七年级新思维20-丰富的图形世界

20.丰富的图形世界

问题解决

例1（四川省中考题）如图是一个正方体表面展开图，如果正方体

相对的面上标注的值相等，那么x y

+=_______．

【答案】281014

x y x y

==+=

，，．

例2（成都市中考题）如图，由一些完全相同的小立方块搭成的几

何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）．

左视图俯视图

主视图

A．5个B．6个C．7个D．8个

【答案】D

例3（贵阳课改实验区中考题）由一些大小相同的小正

方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图．

（1）请你画出这个几何体的一种左视图；

（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，求n的

值．

【答案】（1）左视图有以下5种情形：

（2）891011

n=，，，

例4（江苏省常州市中考题）如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为1，且这些正方体露在外面的面积和超过8，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？

【答案】4；9 提示：最下面正方体1个面的面积是1，侧面露出的面积和是4，每相邻两个正方体中上面的1个正方体每个面的面积都正好是其下

面正方体1个面面积的1

2

，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上

面露出的面积和（正好是最下面正方体上底面的面积1）即是这些正方体露在外面的面积和．如：

2个正方体露出的面积和是

4

417

2

++=，

3个正方体露出的面积和是

44

418

24

+++=，

y

2x8

10

8

8

俯视图

主视图

4个正方体露出的面积和是

4441 418

2482 ++++=，

5个正方体露出的面积和是

44443 418

248164

+++++=，

6个正方体露出的面积和是

444447 418 24816328

++++++=，

……故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过9．例5（江城国际数学竞赛题）要把一个正方体分割成49个小正方体

（小正方体大小可以不等），画图表示．

分析与解本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合．

为方便起见，设正方体的棱长为6个单位，首先不能切出棱长为5的立方体，否则不可能分割成49个小正方体．

设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，如果能切出1个棱长为4的正方体，

则有

864216

491

a b

a b

++=

⎧

⎨

+=-

⎩

，解之得

6

14

7

b=，不合题意，所以切不出棱长为4的正方体．

设切出棱长为1的正方体有a个，棱长为2的正方体有b个，棱长为3的正方体有c个，

则

827216

49

a b c

a b c

++=

⎧

⎨

++=

⎩

，解得3694

a b c

===

，，，

故可分割棱长分别为1、2、3的正方体各有36个、9个、4个，分法如图所示．

欧拉公式

例6 建立模型

18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数()

V、面数()F、棱数()E之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．

正十二面体

正八面体

长方体

四面体

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_______．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x y

+的值．

解 （1）6；6；2V F E +-= （2）20

（3）这个多面体的面数为x y +，棱数为

243

362

⨯=（条）

． 根据2V F E +-=，可得24()36214x y x y ++-=∴+=，． 模型应用

（宁波市中考题改编）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数．

解 设足球表面的正五边形有x 个，正六边形有y 个，总面数F 为x y

+个．因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数E 为1

(56)2

x y +，又因

为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数121

(56)(56)233V x y x y =+⋅=+⋅

由欧拉公式2V F E +-=得11

()(56)(56)232

x y x y x y +++-+=，

解得12x =．

所以正五边形只要12个．

又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，所以六边形个数

5203

x

=，即需20个正六边形． 数学冲浪

知识技能广场 1．（山东省菏泽市中考题）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是_______．

4

56123

（第1题）

（第2题）

俯视图

左视图主视图

【答案】6 2．（武汉市中考题）由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是_______． 【答案】5 3．（山东省烟台市中考题）一个长方体的左视图，俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为_______．