材料力学典型例题及解析 4.弯曲内力典型习题解析

弯曲内力
典型习题解析
1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出max
S
F 和max
M。

解题分析：作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程，根据方程描点作图。

在能熟练地作剪力、弯矩图后，可采用如下简便作图法：在表中列出特殊截面（如有位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值，再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系判断各区段的内力图形状，连线相邻特殊截面对应的点。

下面按两种方法分别作图。

解I ：1、求支反力
qa F Ay =，
qa F Cy 2=2、将梁分成AB 、BC 和CD 三个区段 以A 为原点，向右取x 坐标。

AB 段，如图d ：
qa F F Ay ==S ，()
a x <<0
2qa
(c)
(b)
(a)
M
(d)
(e)
M
S
S
S
M
(f)
题1图
qax x F M Ay ==，()
a x ≤≤0BC 段，如图e：
)2()(S x a q a x q F F Ay −=−×−=，(a x a 2<<)
)/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 2≤≤)
CD 段，如图f：
)()(S x a q F a x q F F Ay −=−−×−=，(a x a 32<<)
)/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 32≤≤)
3、按照步骤2所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图b 和图c。

4、计算剪力和弯矩的最大值
qa F 2max
S
=， 2max
2
3qa M
=
解II ：1、计算支反力
qa F Ay =，
qa F Cy
2=2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。

3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来，得到剪力图和弯矩图。

力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 F Ay 向上 q =0
无集中力q =负常数 F 向下 q =负常数 F Dy 向上F S
突跳F Ay
水平(+)
连续 下斜线(+) 突减F 下斜线(-) 突跳F Dy
M 0 上斜线 相切
上凸抛物线
转折
上凸抛物线
4、计算剪力弯矩最大值
qa F 2max
S
=， 2
max
2
3qa M
=
讨论：利用剪力弯矩方程作图时，注意坐标轴x 的正向一般由左至右。

有时候根据需要，可
以取为由右至左，但此时必须注意q ，F S 和M 之间的微分关系在正负号上有变化。

2 作图示梁的剪力图和弯矩图。

解题分析：不分段列剪力、弯矩方程，只计算特殊截面处的剪力、弯矩值，根据规律连线。

解：1、求支反力
qa F qa F Cy Ay 5
4
,43==
2、计算特殊截面剪力值
将梁分为三个区段计算每个截面的值。

集中力作用截面的左、右两侧值不同。

S F S F qa F F A A 4
3
0S S ==右左， qa F qa F B B 41
43S S −==
右左， qa F qa F C C =−=右左，S S 4
1
0S =D F
3、计算特殊截面弯矩值
计算前述特殊截面处的M 值。

集中力偶作用截面的左、右两侧的M 值不同。

0=A M 224
1
43qa M qa M B B −==
右左， 题2图
22
1qa M C −
= 0=D M
CD 段是二次抛物线，抛物线上有极值时应求出。

4、计算最大剪力和弯矩值
qa F =max
S
， 2max
4
3qa M
=
讨论：采用上述作图法不能遗漏代表点，包括载荷变化点、约束点。

计算极值弯矩时，可以先找出该区段剪力为零的截面，该截面处的弯矩即为极值弯矩。

也可以借助该区段的弯矩方程计算极值。

3 作图示梁的剪力图和弯矩图，并求出max
S
F 及max
析：梁上有中间铰时M
，B 处是中间铰。

解题分，先自铰处将梁拆分。

中矩一定为零。

解： 1、求支反力
间铰可以传递力，但不能传递弯矩，所以中间铰处弯在中间铰B 处将梁拆开两部分，铰处互相作用
力用By F 代替，如图b 所示。

24
7
,47,1qa F F qa F By Ay ==4qa M A Dy ==
2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段，计算A B 、
C D 截面处的内力值。

3、集度与剪力、弯矩之间的微分关系，
4、CD 段剪力有零点，根据左负右正，判断弯矩图有极小值。

、、根据载荷判断各区段的内力图形状，并用图线连接。

令041)(S x F =−=
qx qa ，得a x 4
1
=，代入弯矩方程
2232
1)4(2141)(qa a q a F x M D =+×−=
5、计算最大剪力、弯矩值
qa F 4
max
S
=
， 7
2max
4
M =
7qa F S
(d) M
题3图
4 试作图示梁的剪力图和弯矩图
解题分析：对于三角形()q 0的关系，再列出剪力、弯矩方程。

结构和载荷均对称时，弯矩图对称，剪力图反对称。

所以，只须取左半边作图，然后根据上述对称解： 1、求支反力
分布载荷，先列出q x 和反对称关系，画出另一半剪力、弯矩图。

l q F F Cy Ay =
=04
1
2、列、S F M 方程
l
x q x q (0
= 2))20(41)(21
41)(20
00l −S1l
x l x q l q x x q q x F <<−==
)2
l
0(3432)(41)(30001x x l
q lx q
x x x q lx q x M ≤≤−=⋅−=
2
l
x =
处M 为极大值。

2030)()(1l q l l M −=
0max 12
1
2324l q l q = 3、作、S F M 图
AB 段， 图为二次抛物线，S F M 图为三次抛物线。

BC 段，图与AB 段反对称，S F M 图与AB 段对称。

4、计算最大剪力弯矩值
q 0l /4
(+)
q 0l 2/12
(+)
(-)
题4q 0l /4
图
4
0l
q =
max
S
F ，21
l q M =
0max
12
5 作图示刚架的内力图
C 铰处拆开，得：
解题分析：刚架有中间铰，自铰处拆开，先求支反力，然后根据对称规律作剪力、弯矩图。

铰处无集中载荷时，铰两侧轴力、剪力图连续，弯矩为零。

解：1、求支反力
由于对称 qa F F Ey Ay == 在Ex Ax F qa
F ==
4
2、作F 图
N AB 力区，直线； ，区，qa F −=N ，BC CD 力4
N qa
F −
=，直线； 力区，，直线。

3、DE qa F −=N 作S F 图
AB 力区，0=q ，4
S qa
−
=直线F
D 2/2
题5图
qa
BD 力区，等于负常数，图为斜线，q S F qa F =max
S
DE 力区，，0=q 4
S qa
F =直线 4、作M 图
AB 力区，S F 为负常数，M 图为斜线。

BC 力区，为斜线，正值，S F M 图为二次抛物线，C 处M 值等于零。

CD 力区，为斜线，负值，S F M 图为二次抛物线。

2
2
DE 力区，为正常数，M 图为斜线。

S F max
M
=。

qa 讨论：作称性或反对称性可以大大降低工作量。

刚架内力图时充分利用刚架的几何对称性、载荷的对。