2014年北京市朝阳二模数学理科 含答案
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北京市朝阳区高三年级二模
数学试卷(理工类)
2014.5
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项.
(1)已知集合{230}A x x =∈-≥R ,集合2
{320}B x x x =∈-+ B = (A )32x x ⎧⎫≥ ⎨⎬⎩⎭ (B )322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ (C ){} 12x x << (D )322x x ⎧⎫ <<⎨⎬⎩⎭ (2)如果0a b >>,那么下列不等式一定成立的是 (A )33log log a b < (B )11()()44 a b > (C )11a b < (D )22 a b < (3)执行如右图所示的程序框图.若输出的结果为2,则输入的正整 数a 的可能取值的集合是 (A ){}1,2,3,4,5 (B ){}1,2,3,4,5,6 (C ){}2,3,4,5 (D ){}2,3,4,5,6 (4)已知函数()π ()sin (0,0,)2 f x A x A ωϕωϕ=+>><的 部分图象如图所示,则ϕ= (A )π6 - (B )6π (C )π3 - (D )π 3 (5)已知命题p :复数1i i z += 在复平面内所对应的点位于第四象限;命题q :0x ∃>,cos x x =,则下列命题中为真命题的是 (A )()()p q ⌝∧⌝ (B )()p q ⌝∧ (C )()p q ∧⌝ (D )p q ∧ (6)若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点,则 双曲线离心率的取值范围是 (A )(1,2] (B )[2,)+∞ (C ) (D )+∞ (7)某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示. 若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨,电不超过60千度,则可获得的最大纯利润和是 (A )60万元 (B )80万元 (C )90万元 (D )100万元 (8)如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向 滚动.当△PMN 沿正方形各边滚动一周后,回到初始位 置时,点P 的轨迹长度是 (A ) 83π (B )163 π (C )4π (D )5π 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. (9)已知平面向量a ,b 满足1=a ,2=b ,a 与b 的夹角为60︒,则2+=a b ____. (10)5 (12)x -的展开式中3 x 项的系数为___.(用数字表示) (11)如图,AB 为圆O 的直径,2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线,交AB 的延 长线于点C ,过点M 作MD AB ⊥于点D ,若D 是OB 中点,则AC BC ⋅=_____. (12)由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体积是 ;表面积 B A 是 . (13)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足24()n n S a n *=-∈N ,则n a = ; 数列2{log }n a 的前n 项和为 . (14)若存在正实数M ,对于任意(1,)x ∈+∞,都有()f x M ≤,则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数.下列函数 ①1()1f x x = -; ②2()1x f x x =+; ③ln ()x f x x =; ④()sin f x x x =, 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分13分) 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3 A 2π = ,3b =,△ABC 的面积为 4 . (Ⅰ)求边a 的长; (Ⅱ)求cos 2B 的值. (16)(本小题满分13分) A (第11题图) 2 2 俯视图 侧视图 正视图 (第12题图) 某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90, [)90,95,[]95,100(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计 从全市高中学生中任意选取一人,其参 加社区服务时间不少于90小时的概率; (Ⅱ)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生,记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ. (17)(本小题满分14分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是 正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,E ,F 分别为PA ,BD 中点,2PA PD AD ===. (Ⅰ)求证:EF ∥平面PBC ; (Ⅱ)求二面角E DF A --的余弦值; (Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点G ,使 GF ⊥平面EDF ?若存在,指出点G 的 位置;若不存在,说明理由. (18)(本小题满分13分) 已知函数21()e 1x f x ax +=-+,a ∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)设32e a <,当[0,1]x ∈时,都有()f x ≥1成立,求实数a 的取值范围. (19)(本小题满分14分) 服务时间/小时 F A B C D P E