常数项级数的概念与性质.ppt
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常数项级数的概念和性质(课堂PPT)
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
81常数项级数的概念和性质
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
1 的敛散性.
n1 n(n 1)
解
因为
un
1 n(n
1)
1 n
1 n
1
Sn
ln(n 1)
从而推出
lim
n
Sn
,
因此调和级数 1 发散. n1 n
例4 对级数 2n 作如下推导: 设 S 2n , 于是
n0
n0
有 S 1 2 4 8 1 2(1 2 4 ) 1 2S
解得 S 1. 判断结论是否正确, 说明理由.
Sn nk Ck
因此, 级数 un 与 un 有相同的敛散性.
n1
n k 1
性质8.4 收敛级数加括号后所成的级数仍然为收敛
级数 , 且收敛于原级数的和.
例如, 将相邻两项加括号, 得级数
(u2n1 u2n )
n1
(u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
n1
n1
a , b , 级数 (aun bvn ) 也收敛, 且有
n1
（aun bvn） a un b vn.
n1
n1
n1
由例1和例2可知，
级数
(1)n
n1
2n1
3 n(n
高等数学(微积分)课件--§7.1常数项级数的概念与性质
请利用几何级数计算： 1： ( ) 3 n 1 2 :
n 1
2
n
( 1) 2 3
n 1
n 1
3 : ( ) n2 4
n
8
例题（证明级数发散）
例 证明
证明级数 1 2 3 n 是发散的
n(n 1) 2
.
这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
3 3
( 1)
n
8 9
n n
;
(2)
1 3
1 6
1 9
1 3n
; q 8 9 ， 1 q
解
( 1 ) 因为级数是等比级数且
故原级数收敛
.
( 2 ) 因为级数
n1
1 n
是调和级数
, 它是发散的，
故由级数的性质知级数
1 3
1 6
1 9
1 3n
第七章
无穷级数
§7.1常数项级数的概念与性质 §7.2正项级数敛散性的判别 §7.3任意项级数敛散性的判别 §7.4*广义积分敛散性的判别 §7.5*幂级数 §7.6*函数的幂级数展开
1
§7.1常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、级数的基本性质 三、习题
2
一、常数项级数的概念
解
因为级数
n1
1 2
n
和
n1
1 3
n
都是收敛的等比级数
,
故由级数的性质知级数
1 1 1 1 1 1 2 2 n n 3 2 3 3 2 2
n 1
2
n
( 1) 2 3
n 1
n 1
3 : ( ) n2 4
n
8
例题（证明级数发散）
例 证明
证明级数 1 2 3 n 是发散的
n(n 1) 2
.
这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
3 3
( 1)
n
8 9
n n
;
(2)
1 3
1 6
1 9
1 3n
; q 8 9 ， 1 q
解
( 1 ) 因为级数是等比级数且
故原级数收敛
.
( 2 ) 因为级数
n1
1 n
是调和级数
, 它是发散的，
故由级数的性质知级数
1 3
1 6
1 9
1 3n
第七章
无穷级数
§7.1常数项级数的概念与性质 §7.2正项级数敛散性的判别 §7.3任意项级数敛散性的判别 §7.4*广义积分敛散性的判别 §7.5*幂级数 §7.6*函数的幂级数展开
1
§7.1常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、级数的基本性质 三、习题
2
一、常数项级数的概念
解
因为级数
n1
1 2
n
和
n1
1 3
n
都是收敛的等比级数
,
故由级数的性质知级数
1 1 1 1 1 1 2 2 n n 3 2 3 3 2 2
第一节常数项级数的概念与性质
性质4 若级数 un收敛，则对级数的项任意加括号后所成
n 1
的级数仍然收敛，且其和不变. 即 若s u1 u2 un1 un1 1 un2 成立，则
s u1 u2 un1 un1 1 un2 也成立
n 1
如果级数 un的部分和数列sn 没有极限，则称级数 un发散.
n 1 n 1
记 rn s sn un1 un2 ，称为级数的余项.
1 例1 判别级数 的敛散性. n 1 n n 1
解 级数的一般项可变形为 1 1 1 un n n 1 n n 1 所以级数的部分和为
性质2 若级数 un , vn分别收敛于s与 ，则级数
n 1 n 1
u
n 1
n
vn 收敛于s ；级数 un vn 收敛于s .
n 1
性质3 在级数 un的前面部分去掉或添加有限项，
n 1
级数的收敛性不变. 但级数的和会改变！
可见改变级数的有限项，不改变级数的敛散性， 但改变级数的和！
1 例4 证明：调和级数 发散. n 1 n 1 证明：假设调和级数 收敛于s. n 1 n 则应有 lim sn s, lim s2 n sn n Nhomakorabea
所以有 lim s2n sn 0
n
而 s2n sn un1 un2 u2n
n
2 当公比 q 1时，
若q 1 ，则级数的部分和为sn na n ；
若q 1，则级数的部分和为sn a 1
n 1 n 1
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
常数项级数概念和性质41页PPT
第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的基本概念 二、两个重要级数的敛散性 三、常数项级数的基本性质 四、小结
一尺之棰，日取其半，万世不竭
1 2
1 1 22 23
...
1 2
n
...
1
1
•
0.30.333
3
33 3 ...3... 10 100 1000 10n
教育 法律 会计 销售 心理 教学 物
13
由x1,xn1及y1所 围 成 的 曲 边 梯 形 x
y
s
n1
1
1 x
dx
ln1n1lnn1
,且sn
s
y
1 x
ln i m snln i m ln n1
A1
则lni msn不存在,
A2
A3
A4 …
An
故 1+1 21 3...n 1...发 散 .
o x 1 2 3 4 5 … n n+1
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3
一、常数项级数的基本概念
定义1:一般地,如果给定一个常数项数列u1,u2, ,un,
则和式u1 u2 u3 un 称做常数项无穷级
数.简称(数项)级数.记作un,即 n1
un u1 u2 u3 un ,
n1
其中u1,u2, ,un, 分别叫做第一项,第二项,...,第
问题１：“无限个数相加”是否存
“和”？
问题２：如果存在，“和”等于什么？
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ppt0901课件常数项级数的概念与性质
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
性质8.5
级数 un收敛
n 1
lim un 0.
n
证明 S un n 1
则 un S n S n1 ,
n n
limun lim S n lim S n1
n 1
( 包括极限为 ) ,
例2 证明级数 123 n 是发散的 证: 此级数的部分和为
n(n 1) sn 1 2 3 n 2
lim sn , 因此所给级数是发散的 显然, n
下页
例3 讨论等比级数(几何级数)
1.
常数项级数的定义
假设 {u n } 是一个数列 : u1, u2, u3, , un, ,
u
n1
一般项
n
u1 u2 u3 un
— (常数项)无穷级数
n
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
例1
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ; n 2 4 2 n 1 2
n 1 2 n ; n 1
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散
收敛, 则 也收敛.
“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”
下页
注 收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注
例如级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数
高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
2024年9月27日星期五
10
目录
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
2024年9月27日星期五
14
目录
上页
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
2024年9月27日星期五
15
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内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
2024年9月27日星期五
19
目录
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3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
n1n3
1 3n2
2n
;
解: (1) 令
则
e n1 ( n 1) !
un1 un
(n1)n1 enn!第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档
nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2
n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1
1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn
1
发散
n1n
(方法2)
un
1 n
n11 dx nn
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n1
的部分和为
Skn Sk
数敛散性相同.
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为
类似可证前面加上有限项的情况 .
2020/10/12
11
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
收敛 , 其和为 ks .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
2020/10/12
8
性质2 则级数
设有两个收敛级数
s un , vn
n1
n1
也收敛, 其和为
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
第十二章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用
2020/10/12
1
第十二章
第一节 常数项级数的概念和性质
（Conception and property of constant term series）
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
(1 例如， 2020/10/12 1) (11) 0 , 但
发散.12
性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 un 收敛， n1
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
2020/10/12
10
性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
3. 级数收敛的判别方法
(1) 由定义,若sn s,则级数收敛;
(2)
当
lim
n
un
0,则级数发散;
(3)
按基本性质.
2020/10/12
16
思考与练习
1、若级数 un 与 vn 都发散时，级数 (un vn )
lim
n
n(n 1) 2
所以该级数发散．
的敛散性．
例 2 讨论级数1 1 1 1 (1)n1 的敛散性．
解：部分和数列 s1 1 ， s2 11 0 ， s3 111 1 ，
， sn 1 1 1 1 ( n11 ．)
易知，当 n 为奇数时， sn 1；当 n 为偶数时， sn 0 ．
则当
n
无限增大时，它的一般项 un
趋于零，即
lim
n
un
0
．
证: un Sn Sn1
故
lim
n
un
lim
n
Sn
lim n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
2020/10/12
13
注:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
称为级数的部分和.
2020/10/12
则称无穷级数
3
收敛 , 并称 s 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
2020/10/12
4
例 1 判别无穷级数 n 1 2 3 n
n1
解：由于 sn 1 2
n n(n 1) , 则 2
lim
n
sn
所20以20/1没0/12有极限，故原级数发散．
5
例3 讨论等比级数 (又称为几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
从而
因此级数收敛 , 其和为
从而
因202此0/10级/12 数发散 .
6
2) 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
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发散 , 从而原级数发散 .
15
n1
n1
n 1
的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级
数 (un vn ) 散敛性又如何？ n 1
答:（1）若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
（2） 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 .
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(用反证法可证) 17
一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
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2
一、常数项级数的基本概念
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
2、 判别下列级数的敛散性: 解: (1)
所以级数 (1) 发散 ;
2020/10/12
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
18
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
13
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛 ;
2020/10/12
时, 等比级数发散 .
7
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 收敛于 s , 即
则各项
乘以常数 k 所得级数
也收敛 , 其和为 ks .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n kuk k Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
ks
这说明
这说明级数
也收敛, 其和为
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例 4 判别级数
(1
1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 3n1
2n1
4n1
的敛散性．若收敛时求出它的和．
解：由于1 1 1
2 22
1 2n1
与1 3 32 4 42
3n1 4n1
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
的部分和为
Skn Sk
数敛散性相同.
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为
类似可证前面加上有限项的情况 .
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性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
收敛 , 其和为 ks .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2 则级数
设有两个收敛级数
s un , vn
n1
n1
也收敛, 其和为
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
第十二章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用
2020/10/12
1
第十二章
第一节 常数项级数的概念和性质
（Conception and property of constant term series）
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
(1 例如， 2020/10/12 1) (11) 0 , 但
发散.12
性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 un 收敛， n1
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
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性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
3. 级数收敛的判别方法
(1) 由定义,若sn s,则级数收敛;
(2)
当
lim
n
un
0,则级数发散;
(3)
按基本性质.
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思考与练习
1、若级数 un 与 vn 都发散时，级数 (un vn )
lim
n
n(n 1) 2
所以该级数发散．
的敛散性．
例 2 讨论级数1 1 1 1 (1)n1 的敛散性．
解：部分和数列 s1 1 ， s2 11 0 ， s3 111 1 ，
， sn 1 1 1 1 ( n11 ．)
易知，当 n 为奇数时， sn 1；当 n 为偶数时， sn 0 ．
则当
n
无限增大时，它的一般项 un
趋于零，即
lim
n
un
0
．
证: un Sn Sn1
故
lim
n
un
lim
n
Sn
lim n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
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注:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
称为级数的部分和.
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则称无穷级数
3
收敛 , 并称 s 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
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例 1 判别无穷级数 n 1 2 3 n
n1
解：由于 sn 1 2
n n(n 1) , 则 2
lim
n
sn
所20以20/1没0/12有极限，故原级数发散．
5
例3 讨论等比级数 (又称为几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
从而
因此级数收敛 , 其和为
从而
因202此0/10级/12 数发散 .
6
2) 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
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发散 , 从而原级数发散 .
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n1
n1
n 1
的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级
数 (un vn ) 散敛性又如何？ n 1
答:（1）若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
（2） 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 .
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(用反证法可证) 17
一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
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一、常数项级数的基本概念
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
2、 判别下列级数的敛散性: 解: (1)
所以级数 (1) 发散 ;
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技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
18
(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
13
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛 ;
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时, 等比级数发散 .
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二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 收敛于 s , 即
则各项
乘以常数 k 所得级数
也收敛 , 其和为 ks .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n kuk k Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
ks
这说明
这说明级数
也收敛, 其和为
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例 4 判别级数
(1
1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 3n1
2n1
4n1
的敛散性．若收敛时求出它的和．
解：由于1 1 1
2 22
1 2n1
与1 3 32 4 42
3n1 4n1
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为