(完整版)新课标高中数学微积分精选习题

高中微积分经典例题

高中微积分经典例题1. 函数求导- 例题1: 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 在点 $x=2$ 处的导数。

将函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$ 求导，得到 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。

将 $x=2$ 代入导数函数，得到 $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 9$。

所以函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处的导数为 9。

- 例题2: 求函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数。

使用链式法则，将函数 $g(x) = e^x \sin x$ 求导。

根据链式法则， $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)'$。

对于 $(e^x)'$，使用指数函数求导法则，得到 $(e^x)' = e^x$。

对于 $(\sin x)'$，使用三角函数求导法则，得到 $(\sin x)' = \cos x$。

将这些导数结果带入，得到 $\frac{d}{dx} (e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x$。

所以函数 $g(x) = e^x \sin x$ 的导数为 $e^x \sin x + e^x \cos x$。

2. 积分计算- 例题1: 计算积分 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx$。

根据积分的线性性质，将积分展开，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 4 \, dx$。

对于每一项，根据幂函数积分法则，得到 $\int x^n \, dx =\frac{1}{n+1} x^{n+1}$。

将这些结果带入积分式，得到 $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx =\frac{1}{3} x^3 - x^2 + 4x + C$，其中 $C$ 为常数。

高一数学必修1微积分测试题及答案

高一数学必修1微积分测试题及答案本文档为高一数学必修1微积分的测试题及答案，旨在帮助学生巩固和提高他们在微积分方面的知识和能力。

以下是题目及答案：题目一已知函数 f(x) 的导数 f'(x) = 2x + 3，求 f(x)。

答案：f(x) = x^2 + 3x + C （C为常数）题目二已知曲线 y = x^2 + 2x + 1，求曲线上任意点的切线方程。

答案：设曲线上某点的横坐标为 a，纵坐标为 b。

由题意可得，该点的切线斜率为曲线在该点的导数值。

曲线的导数为 f'(x) = 2x + 2。

将 a 代入 f'(x) 可得切线斜率 k = 2a + 2。

切线方程为 y - b = k(x - a)，将点的坐标代入可得切线方程。

题目三已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x，求函数 f(x) 的极值点和拐点。

答案：首先，求 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x + 2令 f'(x) = 0，求得极值点：x = (6 ± sqrt(36 - 48)) / 12，化简得 x = 0.5 或 x = 1将 x = 0.5 和 x = 1 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。

其次，求 f''(x)：f''(x) = 12x - 6令 f''(x) = 0，求得拐点：x = 0.5将 x = 0.5 代入 f(x) 可求得对应的 y 值。

以上为高一数学必修1微积分的部分测试题及答案，希望对您有帮助。

(完整版)新课标高中数学微积分精选习题

-1咼二数学微积分练习题一、选择题：1.已知自由落体运动的速率v gt ，则落体运动从t 0到t t o 所走的路程为( )A 33 2B .gt 。

c . gt 。

22 D .gt。

26［解析］要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功D . c f(x)dx — b f(x)dxba5、已知f(x)为偶函数且6 f(x)dx = 8,贝S 6 f(x)dx 等于()0 -6A . 0B . 4C . 8D . 166、函数 y = x (cost +12 + 2)dt(x>0)()-xA .是奇函数B .是偶函数C .非奇非偶函数D .以上都不正确(—1< x<0)2、如图，阴影部分的面积是 A . 2 ,3 32 C. —335 D. —— 3 ［解析］让学生理解利用微积分求曲边形的面积 a1 3、若 _ (2x )dx 3 In 2，且 a > 1,则 a 的值为1 x A . 6 B o 4 C o 3［解析］ 4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是()A . c f(x)dxB . | c f(x)dx|a aC . b f(x)dx + c f(x)dx7、函数 f(x)= cosx n(0 < x <-^)的图象与x 轴所围成的封闭图a O形的面积为(3 代22D.3|x — 4|dx =( 0 21 A. 3 二、填空题:29 .曲线y x ,x0,y 22 B.2"23 251,所围成的图形的面积可用定积分表示为10 .由y cosx 及x 轴围成的介于0与2 n 之间的平面图形的面积，禾U 用定积分应表达为211、若等比数列｛a n ｝的首项为5且a 4= 4 (1 + 2x)dx ,则公比等于112、 .已知函数 f(x) = 3x 2 + 2x +1,若 1 f(x)dx = 2f(a)成立，则 a = __14.求曲线y x3 x4 2x与x轴所围成的图形的面积. (2)若直线x= —t (O v t v 1=把y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.4求y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.15.已知f(a) = 1(2ax1 2—a2x)dx，求f(a)的最大值; 0一，选择题二、填空题9、10、三、解答题：.13.计算下列定积分的值11、12、16.设y=f (x)是二次函数，方程f (x) =0有两个相等的实根，且f'( x) =2x+2.cos2xdx2 5 (1) 1 (x 1) dx ；参考答案一、1. C; 2. C; 3. D; 4. D; 5 A 6 C 7. D 8; C二、9 o(1 X)dx 10. o Icosxdx ; 11、3 12、-1 或1/3 _2 1三、15、［解析］取F(x) = §ax3—2a3x2则F'(x) = 2ax2—a2x••• f (a) = 1(2 ax2—a2x)d x2 1 2=F(1) —F(0) = 3a—2a21 2 2 2一2a-3 + 91 1(2)依题意，有所求面积二l(x22x 1)dx (- x3x2x) |01 -.3 3t 2 0 2(3)依题意，有1(x 2x 1)dx t(x 2x 1)dx,•(£x3x2x)| - (3 x3x2x)|0t,3 3—1 t3+t2—t+1 = 1t3—t2+t,3 3 32t3—6t2+6t —仁0 ,1• 2 (t—1) 3= —1,于是t=1 —辽.评述：本题考查导数和积分的基本概念.(1) 求y=f (x)的表达式;3 2 ••当a= 3时,f (a)有最大值g.16.解：(1)设f (x) =ax2+bx+c,则f'( x) =2ax+b, 又已知f'( x) =2x+2• a=1, b=2.• f (x) =X2+2X+C又方程f (x) =0有两个相等实根，•判别式△=4 —4c=0,即c=1.故 f (x) =X2+2X+1.。

新课标高中数学微积分习题

新课标高中数学微积分习题Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）A ．320gtB ．20gt C ．220gt D ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

4C 。

3D 。

2 [解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎜⎛acf (x )d x B ．|⎠⎜⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎜⎛a bf (x )d x ＋⎠⎜⎛bc f (x )d x D ．⎠⎜⎛b cf (x )d x －⎠⎜⎛ab f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且⎠⎜⎛6f (x )d x ＝8，则⎠⎜⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎜⎛-xx(cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )B ． 1C ．28、⎠⎜⎛03|x 2－4|dx ＝( )二、填空题：9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示程f（x ＝；5 、-3－＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x .（3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。

微积分的应用专项练习60题(有答案)

微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。

通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。

以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。

微积分练习题带答案

微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。

在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。

在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。

1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。

答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。

答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。

答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。

答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。

答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。

答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。

答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。

答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。

通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。

微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。

下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。

高三数学微积分专项练习题及答案

高三数学微积分专项练习题及答案1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。

解：首先，我们需要求出函数f(x)的导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，解得的x值就是函数的极值点。

求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

令f'(x) = 0，解方程得到3x^2 - 6x + 2 = 0。

使用求根公式，我们得到x = (6 ± √(6^2 - 4*3*2))/(2*3)。

化简得到x = (6 ± √12)/(6) = (2 ± √3)/(2)。

所以，函数f(x)的极值点为x = (2 + √3)/(2)和x = (2 - √3)/(2)。

2. 求函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值。

解：首先，我们需要求出函数f(x)在区间[0, π]上的导函数f'(x)，然后找到导函数f'(x)=0的所有解，用这些解以及区间端点来确定最大值和最小值。

求导得到f'(x) = cos(x)。

找出f'(x)=0的解，即cos(x) = 0，解方程得到x = π/2。

此外，观察区间端点，当x = 0和x = π时，函数f(x)的值分别为sin(0) = 0和sin(π) = 0。

所以，在区间[0, π]上，函数f(x)的最大值为1（当x=π/2时），最小值为-1（当x=π/2时）。

3. 求函数f(x)=e^x * ln(x)的图像的渐近线。

解：函数f(x)的渐近线可以分为水平渐近线和垂直渐近线。

首先，我们来找水平渐近线。

当x趋向于负无穷或正无穷时，e^x趋向于0或正无穷，而ln(x)函数的定义域为(0,正无穷)，所以e^x * ln(x)的值趋向于0或正无穷。

因此，y = 0是函数f(x)的水平渐近线。

接下来，我们来找垂直渐近线。

垂直渐近线出现的位置取决于ln(x)的定义域。

ln(x)的定义域为(0,正无穷)，所以垂直渐近线会出现在x=0的位置。

新课标高中数学微积分习题

高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）A ．320gtB ．20gtC ．220gt D ．620gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

4C 。

3D 。

2[解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛acf (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛bcf (x )d xD ．⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )B ．1C ．2 8、⎠⎛03|x 2－4|dx ＝( )二、填空题：9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．f′（x）y=f.5 A dx|；3－1 2有最大值2 9 .16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。

微积分练习100题及其解答

x 0 t x
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim

2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ；解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2

高中数学微积分练习题目集

高中数学微积分练习题目集一、函数与导数1. 求函数 $f(x) = x^2 + 3x + 2$ 在 $x=2$ 处的导数。

2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4x$ 的增减性和极值。

3. 已知函数 $h(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 1$，求函数 $h(x)$ 的拐点。

二、极限的计算1. 计算 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

2. 计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$。

3. 求 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$。

三、定积分1. 计算 $\int_0^1 (2x + 1) \ dx$。

2. 求 $\int_1^2 (3x^2 + 2x + 1) \ dx$。

3. 计算 $\int_0^{\pi/2} \cos x \ dx$。

四、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = \sin x$。

2. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$。

3. 已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = ky$，其中 $k$ 为常数，求其一阶线性齐次微分方程的通解。

五、数列与级数1. 求等差数列 $a_n = 2n - 1$ 的前 $n$ 项和。

2. 求等比数列 $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ 的前 $n$ 项和。

3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。

六、多元函数1. 求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 的偏导数。

2. 已知函数 $g(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$，求函数 $g(x, y)$ 在点 $(1, -2)$ 处的梯度。

3. 求函数 $h(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的方向导数，在点 $(3, 4)$ 朝斜率为 $-2$ 的方向上的方向导数。

新课标高中数学微积分习题修订版

新课标高中数学微积分习题修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）A ．320gt B ．20gtC ．220gtD ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（A ．6B 。

4C 。

3[解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S的值是( ) A．⎠⎛acf (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d x D ．⎠⎛bc f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确7、函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ． 1C ．2 D.128、⎠⎛03|x 2－4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233D.253二、填空题： 9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．11、若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________一，选择题二、填空题9、 10、11、 12、三、解答题：．13．计算下列定积分的值参考答案一、1．C ；dx |；－12a2x2有最大值2 9 .16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1.故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x .（3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。

高等数学微积分练习题集完整版(含答案)

高等数学微积分练习题集2(含答案)1．求抛物线2x y =与直线02=--y x 之间的最短距离。

2．求点)8,2(到抛物线x y 42=的最短距离。

3．求过点31,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。

4．计算二重积分dxdy xy I D ⎰⎰=2，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线1=xy 所围成的区域。

5．计算二重积分dxdy e I D y ⎰⎰-=2，其中区域D 由y 轴，直线x y y ==,1所围成。

6．求dxdy y xy I D ⎰⎰+=31，其中D 由2,1,0x y y x ===所围成。

7．求dy e dx x I x y ⎰⎰-=11022。

8．求dxdy y x I D ⎰⎰+=)(，其中D 为224,x y xy ==及1=y 所围成的区域。

9．求σd y x I D⎰⎰+=)|(|，其中D 为：1||||≤+y x 。

10．求dxdy y x I D⎰⎰--=221，其中D ：y y x ≤+22。

11．求dxdy y x x I D ⎰⎰--=)2(22，其中D ：1)1(22≤+-y x 。

12．设{}x y x y x D ≤+=22),(，求dxdy x D ⎰⎰。

13．计算二重积分dxdy yx y x D ⎰⎰++--222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一卦限内的闭区域。

14．求ds y x c ⎰+)(，其中c 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形边界。

15．设L 是半圆周24y x -=上由点)2,0(A 到点)2,0(-B 之间的一段弧。

计算⎰++L ds y x )1(。

16．计算ds y x L ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+（0>a ）。

17．计算曲线积分⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周x y x =+22。

18．计算曲线积分：dy y x dx y x I L )653()42(-++--=⎰，其中L 是从点)0,0(O 到点)2,3(A 再到点)0,4(B 的折线段。

新课标高中数学微积分习题

新课标高中数学微积分习题SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）A ．32gt B ．20gt C ．220gtD ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

4C 。

3 D 。

2[解析]4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎜⎛acf (x )d x B ．|⎠⎜⎛acf (x )d x |C ．⎠⎜⎛a bf (x )d x ＋⎠⎜⎛bc f (x )d xD ．⎠⎜⎛bcf (x )d x －⎠⎜⎛ab f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且⎠⎜⎛6f (x )d x ＝8，则⎠⎜⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．166、函数y ＝⎠⎜⎛-xx(cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )B ．1C ．2 8、⎠⎜⎛03|x 2－4|dx ＝( )二、填空题：9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2. ∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1. （2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---，∴023123|)31(|)31(t tx x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。

(完整版)高二数学微积分练习题

高二数学微积分练习题一、选择题：1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（）A ．320gt B ．20gtC ．220gt D ．620gt[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是A ．32B ．329-C ．332D ．335[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、若11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6B 。

4C 。

3D 。

2 [解析] 4、用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛a c f (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x5、已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 6、函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确7、函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2 D.128、⎠⎛03|x 2－4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233D.253二、填空题：9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为．10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．11、若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于____．12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________二、填空题9、 10、11、 12、三、解答题：．13．计算下列定积分的值（1）⎰-215)1(dx x ；（2）dx x ⎰-222cos ππ14．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．15．已知f(a)＝1(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；⎠⎛016．设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.参考答案一、1．C ；2．C ；3．D ；4．D ；5 A 6 C 7．D 8；C 二、9dx x ⎰-12)1( 10．dx x ⎰π20|cos |；11、3 12、-1或1/3三、15、[解析] 取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.16．解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x .（3）依题意，有x x x x x x ttd )12(d )12(2021++=++⎰⎰---， ∴023123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ， 2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321. 评述：本题考查导数和积分的基本概念.。

高中数学练习题微积分与解析几何

高中数学练习题微积分与解析几何高中数学练习题 -- 微积分与解析几何（正文内容开始）题目一：已知曲线C的参数方程为：x = t³ - 3t² + 3t, y = t² - 2t + 1.求曲线C的切向量和法向量，并求曲线C在t=1处的切线和法线方程。

解答：首先，我们需要求曲线C的切向量和法向量。

曲线C的切向量可以通过对参数方程求导得到，即：dx/dt = 3t² - 6t + 3, dy/dt = 2t - 2.所以，曲线C的切向量为 (dx/dt, dy/dt) = (3t² - 6t + 3, 2t - 2).接下来，我们需要求曲线C在t=1处的切线和法线方程。

将t=1代入切向量表达式中，可得曲线C在t=1处的切向量为 (0, 0).由于切线的方向与切向量平行，切线方程的斜率为0，即切线方程为x = 1.同时，我们知道切线与曲线C相切于同一点，并且切线的法向量与曲线的切向量垂直。

所以，曲线C在t=1处的法向量与切向量垂直，即 (3t² - 6t + 3, 2t - 2)·(x-1, y) = 0.将曲线C的参数方程代入，可得曲线C在t=1处的法线方程为 (t³ - 3t² + 3t - 1)(x-1) + (t² - 2t + 1)(y) = 0.题目二：已知直线L1过点A(1, 2, 3)和点B(-2, 1, 4)，直线L2过点C(-1, 0, 1)且与L1平行，求直线L2的解析式。

解答：首先，我们可以通过点A和点B来确定直线L1的方向向量d1，即d1 = AB = (1 - (-2), 2 - 1, 3 - 4) = (3, 1, -1).由于直线L2与L1平行，所以直线L2与直线L1具有相同的方向向量d1。

因此，直线L2的方向向量为d2 = (3, 1, -1).接下来，我们可以通过已知点C和L2的方向向量d2来确定直线L2的解析式。

微积分练习题

微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。

(完整版)高中积分微分知识点及习题

积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x),C是无穷无尽的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面).之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理. 3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

微积分练习100题及其解答

《微积分》练习100题及其解答1．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解：∵，)0(~1→-x xe x ∴．()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2．求极限：．xx e e x x x sin lim sin 0--→解：∵，∴．)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者：记，则当时，在之间满足Lagrange 定理的条件，存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在（介于与之间），使得，从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--，所以，．1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3．求极限：．()x xx x e1lim+→解：；()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者．()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4．求极限：．01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：，而，所以，．01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5．求极限：．())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解：．()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6．求极限：．()00x αα→>解：．()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7．求极限：．lim(0)x αα→>解：．()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8．求极限：．(0)x αα→>解：．012x α→=-9．设函数在内，讨论的单调性．)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解：，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时，，而，则，即，从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增；同理，当时，递增．x x f y )(=0<x xx f y )(=所以，在内单调增加．xx f y )(=()∞+∞-,10．设函数，求：（1）的极大值；（2）()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值．M a 解：（1），而，所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ；a a a f M 232)(3-=-=（2）时，，此时，0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为．M 34)1(-=M 11．求极限：．22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解：()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭．320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12．求极限：．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解：2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭；222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解：；211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14．求极限：．1lim arcsin xx e x +→解：∵，∴．arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15．求极限：．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解：．22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16．求极限：．2120lim x x x e→解：．22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17．求极限：．lim sin ln x x x +→解：．00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18．求极限：．1lim x -→解：11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19．求极限：．xx xx x sin tan lim 20-→解：．22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20．求极限：．()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解：()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21．求极限：．()2lim sec tan x x x π→-解：．()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解：()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰．1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23．求积分：．cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解：．()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解：()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25．求积分：．dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26．求积分：．cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解：()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰．()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27．求积分：．1sin 1cos2xdx x--⎰解：()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰．()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28．求积分：．1sin 1cos2xdx x -+⎰解：()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan sec 2x x C =-+29．求积分：．1cos 1cos2xdx x-+⎰解：()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰．()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30．求积分：．1cos 1cos2xdx x--⎰解：．()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31．求积分：．1arctan21xedx x +⎰解：．1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32．求积分：．2x dx解：222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭．(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33．求积分：．211x dx e +⎰解：⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者：⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(．[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234．求积分：．()21xxe dx x +⎰解：()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰．11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35．求积分：．211dx x x -+⎰解：2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰．211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36．求积分：．2141dx x x -+⎰解：()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰．21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37．求积分：．dx解：22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰．))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38．求积分：．解：设，则，，x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭．)2ln1orx C -+39．求积分：．21443dx x x +-⎰解：．21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40．求积分：．23222x dx x x --+⎰解：222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰．()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41．求积分：．2dx x⎰解：设，则，，t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=．()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42．求积分：．2dx x ⎰解：设，则，，θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=．()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43．求积分：．⎰++dx x x 1)2(1解：消去根号，记，t =122122+=+=-=t x tdtdx t x．()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44．求积分：．⎰-+dx x x x21解：记，3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222．C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245．求积分：．⎰++dx x x x21解：记，1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222．C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246．求积分：．2dx x -⎰解：记，2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=，．2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47．求积分：．解：记，232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ．Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248．求积分：．⎰++dx x 3111解：记，dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=．22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49．求积分：．()⎰-dx x xx 2321arcsin 解：设：，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50．求积分：．()()2213xdx xx ++⎰解：．()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51．假设某种商品的需求量，商品的总成本是，每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大时商品单价（单位：元）和最大利润额．P 解：收入，28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本，P Q C 40006250005025000-=+=总利润，649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润，16160160+-='-'='P C R L 令，得，此时，有最大利润（元）．0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52．一商家销售某种商品的价格（万元/吨），为销售量，商品的成本函数x P 2.07-=x 是（万元）．（1）若每销售1吨商品，政府征税t （万元），求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量；（2）t 为何值时，政府税收最大？解：（1）收入，总成本，22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收，总利润，tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润；令，得，此时，有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润；（2），，令，得，所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大．53．求积分：．()322arcsin 1x xdx x -⎰解：设，则x u arcsin =；()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54．已知的一个原函数为，求积分：．()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解：∵，()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰．()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55．设是三阶可导函数，，而．求．()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解：由已知，，，，从而；()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56．设，求．()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解：对等式两边求导．得，()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理，得，2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---．()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57．已知，其中二阶可微，求．()y f x y =+()f u 22d ydx 解：，．()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导，()()1y f x y y '''=++，()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++．()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58．已知，求．0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解：由已知，，或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò，()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取，有，t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò．()2f t dt p\=ò59．求积分：．121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解：1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò．21521232x x xee +==60．求极限：．2240sin lim x x xx®-解：224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=．3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而，22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里？61．计算．x ò解：记，代入，得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò．()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62．求积分：．()12ln 11x dx x++ò解：令，，，，11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入，则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò．112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63．求积分：1ò解：记212t x t dx tdt==-=-当时，；当时，，则0x =t 1=1x =0t =原式．110202212dt arctgtt p ===-ò64．设在内有意义，且（1）可导；（2）有反函数；（3）()F x ()0,+¥()x j ．求．()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解：由（3）可知，时，，0x =()()010F t dt j =ò()01F =记，则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对（3）的式子两边求导，有，即．()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而，故．()01F =()233211132F x x x =-+65．求积分：1ò解：11I -==òò．112-==òò12arcsin tp ==66．求积分：1ò解：令sin 02x t t p =<<．()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67．证明：．()4011212n tg xdx n np<<+ò证明：记，则．14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68．求积分：．244sin 1xxdx ep p --+ò解：．224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69．设，且，则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根．解：记，，()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò，而．；()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加．因此，在内只有一个根．()F x \(),a b ()F x (),a b 70．在上连续可微，且满足．试证存在一点．使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î．()()0f f x x x ¢+=证：设．则，()()F x xf x =()()0000F f =´=．()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微，由积分中值定理，必存在一点，使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø，在上，满足Rolle 定理的三个条件，固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ，使得．即．x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71．设求，．()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解：由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另，时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø；()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+．()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72．设在上连续，且，证明：必存在，使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î．()()1f f x x +=证明：记，则在上连续，因而有最大（小）值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -，，；()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而，，…，；()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而，()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而，必存在，使，即()0,n x Î()0j x =．()()1f f x x +=73．证明：函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,0证明：任取两点，，不妨设，则，考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-；()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即；2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以，对于任意小的正数，取，当时，必有0>ε3εη=η<-21x x 成立，ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续．3)(x x f =[]1,074．函数在上有定义，且（1），（2）对于在，)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ，则（为常数）．)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明：任取，记，，，…，()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===，…．则1211-==-n x x x n n 由可知，，即)()(2x f x f =)()(x f x f =；)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到，故)0(1lim >=+∞→x x n n ；)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而，从而)1()(lim 1f x f x =→；)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以，（为常数）．C x f ≡)()1(f C =75．求极限：．21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解：注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且，111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76．已知，，求．12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解：很明显，，，，，12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以，，单调有界，存在；1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得，注意到，解得．lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77．设函数，求．xx y +=12()n y 解：，，11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ，()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得：．()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78．设函数在区间上连续，在内可导，且，()x f []0,1()0,1()()010==f f ．试证：121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在，使；1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数，必存在，使得．λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明：（1）设，则在区间上连续，在内可导，且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1，，，则存在，，即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=．()ηη=f （2）记，在区间上连续，在内可导，且，()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =，则由定理，必存在，使得，即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=．()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79．判断级数的敛散性．11nn ¥=åò提示：．220001122n xdx n n>=®<òòò80．证明：当时，.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明：记，则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理，比存在一点，使得：()x 0∈ξ，()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而，，x <<ξ011111<+<+ξx ∴，)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181．求在条件下，()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点．解：利用拉格朗日乘数法，设，()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-，则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩．1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82．设随机变量，问：当取何值时，落入区间的概率最大？()2~,X N μσσX ()1,3解：因为，()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=，{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法，有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得，则；又，故．404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大．σ=X ()1,383．设，讨论方程的实数根．x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解：（1）显然，当时，方程没有实根；0λ=0=-x e x λ（2）当时，方程有唯一实根；0λ<0=-x e xλ（3）当时，；曲线为下凸的，0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型；由可知，驻点，极小值，0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知，当时，方程没有实根；e <<λ00=-x e x λ当，极小值，方程只有一个实根；e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当，极小值，方程有2个实根．e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84．函数的单调增减区间、凹凸区间与极值．()()()211f x x x =-+解：，()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点：；()0f x '=113x ,=-由上可知，函数在与内单调递增，在内递减；极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值，极小值；()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得，因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，函数曲线上凸；在内下凸，如下图．()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85．已知收益函数为，其中为价格，为需求量，求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益．MR 解：因为，所以需求函数，边际收益函数为，且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为；60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时，，此时的边际收益．2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86．设函数，求其渐近线．xx exe x f y 111)(+==解：首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线：x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为，，，所以，1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+；110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线；xx exex f y 111)(+==由于，()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线：．xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87．求函数曲线的渐近线．()1ln 1x y e x=++解：显然，，为其垂直渐近线；()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =，为其水平渐近线；()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又，，，因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线．y x=88．若，试证明：与具有相同的敛散性．lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明：问题为讨论两个正项级数的敛散性，可以用比较法的极限形式，因为不是具体的级数形式．记，则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见，与具有相同的敛散性．∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89．讨论下列级数的敛散性：（1）2）；（3）；（4）1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n（5）；（6）；（7）．()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解：（1）当充分大时，比如时，有，从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时，，()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知，当时，，所以，∞→n 1→1n ∞=（2）注意到，这是正项级数，当时，(等价无穷小)，0→x x x ~tan 所以，而后者收敛,所以收敛．11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑（3）利用柯西判别法：也是正项级数，,可见原()33113n+-=<→级数收敛；事实上，，，)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛，且同为正项级数，因而原级数收敛．3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑（4）因为，()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法：取，则21nv n =；()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭，()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以，与同时收敛．()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n（5）条件收敛．（6），发散．()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑（7）=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞．()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面，==,；()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见，原级数非绝对收敛；但是单调减少且趋于0，所以，原级数条件收敛．()x x e e -+ln 190．若正项级数与都发散，讨论与的敛散性．1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解：，，{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--（1）显然，，或者，故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散；{}1max ,nnn u v ∞=∑（2）而的敛散性未定．{}1min ,nnn u v ∞=∑例如，若，()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ，()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。

(完整word版)微积分考试试题

《微积分》试题一、选择题（3×5=15）1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为( d )(A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5)(C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)52、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是( b )(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。

(B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。

(C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。

(D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。

3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ）A、导数B、变化率C、相对变化率D、微分4、下列论断正确的是（ a ）A、可导极值点必为驻点B、极值点必为驻点C、驻点必为可导极值点D、驻点必为极值点5、∫e－x dx=( b )(A)e－x＋c (B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c二、填空题（3×5=15）1.设，则。

[答案： ]2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点 (0,1) 处的切线方程是_____________。

[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０]3、物体运动方程为S=11+t （米）。

则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度为a=＿＿＿＿。

[答案：41-，41]4.设,则。

[答案：34]5．若⎰+=c e 2dx)x (f 2x ，则f(x)=_________。

[答案：2x e ]三、计算题 1、设x sin ey x1tan = ，求dy 。

（10分）解：dy=d x sin ex1tan =dx x sin x 1sec x 1x cos e22x1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛-2．计算⎰+2x )e 1(dx。

（15分）解：原式＝⎰+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝⎰⎰++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝⎰+++-+x x x x e 11dx e 1e e 1 ＝x-ln(1+e x )+xe11+ +c3.求（15分）解：4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为ｋ）０）求速度与时间的关系。