材料力学典型例题及解析 4.弯曲内力典型习题解析

弯曲内力

典型习题解析

1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出max

S

F 和max

M

。

解题分析：作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程，根据方程描点作图。在能熟练地作剪力、弯矩图后，可采用如下简便作图法：在表中列出特殊截面（如有位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值，再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系判断各区段的内力图形状，连线相邻特殊截面对应的点。下面按两种方法分别作图。 解I ：1、求支反力

qa F Ay =，

qa F Cy 2=2、将梁分成AB 、BC 和CD 三个区段 以A 为原点，向右取x 坐标。 AB 段，如图d ：

qa F F Ay ==S ，()

a x <<0

2qa

(c)

(b)

(a)

M

(d)

(e)

M

S

S

S

M

(f)

题1图

qax x F M Ay ==，()

a x ≤≤0BC 段，如图e：

)2()(S x a q a x q F F Ay −=−×−=，(a x a 2<<)

)/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 2≤≤)

CD 段，如图f：

)()(S x a q F a x q F F Ay −=−−×−=，(a x a 32<<)

)/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 32≤≤)

3、按照步骤2所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图b 和图c。

4、计算剪力和弯矩的最大值

qa F 2max

S

=， 2max

2

3qa M

=

解II ：1、计算支反力

qa F Ay =，

qa F Cy

2=2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。

3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来，得到剪力图和弯矩图。 力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 F Ay 向上 q =0

无集中力q =负常数 F 向下 q =负常数 F Dy 向上F S

突跳F Ay

水平(+)

连续 下斜线(+) 突减F 下斜线(-) 突跳F Dy

M 0 上斜线 相切

上凸抛物线

转折

上凸抛物线

4、计算剪力弯矩最大值

qa F 2max

S

=， 2

max

2

3qa M

=

讨论：利用剪力弯矩方程作图时，注意坐标轴x 的正向一般由左至右。有时候根据需要，可

以取为由右至左，但此时必须注意q ，F S 和M 之间的微分关系在正负号上有变化。 2 作图示梁的剪力图和弯矩图。

解题分析：不分段列剪力、弯矩方程，只计算特殊截面处的剪力、弯矩值，根据规律连线。 解：1、求支反力

qa F qa F Cy Ay 5

4

,43==

2、计算特殊截面剪力值

将梁分为三个区段计算每个截面的值。集中力作用截面的左、右两侧值不同。

S F S F qa F F A A 4

3

0S S ==右左， qa F qa F B B 41

43S S −==

右左， qa F qa F C C =−=右左，S S 4

1

0S =D F

3、计算特殊截面弯矩值

计算前述特殊截面处的M 值。集中力偶作用截面的左、右两侧的M 值不同。

0=A M 224

1

43qa M qa M B B −==

右左， 题2图

22

1qa M C −

= 0=D M

CD 段是二次抛物线，抛物线上有极值时应求出。 4、计算最大剪力和弯矩值

qa F =max

S

， 2max

4

3qa M

=

讨论：采用上述作图法不能遗漏代表点，包括载荷变化点、约束点。计算极值弯矩时，可以先找出该区段剪力为零的截面，该截面处的弯矩即为极值弯矩。也可以借助该区段的弯矩方程计算极值。

3 作图示梁的剪力图和弯矩图，并求出max

S

F 及max

析：梁上有中间铰时M

，B 处是中间铰。

解题分，先自铰处将梁拆分。中矩一定为零。 解： 1、求支反力

间铰可以传递力，但不能传递弯矩，所以中间铰处弯在中间铰B 处将梁拆开两部分，铰处互相作用

力用By F 代替，如图b 所示。

24

7

,47,1qa F F qa F By Ay ==4qa M A Dy ==

2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段，计算A B 、

C D 截面处的内力值。

3、集度与剪力、弯矩之间的微分关系，

4、CD 段剪力有零点，根据左负右正，判断弯矩图有极小值。

、、根据载荷判断各区段的内力图形状，并用图线连接。 令041)(S x F =−=

qx qa ，得a x 4

1

=，代入弯矩方程

2232

1)4(2141)(qa a q a F x M D =+×−=

5、计算最大剪力、弯矩值

qa F 4

max

S

=

， 7

2max

4

M =

7qa F S

(d) M

题3图