双因素方差分析的类型
双因素试验的方差分析
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 :1 2 a 0
H02 : 1 2 b 0
H03 : ij 0 i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b
➢ 总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
a
Ti.2
b,
i1
p T 2 ab ,
DB
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
ⅠⅡ
Ⅲ
甲
50 63 52
乙
47 54 42
丙
47 57 41
F值
F 值临介值
因素A 因素B
SS A SSB
df A
MS A
SS A df A
FA
MS A MSE
df B
MSB
Байду номын сангаас
SSB df B
FB
MSB MSE
F (a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
A B
误差 总和
SS AB
SSE SST
df AB df E dfT
MS AB SS AB
F0.01 3,6 9.78 F0.05 3,6 4.76 F0.01 2,6 10.92
FB F0.01 2,6
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
双因素方差分析
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
双因素试验的方差分析
2
j 1
误差平方和： S
E
i 1
( x ijk X
ij
)
j 1 k 1
③计算自由度
SA的自由度：r－1 SB的自由度：s－1 SA×B的自由度： (r－1)(s－1) Se的自由度：rs(t －1)
ST的自由度：rst－1
(4) F检验
FA
S A /( r 1) S E /( rs ( t 1))
r
j 1 k 1
因素A的效应平方和： 因素B的效应平方和： A，B交互效应平方和：
S A B t
i 1 r
S A st ( X
S B rt ( X
j 1
i
X)
2
i 1 s
j
X )
2
r
s
(X
s
ij
X
t
i
X j X )
X 2 1 1 , X 2 1 2 , ..., X 2 1 t
A2 … Ar
x 221 , x 222 , ..., x 22 t
… … …
…
…
…
X rs 1 , X rs 2 , ..., X rst
X r 11 , X r 12 , ..., X r 1 t X r 2 1 , X r 2 2 , ..., X r 2 t
总和
ST
rs－1
（3）双因素无重复试验方差分析表 双因素无重复试验方差分析表 方差 来源 因素A
平方 和
SA
自由度
r－ 1
均方
SA SA r 1
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
交互作用双因子方差分析
H 03 的 拒 绝 域 为
W 03
S A SE
B 2
2
k3
（6.35）
为 了 确 定 界 限 值 k1 、k 2 、k3 ， 按 照 显 著 性 检 验 的 一 般
步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统
计量的分布，
可以证明，
在 H 01 成 立 时
S A 2 r 1 ~ F r 1, rs t 1 S E 2 rs t 1
后的剩余部分，称为水平组合
Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异 u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ：
i 1 j 1 k 1
S
2 A
r
s
t
x i•• x 2
A
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S
2 B
r
s
t
x • j• x 2
B
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S 2 A B
rst
A B
x ij • x i • • x • j • x 2 称 为
的交互效应
i1 j1 k 1
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
ST 2
SE2
SA2
SB2
单因素方差分析与双因素方差分析 原理的相同点与不同点？
总离差平方和SST的自由度为r×k-1=n-1； 因素A的离差平方和SSA的自由度为r-1； 因素B的离差平方和的自由度为k-1； 随机误差SSE的自由度为（r-1）×（k-1）
第八章 方差分析
地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合 后产生的新效应，属于有交互作用的背景；
否则，就是无交互作用的背景。有交互作用的 双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交 互作用的双因素方差分析。
第八章 方差分析
6.3.2 数据结构
双因素方差分析的数据结构如表所示：
表 8－7 双因素方差分析数据结构
第八章 方差分析
方差分析解决的主要问题是什么？ 单因素方差分析与双因素方差分析 原理的相同点与不同点？ 正交实验设计的基本原理是什么？
第八章 方差分析
8.1 方差分析的基本问题
[例题] 某公司计划引进一条生产线.为了选择一
条质量优良的生产线以减少日后的维修问题, 他们对6种型号的生产线作了初步调查,每种型 号调查4条,结果列于表8-1。这些结果表示每 个型号的生产线上个月维修的小时数。试问由 此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它 们在维修时间方面有显著差异?
在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素 对实验结果的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们 还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的 地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。 采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率 高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占 有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者 了解、接受该生产线。
第八章 方差分析
6.3.1 双因素方差分析的类型
若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料 的销售地区则是影响因素B。对因素A和因素B同时进 行分析，就属于双因素方差分析。
Excel数据管理与图表分析 双因素方差分析
Excel 数据管理与图表分析 双因素方差分析在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，还需要了解销售地区的不同是否影响销售量。
若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A ，饮料的销售地区则是影响因素B 。
对因素A 和因素B 同时进行分析，就属于双因素方差分析的内容。
双因素方差分析的类型主要有两种，下面具体介绍其应用。
1．无重复双因素分析无重复双因素分析是指在假设两个因素之间是相互独立、不存在任何关系的情况下，对其进行分析。
与单因素方差分析类似，在分析前需将试验数据按一定的格式输入工作表中。
例如，对A 、B 、C 和D 地区上半年和下半年的销售额进行统计，其数据信息如图13-6所示。
图13-6 创建表格 图13-7 设置无重复双因素参数单击【分析】组中的【数据分析】按钮，在弹出的【数据分析】对话框中，选择【方差分析：无重复双因素分析】选项。
然后，在【方差分析：无重复双因素分析】对话框中，设置相关的参数，如图13-7所示。
其中，在【方差分析：无重复双因素分析】对话框中，各选项功能如下： ●输入区域 输入无重复双因素分析的数据区域。
● 标志 启用该复选框，则生成的分析数据结果工作表中包含数据标志。
若禁用该复选框，则选择的分析数据中只能是数值类型，不能为文本类型，且生成的分析数据结果工作表中不包含数据标志。
●α 显著性水平，一般输入0.05，即95%的置信度。
● 输出选项 输出无重复双因素分析数据的结果。
提 示 【方差分析：无重复双因素分析】对话框中的参数与【方差分析：单因素方差分析】对话框中的参数相同。
单击【方差分析：无重复双因素分析】对话框中的【确定】按钮，即可得到如图13-8所示的方差分析结果。
创建表格 选择分析结果图13-8 无重复双因素方差分析在生成的Sheet4无重复双因素方差分析工作表中，分为上下两部分。
其中，上部分为4个地区及上、下半年的计数、求和、平均和方差。
双因素试验方差分析
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
双因素方差分析
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
第二节双因素试验的方差分析详解
11
可以证明，
r
r
i i r r r 0 ，
i 1
i 1
s
s
j j s s s 0 ，
j 1
j 1
rs
rs
r
s
ij
ij s i r j rs rs rs rs rs 0 ．
i1 j 1
于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互
效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与因素 B 对试验
指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素
看作是取自正态总体 Xij ~ N ij , 2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
5
B 因素 各水平 B1
A 因素 各水平
A1
X111, X112, , X11t
A2
X 211, X 212, , X 21t
B2
X121, X122, , X12t X 221, X 222, , X 22t
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r
个不同的水平
A1, A2, , Ar ， 因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2, , Bs ．
在水平组合 Ai , Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s
17
为构造检验统计量，我们仿造单因素试验方差分析 的做法，记
双因素试验的方差分析
设：
X ijk ~ N ij , 2 , i 1,2,, r, j 1,2,, s, k 1,2,, t ,
各
X ijk
独立， ij , 2 均为未知参数。或写成：
2 ijk ~ N 0, , 各 ijk 独立 i 1,2,, r , j 1,2,, s, k 1,2,, t.
双因素试验的方差分析
影响试验结果的因素不止一个，要用双因素
或 多因素的方差分析；
确定哪些因素是主要的，它们对试验结果的
影响是否显著； 它们之间是否有交互作用。
（一）双因素等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因
素A，B作用于试验的指标。 因素A有r个水平
因素B有s个水平
A1 , A2 ,, Ar
X . j.
1 r t X ijk , j 1,2,, s. rt i 1 k 1
总偏差平方和（称为总变差）
ST X ijk X .
2 i 1 j 1 k 1 r s t
ST写成：
S T X ijk X
i 1 j 1 k 1 s t r
1 1319 .82 2 2 2 S A B 110.8 91.9 90.1 2 24 S A S B 1768 .69250 , S E ST S A S B S A B 236.95000 .
得方差分析表如下：
表9.11 例1的方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值
A1 A2
X 121 , X 122, , X 12t
…
X 211 , X 212, X 221 , X 222, , X 21t , X 22t
两因素方差分析报告检验
教师：孟丽华（教授）
开课学期：2012至2013学年下学期
填报时间：2013年5月15日
云南师范大学教务处编印
一．实验设计方案
实验序号及名称：实验九:为了选出某物质较为适宜的条件的两因素方差分析检验
实验时间
2013-05-10
实验室
睿智楼3幢326
（一）、实验目的：
1、能够熟练的使用SPSS进行二因素方差分析；
.383
.066
[原料=2] * [温度=3]
0b
.
.
.
.
.
.
.
.
[原料=3] * [温度=1]
0b
.
.
.
.
.
.
.
.
[原料=3] * [温度=2]
0b
.
.
.
.
.
.
.
.
[原料=3] * [温度=3]
0b
.
.
.
.
.
.
.
.
a.使用alpha的计算结果= .05
b.此参数为冗余参数，将被设为零。
估算边际均值
3、双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性；
4、比较观测变量总离差平方和各部分的比例，在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由于控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，即控制变量给观测变量带来了显著影响；
5、两因素方差分析：（一）、交叉分组资料的方差分析：设试验考察A、B两个因素，A因素分个水平，B因素分b个水平。所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形成b个水平组合即处理，试验因素A、B在试验中处于平等地位，试验单位分成b个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组。这种试验以各处理是单独观测值还是有重复观测值又分为两种类型：1）、两因素单独观测值试验资料的方差分析对于A、B两个试验因素的全部b个水平组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验共有b个观测值；2）、两因素有重复观测值试验的方差分析对两因素和多因素有重复观测值试验结果的分析，能研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用(互作)效应；（二）、无交互作用的双因素试验的方差分析：1）、基本假设：方差齐性和相互独立；2）、线性统计模型：，其中，所有期望值的总平均：，
双因素方差分析
1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明： 构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水 平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),
双因素方差分析
三、双因素方差分析
在上述误差平方和的基础上计算均方，也就是将各平方和除 以相应的自由度。与各误差平方和相对应的自由度分别为：
SST的自由度为kr－1，SSR的自由度为k－1，SSC的自由度 为r－1，SSE的自由度为(k－1)(r－1)。
为构造检验统计量，需要计算下列各均方： ①行因素的均方，记为MSR。 ②列因素的均方，记为MSC。 ③随机误差的均方，记为MSE。
三、双因素方差分析
二、 无交互作用的双因素方差分析
1. 数据结构
在无交互作用的双因素方差分析中，由于有两个 因素，因而在获取数据时，需要将一个因素安排在“ 行”的位置，称为行因素；另一个因素安排在“列” 的位置，称为列因素。设行因素有k个水平，列因素 有r个水平，行因素和列因素的每一个水平都可以搭配 成一组，观察它们对试验指标的影响，共抽取kr个观 察数据，其数据结构见表7-8。
三、双因素方差分析
“全因子”单选按钮为系统默认项，用 来建立全模型。全模型中包括因素之间的交 互作用。如果选择分析两个因素的交互作用 ，则必须在每种水平组合下取得两个以上的 试验数据，才能实现两个因素的交互作用的 分析。如果不考虑因素间的交互作用，则应 当选择自定义模型。
三、双因素方差分析
“设定”单选按钮用来自定义模型，本例选择此项并激活下面的各项操 作，如图7-12所示。
三、双因素方差分析
2. 分析步骤
与单因素方差分析类似，双因素方差分析也包括提出假设、构造检验 统计量和决策分析等步骤。
（1）提出假设。
为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出如下假设：
①对行因素提出假设。
H0∶μ1=μ2=…=μk=μ
行因素（自变量）对因变量没有显著影响
双因素方差分析法 (3)
双因素方差分析法引言双因素方差分析法是一种经典的统计分析方法，用于研究两个或更多因素对于观测变量产生的影响。
它可以帮助研究者理解因素之间的相互作用以及它们对观测变量的影响程度。
在本文中，我们将介绍双因素方差分析法的基本原理、假设条件、计算方法以及结果解读。
基本原理双因素方差分析法基于线性模型的思想，假设观测变量的总体均值可以划分为不同因素的影响以及随机误差的贡献。
通过分析各个因素的变化对总体均值的影响，我们可以确定它们是否显著。
在双因素方差分析法中，我们关注的是两个因素对观测变量的影响，分别称为因素A和因素B。
它们都被假设为固定效应因素，即我们关注的是这两个特定的因素对观测变量的影响，而不是从更广泛的总体中随机选择因素。
我们还假设各个因素的影响是相互独立的，即因素A和因素B之间没有相互作用。
假设条件在进行双因素方差分析法之前，我们需要满足一些假设条件。
首先，观测变量需要满足正态性假设，即在每个组别中，它们的分布应该是正态分布的。
其次，观测变量的方差应该相等，即方差齐性假设。
最后，观测值之间应该相互独立。
计算方法总平方和我们首先计算总平方和（SST），它表示观测变量的总体变异程度。
总平方和可以通过以下公式计算：SST = SSA + SSB + SSAB + SSE其中，SSA、SSB、SSAB和SSE分别表示因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的平方和。
自由度自由度用于衡量观测数据中可以自由变动的数量，它可以用于计算各个方差分量。
在双因素方差分析法中，自由度的计算方法如下：•自由度(A) = 组数(A) - 1•自由度(B) = 组数(B) - 1•自由度(AB) = (组数(A) - 1) * (组数(B) - 1)•自由度(E) = 总样本数 - 组数(A) * 组数(B)均方和均方和是指在给定自由度下的平方和除以对应的自由度得到的值。
在双因素方差分析法中，我们可以计算因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的均方和。
双因素方差分析的类型
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全 相等
至少有一个总体的均值是不同的
四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
m3 m1 m2 m4
二、方差分析的原理
方差分析的目的是要检验各个水平的均值μ1， μ2……μr 是否相等，实现这个目的的手段是通过方 差的比较。
两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这
时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差 分 析 或 可 重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with
replication )
二、数据结构
（一）双因素方差分析的假定条件 （一）数据结构 （二）分析步骤
（一）双因素方差分析的基本假定
H0：μ1=μ2=μ3=μ4 颜色对销售量没有影响 H1：μ1，μ2，μ3，μ4 不全相等，颜色对销售量有影
响。 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值
不相等，并不意味着所有的均值都不相等。
二、计算水平均值
令 xj 表示第j种水平的样本均值，则
nj
x输出区域
用Excel进行方差分析
第三节 双因素方差分析
一、双因素方差分析的类型 二、数据结构 三、实例
一、双因素方差分析的类型
(two-way analysis of variance)
1. 分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验 结果的影响
r不全相等分析步骤构造检验的统计量?计算平方和ss?总误差平方和?行因素误差平方和?列因素误差平方和?随机误差项平方和分析步骤构造检验的统计量?总离差平方和sst水平项离差平方和ssr和ssc误差项离差平方和sse之间的关系sstssrsscsse分析步骤构造检验的统计量?计算均方ms?误差平方和除以相应的自由度?三个平方和的自由度分别是?总离差平方和sst的自由度为kr1?行因素的离差平方和ssr的自由度为k1?列因素的离差平方和ssc的自由度为r1?随机误差平方和sse的自由度为k1r1分析步骤构造检验的统计量?计算均方ms?行因素的均方记为msr计算公式为?列因素的均方记为msc计算公式为?随机误差项的均方记为mse计算公式为分析步骤构造检验的统计量?计算检验统计量f?检验行因素的统计量?检验列因素的统计量分析步骤统计决策?将统计量的值f与给定的显著性水平a的临界值fa进行比较作出对原假设h0的决策?根据给定的显著性水平a在f分布表中查找相应的临界值fa?若frfaa则拒绝原假设h0表明均值之间的差异是显著的即所检验的行因素对观察值有显著影响?若fcfaa则拒绝原假设h0表明均值之间有显著差异即所检验的列因素对观察值有显著影响双因素方差分析表基本结构表表74无交互作用的双方差分析表方差来源离差平方和df均方msf因素assar1msassar1msamse因素bssbs1msbssenrmsbmse误差sser1s1msesser1s1总方差sstn1三实例不同品牌的彩电在各地区的销售量数据品牌因素地区因素地区1地区2地区3地区4地区5品牌1品牌2品牌3品牌4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298例例73有四个品牌的彩电在五个地区销售为分析彩电牌的品牌品牌因素和销售地区地区因素对销售量是否有影响对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据
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四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等
的证据也就越充分
样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越
充分
方差分析中基本假定
如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4
四个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为m、差为2的同一正
如果n个总体的均值相等，然希望三个样本的均值 比较接近，事实上，n个样本的均值愈接近，就愈 有证据得出结论：总体均值相等，反之，若n个样 本均值的差异愈大，就得出结论，总体均值不相等。
样本均值变动性小→支持H0，样本均值变动性大→ 支持H1。
三、F分布
水平间方差（组间方差）和水平内方差（组 内方差）之比是一个统计量，数理统计证明， 这个统计量服从F分布。
（二）用方差分析来检验假设有三个假定
1、各个水平的观察数据必须服从正态分布： 在水平Ａi下的数据是来自正态总体的一个样 本，i=1,2…,r。
2、方差相同或者叫方差齐性：r个正态总体 的方差相等，即。
3、随机性：所有数据都相互独立。
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 四个正态总体的均值是否相等
3、单元（Cell）
单元指因素水平之间的组合。如销售方式一 下有五种不同的销售业绩，就是五个单元。 方差分析要求的方差齐就是指的各个单元间 的方差齐性。
4、元素（Element）
元素指用于测量因变量的最小单位。一个单 元里可以只有一个元素，也可以有多个元素。
5、均衡（Balance）
如果一个试验设计中任一因素各水平在所有 单元格中出现的次数相同，且每个单元格内 的元素数相同，则称该试验是为均衡，否则， 就被称为不均衡。不均衡试验中获得的数据 在分析时较为复杂。
k
SSA (xj x)2 nj(xj x)2
（bossom）
j1
构造检验的统计量
(三个平方和的关系)
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和
(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的 关系
k
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
k nj
SST
(xij x)2
j1 i1
2、误差项离差平方和（组内）
SSE（Sum of Squares For Error）
k nj
SSE [ (xij x j )2] j1 i1
3、水平项离差平方和（组间）
SSA或SSb （Sum of Squares for factor A）或
6、交互作用（Interaction）
如果一个因素的效应大小在另一个因素不同 水平下明显不同，则称为两因素间存在交互 作用。当存在交互作用时，单纯研究某个因 素的作用是没有意义的，必须分另一个因素 的不同水平研究该因素的作用大小。如果所 有单元格内都至多只有一个元素，则交互作 用无法测出。
若方差分析只针对一个因素进行，称为单因 素方差分析。如果同时针对多个因素进行， 称为多因素分析。在多因素方差分析中，双 因素方差分析里最常见的。
ni
xij x 2
i1 j1
H0：μ1=μ2=μ3=μ4 颜色对销售量没有影响 H1：μ1，μ2，μ3，μ4 不全相等，颜色对销售量有影
响。 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值
不相等，并不意味着所有的均值都不相等。
二、计算水平均值
令 xj 表示第j种水平的样本均值，则
nj
x j =
xij / nj
学习目标
1.解释方差分析的概念 2.解释方差分析的基本思想和原理 3.掌握单因素方差分析的方法及应用 4.掌握双因素方差分析的方法及应用
第一节 方差分析的基本问题
一、方差分析的内容 二、方差分析的原理 三、F分布
一、方差分析的内容
（一）方差分析中的常用术语 1、因素（Factor） 2、水平（Level） 3、单元（Cell） 4、元素（Element） 5、均衡（Balance） 6、交互作用（Interaction） （二）用方差分析来检验假设有三个假定
组间方差
F=
组内方差
第二节 单因素方差分析
一、建立假设 二、计算水平均值 三、计算离差平方和 四、计算平均平方 五、方差分析表 六、统计决策 七、应用实例
一、建立假设
方差分析的第一步是建立假设。以饮料颜色对销售 量的影响为例，针对我们关心的问题提出原假设和 备择假设。
1、因素（Factor）
因素是指所要研究的变量，它可能对因变量 产生影响。一个是因素，因素是一个独立的 变量，是方差分析研究的对象。要分析不同 销售方式对销售量是否有影响，所以，销售 量是因变量，而销售方式是可能影响销售量 的因素。
2、水平（Level）
因素中的内容称为水平。水平指因素的具体 表现，如销售的四种方式就是因素的不同取 值等级。有时水平是人为划分的，比如质量 被评定为好、中、差。
i 1
式中：xij为第j种水平下的第I个观察值； nj第j种水平的观察值个数。 计算总均值的一般表达式为：
总均值：是所有观察值的总和除以观察值的总数。
k nj
X j1 i1 xij （注：各个样本容量相等）
n
三、计算离差平方和
1、总离差平方和SST（Sum of Squares for Total）
态总体
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全 相等
至少有一个总体的均值是不同的
四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
m3 m1 m2 m4
二、方差分析的原理
方差分析的目的是要检验各个水平的均值μ1， μ2……μr 是否相等，实现这个目的的手段是通过方 差的比较。