布里渊区高对称K点
单晶硅的晶体结构建模与能带计算讲义-(1)
单晶硅的晶体结构建模与能带计算讲义-(1)单晶硅(其它典型半导体)的晶体结构建模与能带计算注:本教程以Si为例进行教学，学生可计算Materials Studio库文件中的各类半导体。
一、实验目的1、了解单晶硅的结构对称性与布里渊区结构特征；2、了解材料的能带结构的意义和应用；3、掌握Materials Studio建立单晶硅晶体结构的过程；4、掌握Materials Studio计算单晶硅能带结构的方法。
二、实验原理概述1、能带理论简介能带理论是20世纪初期开始，在量子力学的方法确立以后，逐渐发展起来的一种研究固体内部电子状态和运动的近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，了解材料的能带结构是研究各种材料的物理性能的基础。
能带理论的基本出发点是认为固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动的，称之为共有化电子。
但电子在运动过程中并也不像自由电子那样，完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格原子势场和其它电子的相互作用。
晶体中电子所能具有的能量范围，在物理学中往往形象化地用一条条水平横线表示电子的各个能量值。
能量愈大，线的位置愈高。
孤立原子的电子能级是分立和狭窄的。
当原子相互靠近时，其电子波函数相互重叠。
由于不同原子的电子之间，不同电子与原子核之间的相互作用，原先孤立原子的单一电子能级会分裂为不同能量的能级。
能级的分裂随着原子间距的减小而增加。
如图1所示，如果N 个原子相互靠近，单一电子能级会分裂为N个新能级，当这样的能级很多，达到晶体包含的原子数目时，一定能量范围内的许多能级（彼此相隔很近）形成一条带，称为能带。
各种晶体能带数目及其宽度等都不相同。
相邻两能带间的能量范围称为“带隙”或“禁带”。
晶体中电子不能具有这种能量。
完全被电子占据的能带称“满带”，满带中的电子不会导电。
完全未被占据的称“空带”。
部分被占据的称“导带”，导带中的电子能够导电。
布里渊区的特殊k点采样问题研究
∑
e
ik 1 T l k 2
1 T l k 2 =0 = 0 ⇒ ∑ Am k
l
因此可以用这种方法产生一系列 k 点，用以计算布里渊区内的积分。 如果此时的精度不够，则利用同样的方法继续生成新的 k 点集合： ii =k i T i k 3 k k =0 的特殊 k 点。从而改进精度。 其中 k3 为在 m ∈{ N 3 } 情况下满足 A m 事实上，如果考虑体系的对称性，则 {k } 中的 k 点数目可以极大的减小。也就是说， * } ，阶数为 n ，那么实际上按上述方法构造出来 对于给定的点 k2，可以找出其波矢群 {k 的 ki 只有个不同的点，此时各点上的权重为 i= n* / nG 。更进一步，通过点群的全部对称 操作，可以将全部的 ki 点转入第一布里渊区的不可约部分。如果 ki 点的重叠度是 n k ，则 = nk / ∑ nk 在最后的计算中，这个点的权重为 k 。 j
m= 1
其中 C m 是距离原点第 m 近邻的球半径，按升序排列，且 C m ≤ C m1 。其中＝是因为限 制条件 ∣R∣≤C m 具有球对称性，因此满足此条件的格点集合{R}并不是等价的格点。且函数 A m 满足下列条件： / 2 ∫BZ Am kd k =0, ∀ {m 0, m ∈ I } / 2 ∫ A m k A S mn q = mn 也即，在 k 点网格上是正交的。 k 用 A m 展开： 与 ChadiCohen 方法类似，将函数 f f k = ∑ f m A m k
* k 并在布里渊区内积分，可得： 同时左乘 A m f m= / 2 3∫BZ A* k f kd k m k =1 ，所以从方程（3）可得 因为 A 1 m= 1
I-3.0 布里渊区-3.1 简正模和格波-22
原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
晶 格 振 动 的 研 究 始 于 固 体 热 容 研 究 ， 19 世 纪 初 人 们 就 通 过 Dulong-Petit 定律
E Cv T 3N Ak B , ( E 3N Ak BT ) V 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世
3.0 布里渊区的知识 BZ
布里渊区定义
布里渊区定义：在倒点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的
垂直平分面，倒空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些 区域称作布里渊区，其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里
渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里
渊区，依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。 由于布里渊区界面是某倒格矢K h的垂直平分面，如果用K 表示从原
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士
学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立 了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys，妻子）
2000年7月31日，李爱扶，黄昆，李 政道，杨振宁出席在香港召开的第 三届全球华人物理学大会
考虑一个比较真实的周期性晶格模型，提出 这样一个系统的运动不易用个别原子的振动 去描述，而最容易用具有一定波矢、频率和 偏振的行波来表示，称为系统的简正模，每 个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是 量子化的。与晶体相联系的波的频率不是单 一频率，而是具有一定的频率分布的，这个 频率分布按照复杂的规律依赖与原子间的相 互作用。
30 布里渊区的知识
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
空间群k点选择
空间群k点选择全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间群是晶体学中研究的一个重要内容，它揭示了晶体结构的对称性和周期性。
在空间群的描述中，k点的选择是十分关键的，它不仅影响到晶体的简并度和性质，还可以用来计算材料的电子结构和光学性质。
空间群k点选择的问题也成为了晶体学中一个重要的研究方向。
在实际计算中，我们通常使用第一布里渊区（First Brillouin Zone）来代表晶体的全波矢空间。
在这个区域内，我们需要选择一组关键的k 点来描述晶体的能带结构和电子态密度分布。
这些k点的选择不仅要考虑到空间群的对称性，还要满足计算精度和效率的要求。
在实际计算中，选择合适的k点是至关重要的。
我们需要考虑到空间群的对称性在k点选择中的作用。
空间群包含了平移、旋转、镜面反射等一系列操作，而这些操作会对能带结构和电子性质产生影响。
在选择k点时，我们需要考虑到空间群的对称元素，并在合适的位置上选择k点来描述晶体的对称性。
我们还需要考虑到计算的精度和效率。
在实际计算中，我们通常会使用密度泛函理论来描述材料的电子结构，这就需要在k点网格中选取足够密集的点来积分波函数和能量。
如果选择的k点太稀疏，就会导致计算的误差增大；反之，选择的点太多，又会增加计算的时间和成本。
在选择k点时，需要平衡计算的精度和效率，选择一个既满足计算需求又具有代表性的k点网格。
在实际应用中，我们还需要考虑到晶体的特殊性质和应用需求。
不同的晶体结构会对k点的选择产生不同的影响，有些晶体可能需要更多的k点来描述其能带结构和性质，而有些晶体则可以通过较少的k点来近似描述。
在选择k点时，需要根据具体的晶体结构和应用需求来确定合适的数量和位置。
第二篇示例：空间群K点选择是凝聚态物理中一个非常重要的概念。
在固体中，晶体结构是由晶格和原子组成的，而晶格的对称性又决定了固体的物理性质。
空间群是描述晶体的对称性的数学理论，而K点则是描述晶体中的电子结构的关键点。
kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量
Kagome晶格在凝聚态物理中扮演着重要的角色，而其中的高对称点k处更是被广泛关注和研究的对象。
通过对kagome晶格高对称点k 处的哈密顿量进行推导，我们可以更深入地理解这一领域的相关理论和应用。
在本文中，我将按照从简到繁的方式，从浅入深地探讨kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量的相关内容。
1. kagome晶格简介让我们先简要介绍一下kagome晶格。
kagome晶格是一种由无限个三角形构成的几何排列，具有高度对称性和特殊的拓扑结构。
它在凝聚态物理中被广泛应用，涉及到自旋液体、拓扑绝缘体等诸多领域。
2. 高对称点k处的重要性在kagome晶格中，高对称点k处对应着一些特殊的物理性质，例如能带结构、布里渊区等。
针对高对称点k处的研究在理论和实验上都具有极其重要的意义。
3. kagome晶格高对称点k处的哈密顿量推导在进行kagome晶格高对称点k处的哈密顿量推导时，我们需要考虑晶格结构和格矢等因素，通过数学手段进行推导。
这其中涉及到量子力学、拓扑物态等深奥的理论和方法。
4. 总结与回顾通过本文的阐述，相信读者们对kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量这一主题有了更深入的理解。
在实际研究和应用中，对于这一领域的深入探讨和研究势必会带来更多的收获和应用。
5. 个人观点与理解对于kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量这一主题，我个人认为在当前凝聚态物理领域具有非常重要的意义。
这一领域的研究可以不仅推动基础理论的发展，还能够引领材料和技术的创新与发展，对我国的科技进步和产业升级都有着积极的促进作用。
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浅谈布里渊区的结构和性质概要
本科毕业论文题 目 浅谈布里渊区的结构及性质学生姓名 王 丁专业名称 物理学指导教师 杨志怀2015年4月28日教学单位 物理与光电技术学院学生学号 201191014104编 号 WL2015WLX104浅谈布里渊区的结构及性质摘要：能带理论是目前固体电子理论的最重要的理论，而布里渊区的引入是对于能量学习的重要补充，其在半导体，激光，超导等现代科学研究方面取得了重大突破。
只有将理论转化为生产力，才能带动整个现代信息科学技术群的迅速发展。
通过查阅相关的书籍，对比整理，使得对布里渊区的认识达到新的面貌，形成系统的框架。
从而实现对能带理论更加清晰的高度，为材料研制和工程技术提供更加可靠的理论指引。
关键字:晶格；布里渊区；能带。
Discussion on the structure and properties of Brillouin zone Abstract: Brillouin zone as the basic content and the research of the physics of solids lattice can bring important knowledge points. Band theory is the most important theory of the solid electronic theory, and the brillouin zone were introduced for energy learning important supplement, its in the semiconductor, the laser, superconductor, achieved a major breakthrough in modern scientific research. Only convert theory into productivity, can drive the rapid development of modern information science and technology group. Through access to books,contrast, to achieve a new understanding of the brillouin area, form a system framework. So as to realize more clear height of band theory, for research and engineering technology materials provide more reliable theoretical guidance.Keywords: Lattice ；Brillouin zone ；Energy band.目录一论文正文1 晶格性质及布里渊区 (1)1.1 晶格及分类 (1)1.2 一维单原子链 (1)1.3 一维双原子链 (3)2 布里渊区 (4)2.1 布里渊区 (4)2.2 布里渊区的界面方程 (4)2.3 布里渊区的图像 (4)2.3.1 简单立方格子 (5)2.3.2 体心立方 (5)2.3.3 面心立方体 (6)3 布里渊区与能带 (6)3.1 能带的性质 (6)3.2 能带的表示 (7)3.2.1 简约布里渊区图式 (7)3.2.2 周期图示 (8)3.2.3 扩展布里渊区图示 (8)3.3 三维晶格的能带与布里渊区 (9)3.3.1 能带的周期性 (9)3.3.2 能带的对称性 (9)3.3.3 能带的宏观对称性及与布里渊区的联系 (9)4 总结 (10)4.1 布里渊区的基本特征 (10)4.2 布里渊区的重要性 (10)参考文献 (11)谢辞 (12)二附录1 开题报告 (13)2 结题报告 (14)3 答辩报告 (15)1 晶格性质及布里渊区1.1 晶格[1]及分类晶体内部原子是有规律排列的。
二维MoS2晶体介绍
二维MoS2晶体介绍郑建民PB12203247由于二维MoS2具有独特的光特性、电特性，而且化学稳定性与热稳定性高，使得近几年来对其研究较多，所以借此机会讨论一下MoS2。
在这里主要介绍二维MoS2的结构、化学键、振动、能带、态密度和应用，同时将与块状MoS2、石墨烯等材料进行对比。
块状MoS2基本物理性质：黑灰色，有金属光泽，触之有滑腻感，不溶于水。
密度:4.8-5.0g/cm3; 硬度（莫式），摩擦系数：0.05-0.091~1.5，相对介电常数3.3，二硫化钼不导电，为间接带隙，禁带宽度小（1.2eV）。
MoS2晶体属于六方晶系而且具有层状结构，MoS2作为一种半导体在电子器件、光学器件、力学器件都有应用，另外MoS2毒性较小，作为荧光标记在生物医学也有巨大潜力。
随着MoS2的层数不断减小，MoS2有间接带隙逐渐过度到直接带隙，禁带宽度也由1.29eV增大到1.74eV（174eV对应光为可见光的波段）。
成为与多层MoS2性质不同的晶体。
一结构：多层(块状)MoS2结构：空间群：P63/mmc单层MoS2的结构：俯视图：类似于石墨烯的六角结构，但是原胞中的两个原子不同（而石墨烯中相同）侧视图：由此可以看出所有原子并不是在同一个平面，而是有三个原子层构成MoS2晶体侧视结构每个S原子与三个Mo原子成键，每个Mo原子与6个S原子成键，所以晶体中Mo：S=1:2原胞：如图所示，虽然晶体是二维，但是原胞并不是。
四个Mo原子处于平行四边形的四个角（较小内角为60度）。
原胞内部有两个S原子，处于三个Mo原子（正三角形）的正上方和正下方。
Mo-Mo最近距离：0.312nmMo-S键：0.2411nmMo-Mo-Mo（最小）角：60度S-Mo-S（最小）键角：46.21度晶格点阵：二维的简单六角结构，晶格常数a1=a2=a=0.312nm，夹角60度倒格子空间：结构与晶格点阵相同，只是基矢不同倒格失 长度：夹角120度布里渊区与高对称点：二维MoS 2的晶格点阵与graphene 相同，但是性质并不相同，石墨烯是导体，没有带隙，而二维MoS 2为直接带隙的半导体（Eg=1.8eV ），因此在半导体应用领域有较大潜力。
布里渊区与能带,光学晶体局域态
1，布里渊区与能带2，光子晶体局域态(2008-03-26 12:51:28)转载▼分类：我的日志标签：股票在波矢空间中取某一倒易阵点为原点（通常为高对称点），作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
各布里渊区体积相等，简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，都等于倒易点阵的元胞体积。
周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。
对于电子德布罗意波，这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。
根据这一特点，1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，从此被称为布里渊区。
第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。
第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，从此被称为布里渊区。
因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态。
布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。
都等于倒易点阵的元胞体积。
简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。
由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
它们都是对称的多面体，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。
真空层_k点路径_概述说明以及解释
真空层k点路径概述说明以及解释1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本文将要讨论的主题，即真空层k点路径的概述说明和解释。
在固体物理学和凝聚态物理学中，研究材料的电子结构对于理解其性质至关重要。
其中，k点路径是描述Crystals（晶体）中电子能带特征的一种重要方法。
而在实际应用中，由于表面上存在着真空层或者薄膜，在计算材料的电子结构时需要考虑这些界面区域对能带特性的影响。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序展开讨论：首先在第二部分给出真空层k点路径的概述，包括对真空层概念和k点路径定义进行阐述，并探讨其应用和意义；接下来在第三部分详细解释了真空层k点路径的原理和机制，包括解释1、解释2和解释3；最后，在第四部分给出总结要点，并对真空层k点路径未来的发展进行了展望。
1.3 目的本文旨在通过深入探讨真空层k点路径的概念与原理，帮助读者全面理解这一重要的电子结构特征描述方法。
同时，通过分析其应用和意义，将揭示真空层k 点路径在材料电子结构计算和理论研究中的重要性，并为该领域的未来发展提供有益的启示。
请注意，以上内容仅为引言部分的示例，实际撰写时可根据自己的观点和文章逻辑进行修改补充。
2. 真空层k点路径概述2.1 真空层概念真空层是指固体材料中两个不同晶格之间的区域，其中没有原子或分子存在。
在晶体结构中，真空层通常是由两个连续的晶体面之间形成的。
其特点是没有周期性结构和原子排列。
2.2 k点路径定义k点路径是描述固体材料能带结构的高对称方向和路径的方法。
通过在布里渊区内连接不同高对称点（k点），可以得到k点路径。
这些高对称点是指具有相同晶体对称性的特殊k点。
一条完整的k点路径覆盖了整个布里渊区。
2.3 应用和意义真空层k点路径在固体材料研究中具有重要应用和意义。
首先，它可以帮助我们更好地理解和描述材料的能带结构及相关物理性质。
通过研究k点路径，我们可以更准确地确定能带间隙、费米能级等重要特征，并进一步探索材料的导电性、光学性质等。
布里渊区
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
布里渊区的几何定义
布里渊区的几何定义稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊那个有点神秘但其实也挺有趣的“布里渊区”的几何定义。
你知道吗？布里渊区就像是晶体结构里的一个独特小天地。
想象一下，晶体中的原子们排排站，它们形成的晶格就像一个大迷宫。
而布里渊区呢，就是这个迷宫里划分出来的特别区域。
比如说，它可以看作是在倒格子空间里的一些区域。
倒格子听起来是不是有点晕？别担心，其实就是一种数学上的表示啦。
简单来讲，布里渊区就像是给晶格中的各种波动，比如电子的运动，划分了不同的“领地”。
在每个领地内，这些波动都有自己独特的性质。
比如说，在这个区域里，电子的能量可能会有特定的范围和变化规律。
这就好像每个布里渊区都是电子的一个“专属俱乐部”，只有符合条件的才能进去玩耍。
而且哦，布里渊区的形状和大小，是由晶体的结构决定的。
不同的晶体结构，就有不同形状和大小的布里渊区。
怎么样，是不是觉得布里渊区也没那么难理解啦？稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来探索一下布里渊区的几何定义，准备好了吗？咱们先想象一下，晶体是一个超级大的城市，原子们就是城市里的居民。
而布里渊区呢，就像是城市里划分出来的不同街区。
那它到底是怎么划分出来的呢？这就得提到倒格子啦。
倒格子就像是给这个城市画了一幅特别的地图。
在这张地图上，布里渊区就是那些有特殊意义的区域。
比如说，它们能告诉我们晶体中电子的运动情况。
每个布里渊区都有自己的边界，就像街区有自己的围墙一样。
这些边界可不是随便定的，是根据晶体的对称性和周期性来的。
而且哦，布里渊区的大小和形状能反映出晶体的很多特性。
如果布里渊区比较大，可能说明晶体中电子的活动范围比较广；要是形状比较特别，那也暗示着晶体有独特的性质。
再想想，当我们研究晶体的各种物理性质时，布里渊区就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多秘密的大门。
是不是觉得布里渊区挺有意思的？其实只要多想想，这些看似复杂的概念也能变得很简单有趣哟！。
布里渊区
的Wigner-Seitz原胞给出。
金刚石结构的Si、Ge和闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族半导体等, 都具有面心立方Bravais格子, 因此都具有体心立方的倒格子, 从而也都具有相同形状的第一Brilouin区, 为截角八面体(即是由6个正方形和8个正六边形构成的14面体)。
3布里渊区的特殊k点采样问题研究介绍在各种周期性边界条件的第一原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。
如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。
这使得计算的效率非常低下。
因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。
而这些k点被称之为“平均值点”（Baldereschi）或者“特殊点”（Chadi, Cohen）。
[1]基本思想Chadi和Cohen最早提出了这种特殊点的数学基础[1]。
考虑一个光滑函数，我们可以将其展为傅立叶级数：假设另有一个拥有体系全部对称性（对称性用对称群表示）的函数，满足条件，则我们可以将用展开如下：其中是对称群的阶数。
设，将上式的求和顺序重新组合可以得到其中是距离原点第近邻的球半径，按升序排列，且。
需要注意的是限制条件具有球对称性，也即高于的对称性，所以满足限制条件的格点集合并不一定都是等价的——或说可以通过中的操作联系起来的——格点。
方程(3)中的函数满足下列条件：上式中是倒格矢，是满足条件的格点数。
五个方程分别表明函数在第一布里渊区内成奇函数、具有正交性、周期性、体系对称性和完备性。
对于特殊点法而言，前两条更为重要。
注意到上面公式中的求和从1开始，因此需要对的情况进行单独定义。
我们定义，则函数的平均值为：那么该如何得到呢？注意方程(3)，如果存在这样的特殊点，使其满足：>那么立刻可以得到，这样的点被称为“平均值点”。
但是普遍的讲，满足上述条件的点并不存在。
布里渊区
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
布里渊区的特殊k点采样问题研究
BZ
Am T i k = Am k;
Am k Am k =∑ a j m , n A j k
j
其中前两条是最重要的，其中 Nn 是符合 ∣R∣=C n 的格点数。而后面几个条件则表明 A m 具有体系全部对称性、周期性以及完备性。 注意到上面公式中的求和 m 从 1 开始，因此需要对 m=0 的情况进行单独定义。我们定 k =1 ，则函数 f k 的平均值为： 义 A0 f = / 2 3∫BZ f k d k= f 0 那么该如何得到 f 0 呢？注意方程（1），如果存在这样的特殊 k 点，使得满足： 0 =0 ; ∀ {m 0, m ∈ I } Am k 0 ，这样的 k 点被称为“平均值点”。但是普遍的讲，满足 那么立刻可以得到 f = f 0= f k 上述条件的 k 点并不存在。对这个问题的解决办法就是不用单个 k 点，而采用满足一定条件 的 k 点的集合 {k } ，利用这些 k 点上函数值的加权平均计算 f 0 。也即： ∞ k =0, m =1,⋯ , N ; ∑ i = 1 2 ∑ i A m
⇒ f = f 1 ∑ f m N
m =1 m m 1 q 1 R1 R2 R3/ q 1 /2 m
S m1 q
− 1 其中 S m1 q = 0
if R j= nq , j =1,2,3 n ∈ I otherwise
k 在布里渊区的平均值可以用 f 1 （在 与我们在 ChadiCohen 方法中看到的一样， f ChadiCohen 方法中是 f 0 ）。而且误差（方程右边第二项）可控，即可以通过增加 k 点密 度 q 的方法提高精度。这是因为 q 增大，根据上面所述 S m1 q 的取值可知，在 R j 更大 的时候仍能保证方程（2）成立。 但是根据方程（3）可得
关于布里渊区
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h Ghkl 123123G h b h b h b =++且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++123()h h h 123()h h h 123,,a a a123123,,a a a h h h3 3)ah实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。
因此，正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。
例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。
晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。
1a 2a 1b 2b正格子空间中长的基矢a 3对应于倒格子空间短的基矢b 3，反之亦然。
推广，正格子空间长的线条对应于倒格子空间短的线条。
正点阵为简单点阵，倒易点阵也是简单点阵。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
（具体证明见习题1.11)正方点阵布里渊区第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的布里渊区构造动画正方倒格子正方倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画六角倒格子六角倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画简立方（sc）倒格子布里渊区见黄昆书图4Fcc倒格子布里渊区面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区XΓLK XXUWK zK yK xfcc: 布里渊区的高对称点1st Brillouin Zone:(0,0,0)2:(1,0,0)2111 :(,,)222233:(,,0)44XaLaKaπππΓ0.5√3a109o28’bcc 格子的倒格子（fcc）及布里渊区bcc: 布里渊区的高对称点:(0,0,0)2:(1,0,0)2111:(,,)222211:(,,0)22H a P a N a πππΓIt would be sufficient for most purposes to know the En(k) curves -the dispersion relations -along the major directions of the reciprocallattice (n is the band index).倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。
布里渊区gamma点的物理意义
布里渊区gamma点的物理意义
布里渊区gamma点是布里渊区的中心点，具有以下物理意义：
1. 最低能量点：gamma点处的能带结构通常具有最低的能量，即能带底部。
在凝聚态物质的能带结构中，布里渊区的其他点对应着能带中间或顶部的能量。
2. 高对称性点：gamma点具有最高的对称性，对应于系统的
旋转、镜像和反演操作。
因此，在材料的电子结构计算和表征中，通常使用gamma点来研究系统的对称特性。
3. 载流子性质研究：gamma点是研究材料载流子性质（如电
子和空穴）的重要位置。
通过对gamma点的能带结构和动量
分布的分析，可以得到电子和空穴的有效质量、迁移率等物理性质。
4. 器件设计：对于材料在光电器件中的应用，gamma点的能
带结构和光学性质通常被用于设计和优化激子、光子晶体、半导体激光器等器件。
总之，布里渊区gamma点在固体物理和材料科学中具有重要
的物理意义，可以用于描述材料的能带结构、对称性和载流子性质，以及用于光电器件的设计和优化。
(精品)§6.2布里渊区
2
a
k＋i ,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
b1
b2
b3
4
a
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状
每个布里渊 区经过适当 的平移之后 和第一布里 渊区重合
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10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小 区, 但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级构 成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒 格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
aj,
a3
ak;
倒格子基矢: b1
2
a
i , b2
2
a
j,
b3
2
a
k;
倒格矢: Kh n1b1 n2b2
1.布里渊区的画法
(1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图;
(2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒
格矢的垂直平分面;
b3
2
a
i j－k
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a