数系的扩充 数学史
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定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
历史回顾：虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”
（“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物 内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力. 由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾 的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类 新数存在，还有比实数集更大的数系.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
数系的扩充量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
解方程x2=－1
自然数（正整数与零） 整数
有理数 R Q Z N
实数
数系每次扩充的基本原则：
第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示
称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数”
D
F
D
C
1
1
x
A 1
1
x
C
A
1 1 B
B
x
E
S BEFD 2S ABCD BD 22AB 2
BD2= 2
BD = ？
复数的发展史
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
历史回顾：虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”
（“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
虚数
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经 成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
关于无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可 以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有 一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终 于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达 哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传. 但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒, 要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被 扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯 发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了 第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.
但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物 内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力. 由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾 的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类 新数存在，还有比实数集更大的数系.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
数系的扩充量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
解方程x2=－1
自然数（正整数与零） 整数
有理数 R Q Z N
实数
数系每次扩充的基本原则：
第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示
称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数”
D
F
D
C
1
1
x
A 1
1
x
C
A
1 1 B
B
x
E
S BEFD 2S ABCD BD 22AB 2
BD2= 2
BD = ？
复数的发展史