您的位置：360文档中心› 重庆市南开中学高三数学五月模拟考试 理人教版

重庆市南开中学高三数学五月模拟考试 理人教版

合集下载

重庆市2023届高三五月第二次联考数学试题

重庆市2023届高三五月第二次联考数学试题

重庆市2023届高三五月第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2,2.4]内，则这五个点数（）A．众数可能为1B．中位数可能为3C．一定不会出现6D．出现2的次数不会超过两次10．设m，n为不同的直线，a，b为不同的平面，则下列结论中正确的是（）三、填空题13．已知向量a r 与b r 为一组基底，若4ma b ®+r与2a b®+r 平行，则实数m =________.14．命题：“()1,x "Î+¥，210x ->”的否定是________.15．某市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为________.五、解答题17．在ABCV 中，内角A ，B 2p<.(1)求角A 的大小；(2)()f x 的所有极值点为1x ，2x ，…，n x ，若()()()120n f x f x f x +++=L ，求m 的值.在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ^面由ABCD 为正方形，所以AC BD ^.又1CC AC C =I ，所以BD ^面1ACC ，所因为1BD BA B =I ,所以1AC ^平面1A BD 设1AC 与平面1A BD 交于点1P ，由等体积法11113111222322AP ´´´´=´´´´´。

2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。

重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷+答案

重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷+答案

重庆市高2024届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知复数()i z a =∈R ，复数z 的共轭复数为z 若3z z ⋅=，则a =（ ）A.2B. D.82.函数()()sin cos f x x x x =−∈R 的图象的一条对称轴方程是（ ） A.π4x =B.π4x =−C.π2x = D.π2x =−3.已知函数()222x xf x −−=，则不等式()()230f x f x −+ 的解集是（ ）A.(],1∞−B.[)1,∞+C.(],3∞−D.[)3,∞+4.已知()26(21)x x a x ++−展开式中各项系数之和为3，则展开式中x 的系数为（ ） A.-10 B.-11 C.-13 D.-155.已知集合{}0,1,2,3,4A =，且,,a b c A ∈，用,,a b c 组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ） A.14 B.17 C.20 D.236.已知正三棱台111ABC A B C −的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60 ，则此三棱台的体积为（ ）A. D.7.已知函数()()120(0)xkx x x f x e kx x −−+=−>恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A.[)1,e B.()1,1,2e ∞ −∪+ C.1,2e−D.1,12 −8.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点3,02A p−，点M 在抛物线上，且满足MA MF =，若MAF的面积为p 的值为（ ）A.3B.4C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，112a =，若数列{}n n a S −既是等差数列，又是等比数列，则（ ）A.{}n a 是等差数列B.ln n a n是等比数列 C.{}n S 为递增数列 D.(){}1n n n a −最大项有两项10.已知圆22:4O x y +=，过直线:3l y x =−上一点P 向圆O 作两切线，切点为A B ､，则（ ）A.直线AB 恒过定点44,33−C.AB 的最小值为43D.满足PA PB ⊥的点P 有且只有一个 11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分100分，分为初赛和附加赛，初赛不低于75的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在[]95,100直接获一等奖，初赛分数在[)85,95获二等奖，但通过附加赛有15的概率升为一等奖，初赛分数在[)75,85获三等奖，但通过附加赛有13的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知A 同学和B 同学都参加了本次比赛，且A 同学在初赛获得了二等奖，根据B 同学的实力评估可知他在初赛获一､二､三等奖的概率分别为111,,642，已知4，B 获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（ ） A.B 同学最终获二等奖的概率为13B.B 同学最终获一等奖的概率大于A 同学获一等奖的概率C.B 同学初赛获得二等奖且B 最终获奖等级不低于A 同学的概率为21100D.在B 同学最终获奖等级不低于A 同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为41512.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在侧面11AA D D 内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（ ）A.存在点P 满足平面PBD ∥平面11B D CB.当P 为线段1DA 中点时，三棱锥111P A B D −C.若()101DP DA λλ=，则PQ PB −最小值为32D.若QPD BPA ∠∠=，则点P 的轨迹长为2π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知角α终边上有一点()2,1P ，则πsin 22α+=__________. 14.已知数列{}n a 满足111750,1751n n a a a +==−，若123n n T a a a a =⋅⋅ ，则2024T =__________. 15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为()()12,0,,0F c F c −，过椭圆外一点()3,0P c 和上顶点M 的直线交椭圆于另一点N ，若1MF ∥2NF ，则椭圆的离心率为__________.16.平面向量,,a b c 满足||||2,()()1a b c a c b ==−⋅−=−，则a c ⋅ 最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD 中，ACD 为钝角三角形，,AC BC P ⊥为AC 与BD 的交点，若π,4,6ACD AD AC ∠===，且7tan 9BAD ∠=（1）求ADC ∠的大小； （2）求PDC 的面积.18.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足__________.①首项*11,,a m n =∀∈N ，均有2m nn S S mn +=+ ②*n ∀∈N ，均有0n a >且()214n n a S −=请从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2na n a ⋅前n 项和nT 的表达式19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年，新能源汽车的渗透率达到了28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的20%的目标.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表： 月份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率%y29323432333436363638（1）假设自2023年1月起的第x 个月的新能源渗透率为%y ，试求y 关于x 的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张总共需要代付的购置税为X 万元，求X 的分布列和期望.附：一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==−==−−∑∑ 20.如图，斜三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ∠= .（1）求证：1AB A C ⊥； （2）若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC A B C −的体积为24，求直线1A C 与平面11CBB C 所成角的正弦值.21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条浙近线方程为y x =，且点P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为,A B ，在直线1x =上取一点()()1,0P t t ≠，直线AP 交双曲线右支于点C ，直线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.22.若函数()f x 在定义域内存在两个不同的数12,x x 同时满足()()12f x f x =且()f x 在点()()11,x f x ，()()22,x f x 处的切线斜率相同，则称()f x 为“切合函数”.（1）证明：()326f x x x =−为“切合函数”； （2）若()21ln g x x x x ax e=−+为“切合函数”（其中e 为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为12,x x .①求证：2124e x x <；②求证：2123(1)4a x x +<.数学试题参考答案与评分细则题号 1 23 4 5 6 7 8 9101112选项 A BABCCDDBCD ACBCDABD13.35【解析】2π3sin 2cos212sin 25αααα +==−=14.750【解析】2341231111750751,,117501751a a a a a a ====−==−−− 所以{}n a 周期为3，且6741232024121,(1)750a a a T a a =−=−⋅⋅=【解析】法一：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以N 也是PM 中点. 则3,22c b N，代入椭圆方程可得离心率c e a==法二：因为2F 为1PF 中点，1MF ∥2NF ，所以2113,222N a c NF MF x === 用焦半径公式322a a e c −⋅=，解得c e a==16.4【解析】设()()0,0,2,0O OA a == ，向量,a b夹角为θ，则()2cos ,2sin b OB θθ==设(),c x y =，由()()1c a c b −⋅−=− 得： ()()2,02cos ,2sin 1x y x y θθ−−⋅−−=−化简得： 22(1cos )(sin )12cos x y θθθ −++−=−，即(),x y 在一个圆上 而2a c x ⋅= ，所以即求x 的最大值，为c 在a上投影长度最大时，即1cos θ+ 令t=，则(22221cos 32(1)44x t t t θ=++=−+=−−+ 在1t =即π2θ=时取得17.解：（1）在ACD中，由正弦定理得：sin sin sin AD ACADC ACD ADC∠∠∠=⇒==π3ADC ∠∴=或2π3，当π3ADC ∠=时，π2DAC ∠=，与ACD 为钝角三角形不符合，舍去.所以2π3ADC ∠=. （2）由（1）知，ACD 为等腰三角形，()πtan tanπ6,4,tan tan π61tan tan 6BAD DAC DC BAC BAD DAC BAD ∠∠∠∠∠∠−===−=+⋅ ,tan 3AC BC BC AC BAC ∠⊥∴=⋅= ，由1π11ππsin sin 262262DCP PCBDCB S S S DC PC PC CB DC CB ∧+=⇒⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+，可得1πsin 26PDC PC S DC PC =∴=⋅⋅=法二：作DH AC ⊥于H ，则πsin 26DH DC ==， 由PDH PBC ∽得23DP DH PB BC ==，则221ππsin 55262DCP DCB S S CD ==⋅⋅+. 18.解：（1）若选条件①，则令1m =，可得：121n n S S n +−=+，故当2n 时有：()()()()212132113521n n n S S S S S S S S n n −=+−+−++−=++++−=⇒ 221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−又当11a =也符合上式，所以21na n =− 若选条件②，则由()214n n a S +=可得当2n 时有：()21114n n a S −−+=，两式相减得；()()1120n n n n a a a a +−+−−=，因为0n a >，故有120n n a a −−−= 又由题可求得11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而有21na n =− （2）由（1）可知：()212212na n n a n −⋅=−，则()13521123252212n n T n −=×+×+×++− ()357214123252212n n T n +=×+×+×++−两式相减得：()()13521213122222212n n n T n −+−=×+×+++−−()()1212181410522212221433n n n n n −++−=+×−−=−+− −所以2110252939n n n T + =+−⋅19.（1）计算得 5.5,34xy =，所以：122211936105.53466ˆˆˆ0.8,340.85.529.6385105.582.5ni ii nii x y nxyb a y bx xnx ==−−⋅⋅=====−=−⋅=−⋅−∑∑ 则同归直线方程为ˆ0.829.6y x =+，代入13x =得40y = 所以预测2024年1月新能源渗透率为40%； （2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为25，燃油车概率为35X 所有可能取值为0,2,4,6则()()321132823360,2512555125P X P X C ======， ()()2323123543274,6551255125P X C P X======所以X 的分布列为所以()365427450182461251251251255E X =⋅+⋅+⋅==（万元）. 20.解：（1）证明：取AB 中点O ，连接1,A O CO ，由题知1A AB 为正三角形，而ABC 也是正三角形，1,A O AB CO AB ∴⊥⊥，又1,A O CO O AB ∩=∴⊥ 平面1ACO ， 1A C ⊂ 平面11,A CO AB A C ∴⊥（2）111,cos 4A AAB AC a A AC ∠==== ， 由余弦定理得2222111132cos 2A C AA AC AA AC A AC a ∠=+−⋅⋅=1AC ∴，又1AO CO ==， 222111,AO CO AC AO CO ∴+∴⊥ 又11,,A O AB AB CO O A O ⊥∩=∴⊥ 平面1,ABC A O CO AB ∴､､两两垂直. 以O 为原点，以,,CO OB OA的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱111ABC A B C −的体积为21244ABC V S AO a a =⋅==⇒= ， 则()()()((110,2,0,0,2,0,,0,0,,A B C A AC −−−−(()110,2,,2,0CC AA CB ===.设平面11CBB C 的法向最为(),,nx y z =，由120020y n CC n CB y +⋅=⇒ ⋅=+= ′，可取()1,n = ，设向量n 与1AC的夹角为θ，()(11,cos n AC θθ∴⋅=⋅−−=−⇒， ∴直线1A C 与平面11CBB C.21.解：（1）因为渐近线方程为y x =，所以a b =，设双曲线为222x y a −=，代入P得24a =，双曲线的标准力程为224x y −=（2）设直线3:2AP x y t =−，联立双曲线22324x y tx y=−−= 得： 22222291212318244,,299cc t t y y y y x y t t t t t ε+−+−===−=−−；设直线1:2BP x y t =−+，联立双曲线22124x y t x y=−+ −= 得： 22222214412244,,2;11D D D t t y y y y x y t t t t t −−−+−===−+=−− 所以2222224121319,442219C D AD BCD C t ty y t t k k t t x t x tt t −−===−===−+−−− 则()()13:2,:2AD y x BC y x t t=−+=− 设()00,Q x y ，则()()00001232y x t y x t=−+=−，两式相除消t 得00021,123x x x −=−=+ 所以Q 在直线1x =上 另证：设直线()()()2242:22222D D D D D D D D y y x x AD y x x x x x y y −−=+=⋅+=+++， 直线()()()2242:22222C C C C C C C Cy y x x BC y x x x x x y y −+=−=⋅−=−−−，由于BP BD k k =，即2DD y t x =−−，由于AP AC k k =，即23C C y tx =+则()()13:2,:2AD y x BC y x tt=−+=−.后同前证22.解：（1）假设存在12,x x 满足题意，易知()266f x x =−′，由题可得： ()()3322121122112226263f x f x x x x x x x x x ⇔−−⇒++()()221212121266660f x f x x x x x x x ′=⇔−−′=⇒+=⇒=−代入上式可解得()(12,x x =或，故()f x 为“切合函数”（2）由题可知()2ln 1xg x x a e=−++′，因为()g x “切合函数”，故存在不同的12,x x （不妨设120x x <<）使得：()()()()221122211211122221121221121221ln ln 1ln ln :222ln 1ln 12ln ln x x x x x x x x a x x ax x x ax x x e g x g x e e g x g x x x e x x x a x a x x e e −+ =+ −+=−+ −= ⇔⇔ =− =−++=−++ − ′′①先证：2121ln ln x x x x −>−2211ln ln ln x x x x =>−=令t =，则由120x x <<可知1t >，要证上式，只需证： ()211ln 2ln 2ln 0(1)t t t m t t t t l l −>=⇔=−+<>，易知()22(1)0t m t t−−=<′ 故()m t 在()1,∞+单调递减，所以()()10m t m <=，故有2121ln ln x x x x −>− 由上面的221224e e x x <⇒< ②由上面的2式可得：21211ln ln 12x x x x e −−，代入到1式中可得： ()()()()212111221122211211221221212121ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x −+−−−+−=+===−−−− 21212ln 2a x x x x e −−⇒=且由（1）可得2ln 24ln 2e a e >−= （另解：由上面的2式可得2121ln ln 2x x x x e−−=，代入到1式的变形： ()2221211122ln ln x x a x x x x x x e−−=−+，整理后也可得到12ln 2x x a =−）故要证2123(1)4a x x +<，只需证： 2222332(1)(1)0ln 44a a a a a e e e e a a e −− +−<⇔+−+>>设()2232(1)ln 4a a h a e e a a e =+−+>，则即证：()0h a > ()()()()()22321,323212a a a a a a h a e e a h a e e e e ′=+−+=+−′=′−+ ()()222ln ln ,320033a a a e e h a h a e >>∴>⇒>′′⇒>⇒′− 在2ln ,3∞ + 单调递增()()2222ln ln 2ln 10ln 10333h a h h x x e >>=′′′−−>−− ()h a ⇒在2ln ,3∞ + 单调递增()2222ln ln ln ln 20333h a h h e  ⇒>>=−−>  所以原不等式成立 另证：当2ln ,0a e∈时，可用1a e a + 放缩代入证明不等式成立 当()0,a ∞∈+时，可用2112a e a a ++放缩代入证明不等式成立 综上，原不等式成立。

重庆市南开中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

重庆市南开中学2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

重庆市高2024届高三第一次质量检测数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}2540A x Z x x =∈-+≤，集合{B x y ==，则集合A B 的子集的个数是（）A.2B.4C.7D.82.命题“1x ∀<，21x <的否定是（）A.“1x ∃≥，21x <” B.“1x ∃<，21x ≥”C.“1x ∀<，21x ≥”D.“1x ∀≥，21x ≥”3.设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则（）A.a b c >>B.b c a>> C.a c b>> D.c a b>>4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围为（）A.0k ≥或32k ≤-B.32k ≥C.3322k -≤≤ D.302k <≤5.某高铁动车检修基地库房内有A ～E 共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01、02、高铁01、02、03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车01停放在A 道的概率为（）A.14B.15 C.18 D.1106.已知函数2s 1()log in 1xf x x x+=+-，则不等式()()021f x f x ++<的解集为（）A.1,3⎛⎫ ⎪⎝∞-⎭- B.11,3⎛⎫ ⎪⎝-⎭- C.11,23⎛⎫⎪⎝-⎭-D.11,2⎛⎫ ⎪⎝-⎭-7.已知函数215,022()2,0x x x x f x e x ⎧--<⎪=⎨⎪-≥⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的根1234,,,x x x x（12x x <34x x <<），则314242x e x x x x --的最大值是（）A.55ln32+ B.5ln24+ C.5ln3D.132e-8.已知a ，b R ∈，关于x 的不等式xe ax b ≥+在R 上恒成立，则ab 的最大值为（）A.3e B.2e C.2e D.3e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()24f x f x +-=，且()f x 在()0,1单调递增，则以下说法一定正确的是（）A.()f x 为周期函数B.()12f = C.()20232f =- D.()f x 在()3,4单调递减10.两个具有相关关系的变量x ，y 的一组数据为()11,x y ，()()22,,n n x y x y ⋅⋅⋅，求得样本中心点为(),x y ，回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，决定系数为2R ；若将数据调整为()11,1x y +，()()22,1,,,1n n x y x y +⋅⋅⋅+，求得新的样本中心点为(),x y ''，回归直线方程为ˆˆˆy b x a '''=+，决定系数为2R '，则以下说法正确的有（）附()()121ˆ()niii ni i xxy y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，()22121ˆ()1nii i ni i y yR y y==-=--∑∑A.y y '= B.ˆˆbb '= C.ˆˆa a '< D.22R R '<11.已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆于A ，B 两点，A 在x 轴上方，M 为线段AB 上一点，且满足11934AM MF F B ==，则（）A.12123AF F BF F S S =△△ B.直线lC.2AF ，AB ，2BF 成等差数列D.2AMF △的内切圆半径13r a =12.已知实数a ，b 满足0a b +<，函数()xxf x ae be cx -=++（e 为自然对数的底数）的极大值点和极小值点分别为12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（）A.0a > B.20a c +< C.120x x +< D.120()()f x f x +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从二项分布()(),01B n p p <<，若()()2E X D X =，则p =______.14.已知实数a ，b 满足()()()22log 1log 1a b a b -=-≠，则2a b +的最小值为______15.随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为______万吨，预计到______年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：lg1.10.0414≈，lg 30.4771≈）16.已知抛物线28y x =焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交抛物线于A ，B ，AB 中点为Q ，若圆()2249x y ++=上存在点P 使得12PQ AB =，则k 的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 是公比为2的等比数列，且2442a a b +=+，1323a a b b +=+.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列211log n n a b +⎧⎫⎨⎩⋅⎬⎭的前n 项和为n S ，求证：1613n S ≤<.18.（本小题满分12分）如图，多面体EFABC 中，FA ⊥平面ABC ，且//FA EB ，2EB BA BC ===，4FA =，M 是FC 的中点.（1）求证：平面CEF ⊥平面CAF ；（2）若ME =ME 与平面CBE 所成角的大小.19.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax =++在1x =处的切线l 和直线0x y +=垂直.（1）求实数a 的值；（2）若对任意的1x ，(]20,2x ∈，12x x ≠，都有12221212()()x x f x f x x x m e e--+>-成立（其中e 为自然对数的底数），求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为p （01p <<）.（1）根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为X 度，求X 的分布列和期望()E X （用p 表示）.（2）根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a 元，不开空调的每日平均用电费用为b 元，分别求a ，b ；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y 元，求Y 的分布列和期望()E Y （用p 表示）.（3）如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为()E X ；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为()E Y .要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p 的取值范围为多少?21.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ △面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+（1）求证：当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ≥；（2）求证：()111111ln(1)sin sin sin sin ln ln 2N 224622n n n n *+<+++⋅⋅⋅+<+∈.重庆市高2024届高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1-4DBDB5-8CBAB3.D 【解析】()0.20.20.2log 0.3log 1,log 0.20,1()a =∈=，22log 0.3log 10b =<=，0.30221c =>=，故c a b>>4.B 【解析】由题：230kx x k -+≥恒成立，易知0k =时不满足，0k ≠时，有2039402k k k >⎧≥⎨∆=-≤⇒⎩5.C 【解析】记M =“两动车相邻”，N =“动车01停在A 道”，则()332424()1()8A n MN P N M n M A A ===6.B 【解析】由题知10111xx x+>⇒-<<-，易知()()()0f x f x f x -+=⇒为奇函数又2212log log 111x y x x +⎛⎫==- ⎪--⎝⎭和sin y x =在()1,1-递增，故由()()()()()21210121111312f x f x f x f x f x x x x <⇒<-=⇒-<<---<<+++-<--⇒7.A 【解析】由图可知当且仅当01m <<时，方程()f x m =有四个不同的根，且125252x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭，由题：332ln(2)x em x m -=-⇒=，442ln(2)x e m x m ==+⇒-，3214422(2)5ln(2)25ln(2)4x e x x x x m m m m --=-+∴+=-+++设()()01)(2524h m m ln m m =-+++<<则12()2m h m m -'=+，令()1012m m h '<⇒<<，1()002h m m '>⇒<<故()h m 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减，max 15()5ln 322h m h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⇒8.B 【解析】由图像可知，0a <不成立，则0a ≥，要ab 最大，需要0a >，0b >；1b >时，0x =时不成立，则01b <≤；对于取定的b ，要ab 最大需要a 更大，所以只需过(0,)b 作xy e =的切线，切线斜率即为最大的a .设切点(),tt e ，则0t t e be t -=-即t a e =，()1tb t e =-()()21t ab t e g t =-=，()()()()22212112t t tg t t e e t e '=-⋅+-=-所以在12t =取得最大值2e 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.ABD10.BC11.AC12.ABD9.ABD 【解析】由于()()24f x f x +-=，得到()f x 关于()1,2对称，又因为定义域为R ，所以()12f =，B 正确；因为是偶函数()()()224f x f x f x -=-=-，()()()()44244f x f x f x f x -=--⎡⎤⎣=⎦--=，所以周期为4，A 正确；由于周期性和奇偶性，()()()2023112f f f =-==，C 错误；由于周期为4，()f x 在()3,4的单调性与()1,0-的单调性相同，由于偶函数，在()1,0-的单调性与(0)1，的单调性相反，所以D 正确.10.BC 【解析】123123111111n ny y y y y y y y y y n n++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅'==+=+，А错误；ˆb 的计算中，i x 数据不变，()1i i y y y y '-=+-也不变，所以ˆb 不变，B 正确；ˆˆˆˆˆ11ay bx y bx a a ''=-=+-=+>，C 正确；由于()22121ˆ()1nii i ni i y yR y y==-=--∑∑，i y 变成了1i y +，1y y '=+，ˆˆˆˆˆ11i i ii y b x a bx a y '''=+=++=+，从而ˆi i y y -，i y y -都不变，所以22R R '=，D 错误.11.AC 【解析】由11934AM MF F B == 可得：12121133AF F BF F AF F B S S =⇒=△△，故A 正确设()1,0F c -，()2,0F c ，:l x ty c =-，由椭圆离心率为2可得：a =，b c =，故椭圆方程可化为：22222x y c +=，联立直线l 方程整理得：()222220t y tcy c +--=.设11(),A x y ，22(),B x y ，.则有：12222tc y y t +=+，21222c y y t -=+，又由113AF F B =可得：123y y =-，联立可解得：2221111t k k t =⇒==⇒=，故B 错误由12145k AF F =⇒∠=︒，.又1OA OF A =⇒为上顶点，2AF a ==，33AB =+=，2243BF a AF AB =--=，易知满足222AB AF BF =+，故C 正确对于D ：由前面的分析知：2AMF △是以A 为直角的直角三角形，故内切圆半径222AM AF MF r +-=52144244c a +-===，故D 错误12.ABD 【解析】由题方程()2200x x xxx x xae ce bf x ae bec ae ce b e-+-'=-+==⇔+-=有两不等实根12,x x ，且()f x 在1(),x -∞，2(),x +∞上单调递增，在()12,x x 单调递减，故0a >.A 正确令xt e =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11xt e =，22xt e =，从而有：240c ab ∆=+>，00a b b a +<⇒<-< ()()()2204222020c a c a c a c a c a ⇒<-=+-⇒+<-< ()12000ct t c a a+=->⇒<> 1200b t t b a -⋅=>⇒<，又0a b +< ，故12121210x x b t t e x x a+-⋅==>⇒+>，故B 正确，C 错误对于D ：12121212()()()()()x x x x f x f x a e e b e e c x x --+=+++++11121211()()a t t b c x x t t ⎛⎫=+++++=⎪⎝⎭1212()()0c c a b c x x c x x a b ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅++=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1214.3+15.5.5，203516.226226,1313⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭13.12【解析】X 服从二项分布(),B n p ，则()E X np =，()()1D X np p =-所以()21np np p =-，12p =14.3+【解析】若()()22log 1log 1a b -=-，则a b =不成立；若2221log (1)log (1)log 1a b b -=--=-，则()()111a b --=，ab a b =+，111a b⇒+=所以1122(2)2132b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，b =时取得15.5.52035【解析】设2023年为第一年，第n 年该厂的金属产量为n a ，截止第n 年末这家冶金厂该金属的累计总产量为n S ，11(2)20(1)n n n S a n S a n -+≥⎧=⎨+=⎩12010%35a =⨯+=，()220510%3 5.5a =+⨯+=，故2024年产量为5.5万吨，10.13n n a S +=⋅+，10.13n n a S -=⋅+作差得()10.12n n n a a a n +-=⋅≥，所以()1 1.12n n a a n +=⋅≥，211.1a a =⋅也成立，所以151.1n n a -=⋅，由151.115n n a -=⋅>得11.13n ->，(1)lg1.1lg 3n ->lg 30.4771(1)11.5lg1.10.0414n ->≈≈，则n 取13，为2035年16.226226,1313⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】设AB 中点为()00,Q x y ，12PQ AB =即PA PB ⊥，P 在AB 为直径的圆上.所以只需该圆与AB 为直径的圆有公共点即可.设直线():2AB y k x =-，联立得()2228kx x-=解得21202242x x k x k++==，04y k =，0122r AB x ==+所以圆心距d =，3d r ≤+即可（不可能内含）05x ≤+化简得20029y x ≤+，代入得22164229k k ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，28226226,131313k k ⎛⎡⎫≥∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭⇒ 17.解：（1）由题意可得111121282266a b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得13a =，12b =，因为数列{}n a 的公差为3，数列{}n b 的公比为2，所以3n a n =，2nn b =（2）由（1）知：2111111log 3(1)31n n a b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭111111111111322334131n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝∴⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦易知111y n =-+在*n N ∈单调递增，故1n =，n S 取最小值16，n →+∞，13n S →故1613n S ≤≤成立.18.解：（1）证明：取AC 的中点N ，连结MN ，BN因为BA BC =，所以BN CA ⊥.因为FA ⊥面ABC ，BN ⊂面ABC ，所以FA BN ⊥.又因为CA FA A = ，所以BN ⊥平面CAF .因为点M 是FC 的中点，所以////MN FA EB ，且2FAMN EB ==.所以四边形MNBE 为平行四边形，所以//EM BN ，所以EM ⊥面CAF ，又EM ⊂平面CEF ，从而平面CEF ⊥平面CAF .（2）设点O ，D 分别为AB ，EF 的中点，连结OD ，则//OD FA ，因为FA ⊥面ABC ，OC ⊂面ABC ，所以OD AB ⊥.因为ME =，由（1）知BN =，又因为2BC BA ==所以2AC =，所以ABC △为正三角形，所以OC AB ⊥，因为FA ⊥面ABC ，所以OC ⊥面ABEF .故OC ，OA ，OD 两两垂直，以点O 为原点，分别以OC ，OA ，OD的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.C ，()0,1,0B -，()0,1,2E -，()0,1,4F ，31(,222M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭设平面CBE 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以020y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取y =，则(n =- ，设ME 与平面CBE 所成的角为α，则1sin cos ,2n ME α== ，因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以6πα=，故ME 与平面CBE 所成角的大小为6π.（2）另解：由于//EM BN ，所以即求BN 与平面CBE 所成的角.又因为FA ⊥面ABC ，FA ⊂面EBC ，所以面ABC ⊥面EBC ，而BN ⊂面ABC ，面ABC 面,EBC BC =所以BN 在面EBC 的投影为BC ，则CBN ∠即为所求角.而ME BN ==，2BA BC ==，所以1MC =，2AC =，则ABC △为正三角形，而N 是AC 的中点，所以6CBN π∠=，故ME 与平面CBE 所成角的大小为6π.19.解：（1）1()2f x x a x '=++ ，()13f a '∴=+由题知()11f '=，312a a ∴+=⇒=-（2）不妨设1202x x <<≤，则120x x e e-<，由题可得：()122212121()()()x x f x f x x x ee f x m --+<⇔-1222122()x x x me f x x e m -<---，设()()2x g x f x x me =--，则：12()()g x g x <故()g x 在(]0,2单调递增，从而有：11()202x xg x me m e x x -⇔⎪⎛⎫'≤=--≥- ⎝⎭在(]0,2上恒成立，设1()2x h x e x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()min m h x ≤2221121()2(02)x x x x x h x e e e x x x x -----⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=⋅<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021211012h x x x x x x '>⇒--=+->⇒<≤()001h x x <⇒<<'()h x ∴在()0,1单调递减，在(]1,2单调递增.又1(1)h e =-，故()h x 在(]0,2上最小值min 1()h x e=-从而有1m e ≤-，即1,m e⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦20.解：（1）X 的分布列为X510P 1p-p ()()511055E X p p p=-+=+（2）开空调时每日用电量：峰段1030%3⨯=度，谷段1040%4⨯=度，平段1030%3⨯=度，则30.640.430.5 4.9a =⨯+⨯+⨯=元不开空调时每日用电量：峰段560%3⨯=度，谷段520%1⨯=度，平段520%1⨯=度则50.610.410.5 2.7b =⨯+⨯+⨯=元Y2.7 4.9P 1p-p ()()2.71 4.9 2.7 2.2E Y p p p=-+=+（3）分时电价总电费为()30 2.7 2.28166p p +=+（元）30天总用电量()3055150150p p +=+度0.2p ≤时，阶梯电价总电费为()()0.4515015067.51p p +=+（元）0.2p >时，阶梯电价总电费为()0.451800.61501501806390p p ⨯+⨯+-=+（元）所以，0.2p ≤时，()816667.5113.5 1.50p p p +-+=-≤，9p ⇒≥，不成立；0.2p >时，8166639018240p p p +--=-≤，34p ≥综上，3,14p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用.21.解：（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩2a ⇒=，22114:b C x y ⇒=-=（2）由点2323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=.联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=设11(),P x y ，22(),Q x y ，则有：122814km x x k+=-，21224(1)14m x x k -+=-⋅，()221641640m k ∆=-+=>又由直线交左右两支各一点可得：2221224(1)10140414m x x k k k -+=<⇒-⇒<-⋅>1228114PQ x k =-=-()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =，()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =2212121222224311484322211(14)m k d d S S PQ d PQ d k k k ∴-⎛⎫⎛⎫===== ⎪⎪++-⎝⎝⎭⇒⎭2213(14)16k k =⇒⇒-=（2140k -> ）又121212*********()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--，其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---1212122132()44y y k k x x x x ==-+--∴假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k成等比数列，则有2221213642k k k λλλ=-⇒=⇒=±，故存在2λ=±满足题意22.解：（1）首先发现()00f =，而1cos 1()f x x x '=-+，(]1,0x ∈-时，cos 1x ≤，111x ≥+，()0f x '≤，()f x 单减则()()00f x f ≥=成立；0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时，2sin 1()(1)f x x x ''=-++在0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时单减，()010f ''=>，211110212f ππ⎛⎫''=-+<-+= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以存在0,2x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，()00f x ''=，()f x '在0(0,)x 单增，0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，而()00f '=，所以00()f x '>，又02f π⎛⎫'<⎪⎝⎭所以存在10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10f x '=，()f x '在1(0,)x 单增，1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，由于12e π+<所以1ln 111022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x >综上，()0f x ≥在1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立得证.（2）由（（1），102f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，11sin ln 122n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭所以111135721sinsin sin sin ln ln ln ln 24622462n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅从而111146822sin sin sin sin ln ln ln ln 246235721n n n ++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+两式相加得：11113456222sin sin sin sin ln ln ln ln ln ln(1)2462234521n n n n +⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅=+ +⎝⎭所以左边得证；又由（1），102f n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，1121sin ln 1ln 222n n n n -⎛⎫⎛⎫->-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12sin ln 221n n n <-所以111142sin sin sin sin ln ln ln ln 24623212615n n n +++⋅⋅⋅+<++-从而111121sin sin sin sin ln ln ln ln 246222235124n nn -+++⋅⋅⋅+<++-两式相加得：111134522sin sin sin sin 2ln 2ln ln ln ln 2ln 2ln 246223421n n n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=+ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以右边得证.（右边不等式另证）设1111sinsin sin ln 222ln 24n a n n =++⋅⋅⋅+--先证明sin x x <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭成立：()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-<，()g x 单减，()()00g x g <=则1111sinln1ln 2ln 20222a =--<-<而1111111sin ln(12ln )222222n n n a a n n n n n n +-=+-+<++++设(0,1)1n t n =∈+，构造11()(1)22ln h t t t =-+，1111()122t h t t t-⎛⎫'=-+=⋅ ⎪⎝⎭可知在()0,1，()h t 单增，()()10h t h <=所以10n n a a +-<，n a 单减，则10n a a <<。

重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷

重庆市(新版)2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷

重庆市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（）A．B．C．D．1第(2)题已知为复数单位，，则的模为（）A．B．1C．2D．4第(3)题“是第二象限角”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第(4)题已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（）A．B．C．D．第(5)题在的二项展开式中，二项式系数的和为（）A．8B．16C．27D．81第(6)题已知命题p：若，则；命题q：若方程只有一个实根，则.下列命题中是真命题的是（）A．B．C．D．第(7)题已知命题，，则p的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的有（）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解第(2)题a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，则第(3)题红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）．A．事件A与事件C是独立事件B．事件A与事件B是互斥事件C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.第(2)题一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．第(3)题已知向量，，，且，则实数_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l 1交椭圆E于，两点，连接，，．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．第(2)题已知数列是首项为9，公比为的等比数列．(1)求的值；(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．第(3)题在直角坐标系中，直线的参数方程为，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求点的直角坐标；（2）若直线与曲线相交于两点，线段的中点横坐标为，求直线的普通方程.第(4)题某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道．为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．图1-图3中的相关边、角满足以下条件：直线与的交点是，，．米．小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．(1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；(2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；(3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．第(5)题如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．。

2022版高考数学一轮复习 考案(5理+5文)第五章 数列综合过关规范限时检测(含解析)新人教版

2022版高考数学一轮复习 考案(5理+5文)第五章 数列综合过关规范限时检测(含解析)新人教版

第五章综合过关规范限时检测（时间：120分钟满分150分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．数列错误!,－错误!，错误!,－错误!,…的一个通项公式为(D）A．a n＝(－1）n·错误!B．a n＝（－1）n·错误!C．a n＝（－1）n＋1·错误!D．a n＝（－1)n＋1·错误!［解析］该数列是分数形式，分子为奇数2n＋1，分母是指数2n，各项的符号由（－1）n＋1来确定,所以D选项正确．2．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S10＝20，S20＝60，则S30＝（C）A．100B．120C．140D．160［解析］由等比数列的性质可知，S10，S20－S10,S30－S20成等比数列，则（S20－S10）2＝S10·(S30－S20)，即(60－20）2＝20（S30－60）,解得S30＝140。

3．（2021·河北衡水中学模拟)已知等差数列｛a n｝的公差为2，前n项和为S n,且S10＝100，则a7的值为(C）A．11B．12C．13D．14［解析］由S10＝100及公差为2，得10a1＋错误!×2＝100，得a1＝1。

所以a n＝2n －1,故a7＝13。

故选C。

4．（2021·山东潍坊期末)已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和,若存在m∈N＊，满足错误!＝28,错误!＝错误!，则数列｛a n}的公比为（B)A．2B．3C．错误!D．错误!［解析］设数列{a n｝的公比为q，由题意知q≠1，因为错误!＝28，错误!＝错误!，所以1＋q m＝28，q m＝错误!，所以m＝3，q＝3.故选B.5．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，若S13>0，S14〈0,则S n取最大值时n的值为（B)A．6B．7C．8D．13[解析]根据S13〉0,S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7〉0，a1＋a14＝a7＋a8<0.所以a7〉0,a8<0，则S n取最大值时n的值为7.故选B.6．（2021·江西南昌三中模拟）在等比数列｛a n}中，已知对任意的正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2n＋m，则a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝（A)A。

重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)

重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题 理(含解析)

重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

重庆市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题(原卷版)

重庆市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题(原卷版)

重庆市高2023届高三第一次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知数列a n 为等差数列，a 2+a 8=6，则a 3+a 5+a 7=()A.9B.12C.15D.162.设集合A ={x |x +2 ≤2|，B ={x x 2+2x ≤3 }，C ={x x ∈A 且x ∈B }，则集合C =()A.∅B.[-4,-3)C.(-4,-3]D.(0,1]3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是()A.y =x12B.y =e x +e -xC.y =x 2D.y =-xln 4.已知a =(57)-57，b =(75)25，c =275log ，则()A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.c <a <b5.用1，2，3，⋯，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有()A.600个B.540个C.480个D.420个6.使得“函数f (x )=7+2ax -x 2在区间[-1，1]上单调递减”成立的一个充分不必要条件是()A.a ≤-1B.0<a ≤3C.-3<a <-1D.-3≤a <07.已知a >1，b >1，且a lg =1-2b lg ，则a 2log +b 4log 的最小值为()A.10B.9C.92lg D.82lg 8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=2f (x )+x 2-x ，则函数g (x )=xf 2(x )-1x的零点个数为()A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9.已知实数m ，n 满足m >n >0，则下列结论正确的是()A.m >nB.m +1m >n +1n C.m +1n log <n +1mlog D.n m 2<m n22022.9公众号：一枚试卷君10.设函数f 1(x )=f (x )，f n +1(x )=f [f n (x )]，n ∈N *，则下列函数中满足f 3(x )与f (x )值城相同的是A.f (x )=e xB.f (x )=xln C.f (x )=x 2-1D.f (x )=x +1x11.已知函数f (x )=a x +b ⋅a -xx 2+c，a >0且a ≠1，则f (x )的大致图象可以是()12.设定义在R 上的函数f (x )与g (x )的导函数分别为f '(x )和g '(x )，若f (x +2)-g (1-x )=2，f '(x )=g '(x +1)，且g (x +1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是()A.g (1)=0B.函数g '(x )的图像关于x =2对称C.2022k =1g (k ) =0D.2021k =1f (k )g (k ) =0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.设函数f (x )的导函数为f '(x )，且f (x )=x ln +f '(1)x 2+3，则f '(1)=．14.已知函数f (x )=1-3x ,x ≤09x log ,x >0 ，则f (f (14))=．15.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 3 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为．16.已知l 1，l 2是曲线f (x )=x x ln -ax 的两条倾斜角互补的切线，且l 1，l 2分别交y 轴于点A 和点B ，O 为坐标原点，若OA +OB >4，则实数a 的最小值是．四、解答题：本题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=3a n -2，n ∈N *．(1)设b n =a n -1，求数列a n 的通项公式；(2)设T n =3a 1log +3a 2log +⋯+3a n log ，(n ∈N *)，求证：T n >n (n -1)2．某大型企业组织全体员工参加体检，为了解员工的健康状况，企业相关工作人员从中随机抽取了40人的体检报告进行相关指标的分析，按体重"超标"和"不超标"制2×218.(本小题满分12分)列联表如下：附：Κ2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，n =a +b +c +d ．(1)完成题中的2×2列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.001的前提下认为该企业员工“体重是否超标与性别有关”？(2)若以样本估计总体，用频率作为相应事件的概率，现从该大型企业的男、女员工中各随机抽取一名员工的体检报告，求抽到的两人中恰有一人体重超标的概率.19.(本小题满分12分)如图，EA ⊥平面ABCD ，EA //FC ，AC =EA =2FC =2，四边形ABCD 为菱形．(1)证明：FA ⊥平面EBD ；(2)若直线AB 与平面EBD 所成角的正弦值为25，求三棱锥E -BDF 的体积．ABCDEF超标不超标合计男1620女15合计P (Κ2≥k )0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828公众号：一枚试卷君20.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行围棋比赛，规则如下：甲、乙进行第一局比赛，丙旁观；每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比賽，负者下一局旁观；直至有人累计胜两局，则比赛结束，且先累计胜两局者为本次比赛获胜者．巳知甲乙对弈，每局双方获胜的概率均为0.5，甲丙对弈乙丙对弈，每局丙获胜的概率均为0.4，对方获胜的概率均为0.6，各局比赛结果相互独立.(1)设本次比赛共进行了X局，求X的分布列与数学期望；(2)若比赛结束时共进行了4局对弈，求丙是本次比赛获胜者的概率．21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，AF=10．(1)求p的值；(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且∠BAD=90°，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由．22.(本小题满分12分)ln-1，a>0．已知函数f(x)=x-a x(1)若f(x)在区间[1，+∞)上不单调，求a的取值范围；(2)若不等式a(x-1)e x≥f(x)对∀x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围.。

重庆市南开中学2014届高三5月月考数学理试题 word版

重庆市南开中学2014届高三5月月考数学理试题 word版

重庆市南开中学2014届高三5月月考数学理试题第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、若集合{}{}20,,1,2A m B ==，则“1m =”是“{}0,1,2AB =”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件2、设非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 、11a b>B 、2ab b <C 、0a b +>D 、a b <3、函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴为（ ） A 、3x π=-B 、3x π=C 、6x π=D 、512x π=-4、已知向量a 、b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则向量a 与b 的夹角是（ ） A 、2πB 、23π C 、34π D 、56π 5、若在区间[]0,2中随机地取两个数，则这两个数之和大于1的概率是（ ） A 、34B 、78C 、916D 、35126、执行如题（6）图所示的程序框图，则输出的S 为（ ）A 、12- B 、2 C 、13D 、3-7、已知某几何体的三视图如题（7）图所示， 则该几何体的体积为（ ）A 、8B 、83C 、4D 、128、已知,0a b >，实数,x y 满足不等式组22220,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则当2a b a b a ++取得最大值时，z bx ay =+取最大值的最优解为（ ） A 、()0,0B 、()1,0C 、()0,1D 、22,33⎛⎫⎪⎝⎭9、已知双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ，且双曲线上存在异于顶点的一点P ，满足1221tan3tan 22PF F PF F ∠∠=，则该双曲线离心率为（ ） A 、2B 、3CD10、如图所示，某地有一段网格状公路，小王开车从A 处出发，选择最近的路线去往B 处。

高三数学下学期统练试卷(3)理(含解析)-人教版高三全册数学试题

高三数学下学期统练试卷(3)理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015年某某市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞c＞a D． b＞a＞c2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值X围是（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A． 2ab＜＜＜b B． 2ab＜＜＜bC．＜2ab＜＜b D． 2ab＜＜b＜5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B． a3+b3≥2ab2C． a2+b2+2≥2a+2b D．≥6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A． {x|x＞5a或x＜﹣a} B． {x|﹣a＜x＜5a} C． {x|x＜5a或x＞﹣a} D． {x|5a＜x ＜﹣a}7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D． [﹣2，0]∪[2，+∞）8．当x＜0时，函数的最小值是（）A． B． 0 C． 2 D． 49．不等式≥3的解集是（）A． {x|﹣2≤x≤2} B． {x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D． {x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，） B．（，2） C．（1，） D．（0，1）11．对于恒成立，则a的取值X围（）A．（0，1） B． C． D．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B． 0＜a＜1 C． 1＜a＜3 D． 3＜a＜6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a的取值X围为．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值X是．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值X围是．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值X围为．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2015•某某校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．20．（15分）（2015•某某校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，某某数a的X围．21．（15分）（2005•某某）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．22．（15分）（2014•某某）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值X围．2015年某某市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞c＞a D． b＞a＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可判断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查学生掌握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于容易题．2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性判断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值X围是（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）考点：基本不等式．专题：不等式．分析：问题转化为+a﹣＞0在x＞0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的X围．解答：解：设x＞0，若x+＞1恒成立，则：x2﹣x+a＞0，即+a﹣＞0，∴a﹣＞0，解得：a＞，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题．4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A． 2ab＜＜＜b B． 2ab＜＜＜bC．＜2ab＜＜b D． 2ab＜＜b＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析： b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞＞a，利用a2+b2，可得．由＞，可得=．由于﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：∵b＞a＞0，且a+b=1，∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞＞a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b2=，又＞，∴，即=．﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=2﹣﹣=0，∴＜b．综上可得：2ab＜＜b．故选：B．点评：本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B． a3+b3≥2ab2C． a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：根据基本不等式的性质可知．≥排除A，取，判断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排除C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排除D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了学生对基础知识的掌握．6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A． {x|x＞5a或x＜﹣a} B． {x|﹣a＜x＜5a} C． {x|x＜5a或x＞﹣a} D． {x|5a＜x ＜﹣a}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出不等式对应的方程的两根，并判定两根的大小，从而得出不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应根据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题．7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D． [﹣2，0]∪[2，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值X围，因为函数是分段函数，故需要在两段分别做分析讨论，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值X围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．根据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，根据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值X围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类讨论的数学思想．要求学生理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．8．当x＜0时，函数的最小值是（）A． B． 0 C． 2 D． 4考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题．9．不等式≥3的解集是（）A． {x|﹣2≤x≤2} B． {x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D． {x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由原不等式可得，即1＜|x|≤2，由此求得x的X 围．解答：解：不等式≥3，即≤0，∴，∴1＜|x|≤2，解得1＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，） B．（，2） C．（1，） D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|9x＜27x}={x|3＜33x}={x|2x2＜3x}={x|0＜x＜}，N={x|log（x﹣1）＞0}={x|0＜x﹣1＜1}={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键．11．对于恒成立，则a的取值X围（）A．（0，1） B． C． D．考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再根据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．解答：解：=根据y=在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，故选B．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B． 0＜a＜1 C． 1＜a＜3 D． 3＜a＜6考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x＜＜1，考查解集端点的X围，解出a的取值X围．解答：解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a的取值X围为[，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：根据不等式||＞a的解集为M，且2∉M，可得||≤a，由此即可求a的取值X围．解答：解：∵不等式||＞a的解集为M，且2∉M，∴||≤a，∴|a﹣|≤a∴a2﹣a+≤a2，解得：a≥，∴a的取值X围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．点评：本题考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值X是（0，）∪（2，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x）的奇偶性及在（﹣∞，0）上的单调性可判断其在（0，+∞）上的单调性，由f（x）的性质可把f（log x2）＜f（1）转化为具体不等式，解出即可．解答：解：因为f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（log x2）＜f（1），则﹣1＜log x2＜0，或0＜log x2＜1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞）所以实数x的取值X围为（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值X围是（0，1）．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，数形结合求得a的X围．解答：解：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0＜a＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值X围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是 6 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是 3 ．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2015•某某校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元一次不等式的解求出a=3b＜0，利用消参法转化为含有参数b的一元二次不等式，进行求解即可．解答：解：∵（a+b）x+（2a﹣3b）＜0，∴（a+b）x＜3b﹣2a，∵不等式的解为x＞﹣，∴a+b＜0，且=﹣，解得a=3b＜0，则不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．等价为bx2+（4b﹣2）x+（3b﹣2）＞0．即x2+（4﹣）x+（3﹣）＜0．即（x+1）（x+3﹣）＜0．∵﹣3+≤﹣1．∴不等式的解为﹣3+＜x＜﹣1．即不等式的解集为（﹣3+，﹣1）．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查学生的运算和推理能力．20．（15分）（2015•某某校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，某某数a的X围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析： M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值X围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值X围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a≤．…（10分）综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值X围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值X围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（15分）（2005•某某）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．点评：本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．22．（15分）（2014•某某）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值X围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）递减 0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅下面分三种情况讨论：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值X围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值X围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值X围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．。

重庆市南开中学校2025届高三上学期7月月考数学试题(含答案)

重庆市南开中学校2025届高三上学期7月月考数学试题(含答案)

重庆南开中学高2025级高三7月月考数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的单调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ．3．命题p ：“函数在区间上单调递增”是命题q ：“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当时，，则（）A ．4B ．C ．5D ．5．若正实数x ，y 满足，则xy 的取值范围为（ ）A ．（0，4]B ．C ．D ．6．若函数在时有极小值，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（）A ．B ．1C ．D ．28．已知函数是R 上的偶函数，且，当时，，函数f （x ）在区间的零点个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．{A x y =={}2x B y y ==A B = (](),50,-∞-+∞ [)1,+∞()0,+∞[)[)5,01,-+∞ ()()2ln 1f x x =-()0,+∞(),0-∞()1,+∞(),1-∞()313f x x ax =-[]1,1-1a ≤0x >()21f x x =+()2f '-=4-5-40x y xy +-=[)2,+∞[)4,+∞[)16,+∞()()2e x f x ax b =+1x =2e -ab =2-3-e-1-()()ln f x x m =+()()ln g x x =--m =1-2-()1f x +()()220f x f x ++-=(]0,1x ∈()25log 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]3,3-9．下列关于幂函数的说法正确的有（ ）A ．函数f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）的值域为C ．函数f （x ）为偶函数D ．不等式的解集为10．已知函数f （x ）在定义域内恒大于0，且满足，则下列不等式正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数（且），则（ ）A ．当时，函数g （x ）有3个零点B ．当时，函数g （x ）在上单调递减C ．当函数g （x ）在处的切线经过坐标原点时，有或D ．当时，若函数恰有两个零点、，则第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则f （x ）的解析式为______．13．已知函数的值域为，则______．14．已知函数，若且，有恒成立，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数在点处的切线l 与直线平行．（1）求k 的值及切线l 的方程；（2）求f （x ）的单调区间和极值．16．（15分）()43f x x -=()0,+∞()1f x <()1,1-()1,+∞()()ln 0f x xf x x '->()()2ln 33ln 2f f >()()2ln 33ln 2f f <()()224f f >()()224f f <()[)()[]cos ,0,2ππ2sin 1,2π,3πax x x g x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩a ∈R 0a >1a =12a =4π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭()00,P x y 0001sin cos 2x x x +=00tan 1x x ⋅=12a ⎡∈⎢⎣()()f x g x t =-1x 2x 122πx x +>()2212f x x x -=-()()sin 1202520252cos 3xf x x x =+-≤≤-[],m M M m +=()()1e ln xf x x x x =--()12,0,x x ∀∈+∞12x x ≠()()122212f x f x a x x ->-()2ln 1f x x x kx =+-+()()2,2f 320x y -=已知函数为偶函数．（1）求a 的值及函数f （x ）的值域；（2）设，若，都有恒成立，求实数m 的取值范围．17．（15分）2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小署至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎．（1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率．（2）甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p 和．（i ）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X ，求X 的分布列；（ii ）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p 的取值范围．18．（17分）已知椭圆C ：，、分别为椭圆C 的左、右焦点，过作与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．当l 垂直于x 轴时，．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点D 、E 分别为线段、的中点，点M 、N 分别为线段AE 、BD 的中点．（i ）求证：为定值；（ii ）设面积为S ，求S 的取值范围．19．（17分）定义可导函数p （x ）在x 处的函数为p （x ）的“优秀函数”，其中为p （x ）的导函数．若，都有成立，则称p （x ）在区间D 上具有“优秀性质”且D 为（x ）的“优秀区间”．已知．（1）求出f （x ）的“优秀区间”；（2）设f （x ）的“优秀函数”为g （x ），若方程有两个不同的实数解、()()93x xaf x a +=∈R ()()()()22g x mf x f x m m =++∈R x ∀∈R ()0g x <12112p p ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>()11,0F -()21,0F 2F 3AB =1F A 1F B MNAB1F MN △()()()xq x p x p x '=⋅()p x 'x D ∀∈()1q x >()()e 10xf x x =-≠()()ln e xx m g x +=1x．（ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）证明：（参考数据：）．参考答案一、单选题12345678B CAADBDC二、多选题91011BC ACABD三、填空题12．13．214．四、解答题15．（1），，故f （x ）在处的切线斜率为．，解得．因此．故l ：，即．（2）f （x ）的定义域为．又．令，解得或；令，解得．故f （x ）在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上所述，f （x ）的单调递增区间为和，单调递减区间为．且在处取得极大值，在处取得极小值．16．（1）∵f （x ）为偶函数，，，，()212x x x <121ln x x m e++< 2.718e ≈()22x x f x 2=+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()12f x x k x '=+-()922f k '=-2x =92k -9322k ∴-=3k =()2ln 2461ln 21f =+-+=-()()3ln 2122y x --=-3ln 242y x =+-()0,+∞()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==()0f x '>1x >12x <()0f x '<112x <<10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭12x =111ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1x =()11f =-()()f x f x ∴=-9919333x x xx x xa a a --+++⋅∴==919x x a a ∴+=+⋅即对恒成立，．（当且仅当时取等）故值域为．（2），令，则．对恒成立，即对恒成立．，故原式子又等价于对恒成立．令，则，则h （t ）在上单调递增．故，．故m 的取值范围为．17．（1）记“他们至少选中其中的两个园区”为事件A ．则．（2）（ⅰ）由可知：X 可取0，1，2．列出分布列如下：X 012P（ⅱ）由（ⅰ）可知，解得．18．（1）在椭圆C 中，令，可得，故有，而，，解得，，，故椭圆C 的标准方程为．（2）（ⅰ）设l ：，将l 与C 联立可得：．设，，则，．()191xa a -⋅=-x ∀∈R 1a ∴=()1323x x f x ∴=+≥=0x =[)2,+∞()()()2233233x x x x g x m m --=++++()332xxt t -=+≥222332x x t -+=-()()2220g x m t t m ∴=-++<2t ∀≥()2120m t t -+<2t ∀≥210t -> 221tm t <--2t ∀≥()221th t t =--()()2222201t h t t +'=>-()2,+∞()()423h t h ≥=-43m ∴<-4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()11343437C C C 22C 35P A +==()()()201121242P X p p p p ==---=-+⎡⎤⎣⎦()()()()21121121451P X p p p p p p ==--+--=-+-⎡⎤⎣⎦()()22212P X p p p p==-=-2242p p -+2451p p -+-22p p-()()()22145122311E X p p p p p =⋅-+-+⋅-=->213p >>x c =2b y a =±223b a =1c =222a b c =+24a =23b =21c =22143x y +=1x ty =+()2234690t y ty ++-=()11,A x y ()22,B x y 122634t y y t -+=+122934y y t -=+则，，，．①当l 与x 轴垂直时，，此时，故；②当l 与x 轴不垂直时，也有．综上，．故，而，故．（ⅱ）由（ⅰ）可知：，故：．令，解得．恒过定点．设到MN 与AB 的距离分别为与，的面积为，则．故令，则，因为在上单调递增，故，则．综上所述，S 的取值范围为．19．（1）当时，．令，则，令，解得；令，解得．111,222x y D ⎛⎫-⎪⎝⎭221,222x y E ⎛⎫- ⎪⎝⎭12121,24424x x y y M ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭21211,24424x x yy N ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭12x x =13144M N x x x =-=MN AB ∥1212121244M N MNAB M N y y y y y y k k x x x x x x ---====---MN AB ∥MN AB ∥2AB y =-14N MN y AB =-=14MN AB =MN AB ∥MN l 1212124224x x y y x t y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0y =121212121111124424244242x x y y ty ty y y x t t ++⎛⎫⎛⎫=+--+=+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MN l 1,02R ⎛⎫⎪⎝⎭1F 1d 2d 1F AB △1S 111122113214162MN d F R S S F F AB d ===112121233131616216S S F F y y y y ==⋅⋅-=-=94==)1r r =≥()2299911443143143r r S r r r r=⋅=⋅=⋅+-++13y r r =+[)1,+∞134r r +≥916S ≤90,16⎛⎤⎥⎝⎦()e 1xf x =-()()1e 1e 11e 1e 1xxx x x x g x -+-=-=--()()1e 1xh x x =-+()e xh x x '=()0h x '>0x >()0h x '<0x <当时，h （x ）单调递减；当时，h （x ）单调递增，故．当时，，则，f （x ）不具有“优秀性质”；当时，，则，f （x ）具有“优秀性质”．故f （x ）的“优秀区间”为．（2）（ⅰ）原式．令，，令，解得；令，解得．故当时，k （x ）单调递减；时，k （x ）单调递增．当时，；时，，，故．即m 的取值范围为．（ⅱ）由、为方程的两个解可知：，则，令，，令，，则N （x ）在单调递增，故．令，解得．故M （x ）在（0，1）上单调递减，上单调递增．则．令，，令，则，故G （x ）在上单调递增，．即，故Q （x ）在上单调递增．故(),0x ∈-∞()0,x ∈+∞()()00h x h >=(),0x ∈-∞e 10x -<()10g x -<()0,x ∈+∞e 10x ->()10g x ->()0,+∞()e ln 1ln 1e 1ln 0e 1x xx x x x m x x x mx m x--⇔+=⇔---=⇔=-()e ln 1x x x k x x --=()()()21e 1x x k x x --'=()0k x '>1x >()0k x '<01x <<()0,1x ∈()1,x ∈+∞0x →()k x →+∞x →+∞()k x →+∞()11k e =-1m e >-()1,e -+∞1x 2x 2222e 1ln x m x x x =--1201x x <<<()1212212222221e 1e 11ln ln ln x x x x m x x x x e x x x x e++<=--⇔<---()e 11x M x x x x e =---()()()21e 1xx x M x x ---'=()e 1xN x x =--()e 10xN x '=->()0,+∞()()00N x N >=()0M x '>1x >()1,+∞()()22121 2.72 2.710.89120e e M x M e e e e e---⨯-≥=--=>=>()()()11Q x k x k x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()()()()221e e 111x xx x x Q x k x k x x x --+-⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭()e e 1,1x x G x x x x =-+->()1111e e e 1e e e 10x xx xx x G x x x x x'=-++>-++>()1,+∞()()10G x G >=()0Q x '>()1,+∞，即，成立．因为，则，又，，k （x ）在（0，1）单调递减，则，即，故．所以．()()10Q x Q >=()1k x k x ⎛⎫> ⎪⎝⎭1x ∀>1201x x <<<()()1221k x k x k x ⎛⎫=>⎪⎝⎭101x <<2101x <<121x x <121x x <()12ln 0x x <()212222e 11ln 0x x x x x x e <<---。

2013届重庆市南开中学高三5月月考(三模)数学理科试题及答案

2013届重庆市南开中学高三5月月考(三模)数学理科试题及答案

重庆南开中学高2013级高三5月月考数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设全集为R ，集合{}12,01A x x B xx ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则R A C B =（ ） A 、[)2,1- B 、[]2,1- C 、[]2,2- D 、[)2,-+∞ 2、若复数()()2232m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A 、0或2B 、2C 、0D 、1或2 3、已知()tan :,:log 42p q f x x αππα<<=在()0,+∞内是增函数，则p q 是的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41a a 等于（ ） A 、3 B 、4 C 、6 D 、75、执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为27，则输入的x 值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、56、已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆22240x y x y m +--+=的周长，则25a b a b +++的最大值为（ ）A 、6B 、4C 、3D 、3 7、定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数()3cos 21sin 2x f x x=的图象向左平移m 个单位()0m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A 、6πB 、56π C 、3π D 、23π8、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为A ，延长FA 交双曲线右支于点P ，若A 为线段PF 靠近F 的三等分点，则该双曲线的离心率为（ ）A 、52B 、133C 、5D 、1329、某车队将选派5辆车赴灾区的,,A B C 三地运送救援物资，每地至少派一辆车，其中甲车不派往A 地，则不同的分配方案有（ ）A 、120种B 、112种C 、100种D 、72种10、设集合()11,()11A x y xy x y x y ⎧⎫⎪⎪=+++-≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，(){}22,1B x y x y =+≤，则在同一直角坐标平面内，A B 所形成区域的面积为（ ）A 、2132π+B 、12π+C 、23π+D 、223π+第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷(含答案)

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷(含答案)

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A．x2＝x B．C．x2﹣4＝0D．x2+2x+4＝03．（4分）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜04．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A 在x轴上，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣2，2），则点D的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（﹣4，6）C．（﹣4，5）D．（﹣3，5）5．（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）26．（4分）估计的值应在（ ）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间7．（4分）若，则的值为（ ）A．B．1C．1.5D．38．（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n个小三角形，这里的n＝（ ）A．87B．74C．62D．539．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD的交于点O，点E为边AB上一动点，连接DE，作CF⊥DE 于点F，连接OF，若∠BDE＝α，则∠DOF的度数为（ ）A．2αB．30°+αC．45°﹣αD．60°﹣2α10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n 个数记为a n（n为正整数），已知a1＝x．并规定：a n+1＝，T n＝a1•a2•a3…a n，S n＝a1+a2+a3+…+a n．则：①a2＝a5；②T1+T2+T3+…+T1000＝；③对于任意正整数k，T3k+3（S3k﹣S3k+2）＝T3k﹣T3k﹣1﹣T3k﹣2成立，以上结论中正确的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝ ．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝ ．13．（4分）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 ．14．（4分）若一个多边形的内角和为720°，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是 ．15．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞0，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE 的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为 ．18．（4分）若一个四位自然数A，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A为“活泼数”，例如A＝2521，因为52﹣22＝21，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B为“可爱数”，例如1425，因为2﹣1＝1，5﹣4＝1，故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”，规定：，对于一个“可爱数”B＝，规定：G（B）＝p﹣n，则F（5611）×G（3142）＝ ；当B的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数A 的和是 ．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组：．20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．21．（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，① ，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴，．∵∠ADC＝∠CBA，∴② ，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③ ，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．22．（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E频数14b28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c83请你根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝12，DC＝6，BC＝8．动点P从A点出发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，y1＝AP+DQ．（1）请直接写出y1关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）若函数y2＝x+b的图象跟函数y1的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．24．（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔．商家用1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%．商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？25．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y＝（k≠0）图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD＝，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC 上两点，点M在点N的左侧且MN＝AP，求EM+DN的最小值及此时点N的坐标；（3）在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF﹣∠PAB＝45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．【答案】D2．（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A．x2＝x B．C．x2﹣4＝0D．x2+2x+4＝0【答案】B3．（4分）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜0【答案】A4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A 在x轴上，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣2，2），则点D的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（﹣4，6）C．（﹣4，5）D．（﹣3，5）【答案】B5．（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）2【答案】B6．（4分）估计的值应在（ ）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间【答案】B7．（4分）若，则的值为（ ）A．B．1C．1.5D．3【答案】A8．（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n个小三角形，这里的n＝（ ）A．87B．74C．62D．53【答案】B9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD的交于点O，点E为边AB上一动点，连接DE，作CF⊥DE 于点F，连接OF，若∠BDE＝α，则∠DOF的度数为（ ）A．2αB．30°+αC．45°﹣αD．60°﹣2α【答案】C10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n 个数记为a n（n为正整数），已知a1＝x．并规定：a n+1＝，T n＝a1•a2•a3…a n，S n＝a1+a2+a3+…+a n．则：①a2＝a5；②T1+T2+T3+…+T1000＝；③对于任意正整数k，T3k+3（S3k﹣S3k+2）＝T3k﹣T3k﹣1﹣T3k﹣2成立，以上结论中正确的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：（）﹣1+（π﹣2）0＝　3　．【答案】3．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝　1　．【答案】1．13．（4分）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为　20　．【答案】20．14．（4分）若一个多边形的内角和为720°，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是　3　．【答案】3．15．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．【答案】．16．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞0，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是　﹣8　．【答案】﹣8．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE 的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为 ．【答案】．18．（4分）若一个四位自然数A，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A为“活泼数”，例如A＝2521，因为52﹣22＝21，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B为“可爱数”，例如1425，因为2﹣1＝1，5﹣4＝1，故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”，规定：，对于一个“可爱数”B＝，规定：G（B）＝p﹣n，则F（5611）×G（3142）＝ ；当B的百位数字为4时，若是整数，则所有满足条件的奇数四位数A的和是　83600　．【答案】；83600．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）（1）解方程：（2）解不等式组：．【答案】见试题解答内容20．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．【答案】，1．21．（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，①　AD∥BC　，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴，．∵∠ADC＝∠CBA，∴②　∠ADE＝∠CBF　，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③　∠DEA＝∠BFC　，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④　这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形　．【答案】AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC；这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．22．（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养．某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E频数14b28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c83请你根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝　10　，b＝　39　，c＝　80　；（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？【答案】（1）10，39，80；（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；（3）七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．23．（10分）四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝12，DC＝6，BC＝8．动点P从A点出发，沿A→B方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发，沿折线A→D→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，y1＝AP+DQ．（1）请直接写出y1关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）若函数y2＝x+b的图象跟函数y1的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围．【答案】（1）y1＝；（2）作图见解答过程；当0≤x≤5时，函数值随x的增大而减小；当5＜x≤8时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）0＜b≤6．24．（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔．商家用1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%．商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？【答案】（1）商家购买每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；（2）每本笔记本的售价为11元．25．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴，y轴交于点A，点C，点P是反比例函数y＝（k≠0）图象与直线AC在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，且AB＝6．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且S△APD＝，直线PD交y轴于点E，点M，N是直线AC 上两点，点M在点N的左侧且MN＝AP，求EM+DN的最小值及此时点N的坐标；（3）在（2）的条件下，点F为反比例函数图象上一点，若∠PEF﹣∠PAB＝45°，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为y＝；（2）EM+DN的最小值为3，此时N（4，4）；（3）符合条件的点F的横坐标为或﹣5+．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠FAC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．【答案】（1）；（2）证明过程详见解答；（3）．。

重庆市南开中学校2025届高三第三次质量检测数学试题

重庆市南开中学校2025届高三第三次质量检测数学试题

重庆市南开中学校2025届高三第三次质量检测数学试题一、单选题1．复数11iaz =++()R a ∈的实部和虚部相等，则a =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-22．已知向量a b、且1==a b r r ，若a 在b 上的投影向量为12b r ，则a 与b 的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π3．已知数列{}n a 的前n 项和为2nn n S S λ=-，，数列{}n b 的通项公式为1n n b b n λ=-，，则“{}n a 为等比数列”是“{}n b 是递减数列”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知非零向量a b 、，且0a b⋅=，函数()()()2f x a xbx =-∈R，若()()1f m f m >-，则实数m 的取值范围是（）A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-5．已知等比数列{}n a 单调递增，前n 项和为453634n S a a a a =+=，，，则63S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知1322ln sin e 33a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c>>7．将正整数如图排列，第n 行有n 个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为1a ，再从1a 开始从右往下碰到5，记为2a ，接着从2a 开始，从左往下碰到8，记为3a .依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为12n a a a ，，构成数列.则10a =（）A ．59B ．60C ．61D ．628．在四边形ABCD 中，点E 是对角线B 上任意一点（点E 与B D ，不重合），且222AB AE BE ED AB AB AD =+⋅=⋅=，，则四边形ABCD 的面积为（）A ．3B ．2C．D．二、多选题9．已知两个复数1z 与2z ，下列结论错误的是（）A ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数B ．若12z z >，则12z z >C ．若1212z z ==，，则123z z +=D ．若1i 1z -=，则11z +1+10．设a b c ，，分别是ABC 的内角A B C ，，的对边，则下列条件中能确定C 为锐角的是（）A ．222a b c ab +-=B ．2ab c =C ．()2cos cos 0a b C c A ++=D ．()sin 12cos sin A B A B-=-11．已知数列{}n a 满足11a =，()*12cos n n a a n n π+=+∈N ，.则下列选项正确的是（）A ．2113n a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列B ．数列{}n a 是单调递增数列C ．若1n nb a =，则135212n b b b b -++++< D ．若23161631n n n n c a -+-=+，则2246214n n n c c c c -++++=三、填空题12．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，若()321n n A n B n +=+，则55a b =.13．设函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是．14．如图所示，四边形ABCD 内接于圆//6263O AD BC AB BC BO xBC yBA x y ===++=，，，，，则四边形ABCD 的面积为.四、解答题15．已知向量())(cos ,sin ,sin 1,a x x b x x c ===-，，.(1)若//a b，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求x 的值；(2)设函数()()22f x b a c c =⋅+- ，求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值以及相应的x 的值.16．新能源车性能测试，分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测通过后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入生产，这两个检测阶段能否通过相互独立.其中实验室检测阶段.包括环节I 和环节II ，两个环节都通过才能通过实验室检测，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发组研发出甲、乙丙三种车型、现对其进行性能检测，实验室检测阶段中甲车通过l .II 环节的概率分别为1233⋅，乙车通过I 、II 环节的概率分别为1223⋅，丙车通过I 、II 环节的概率分别为2334⋅.路面测试环节中三款车通过测试的概率分别为112.223、、(1)求甲、乙、丙三款车型中恰有一款车通过实验室检测的概率；(2)记随机变量X 为甲、乙、丙三种车型通过性能测试的种数，求X 的分布列和数学期望.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1122,1n n S S a +-==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}{},n n b c 满足22log n n b a =-，2n n nb c a +=，{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式2n nT c λ-≥对一切正整数n 恒成立，求λ的取值范围.18．如图所示，()(),,n n n n n n A x y B x y -，是抛物线2y x =上的一系列点，其中()122551,1,93A A ⎛⎫⎪⎝⎭，，记直线11n n n n B A B A -+、的斜率分别为111132n n n n n n n n B A B A B A B A k k k k --+-=、，.(1)证明{}1n n y y +-是等比数列，并求出数列{}n y 的通项公式；(2)记12n n n A A A ++∆的面积为n T ，求n T ；(3)若2119ln 15n n n n n a T b b b b +==+=，，.求证：112233123123n nn b a b a b a nb a ++++<---- .注：ABC 中，若()()1122AB x y AC x y == ，，，，则ABC 面积122112ABC S x y x y =- .19．已知()()()21ln ln 22,02f x a x a x x x a =-++->.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0,e a ∈，讨论()f x 的零点个数；(3)若()()120f x f x ==，且121x x <<，证明：存在唯一实数a ，使得121x x =.。

重庆市南开中学2025年届高三8月第三次质量检测数学试题与答案

重庆市南开中学2025年届高三8月第三次质量检测数学试题与答案

重庆市南开中学2025年届高三8月第三次质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R，集合{{}12,R x A x y B y y x +====∈∣,∣，则“()U x A B∈⋃ð”是“{}0x x x ∈≠∣”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.0B.12C.22D.323.已知函数()f x 为偶函数，其图像在点1,1处的切线方程为210x y -+=，记()f x 的导函数为′，则()1f '-=（）A.12-B.12C.2- D.24.设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为（）A.[4,0]- B.[4,0)- C.[4,1)(1,0]--⋃- D.[4,1)(1,0)--⋃-5.已知函数()22ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()0,1上单调，则实数a 的取值范围是（）A.0a ≥ B.4a <- C.0a ≥或4a ≤- D.0a >或4a <-6.设方程33log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A.101x <<，23x > B.121x x >C.1201x x << D.124x x +>7.若0.001sin0.001a =+，ln1.001b =，0.001e 1c =-，则（）A.b c a>> B.c a b>> C.c b a>> D.a c b>>8.已知可导函数()f x 的定义域为R ，12x f ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数，设()g x 是()f x 的导函数，若()21g x +为奇函数，且()102g =，则()1012k kg k ==∑（）A.132B.132-C.112D.112-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象的对称轴方程为3x =，则函数()f x 的解析式可以是（）A.()13f x x x =++ B.()33ee x xf x --=+ C.()4218f x x x=- D.()26f x x x=-10.已知函数()()()2sin 2cos 1sin cos 1x x f x x x ++=++，则（）A.()f x的值域为⎡⎣B.()f x 是周期函数C.()f x 在π2π,π2π,4k k k ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z 单调递减D.()f x 的图像关于直线π4x =对称，但不关于点π,14⎛⎫- ⎪⎝⎭对称11.已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()exf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 有且仅有两个零点B.函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C.当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D.()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln 2x x b f x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是______．13.{}123max ,,x x x 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x ，y ，则2241max ,2,x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最小值是______．14.已知函数()()1e ,0ln ,0x x x f x x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()()()222g x f x a f x a =-++，若函数()g x 恰有三个零点，则a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求下列函数的导数．（1）2e cos x y x t =-（t 为常数）；（2）()ln 3ln 25xy x x=++．16.已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的数学期望；（2）若经过n 轮踢球，用i p 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，请根据①中1p ，2p ，3p 的值求出A 、B ，并求出数列{}n p 的通项公式．18.函数()()1ln 1a x f x x x -=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，曲线=上两点()()11,x f x ，()()22,x f x 连线斜率记为k ，求证：21ak a ->-；（3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p ，求证：21e p <．19.已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m =的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．重庆市南开中学2025年届高三8月第三次质量检测数学试题答案1.C 【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解.【详解】由{A xy ==∣可得220x x -≥，解得02x ≤≤，所以{}02,{0},{0U A xx B y y A x x =≤≤=>∴=<∣∣∣ð或(){}2},0U x A B x x >⋃=≠∣ð，2.D 【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为ππcos,sin 33P ⎛⎫⎪⎝⎭，即1,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即角α的终边经过点13,22P ⎛ ⎝⎭，所以3sin 2α=，1cos 2α=，所以πππ11cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫-=+=⨯⨯= ⎪⎝⎭.3.A 【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到()1f '，再利用奇函数的的性质求()1f '-.【详解】因为为偶函数，所以()()f x f x =-，两边求导，可得()()''f x f x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⇒()()()'·f x f x x =--''⇒()()f x f x =-'-'.又在()()1,1f 处的切线方程为：210x y -+=，所以()112f '=.所以()()1112f f ''-=-=-.4.C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】函数22()log ||f x x x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()()2222log ||log ||f x x x x x f x -------===，所以22()log ||f x x x -=-为偶函数，当0x >时()22log f x x x -=-，因为2log y x =与2y x -=-在()0,∞+上单调递增，所以()22log f x x x -=-在()0,∞+上单调递增，则()f x 在(),0-∞上单调递减，不等式(2)(22)f x f x -≥+，即()()222f x f x -≥+，等价于22220220x x x x ⎧-≥+⎪-≠⎨⎪+≠⎩，解得41x -≤<-或10-<≤x ，所以不等式的解集为[4,1)(1,0]--⋃-.5.C 【分析】由题意转化为()0f x '≥或()0f x '≤，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得a 的取值范围.【详解】()f x 在区间()0,1上单调，∴()()220,0,1af x x x x'=++≥∈，或()()220,0,1af x x x x'=++≤∈，即222a x x ≥--或222a x x ≤--恒成立，设()221122222g x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，()0,1x ∈，函数在区间()0,1上单调递减，函数()g x 的值域是()4,0-，所以0a ≥或4a ≤-.6.C 【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出12012x x <<<<，即可判断AD ，计算出()312log 0x x <，可判断BC.【详解】由33log 1xx ⋅=可得311log 33xx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一直角坐标系中同时画出函数3log y x =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示：因为1311log 133⎛⎫<= ⎪⎝⎭，23311log 2log 239⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，由图象可知，12012x x <<<<，所以1213x x <+<故A ，D 错误；()12312313211log log log 33x xx x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，所以121133x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()312log 0x x <，所以1201x x <<，即121x x <，故B 错误，C 正确.7.D 【分析】令()sin f x x x =+，()()ln 1g x x =+，()e 1xh x =-，()()()e 1sin xp x h x f x x x =-=---，()()()()e 1ln 1x q x h x g x x =-=--+，然后利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性可比较大小.【详解】令()sin f x x x =+，()()ln 1g x x =+，()e 1xh x =-，()()()e 1sin x p x h x f x x x =-=---，()()()()e 1ln 1x q x h x g x x =-=--+，则()()1e 1cos ,e 1xxp x x q x x '=--=-+'，令()()m x p x '=，()e sin xm x x =+'，当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0m x '>，所以()p x '在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭时单调递增，所以当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()111cos 1cos 102262p x p π'⎛⎫<=-<-=-⎪⎭'< ⎝，所以()p x 在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减，所以()()0.00100p p <=，所以c a <；当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()1e 1xq x x ='-+，令()()n x q x ='，则()210()e 1x n x x +>+'=，所以()()n x q x ='在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()()00q x q ''≥=，所以()q x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()()0.00100q q >=，所以c b >，综上，a c b >>.【点睛】关键点睛：此题考查导数的应用，考查比较大小，解题的关键是根据已知条件构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学计算能力，属于较难题.8.D 【分析】由12x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，结合导数运算可得()()11g x g x -=--，由()21g x +为奇函数，可得()()110g x g x ++-+=，整理可得()()4g x g x +=-，进而分析可得()()()()118284,8688,22g k g k g k g k k +=+=-+=+=∈Z ，即可得结果.【详解】因为12x f ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数，则1122x x f f ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()11f x f x -=---，两边求导得()()11f x f x ''-=--，则()()11g x g x -=--，可知()g x 关于直线1x =-对称，又因为()21g x +为奇函数，则()()21210g x g x ++-+=，即()()110g x g x ++-+=，可知()g x 关于点1,0对称，令=1，可得()()200g g +=，即()()1202g g =-=-，由()()11g x g x -=--可得()()2g x g x =--，由()()110g x g x ++-+=，可得()()20g x g x +-+=，即()()2g x g x =--+，可得()()22g x g x --=--+，即()()4g x g x +=-，令0x =，可得()()1402g g =-=-；令2x =，可得()()1622g g =-=；且()()()()84g x g x g x g x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，可知8为()g x 的周期，可知()()()()118284,8688,22g k g k g k g k k +=+=-+=+=∈Z ，所以()()()1011111212569103478222k kg k ==-+++++++++=-∑.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．9.BD 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足()()6f x f x -=即可.【详解】若()f x 的图象的对称轴方程为3x =，则()()6f x f x -=；对于A ，()()1669f x x f x x-=-+≠-，A 错误；对于B ，()()336ee xx f x f x ---=+=，B 正确；对于C ，()00f =Q ，()4266186648f =-⨯=，()()06f f ∴≠，即()()6f x f x -=不恒成立，C 错误；对于D ，()()()()2266666f x x x x x f x -=---=-=，D 正确.10.BCD 【分析】对于A ，利用三角恒等变换化简函数表达式为()()πsin cos 114f x x x x x ⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭R ，但是注意到sin cos 10x x ++≠，由此即可判断；对于B ，在定义域内，由诱导公式可得()()2πf x f x +=，由此即可判断；对于C ，在函数有意义的前提下，由正弦函数单调性、复合函数单调性即可判断；对于D ，利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断.【详解】对于A ，()()()2sin 2cos 12sin cos 2sin 2cos 2sin cos 1sin cos 1x x x x x x f x x x x x +++++===++++2(sin cos 1)sin cos 1sin cos 1x x x x x x ++=++++．因为sin cos 10x x ++≠，且πsin cos 4x x x ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()f x 的值域是)(10,1⎡-+⎣ ，A 错误．对于B ，()f x 的定义域{π|2π2D x x k =≠-+且}π2π,x k k ≠+∈Z ，对任意x D ∈恒有()()ππ2π2π1144x f x f x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确．对于C ，()f x 在π2π,π2π,4k k k ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z 有意义，当π2π,π2π,4x k k k ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭Z 时，ππ5π2π,22π,44x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭Z ，所以π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π2π,π2π,4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 单调递减，C 正确．对于D ，()max πππ11444f f x ⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，且()f x 的定义域关于π4x =对称，所以()f x 的图像关于直线π4x =称．πππ11444f ⎛⎫⎛⎫-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于点π,14⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，但()f x 的定义域不关于点π,14⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以()f x 的图象不关于点π,14⎛⎫-⎪⎝⎭对称，D 正确．11.AC 【分析】对A ：构造函数()()2exf x h x =，根据题意，求得()f x ，令()0f x =，即可求解后判断；对B ：对()g x 求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断；对C ：对x 的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断；对D ：根据B 中所求函数单调性，即可求得函数值域.【详解】令()()2e xf x h x =，则()h x '=()2'2()e xf x f x -21x =-，故()2h x x x c =-+（c 为常数），又()()002h f ==-，故可得2c =-，故()22h x x x =--，()()22e2xf x xx =--.对A ：令()0f x =，即()()22210x x x x --=-+=，解的2x =或1-，故ℎ有两个零点，A 正确；对B ：()()22e2xf x xx =--，则()f x '()22e 25x x =-，令()f x '0>，可得1010,22x ∞∞⎛⎛⎫∈--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在,2∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；令()f x '0<，可得,22x ⎛∈-⎝⎭，故()f x 在,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减；又10110e 22f ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭2101102e 22f ⎛⎫=<- ⎪ ⎪⎝⎭，又()212e f =-，故存在11010122x ⎛=∈- ⎝⎭，使得()212e f x =-；又()20f =，故存在2,22x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()222e f x =-；又当102x <-时，()0f x >，故不存在10,2x ∞⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得()22e f x =-；综上所述，()22e f x =-有两个根，也即()()22e g x f x =+有2个零点，故B 错误；对C ：4()3e (2)f x x ≥-，即()22e2xxx --≥43e (2)x -，()()2e 21x x x -+≥43e (2)x -，当[)0,2x ∈时，20x -<，上式等价于()24e 13e xx +≤，令()()2e1xm x x =+，故可得()m x '()2e 230x x =+>，故()m x 在[)0,2上单调递增，()()423e m x m <=，满足题意；当2x =时，()20f =，也满足4()3e (2)f x x ≥-；综上所述，当∈0,2时，4()3e (2)f x x ≥-恒成立，故C 正确；对D ：由B 可知，()f x 在1,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭单调递减，在,22⎛⎤⎥ ⎝⎦单调递增，且1011022f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭()()212e ,20f f =-=，故()f x 在1,2上的值域为1102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 错误.【点睛】关键点点睛：本题考察利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题；其中解决问题的关键是能够构造函数()()2exf x h x =，准确求出()f x 的解析式，属综合困难题.12.【分析】函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，转化为()0f x '>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，利用二次函数的性质求实数b 的取值范围．【详解】函数()()2ln 2x x b f x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，由()2122122x bx f x x b x x-+'=+-=，则()0f x '>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解．令()2221h x x bx =-+，因为()010h =>，所以只需()20h >或102h ⎛⎫>⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，解得94b <．所以实数b 的取值范围是9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.13.【分析】设2241max ,2,N x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，因0,0x y >>，可得322412xy N xy ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，借助于基本不等式可得38N ≥，验证等号成立的条件224122x y x y==+=，即得min N .【详解】设2241max ,2,N x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则x N ≤，2y N ≤，2241N x y +≤，因0,0x y >>，则得322412xy N x y ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭．又因22414228xy xy xy xy ⎛⎫⋅+≥⋅= ⎪⎝⎭，所以38N ≥，当且仅当224122x y x y ==+=，即2x =，1y =时等号成立，故2241max ,2,x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最小值为2．故答案为：2.【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据{}123max ,,x x x 的含义，设出2241max ,2,N x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，即得322412xy N x y ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，将问题转化为求22412xy x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件.14.【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，作出函数()f x 的大致图象，令=0可得，()2f x =或()f x a =，由条件结合图象可得a 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()()1e x f x x =+，所以()()()e 1e 2e x x xf x x x ='++=+，当<2x -时，′<0，函数()f x 在(),2∞--上单调递减，当20x -<≤时，′>0，函数()f x 在(]2,0-上单调递增，且()01f =，()22e f --=-，()10f -=，当1x <-时，()0f x <，当10-<≤x 时，()0f x >，当x →-∞时，与一次函数1y x =+相比，函数e x y -=增长速度更快，从而()10e xx f x -+=→，当0x >时，()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，′>0，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x <<+∞时，′<0，函数()f x 在()e,∞+上单调递减，且()1e ef =，()10f =，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，当x →+∞时，与对数函数ln y x =相比，一次函数y x =增长速度更快，从而()ln 0xf x x=→，当0x >，且0x →时，()ln xf x x∞=→-，根据以上信息，可作出函数()f x 的大致图象如下：函数()()()()222g x f x a f x a =-++的零点个数与方程()()()2220f x a f x a -++=的解的个数一致，方程()()()2220fx a f x a -++=，可化为()()()()20f x f x a --=，所以()f x a =或()2f x =，由图象可得()2f x =没有解，所以方程()()()2220fx a f x a -++=的解的个数与方程()f x a =解的个数相等，而方程()f x a =的解的个数与函数=的图象与函数y a =的图象的交点个数相等，由图可知：当211,00,e e a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，函数=的图象与函数y a =的图象有3个交点.故答案为：211,00,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15.【分析】根据题意，利用导数的运算法则，以及复合函数的求导法则，准确计算，即可求解.【小问1详解】解：由函数2e cos x y x t =-，可得2)(e )cos e (cos )0e (cos s (e cos (i ))n x x x x x y x t x x x ''=-'''=+-=-.【小问2详解】解：由函数()ln 3ln 25xy x x=++，可得''221(ln )ln 61ln 3(25)2525x x x x x y x x x x x⋅-⋅-=⨯⨯++=+'++'.16.【分析】（1）把1a =代入，利用导数求出函数的单调区间即得.（2）取特值判断0a >，再借助（1）中信息及不等式性质可得1a ≥，然后利用导数探讨01a <<的情况即得.【小问1详解】当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x -'=-=，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.【小问2详解】依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，求导得()23311a ax h x x x x-=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以按参数值分段讨论，利用导数结合函数零点探讨函数值正负即可作答.17.【分析】（1）X 的可能取值为1-，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列与期望；（2）①116p =，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出2p ．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．由此能求出3p ．②推导出11i i i p Ap Bp +-=+，将012317430,,,636216p p p p ====，代入得，116177i i i p p p +-=+，推导出1{}n n p p --是首项与公比都是16的等比数列，由此能求出结果．【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，A ，B 相互独立．由题意()12P A =，()23P B =，甲的得分X 的可能取值为1-，0，1．()()()()12112331P AB P A P B P X =-⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()1212111232203P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+=+=．()()()()12112136P X P AB P A P B ==⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=⨯，∴X 的分布列为：X1-01P131216()11111013266E X =-⨯+⨯+⨯=-．（2）①由（1）116p =，()()()()()()201101p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=1111172662636⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭．经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分．∴32222123333111111143C C C 6626263216p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②∵规定00p =，且有11i i i p Ap Bp +-=+，∴1202316717A p Ap Bp p Ap BpB ⎧⎧=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪⎩⎩代入得：116177i i i p p p +-=+，∴()1116i i i i p p p p +--=-，∴数列{}1n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=，∴116nn n p p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴()()()11121011111166656nn n n n n n n P p p p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到116177i i i p p p +-=+后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.18.【分析】（1）求导后对a 分类讨论即可得；（2）借助斜率公式表示出k 后化简，可转化为证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，借助换元法令12x t x =，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，结合（1）问中所的即可得解；（3）借助概率公式可得p ，借助放缩法可得19910p ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合（2）中所得可得1910ln 29⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可得证.【小问1详解】()f x 定义域为()0,∞+，()()()()()()22211221111a x a x x a x f x x x x x +--+-+=-=+'+，对于方程()22210x a x +-+=，()()2222442a a a ∆=--=-，当0∆≤，即02a ≤≤时，()22210x a x +-+≥，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单增，当0∆>，即a<0或2a >时，方程()22210x a x +-+=有两不等根，11x a =-，21x a =-，而()1221x x a +=-，121x x =，所以当a<0时，120x x <<，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，()f x 在()0,∞+上单增；当2a >时，120x x <<，()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单增，在()12,x x 上单减，综上，当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上单增；当2a >时，()f x在(0,1a --和()1a -++∞上单增，在(11a a --+上单减；【小问2详解】()()()()12121212121211ln ln 11a x a x x x x x f x f x k x x x x --⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭==--()()()()12112121221212121222ln ln 111a x x x a x x x x x x x x x x x x x x x ----+++++==--12121212lnln ln 211221x x x x a x x a x x -=-=--+-+-，所以要证21a k a ->-，即证1212ln ln 1111x x x x a -->---，即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，也即证()112211121222212ln ln 01x x x x x xx x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-<++（*）成立．设()120,1x t x =∈，函数()()21ln 1t h t t t -=-+，由（1）知()h t 在()0,∞+上单增，且()10h =，所以()0,1t ∈时，()0h t <，所以（*）成立，原不等式得证；【小问3详解】由题可得201002020A 100998281100100p ⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==，因为222998190990⨯=-<，222988290890⨯=-<，…，222918990190⨯=-<，所以19910p ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又由（2）知()1,t ∈+∞，()()21ln 01t h t t t -=->+，取109t =，有1021101029ln ln 010991919⎛⎫- ⎪⎝⎭-=->+，即1910ln 29⎛⎫> ⎪⎝⎭，即19210e 9⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以1929110e p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出19910p ⎛⎫< ⎪⎝⎭后，借助（2）问中所得，取109t =，代入可得19210e 9⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可得解.19.【分析】（1）设s ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112n AM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【小问1详解】设点sm n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m+=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．【小问2详解】设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN===因此，,,M A M '三点共线，且BN AM ='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313228,22y y y y t t +=-=-++，由（1）可知1134,422AM x BN AM x ==-==-'，所以131313132222442222221122222222x x ty AM BN AM BN AM BN ty ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪ ⎪⎪++==⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()213213132422442221142t t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪-++==-++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，224=，解得AM ='所以111122cos 22cos 144AM BN AM AM θθ+=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BN AM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x y n m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n m n y y y y m n s n m n s n --∴+=-=----，（*）因为2113,m n m m AM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n sm y y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112n AM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMm n n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由2cos AM m n n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m n AM BN AM AM m n m n m n θθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QMBN BQ=，解得()2n AM BN BQ AM BN +⋅=+，同理根据AM AQ BN QN =，解得()2n BN AM AQ AM BN +⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BN AQ BQ n AM BN AM BNAM BN +⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n nAM BN -+=+=+=+，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n nλ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

高考数学模拟试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

高考数学模拟试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．某某市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f （b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b ＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是10．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前0 1第一圈0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈10 5 否此时S值为10．故答案为：10．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是﹣192．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，则二项式=的展开式的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=•x3﹣r．令3﹣r=2，解得 r=1，故展开式中含x2项的系数是=﹣192，故答案为﹣192．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，∴BD=2，BE==，∵BE•BF=BD•BC，∴，解得EF=．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参数方程为（θ为参数），∵cos2θ+sin2θ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）2+y2=1．圆心（2，0）到直线l的距离d==2．则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．故答案为：3．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用=•﹣•，代入计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，∴AC==5，cos∠BAC=，又∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=5，cos∠CAD=，∴=•（﹣）=•﹣•=﹣=，故答案为：．点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a ﹣1恒成立，则a的取值X围a≥e．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max=f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．解答：解：f′（x）=a x lna+2x﹣lna=（a x﹣1）lna+2x，当a＞1时，x∈[0，1]时，a x≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；当0＜a＜1时，a x≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分），，…（5分）乙得分的分布列为：X 0 10 20 30P…（6分）所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为…（9分）甲通过测试的概率为…（11分）甲、乙都没通过测试的概率为因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为…（13分）点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），∵ω=2，∴最小正周期T==π；由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣）=2，即sin（A﹣）=1，∴A﹣=+2kπ，k∈Z，即A=+2kπ，k∈Z，又0＜A＜π，∴A=，由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a2=b2+c2﹣2bccosA=7，即a2=1+4+2=7，解得：a=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用4S n=（2n﹣1）a n+1+1，写出4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得，利用累加法求解a n，判断数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．解答：（Ⅰ）证明：因为4S n=（2n﹣1）a n+1+1，所以当n≥2时，4S n﹣1=（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n=（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），所以（2n+1）a n=（2n﹣1）a n+1，即，在4S n=（2n﹣1）a n+1+1中，令n=1，得a2=3，所以=，所以a n﹣a n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，且a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，当n=1时，；当n≥1时，，所以．点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，某某数k的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，结合韦达定理，可得f（x1）﹣f（x2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）==0，即2x2﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，∴x1+x2=，x1x2=∴2（x1+x2）=a，x2=，∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣（lnx2+x22﹣ax2）=2lnx1﹣x12++ln2（0＜x≤1）．设F（x）=2lnx﹣x2++ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6，∴g′（x）=，∵a∈（2，4），∴x+＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a2），则h（2）=0，∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．∵h′（a）=，k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意；k＞0时，h′（a）=0，可得a=．①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；②≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．综上，实数k的取值X围为[，+∞）．点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．。

重庆南开中学2025届高考压轴卷数学试卷含解析

重庆南开中学2025届高考压轴卷数学试卷含解析

重庆南开中学2025届高考压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 2．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ）A ．7312+B ．12C ．43D ．53124+3．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29B ．30C ．31D ．325．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]6．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625B ．627C 63-D ．962-7．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．88．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能9．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．210．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3)D ．(,1)(3,)-∞+∞12．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届复习专号模块测试题-高考数学五模试卷(含解析)

2022届复习专号模块测试题-高考数学五模试卷(含解析)

2022学年高考数学模拟测试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ．,,a b c 依次成等差数列 C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．324．已知(1,2)a =，(,3)b m m =+，(2,1)c m =--，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．7- B ．3-C ．3D ．75．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）AB ．3C ．1D ．56．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．437．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A．B．C ．24D．8．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02πθ<<）的图象过点()0,2，则（ ）A ．函数()y f x =的值域是[]0,2B ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴9．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件10．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >11．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.812．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年重庆市高考数学模拟试卷及答案解析

2022年重庆市高考数学模拟试卷及答案解析

2022年重庆市高考数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）|3−2i 1+i|＝（ ）A ．5√22 B ．√262C ．√5D ．√132．（5分）已知集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣3＜0}，N ＝{x |ln （2x ﹣1）＞0}，则M ∩N ＝（ ） A ．（1，32）B ．（12，32）C ．（﹣1，32）D ．（﹣1，12）3．（5分）若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．24．（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施．如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（ ）A ．25πB ．75πC ．100πD ．300π5．（5分）函数f(x)=√3sin(x +π3)−cosx 的单调递减区间为（ ） A ．{x|π3+kπ≤x ≤4π3+kπ，k ∈Z} B ．{x|π6+kπ≤2π3+kπ，k ∈Z} C ．{x|π3+2kπ≤x ≤4π3+2kπ，k ∈Z} D ．{x|π6+2kπ≤2π3+2kπ，k ∈Z}6．（5分）已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝x 3+2x 2﹣a +3，且f （3）＝8，则2f （1）+f （﹣2）＝（ ） A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣37．（5分）已知x ＝0是函数f （x ）＝e ax ﹣ln （x +a ）的极值点，则a ＝（ ） A ．1B ．2C ．eD ．±18．（5分）已知AB →⊥AC →，2|AB →|＝3|AC →|＝6m （m ＞0），若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且AM →=AB →|AB →|−mAC →|AC →|，则MB →⋅MC →的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．34D ．56二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

重庆市南开中学2012届高三5月月考数学（理）试题
本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第1卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是 符合题目要求的。

1．复数2
1z i
=
-的虚部为
（ ） A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 2． 已知命题P ：“1g(x －1) <0”，命题q ：“|1－x|<2”，则p 是q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．从10名女生与5名男生中选出6名同学组成课外兴趣小组，如果按照性别分层随机抽样，则男生甲被选中的概率为 （ ）
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
4．已知1lim (0),lim
1x
x
x
x x a a a a →∞→∞->+不存在则的值为
（ ）
A ．－1
B ． 0
C ．1
D ． 不存在
5．已知函数
2
1(0)
3
(),(),1(0)
x x f x f a a a x x
⎧-≥⎪⎪=>⎨
⎪<⎪⎩若则实数的取值范围为 （ ） A ．(,3)-∞- B ．(,1)-∞-
C ．(1,)+∞
D ．(0,1)
6．
已
知
函
数
231
()112(
)4,(2012)2012
f x a o
g b og x f f =++=且则的值为
（ ）
A ．—4
B ．2
C ．0
`D ．—2
7．正项数列{}n a 满足，22
1112231
1111
1,,4n n n
n n a a a a a a a a a a ++==++++=
+则 （ ）
A ．422
n -
+ B ．212
n -
+ C ．2
41
n -
+ ` D ．421
n -
+
8．长方体AC 1中，AB=BC=1，AA 1=2，过顶点D 1在空间作直线l ，使l 与 直线AC 和BC 1所成的角都等于3
π
，这样的直线最多可作（ ）条 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
9．已知函数5sin cos 3
y x a x x π
=+=的图象关于对称,则函数y=asinx+cosx 图象的一条对称轴是
（ ）
A ．3
x π=
B ．23
x π
=
C ．116
x π
=
D ．x π=
10．已知圆C 的方程为22
2
2
(1)1,143
x y x y p -+=+=是椭圆 ,,p 上一点过作圆的两条切线切线为A 、B ，求PA □PB
的范围为
（ ）
A ．56
[0,
]9
B
．3,]+∞
C
．56
3,
]9
D ． 356
[,
]29
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应位置上） 11．设集合}{}{
}}{
{
1,2,3,4,5,2,4,3,4,5,3,4U A B C ====则()()U A
B C C =
12．设242380238(1)(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=+-+-+-+
+-，
则128a a a +++=
13
．
若
12,,21,a b c R a b c a b b c
+∈++=+++且则
的最小值为 。

14．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心O 并交椭圆于点M 、N ，若过椭圆的左焦点F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为 。

15．如图，一个8×8的国际象棋盘有32个黑格和32个白格。

一条“线路”由8个白格组
成，每行有一个，且相邻的白格有公共顶点，则这样的“路线”共有 条（请用数字作答）
三、解答题（共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（共13分）已知△ABC
的面积为2AB 且·2AC =
（1）求tanA 的值； （2）求
2
2sin 2sin cos 1222cos()
4
A A A
A π
+--的值。

17．（13分）甲、乙两人进行投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为
1
2
，乙投监命中的概率为
2
3
，两人相互不受影响，每次投篮结果也不受影响。

（1）求甲至多命中2个且乙至少命中3个的概率； （2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中和—1分，求乙所得分数η的分布列与期望。

18．（13分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为棱CC 1的中点。

（1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
（2）求二面角A —A 1D —B 的大小。

19．（12分）已知x=1是()21b
f x x nx x
=-+的一个极植点
（1）求函数 ()f x 的单调增区间； （2）设3
()()g x f x x
=-
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由。

20．（12分）已知抛物线2
:2(0):C x my m l y x m =>=-和直线没有公共点（其中m 为常
数）。

动点P 是直线l 上的任意一点，过P 点引抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，
且直线MN 恒过点Q （1，1）。

（1）求抛物线C 的方程；
（2）已知O 点为原点，连结PQ 交抛物线 C 于A 、B 两点，求
||||
||||
PA QA PB QB -
的值。

21．（12分）a 为实数，数列}{
1,1,2,3
n a a a n ==满足对于
11,12,1n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-+≤⎩时
时
（1）12n n +<0<a <2时,证明0<a ； （2）01,(1,2,3
);n a a a n <<=满足求
（3）k 为自然数，求使(1,2,3
)n k n a a n +==，成立的所有k 与a 。

参考答案。

相关文档
最新文档