1＝60°，∴∠AFD ＝∠CFO ＝60°，又|AF |＝3，∴|FD |＝3

2， ∴|AA 1|＝p ＋3

2＝3，

∴p ＝3

2，∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案 D

10.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M －P AB ，M －PBC ，M －P AC 的体积，若f (M )＝(1，x ，4y )，且1x ＋a

y ≥8恒成立，则正实数a 的最小值是( )

A.2－ 2

B.22－12

C.9－424

D.6－4 2