2021年中考一轮复习华东师大版数学专题演练—— 二次函数的应用(Word版含答案)

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中考一轮复习二次函数专题之实际应用问题和线段问题(word版含简单答案)

二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本．（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱．（1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？（3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是（3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．（1）直线BC 的解析式为________．（2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。

专题2611 二次函数(同步测试)-2021年九年级数学同步精讲精练之二次函数(华师大版)(解析版)

第1课时二次函数【同步测试】一．选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的是（）A．y B．y＝2x+1 C．y x2+2x3D．y＝﹣4x2+5【答案】Dy＝﹣4x2+5是二次函数，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．，﹣2，﹣3 B．，﹣2，﹣1 C．，4，﹣3 D．，﹣4，1【答案】B【解析】解：y1，二次项系数是，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，化成一般形式，再判断二次项系数、一次项系数和常数项．3．下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）；（2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2；（4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函数的是（）A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（2）（4）【答案】B【解析】解：（1）y＝2（x﹣1）（x+4），是二次函数；（2）y＝3（x﹣1）2+2，是二次函数；（3）y＝x2，含有分式，不是二次函数，符合题意；故选：B．学科@网【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．4．下列各式：①y＝2x2﹣3xz+5；②y＝3﹣2x+5x2；③y2x﹣3；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2；⑥y＝（m2+1）x2+3x﹣4（m为常数）；⑦y＝m2x2+4x﹣3（m为常数）．是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①y＝2x2﹣3xz+5，含有两个未知数，故此选项错误；②y＝3﹣2x+5x2，符合二次函数的定义，此选项正确；③y2x﹣3，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；④y＝ax2+bx+c，a≠0，故此选项错误；⑤y＝（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2＝﹣10x+6，不是二次函数，故此选项错误；⑥y＝（m2+1）x2+3x﹣4（m为常数），符合二次函数定义，故此选项正确；⑦y＝m2x2+4x﹣3（m为常数），m≠0，不是二次函数，故此选项错误；故是二次函数的有：2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数定义是解题关键．5．若函数y＝（a2+a）x|a|+1+2x+m是二次函数，则a的值为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．1或0【答案】B【解析】解：函数y＝（a2+a）x|a|+1+2x+m是二次函数，∴a2+a≠0，|a|+1＝2．解得：a＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．6．下列函数关系中，满足二次函数关系的是（）A．圆的周长与圆的半径之间的关系B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系C．圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系D．距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系【答案】CC、柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系，V＝πhr2，是二次函数关系，故符合题意；D、距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系，是反比例函数关系，故不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义哈一次函数和反比例函数定义，根据题意得出正确把握相关函数的定义是解题关键．7．圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．以上答案均不正确【答案】C【解析】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．8．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系【答案】A【解析】解：A、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；B、E＝mv2，m一定，是二次函数，正确；C、f＝mv2，v一定，是二次函数，正确；D、H＝gt2，g一定，是二次函数，正确．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意掌握二次函数的定义．9．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y＝（x+6）2B．y＝x2+62C．y＝x2+6x D．y＝x2+12x【答案】D则面积为：（x+6）2，∴y＝（x+6）2﹣36＝x2+12x．故选：D．学科&网【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．10．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x元，所获利润为y元，可得函数关系式为（）A．y＝﹣10x2+110x+10 B．y＝﹣10x2+100xC．y＝﹣10x2+100x+110 D．y＝﹣10x2+90x+100【答案】D【解析】解：由题意，得y＝（10+x﹣9）（100﹣10x），y＝﹣10x2+90x+100．故选：D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润＝单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．二．填空题（共3小题）11．如图，在直角梯形ABCD中，BF＝AE＝DG＝x，AB＝6，CD＝3，AD＝4，则四边形CGEF的面积y 与x之间的函数关系式为_____，自变量x的取值范围是________．【答案】y＝x2﹣7x+18，0＜x＜3．【解析】解：由题意可得：y＝S梯形ABCD﹣S△DGE﹣S△EAF﹣S△BFC（3+6）×4x×（4﹣x）x×（6﹣x）x×4＝18x2﹣2x x2﹣3x﹣2x＝x2﹣7x+18，（0＜x＜3）故答案为：y＝x2﹣7x+18，0＜x＜3．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键．12．某产品年产量为30台，计划今后每年比前一年的产量增长率为x，试写出两年后的产量y台与x的函数关系式：_________．【答案】y＝30（1+x）2∴两年后的产量y台与x的函数关系式为：y＝30（1+x）（1+x）＝30（1+x）2．故答案为：y＝30（1+x）2．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出一年后的产量y台与x的函数关系式是解题关键．13．如图所示，要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，若设AB的长为xm，则矩形的面积y＝_____________．【答案】﹣2x2+20x（0＜x＜10）【解析】解：∵AB的长为xm，总长为20m，∴BC＝（20﹣2x）cm，∴x＞0，20﹣2x＞0，∴y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）．【点睛】解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到BC的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑．。

2021年华东师大版数学中考复习专题演练 —一次函数(含答案)

2021年华东师大版数学中考复习专题演练 — 二次函数的应用一、单选题1．点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，则1y 、2y 的大小关系是（）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不确定 2．已知关于x 的一次函数为y =mx +4m ﹣2，下列说法中正确的个数为（） ①若函数图像经过原点，则m =12； ①若m =13，则函数图像经过第一、二、四象限； ①函数图像与y 轴交于点（0，﹣2）；①无论m 为何实数，函数的图像总经过（﹣4，﹣2）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图直线1y k x b =+与直线2y k x =都经过点(1,2)A --，则方程组12y k x b y k x =+⎧⎨=⎩，的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =-⎧⎨=⎩D ．12x y =-⎧⎨=-⎩4．若一次函数2y kx k =+-（k 是常数，0k ≠）的图象经过点P ，且函数y 的值随自变量x 的增大而减小，则点P 的坐标可以是（）A ．(3,2)B ．(3,3)C ．(1,3)-D ．(1,1)-5．如图，已知142y x =--和12y x =的图象交于点P ，根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组1402102x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解是（）A ．42x y =-⎧⎨=-⎩B ．24x y =-⎧⎨=-⎩C ．44x y =-⎧⎨=-⎩D ．无法确定 6．将直线26y x =-向右平移5个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为（）A ．215y x =+B ．215y x =-C ．26y x =+D ．26y x =- 7．一次函数图象经过30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，当比例系数0k <时，其图象大致是（） A ． B ．C ．D ．8．一次函数21y x =-+上有两点()12,y -和()21,y ，则1y 与2y 的大小关系是（） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．无法比较 9．下列函数，是正比例函数的是（）A ．1y x =B ．112y x =-+C ．12y x =-D ．2y x 10．关于直线(:0)L y kx k k =+≠，下列说法正确的是（）A ．L 经过定点（1，0）B ．L 经过定点（-1，0）C ．L 经过第二、三、四象限D ．L 经过第一、二、三象限二、填空题11．已知点A (-2，y 1)、B (3，y 2)都在直线y =mx +n (m >0，n <0)，则y 1与y 2的大小关系是_____________．12．若()4y k x =-是正比例函数，则k 的取值范围是________．13．已知一次函数y ＝kx +3（k >0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为_____．14．点P （a ，b ）在函数y ＝3x ＋2的图象上，则代数式6a ﹣2b 的值等于_____． 15．如图，已知一次函数y ＝﹣x +1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 在y 轴上（M 不与原点重合），并且使以点A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，则M 的坐标为_____．16．已知直线y ＝13x +2与函数y ＝()()1111x x x x ⎧+≥-⎪⎨--<-⎪⎩的图象交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）点A 的坐标是_____；（2）已知O 是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m 个单位，点A ，B 平移后的对应点分别为A ′，B ′，连结OA ′，OB ′．当m ＝_____时，|OA '﹣OB '|取最大值．17．一次函数 1y =ax -a +1（a 为常数，且a ≠0）．（1）若点(-1，3)在一次函数1y =ax -a +1的图象上，求a 的值；（2）当-1≤x ≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数1y 的表达式；（3）对于一次函数2y =kx +2k -4(k ≠0)，若对任意实数x ，1y > 2y 都成立，求k 的取值范围．18．已知一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,3A -和()2,0B ．（1）求该函数的表达式．（2）若点P 是x 轴上一点，且ABP △的面积为6，求点P 的坐标． 19．已知：y 与x +2成正比例，且x ＝﹣4时，y ＝﹣2；（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）点P 1（m ，y 1），P 2（m ﹣2，y 2）在（1）中所得函数图像上，比较y 1与y 2的大小． 20．在平面直角坐标系中，设一次函数1y kx b =+，2y bx k =+（k ，b 是实数，且0bk ≠）（1）若函数1y 的图象过点(4,3)b ，求函数1y 与x 轴的交点坐标；（2）若函数1y 的图象经过点(,0)m ，求证：函数2y 的图象经过点1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）若函数1y 的图象不经过第一象限，且过点(2,3)-，当k b <时，求k 的取值范围．参考答案1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．A8．A9．C10．B11．12y y <12．4k ≠13．332y x =+ 14．-415．（0，），（0，1），（0，-1），（0，0）． 16．（95-44，）； 6． 17．（1）a= -1；（2）y=4x -3或y= -2x+3；（3）k ＜0或0＜k ＜53．【详解】（1）①点(-1，3)在一次函数1y =ax -a +1的图象上， ①3= -a -a+1，解得a= -1；（2）当a ＞0时，①y 随x 的增大而增大，且-1≤x ≤2， ①当x=2时，函数有最大值5，把（2，5）代入解析式1y =ax -a +1，得5=2a -a+1，解得a= 4，①一次函数1y 的表达式为1y =4x -3；当a ＜0时，①y 随x 的增大而减小，且-1≤x ≤2，①当x= -1时，函数有最大值5，把（-1，5）代入解析式1y =ax -a +1，得5= -a -a+1，解得a= -2，①一次函数1y 的表达式为1y = -2x+3；综上所述，一次函数的解析式为1y =4x -3或1y = -2x+3；（3）①对任意实数x ，1y > 2y 都成立，①当k=a ＞0时，只需满足-a +1＞2k -4，①-k +1＞2k -4，①k=a ＜53， ①0＜k=a ＜53； ①当k=a ＜0时，只需满足-a +1＞2k -4，①-k +1＞2k -4，①k=a ＜53， ①k=a ＜0，综上所述，k 的取值范围为 k ＜0或0＜k ＜53． 18．（1）3342y x =-+；（2）点()2,0P -或()6,0 【详解】解：（1）把()2,3-、()2,0分别代入()0y kx b k =+≠得， 2320k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得 3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①一次函数表达式为3342y x =-+．（2）设(),0P m ，则2PB m =-，①ABP △的面积为6， ①12362m -⨯=，解得2m =-或6， ①点()2,0P -或()6,0．19．（1）2y x =+；（2）12y y ＞【详解】解：（1）①y +与x +2成正比例，设y ＝k （x +2），把x ＝﹣4，y ＝﹣2代入得：﹣2＝k （﹣4+2），解得：k ＝1，①y ＝x +2；（2）①k ＝1＞0，①y 随x 的增大而增大，又①m ＞m -2，①y 1＞y 2．20．（1）（-2，0）；（2）见解析；（3）312-≤<-k 【详解】解：（1）①函数1y 的图象过点(4,3)b ， ①34=+b k b①2b k =①12=+y kx k当10y =时，20+=kx k ；①2x =-①函数1y 与x 轴的交点坐标为（-2，0）；（2）①函数1y 的图象经过点(,0)m ， ①0=+mk b ①=-b k m①2=-b y bx m ；当1x m =时，210=⨯-=b y b m m； ①函数2y 的图象经过点1,0m ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）①函数1y kx b =+的图象不经过第一象限， ①0,0k b <≤； ①1y 的图象过点(2,3)-， ①23+=-k b ， ①32b k =--， ①k b <①320320k k k k <--⎧⎪<⎨⎪--≤⎩， ①312-≤<-k ．。

2021年华东师大版数学九年级中考专题演练—— 二次函数

（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．D
5．D
6．B
7．D
8．C
9．C
10．D
11．
12．1
13．
14．
15．
16．2
17．（1）证明见解析；（2）当点在上时，；当点在的延长线上时，；（3）不变，．
2021年华师大版数学中考专题演练——二次函数
一、单选题
1．当函数是二次函数时，的取值为（）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是二次函的是（）
A． B． C． D．
3．下列函数，y是x的反比例函数的是（）
A．y=8x+7B．y=x2
C．y= D．20y=x
4．在抛物线上的一个点的坐标为（）
【详解】
解：（1）、分别从、两点同时出发，以相同的速度作直线运动，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）当点在上时，过点作，交于
，，
，，
在上，，
，，
在和中，
，
，
，
中上的高为的一半，
；
同理，当点在的延长线上时，；
（3）如图所示：连接DM，
由全等可得，
为等腰直角三角形，
19．已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
20．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

2021年九年级数学中考一轮复习二次函数的应用题型分类训练：销售利润问题(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习二次函数的应用题型分类训练：销售利润问题（附答案）1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a+x2B．y＝（a+x）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A．600元B．625元C．650元D．675元3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为．4．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．5．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？6．为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y＝﹣x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．7．某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．8．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．9．我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投人市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由．10．某灯具厂生产并销售A，B两种型号的智能台灯共100盏，生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯，则每盏B型台灯可以获利90元，如果超出20盏B型台灯，则每超出1盏，每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（1）完成下列表格：A型B型合计台灯数量（盏）x100每盏台灯获利（元）30（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时，求生产并销售A，B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润，最大的利润为多少元？11．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过8元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．12.华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量y（%）是充电时间x（分）的一次函数，其中y≤100（%）．已知充电前电量为0（%），测得充电10分钟后电量达到100（%），充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电盘y是工作时间x的二次函数，如图所示，A是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了40分钟，这时电量降为20（%），厂商规定手机充电时不能工作，电量小于10（%）时手机部分功能将被限制，不能正常工作．（1）求充电时和充电后使用阶段y关于x的函数表达式（不用写出取值范围）；（2）为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用40分钟后停止工作再次充电，充电6分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到10（%）就停止工作）？13.我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．参考答案1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a+x2B．y＝（a+x）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2解：依题意，得y＝a（1+x）2．故选：D．2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A．600元B．625元C．650元D．675元解：设降价x元，所获得的利润为W元，则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．∴获得的最大利润为625元．故选：B．3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣10x2+560x﹣7350．解：设每件商品售价x元，则可卖出（350﹣10x）件商品，根据题意得：y＝（x﹣21）（350﹣10x）＝﹣10x2+560x﹣7350．故答案为：y＝﹣10x2+560x﹣7350．4．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．解：（1）＝﹣10x2+210x﹣800，故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800；（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，令y＝240，y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240；解得，x1＝8，x2＝13，∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）由题意得：解得x≤9，又x≥6∴6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，即每千克售价为9元时，最大利润为280元．5．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx+b，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴线段CD所表示的一次函数的表达式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130）；（3）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1，∵y1＝k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴，∴，∴这个AB的表达式为；y1＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x＝90时，W＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．6．为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y＝﹣x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．解：（1）设利润为w，由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+110）＝﹣x2+120x﹣2200＝﹣（x﹣120）2+5000，则该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为120元时，每天获利最大，最大利润是5000元；（2）由题意可得：w﹣200＝﹣（x﹣120）2+5000﹣200＝4000，解得：x1＝80，x2＝160，故为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围为：80≤x≤160．7．某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x＝﹣50x2+850x+18000＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5因为x为正整数所以当x＝8或9时，利润w有最大值，w max＝21600；（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500解得x1＝2，x2＝15，∵要租出去的房间最少∴x＝15，此时每个房间的利润为600+50×15＝1350．8．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）根据题意得，解得∴y＝﹣200x+2200当10＜x≤12时，y＝200故y与x的函数解析式为：y＝（2）由已知得：W＝（x﹣6）y当6≤x≤10时，W＝（x﹣6）（﹣200x+2200）＝﹣200（x﹣）2+1250∵﹣200＜0，抛物线的开口向下∴x＝时，取最大值，∴W＝1250当10＜x≤12时，W＝（x﹣6）•200＝200x﹣1200∵y随x的增大而增大∴x＝12时取得最大值，W＝200×12﹣1200＝1200综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．9．我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投人市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．把A（12，400），B（14，350）分别代入得，解得＝∴y与x的函数关系式为y＝﹣25x+700由题意知∴10≤x≤28（2）设每天的销售利润为w元，由题意知w＝（x﹣10）（﹣25x+700）＝﹣25x2+950x﹣7000＝﹣25（x﹣19）2+2025∵a＝﹣25＜0，∴当x＝19时，w取最大值，为2025．当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元（3）能销售完这批草莓当x＝19时，y＝﹣25×19+700＝225，225×30＝6750＞6000∴按照（2）中的方式进行销售，能销售完10．某灯具厂生产并销售A，B两种型号的智能台灯共100盏，生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯，则每盏B型台灯可以获利90元，如果超出20盏B型台灯，则每超出1盏，每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（1）完成下列表格：A型B型合计台灯数量（盏）100﹣x x100每盏台灯获利（元）30﹣2x+130﹣2x+160（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时，求生产并销售A，B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润，最大的利润为多少元？解：（1）根据题意得，A种台灯的生产销售数量为：（100﹣x）台；B种台灯超过20盏每盏台灯获利为：90﹣2（x﹣20）＝90﹣2x+40＝130﹣2x（元/盏）；两种台灯每盏的获利总计为：30+（130﹣2x）＝160﹣2x（元）．故答案为：100﹣x；﹣2x+130；﹣2x+160．（2）由题意得：x（﹣2x+130）﹣30（100﹣x）＝200得：x1＝x2＝40，100﹣40＝60（盏）答：当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时，生产并销售A，B两种台灯分别为60盏，40盏．（3）设总利润为w，则：w＝30（100﹣x）+x（﹣2x+130），即w＝﹣2（x﹣25）2+4250∴当x＝25时，所获得的利润最大，最大利润为4250元．此时，A型台灯：100﹣25＝75（盏）答：当A型台灯75盏，B型台灯25盏时，生产销售获得利润最大，最大的利润为4250元．11．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过8元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．解：（1）该商品的售价x元，进价为y元，由题意得：，解得，故商品的售价30元，进价为24元．（2）由题意得：w＝（30+x﹣24）（200﹣5x）＝﹣5（x﹣17）2+2645，当每件商品涨价17元，即售价30+17＝47元时，商品的销售利润最大，最大为2645元．（3）方案一：每件商品涨价不超过8元，a＝﹣5＜0，故当x＝8时，利润最大，最大利润为w＝﹣5（8﹣17）2+2645＝2240元；方案二：每件商品的利润至少为24元，即每件的售价应涨价：30+x﹣24≥24，解得x≥18，a＝﹣5＜0，故当x＝18时，利润最大，最大利润为w＝﹣5（18﹣17）2+2645＝2640元．∵2640＞2240，∴方案二的销售利润最高．12．华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量y（%）是充电时间x（分）的一次函数，其中y≤100（%）．已知充电前电量为0（%），测得充电10分钟后电量达到100（%），充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电盘y是工作时间x的二次函数，如图所示，A是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了40分钟，这时电量降为20（%），厂商规定手机充电时不能工作，电量小于10（%）时手机部分功能将被限制，不能正常工作．（1）求充电时和充电后使用阶段y关于x的函数表达式（不用写出取值范围）；（2）为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用40分钟后停止工作再次充电，充电6分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到10（%）就停止工作）？解：（1）设充电时的函数表达式为y＝kx+b，将A（10，100）代入y＝kx得：k＝10，即充电时函数表达式为：y＝10x，因为二次函数顶点为A（10，100），且过点B（50，20）设y＝a（x﹣10）2+100，再将（50，20）代入得：，所以，（2）开始充电时，电量为20（%），充电速率不变，充电6分钟，此时电量y1＝20+10×6＝80，当＝80时，解得：x＝﹣10（舍去）或x＝30，把y＝10代入二次函数解析式得：﹣（x﹣10）2+100＝10解得：x＝﹣30﹣10（舍去）或x＝30+10，即：第二次工作的时间为30+10﹣30＝30﹣20，答：第二次工作的时间为30﹣20（分钟）．13．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．解：由题意（1）y＝（x﹣5）（100﹣×5）＝﹣10x2+210x﹣800故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240解得，x1＝8，x2＝13∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13（3）∵每件文具利润不超过80%∴，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元。

中考数学专题练习二次函数的综合应用华东师大版试题

币仍仅州斤爪反市希望学校二次函数的综合应用一：动点中的二次函数问题：1、如图，直角坐标系内的梯形AOBC〔O为原点〕，AC∥OB，OC⊥BC，OA=2，AC，OB的长是关于x的方程x2﹣〔k+2〕x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5．〔1〕填空：0C= ，k= 4 ；〔2〕求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；〔3〕AC与抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P 沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形．解答：解：〔1〕，4．〔2〕由题意得C〔1，2〕，B〔5，O〕，设所求抛物线解析式为y=ax〔x﹣5〕，a=﹣y=﹣x2+x．〔3〕直线AC：y=2．直线AC与抛物线交于点C，D．解得x1=1，x2=4．∴CD=3．延长QM交x轴于点N．①假设MP⊥OB，那么四边形AOPQ是矩形，∴AQ=OP，∴4﹣t=t，且t=2．②假设PM⊥BM，那么MN2=PN•BN．∵∴PN=5﹣〔1+t〕﹣t=4﹣2t，BN=1+t，∴〔〕2=〔4﹣2t〕〔1+t〕，∴t1=﹣1〔舍去〕，t2=．综上所得，当t=2〔秒〕，或t=〔秒〕时，△PMB是直角三角形．2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．〔1〕求证：梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；〔3〕在〔2〕中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．考点：等腰梯形的判定；二次函数的应用；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型．分析：〔1〕需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕可证△BPM∽△CQP，，PC=x，MQ=y，BP=4﹣x，QC=4﹣y，，即可得出y=﹣x+4；〔3〕应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由〔2〕中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．解答：〔1〕证明：∵△MBC是等边三角形，∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．∵M是AD中点，∴AM=MD．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．∴△AMB≌△DMC．∴AB=DC．∴梯形ABCD是等腰梯形．〔2〕解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．∴∠BMP=∠QPC．∴△BPM∽△CQP．∴．∵PC=x，MQ=y，∴BP=4﹣x，QC=4﹣y．∴．∴y=﹣x+4．〔3〕解：①当BP=1时，那么有BP AM，BP MD，那么四边形BPDM为平行四边形，∴MQ=y=×32﹣3+4=．当BP=3时，那么有PC AM，PC MD，那么四边形APCM为平行四边形，∴MQ=y=×12﹣1+4=．∴当BP=1，MQ=或BP=3，MQ=时，以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．②△PQC为直角三角形．∵y=〔x﹣2〕2+3，∴当y取最小值时，x=PC=2．∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∴∠CPQ=30°，∴∠PQC=90°．∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．3、如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．〔1〕如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y1〔cm2〕，求y1〔cm2〕关于t〔秒〕的函数关系式；〔2〕如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y2〔cm2〕，求y2〔cm2〕关于t〔秒〕的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．考点：梯形；二次函数综合题；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：〔1〕此题的关键是看三角形BPQ中，BQ边上的高的值，分三种情况进行讨论：①当P在BA上运动时，过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BC于M，那么AM的值不难求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的长．②当P在AD上运动时，高PN=DC．③当P在DC上运动时，高PC=BA+AD+DC﹣t．然后根据三角形的面积公式即可求出y1，t的函数关系式．〔2〕由于四边形APED不是规那么的四边形，因此其面积可用梯形ABCD的面积﹣三角形BPC的面积﹣三角形CPE的面积来求．关键还是求出三角形BPC和CPE 的高，过P分别作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=CE，而PF的长可用BC ﹣BH来得出，由此可得出关于y2与t的函数关系式．解答：解：〔1〕过点A作AM⊥BC于M，如图1，那么AM=6，BM=8，∴AD=MC=2．过点P作PN⊥BC于N，那么△PNB∽△AMB，∴．∴．∴．①当点P在BA上运动时，y1=BQ•NP=t•t=t2；②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，y1=BQ•NP=×10×6=30；③当点P在DC上运动时，y1=BQ•CP=×10〔10+2+6﹣t〕=﹣5t+90．〔2〕过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，∵∠BCD=90°，∴四边形PHCF是矩形，∴FC=EF=PH=t，在Rt△BHP中，BH===t，∴PF=BC﹣HB=10﹣．∴y2=S梯形ABCD﹣S△BPC﹣S△PEC=〔2+10〕×6﹣×10×t﹣×t〔10﹣t〕=t2﹣9t+36当CE=CD时，t=6，∴t=5．∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．点评：此题主要考查了梯形的性质，三角形的相似，图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．不规那么图形的面积通常转化为规那么图形的面积的和差．二：几何图形移动中的二次函数问题：4、如图，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动〔如图2〕，直到C点与N 点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠局部的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系，作垂直辅助线，延长AD构成一个长方形，更有利解题，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠局部的形状可分为以下三种情况，〔1〕C点由M点运动到F点的过程中〔0≤x≤2〕；〔2〕当C点由F点运动到T点的过程中〔2＜x≤6〕；〔3〕当C点由T点运动到N点的过程中〔6＜x≤8〕；把思路理清晰，解题就容易了．解答：解：在Rt△PMN中，∵PM=PN，∠P=90°∴∠PMN=∠PNM=45°，延长AD分别交PM，PN于点G、H．过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．∵DC=2cm，∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm．∵MN=8cm，∴MT=6cm．因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠局部的形状可分为以下三种情况：〔1〕当C点由M点运动到F点的过程中〔0≤x≤2〕，如图①所示，设CD与PM交于点E，那么重叠局部图形是Rt△MCE，且MC=EC=x．∴y=MC•EC=x2〔0≤x≤2〕．〔2〕当C点由F点运动到T点的过程中〔2＜x≤6〕，如图②所示，重叠局部图形是直角梯形MCDG．∵MC=x，MF=2，∴FC=DG=x﹣2，且DC=2，∴y=〔MC+GD〕•DC=2x﹣2〔2＜x≤6〕．〔3〕当C点由T点运动到N点的过程中〔6＜x≤8〕，如图③所示，设CD与PN交于点Q，那么重叠局部图形是五边形MCQHG．∵MC=x，∴CN=CQ=8﹣x，且DC=2，∴y=〔MN+GH〕•DC﹣CN×CQ=﹣〔8﹣x〕2+12〔6＜x≤8〕．点评：此题主要考查直角三角形的性质和垂直关系的应用，直角三角形内部辅助线的作法，以及分类讨论思想的应用．5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合局部的面积记为S平方厘米．〔1〕当t=4时，求S的值；〔2〕当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．考点：等腰梯形的性质；二次函数综合题；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：〔1〕首先判定当t=4时，点B与点Q重合，点P与点D重合，那么求△BDC的面积即可．〔2〕分别从4≤t＜6与6≤t≤10去分析，求得各自的函数解析式，再分析各种情况下的最大值即可求得答案．解答：解：〔1〕当t=4时，CQ=4cm，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，∵，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，∴BE=1，∴AE=DF=cm，在△ABE和△DFC中，∴△ABE≌△DFC，∴BE=CF，∵EF=AD=2cm，BC=4cm，∴BE=CF=1cm，∴点D与点P重合，∴S△BDC=BC•DF=×4×=2〔cm2〕；〔2〕当4≤t＜6时，P在线段AD上，作KH⊥QH，过点M作MN⊥BC于N，∵∠Q=30°，∠1=60°，∴∠2=∠1﹣∠Q=30°，∠3=∠2=30°，∴QB=BM=QC﹣BC=t﹣4，∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，∴∠CKR=∠DCB﹣∠R=30°=∠R，∴KC=CR=6﹣t，∴HK=KC•sin60°=〔6﹣t〕∴同理：MN=〔t﹣4〕，∴S=S△PQR﹣S△BQM﹣S△CRK=QR•PG﹣BQ•MN﹣CR•KH=×6×﹣×〔t﹣4〕2﹣×〔6﹣t〕2=﹣t2+5t﹣10，∵a=﹣＜0，开口向下，∴S有最大值，当t=﹣=5时，S最大值为；当6≤t≤10时，P在线段DA的延长线上，∵∠1=60°，∠2=30°，∴∠3=90°∴RC=t﹣6，BR=4﹣RC=4﹣〔t﹣6〕=10﹣t，∴TB=BR=，TR=BR=〔10﹣t〕，∴S=TB•TR=××〔10﹣t〕=t2﹣t+，当a＞0时，开口向上，﹣=10，∴t=6时，S最大值为2；综上，t=5时，S最大值为．点评：本小题主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函数等根底知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．三：图形变换中的二次函数问题：6、如下列图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax2〔a＜0〕的图象上．〔1〕求抛物线y=ax2的函数关系式；〔2〕正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax2的图象上并求这个点的坐标．〔参考数据：sin30°=，cos30°=，tan30°=．〕考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：〔1〕由于OA顺时针旋转30°后A点落在抛物线上，设此时的A点为A1，过A1作A1⊥x 轴于M，那么可根据正方形的边长和∠A1OA的度数求出A1M和OM的长，即可得出A1的坐标，然后根据A1的坐标即可求出抛物线的解析式．〔2〕根据抛物线的对称性即可得出要经过120°点A才会再落到抛物线的图象上．且此点与A1关于y轴对称，即坐标为〔﹣，﹣〕．解答：解：〔1〕设旋转后点A落在抛物线上点A1处，OA1=OA=1，过A1作A1M⊥x轴于M，根据旋转可知：∠A1OM=30°，那么OM=OA1cos30°=，A1M=OA1sin30°=，所以A1〔，﹣〕．由A1在y=ax2上，代入抛物线解析式得：﹣=a〔〕2解得a=﹣，∴y=﹣x2〔2〕由抛物线关于y轴对称，再次旋转后点A落在抛物线点A2处，点A2与点A1关于y轴对称，因此再次旋转120°，点A2的坐标为〔﹣，﹣〕．点评：此题考查了图形的旋转变换、二次函数确实定、二次函数的性质等知识点．7、如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答以下问题：〔1〕旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A1B1C，并求出AB1的长度；〔2〕翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE 的形状并说明理由；〔3〕平移：将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2，假设设平移的距离为x，△A3B2C2与直角梯形重叠局部的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少．考点：旋转的性质；二次函数综合题；平行四边形的判定；翻折变换〔折叠问题〕；平移的性质．专题：压轴题．分析：〔1〕根据旋转的定义得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB′的长，就可以求出AB1的长度；〔2〕四边形A2B1DE是菱形，可以证明A2B与DE平行且相等，得到四边形A2B1DE是平行四边形，又A2B1=B1D=4，所以平行四边形A2B1DE是菱形．〔3〕y等于△ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A3B2与DE相交时，即当2≤x＜4时：根据A3B2∥DE，得到那么重合局部的三角形与△A3B2C2相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合局部的长度，得到C1C2的长度．从而求出x的值．另外一种情况是当A3B2与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C1C2的长度．从而求出x的值．解答：解：〔1〕在△ABC中，由得：BC=2cm，AC=AB×cos30°=cm，∴AB1=AC+CB1=AC+CB=cm．〔2〕四边形A2B1DE菱形．理由如下：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，∴BC=AB=×4=2cm，∵∠EDG=60°，∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°，∴A2B1∥DE，又∵A2B1=A1B1=AB=4cm，DE=4cm，∴A2B1=DE，∴四边形A2B1DE是平行四边形，又∵A2B1=AB=4cm，B1D=CD﹣B1C=6﹣2=4cm，∴A2B1=B1D=4cm，∴平行四边形A2B1DE是菱形．〔3〕由题意可知：S△ABC=cm2，①当0≤x＜2或x≥10时，y=0，此时重叠局部的面积不会等于△ABC的面积的一半．②当2≤x＜4时，直角边B2C2与直角梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2﹣DC1=〔x ﹣2〕cm，那么y=〔x﹣2〕〔x﹣2〕=〔x﹣2〕2，当y=S△ABC=时，即〔x﹣2〕2=解得〔舍〕或x=2+．∴当x=2+cm时，重叠局部的面积等于△ABC的面积的一半．③当4cm≤x＜8cm时，△A3B2C2完全与直角梯形重叠，即y=2cm2．④当8cm≤x＜10cm时，B2G=B2C2﹣GC2=2﹣〔x﹣8〕=10﹣xcm那么y=〔10﹣x〕•〔10﹣x〕=〔10﹣x〕2，当y=S△ABC=时，即〔10﹣x〕2=，解得x=10﹣cm，或x=10+cm〔舍去〕．∴当x=10﹣cm时，重叠局部的面积等于△ABC的面积的一半．由以上讨论知，当x=2+cm或x=10﹣cm时，重叠局部的面积等于△ABC的面积的一半．点评：此题主要考查了旋转的性质，用运动变化的观点理解此题是解决的关键．8、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF〔点E、F为折痕与矩形边的交点〕，再将纸片复原．〔1〕当x=0时，折痕EF的长为 3 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；〔2〕请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；〔3〕令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？假设相似，求出x的值；假设不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！考点：翻折变换〔折叠问题〕；二次函数综合题；相似三角形的性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：〔1〕当x=0时，点A与点P重合，那么折痕EF的长等于矩形ABCD中的AB，当点E 与点A重合时，折痕是一个直角的角平分线，可求EF=；〔2〕由题意可知，EF垂直平分线段DP，要想使四边形EPFD为菱形，那么EF也应被DP平分，所以点E必须要在线段AB上，点F必须在线段DC上，即可确定x的取值范围．再利用勾股定理确定菱形的边长．〔3〕构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值，再利用二次函数的增减性确定y的最大值．解答：解：〔1〕当x=0时，折痕EF=AB=3，当点E与点A重合时，折痕EF==．〔2〕1≤x≤3．当x=2时，如图，连接PE、PF．∵EF为折痕，∴DE=PE，令PE为m，那么AE=2﹣m，DE=m，在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2∴1+〔2﹣m〕2=m2，解得m=；此时菱形边长为．〔3〕如图2，过E作EH⊥BC；∵△EFH∽△DPA，∴，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；当F与点C重合时，如图3，连接PF；∵PF=DF=3，∴PB=，∴0≤x≤3﹣2；∵函数y=9+9x2的值在y轴的右侧随x的增大而增大，∴当x=3﹣2时，y有最大值，此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．综上所述，当y取最大值时△EAP∽△PBF，x=3﹣2．点评：此题是一道综合性较强的题目，主要考查学生的图感，利用折叠过程中的等量关系寻找解题途径；特别是最后一问中涉及到的知识点比较多，需要同学们利用相似三角形的性质确定函数关系式后再根据自变量的取值范围来确定二次函数的最值问题．9、如图1，菱形纸片ABCD中，AB=1，∠B=60°，将纸片翻折〔如图2〕，使D点落在AD所在直线上，并可在直线AD上运动，折痕为EF．当＜DE＜1时，设AB与DC相交于点G〔如图〕．〔1〕线段AD与DG相等吗？△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化？为什么？〔2〕设AD=x，重叠局部〔图3中阴影局部〕的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：〔1〕根据菱形性质，∠B=∠D=60°，又AD∥BC，不难得出△ADG为等边三角形，故AD=DG，可证△DAG、△BCG都为等边三角形，设AD=x，那么有BC=1﹣x，用等边三角形计算面积的方法求解．〔2〕平行四边形面积可以理解为S△ADG+S△BCG+2S阴影局部．解答：解：〔1〕AD=DG．理由如下：∵∠D=60°，∠DAB=∠B=60°∴△DAG为等边三角形∴AD=DG△ADG与△BCG的面积和会随DE的变化而变化设AD=x，那么有BC=1﹣x∵△DAG为等边三角形∴△BCG也为等边三角形∴S△ADG+S△BCG=x2+〔1﹣x〕2=〔2x2﹣2x+1〕随x的变化而变化．〔2〕∵2y=2××12﹣x2﹣〔1﹣x〕2∴y=﹣x2+x+〔0＜x＜1，＜y≤〕．点评：此题考查了菱形的性质，等边三角形的面积表示方法，用割补法表示阴影局部的面积等问题．四：二次函数和圆的综合问题：10、如下列图，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A〔6，0〕、B〔0，﹣8〕．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕假设有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；〔3〕设〔2〕中的抛物线与x轴交于D〔x1，y1〕、E〔x2，y2〕两点，且x1＜x2，在抛物线上是否存在点P，使△PDE 的面积是△ABC面积的？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．〔2〕了A、B的坐标，M是线段AB的中点，不难得出M点的坐标和圆的半径，据此可求出C点的坐标．然后用顶点式二次函数解析式设抛物线，将B点坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值．也就得出了抛物线的解析式．〔3〕先求出三角形ABC的面积〔可将三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC两局部来求〕．然后根据三角形ABC与三角形PDE的面积比求出三角形PDE的面积．由于三角形PDE中，DE的长是定值，因此可求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标．解答：解：〔1〕设直线AB的解析式为y=kx+b根据题意，得：解之，得k=，b=﹣8∴直线AB的解析式为y=x﹣8〔2〕设抛物线对称轴交x轴于F，∵∠AOB=90°，∴AB为圆M的直径，即AM=BM，∴抛物线的对称轴经过点M，且与y轴平行，OA=6，∴对称轴方程为x=3，作对称轴交圆M于C，∴MF是△AOB的中位线，∴MF=BO=4，∴CF=CM﹣MF=1，∵点C〔3，1〕，由题意可知C〔3，1〕就是所求抛物线的顶点．方法一：设抛物线解析式为y=a〔x﹣3〕2+1，∵抛物线过点B〔0，﹣8〕，∴﹣8=a〔0﹣3〕2+1，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣〔x﹣3〕2+1或y=﹣x2+6x﹣8；方法二：∵抛物线过点B〔0，﹣8〕，∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣8，由题意可得：，∴a=﹣1，b=6，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+6x﹣8；〔3〕令﹣x2+6x﹣8=0，得x1=2，x2=4，∴D〔2，0〕，E〔4，0〕，设P〔x，y〕，那么S△PDE=•DE•|y|=×2|y|=|y|，S△ABC=S△BCM+S△A CM=•CM•〔3+3〕=×5×6=15，假设存在这样的点P，那么有|y|=×15=3，从而y=±3，当y=3时，﹣x2+6x﹣8=3，整理得：x2﹣6x+11=0，∵△=〔﹣6〕2﹣4×11＜0，∴此方程无实数根；当y=﹣3时，﹣x2+6x﹣8=﹣3，整理得：x2﹣6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，∴这样的P点存在，且有两个这样的点：P1〔1，﹣3〕，P2〔5，﹣3〕．点评：此题考查了一次函数与二次函数解析式确实定、函数图象交点、图形面积的求法等知识点．综合性较强，难度适中．11、在平面直角坐标系xOy中，点A〔﹣1，0〕，B〔0，1〕，C〔2，〕．〔Ⅰ〕直线l：y=kx+b过A、B两点，求k、b的值；〔Ⅱ〕求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式；〔Ⅲ〕设〔Ⅱ〕中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E，那么在对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切？假设存在，求出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕直线l：y=kx+b过A、B两点，把这两点的坐标代入函数解析式，就可以得到关于k，b的方程组，就可以求出k，b的值．〔2〕A、B、C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．〔3〕对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切，应分F在x轴的上方和下方两种情况进行讨论．当F在x轴的上方时，设直线l与x轴的交点是P，那么PF是三角形MPE的角平分线，根据三角形角平分线的性质就可以求出F的坐标．当F在x轴的下方时，△MNF为等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质就可以求出F点的坐标．解答：解：〔Ⅰ〕∵直线y=kx+b过A、B两点，∴〔1分〕解这个方程组，得k=1，b=1．〔2分〕〔Ⅱ〕设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，那么有：〔3分〕解这个方程组，得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．〔4分〕〔Ⅲ〕存在⊙F与直线l和x轴同时相切．易知抛物线Q的对称轴为x=2，〔5分〕①当圆心F在x轴的上方时，设点F的坐标为〔2，y0〕，把x=2代入y=x+1，得y=3．∴抛物线Q的对称轴与直线l的交点为M〔2，3〕．〔6分〕∴EF=y0，ME=3，MF=ME﹣EF=3﹣y0．〔7分〕由直线l：y=x+1知，∠NMF=45度．∴△MNF是等腰直角三角形∴MF=NF=EF∴3﹣y0=y0∴y0=3﹣3∴点F的坐标为〔2，3﹣3〕．〔8分〕②当圆心F在x轴的下方时，设点F的坐标为〔2，y0〕，那么MF=3﹣y0，FE=﹣y0．由△MNF为等腰直角三角形，得3﹣y0=y0，〔9分〕∴y0=﹣3﹣3∴点F的坐标为〔2，﹣3﹣3〕．〔10分〕点评：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式．利用数形结合的方法解决此题，理解图形中圆与直线的关系是解题的关键．12、：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点．〔1〕试用含a的代数式表示b；〔2〕设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两局部．假设将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；〔3〕设点B是满足〔2〕中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的局部上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕根据图象，易得点A、C的坐标，代入解析式可得a、b的关系式；〔2〕根据抛物线的对称性，结合题意，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可得答案；〔3〕根据题意，设出P的坐标，按P的位置不同分两种情况讨论，可得答案．解答：解：〔1〕解法一：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为〔4，0〕．∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，∴c=0，16a+4b=0．∴b=﹣4a〔1分〕．解法二：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为〔4，0〕．∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，∴抛物线的对称轴为直线x=2．∴x=﹣=2．∴b=﹣4a〔1分〕．〔2〕由抛物线的对称性可知，DO=DA∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO又由〔1〕知抛物线的解析式为y=ax2﹣4ax∴点D的坐标为〔2，﹣4a〕①当a＞0时，如图设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与OD'相切，∴点O为切点〔2分〕∴D'O⊥OD∴∠DOA=∠D'OA=45°∴△ADO为等腰直角三角形∴OD=2〔3分〕∴点D的纵坐标为﹣2∴﹣4a=﹣2，∴a=，b=﹣4a=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x．〔4分〕②当a＜0时，同理可得：OD=2抛物线的解析式为y=﹣x2+2x〔5分〕综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x．〔3〕答：抛物线在x轴上方的局部上存在点P，使得∠POA=∠OBA设点P的坐标为〔x，y〕，且y＞0①当点P在抛物线y=x2﹣2x上时〔如图〕∵点B是⊙D的优弧上的一点∴∠OBA=∠ADO=45°∴∠POA=∠OBA=60°过点P作PE⊥x轴于点E，∴tan∠POE=∴=tan60°，∴y=．由解得：〔舍去〕∴点P的坐标为．〔7分〕②当点P在抛物线y=﹣x2+2x上时〔如图〕同理可得，y=由解得：〔舍去〕∴点P的坐标为〔4﹣2，﹣6+4〕．〔9分〕综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为〔4+2，6+4〕或〔4﹣2，﹣6+4〕．点评：此题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．13、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A〔〕，且△AOB∽△BOC．〔1〕求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；〔2〕在线段AC上是否存在点M〔m，0〕．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点〔与点B不同〕，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数综合题；等腰三角形的性质．专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：〔1〕由二次函数y=ax2+bx+3的解析式，首先求出B点坐标，然后由△AOB∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=∠OBC，从而得出∠ABC=90°；由y=ax2+bx+3图象经过点A〔﹣，0〕，C〔4，0〕，运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式；〔2〕如果以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①CP=CO；②PC=PO；③OC=OP．针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上，然后根据相似三角形的对应边成比例求出m的值．解答：解：〔1〕由题意，得B〔0，3〕，∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC，∴=，∴=，∴OC=4，∴C〔4，0〕；∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBC+∠OBA=90°，∴∠ABC=90°；∵y=ax2+bx+3图象经过点A〔﹣，0〕，C〔4，0〕，∴，∴y=﹣x2+x+3；〔2〕①如图1，当CP=CO时，点P在BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径，∴∠BPM=90°，∴PM∥AB，∴△CPM∽△CBA，∴CM：CA=CP：CB，CM：5=4：5，∴CM=5，∴m=4﹣5=﹣1；②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC=BC=，由△CPM∽△CBA，得CM=，∴m=4﹣=；③当OC=OP时，M点不在线段AC上．综上所述，m的值为或﹣1．点评：此题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．五：二次函数中的一般问题：14、抛物线y=x2﹣mx+m﹣2．〔1〕求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；〔2〕假设m是整数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交于整数点，求m的值；〔3〕在〔2〕的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．假设m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数综合题；压轴题．分析：〔1〕与x轴有两个交点即是△＞0，只要表示出△，通过配方得到〔m﹣2〕2+4即可说明此抛物线与x轴有两个不同的交点；〔2〕因为关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的根为，由m为整数，当〔m﹣2〕2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．列方程即可求得；〔3〕首先确定函数的解析式，根据题意求得A，B的坐标，根据题意列方程即可．解答：〔1〕证明：令y=0，那么x2﹣mx+m﹣2=0．因为△=m2﹣4m+8=〔m﹣2〕2+4＞0，〔1分〕所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．〔2分〕〔2〕解：因为关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的根为x==，由m为整数，当〔m﹣2〕2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．设〔m﹣2〕2+4=n2〔其中n为整数〕，〔3分〕那么[n+〔m﹣2〕][n﹣〔m﹣2〕]=4因为n+〔m﹣2〕与n﹣〔m﹣2〕的奇偶性相同，所以或解得m=2．经过检验，当m=2时，方程x2﹣mx+m﹣2=0有整数根．所以m=2．〔5分〕〔3〕解：当m=2时，此二次函数解析式为y=x2﹣2x=〔x﹣1〕2﹣1，那么顶点坐标为〔1，﹣1〕．抛物线与x轴的交点为O〔0，0〕、B〔2，0〕．设抛物线的对称轴与x轴交于点M1，那么M1〔1，0〕．在直角三角形AM1O中，由勾股定理，得．由抛物线的对称性可得，．又因为，即OA2+AB2=OB2．所以△ABO为等腰直角三角形．〔6分〕那么M1A=M1B．所以M1〔1，0〕为所求的点．〔7分〕假设满足条件的点M2在y轴上时，设M2坐标为〔0，y〕，过A作AN⊥y轴于N，连接AM2、BM2，那么M2A=M2B．由勾股定理，即M2A2=M2N2+AN2；M2B2=M2O2+OB2，即〔y+1〕2+12=y2+22．解得y=1．所以M2〔0，1〕为所求的点．〔8分〕综上所述，满足条件的M点的坐标为〔1，0〕或〔0，1〕．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是仔细审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想的应用．此题属于难度大的问题，要注意审题．15、：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．〔1〕求抛物线的解析式及B的坐标；〔2〕设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；〔3〕直线y=x+a与〔1〕中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？假设存在，求出a的值；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．〔2〕根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：①当P在线段AC上时，AP+PC=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．②当P在CA的延长线上时，CP﹣AP=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，后面同①．〔3〕可联立两函数的解析式，求出M、N的坐标，过M、N作x轴的垂线设垂足为M′、N′，由于∠MON=90°，因此可得出△MM′O与△N′NO相似，可得出M、N两点的横、纵坐标的绝对值对应成比例，据此可求出a的值．〔也可用坐标系的两点间的距离公式，根据勾股定理来求解．〕解答：解：〔1〕当x=0时，y=6，∴C〔0，6〕，当y=0时，x=﹣3，∴A〔﹣3，0〕，∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，∴，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6，当y=0时，整理得x2+x﹣6=0，解得：x1=2，x2=﹣3，∴点B〔2，0〕．〔2〕过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵S△ABP：S△BPC=1：3，。

专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

1 2 中考数学专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数；（2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。

2.二次函数的解析式（二次函数的解析式有三种形式）：（1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式；即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。

3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ；（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。

【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。

九年级数学下册 26.1 二次函数练习(含解析)华东师大版(2021学年)

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1二次函数同步练习一、选择题1.函数432-+=x x y ( )A ．一次函数 ﻩB.二次函数 ﻩC.正比例函数Ｄ．反比例函数答案：B解析：解答:因为函数中二次项的系数03≠,函数形式符合二次函数.故选:B.分析:根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 判断函数是否是二次函数．２．在下列y 关于x 的函数中,一定是二次函数的是（）A ．2x y = B.21xy = C ．2kx y = ﻩＤ.x k y 2= 答案：A解析:解答：A 。

符合二次函数定义形式，是二次函数；Ｂ。

是分式方程，故B 错误；C 。

当k =０时，不是函数,故C 错误;D 。

当k =0是常函数,故D 错误.故选:Ａ.分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2,()0≠a 是二次函数．３。

对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是( )Ａ.()221x m y -= ﻩ B.()221x m y += C.()221x m y +=ﻩﻩﻩﻩ D ．()221x m y -= 答案:C解析:解答:A.当m =1时,二次项系数等于0,不是二次函数，故错误；Ｂ。

当ｍ＝-1时，二次项系数等于0,不是二次函数，故错误；Ｃ。

2020—2021年最新华东师大版九年级数学下册26.3.3二次函数的应用(含答案).doc

（新课标）华东师大版九年级下册26.3.3二次函数的应用一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒B．第10秒 C．第10.5秒D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x 轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为（）A．y=（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3）2D．y=（x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________ 元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是_________ ．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x （米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________ 米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx ﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米考点：二次函数的应用．分析：直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．解答：解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（）A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元考点：二次函数的应用．分析：首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，∴最大利润为：==46（万元），故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A．第9.5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒考点：二次函数的应用．分析：根据题意，x=7时和x=14时y值相等，因此得到关于a，b的关系式，代入到x=﹣中求x的值．解答：解：当x=7时，y=49a+7b；当x=14时，y=196a+14b．根据题意得49a+7b=196a+14b，∴b=﹣21a，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，当x=﹣=10.5时，y最大即高度最高．因为10最接近10.5．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x 轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为（）A．y=（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3）2D．y=（x﹣3）2考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解答：解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．2s B．4s C．6s D．8s考点：二次函数的应用．分析：礼炮在点火升空到最高点处引爆，故求h的最大值．解答：解：由题意知礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是：，∵＜0∴当t=4s时，h最大为40m，故选B．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．6．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米考点：二次函数的应用．分析：把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出小球距离地面的最大高度．解答：解：h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5（t2﹣4t）﹣14=﹣5（t2﹣4t+4）+20﹣14=﹣5（t﹣2）2+6，﹣5＜0，则抛物线的开口向下，有最大值，当t=2时，h有最大值是6米．故选：C．点评：本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，把函数式化成顶点式是解题关键．7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s考点：二次函数的应用．专题：计算题；应用题．分析：到最高点爆炸，那么所需时间为﹣．解答：解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，∴t=﹣=﹣=4s．故选B．点评：考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键．8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D． 5 m/s考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．解答：解：当刹车距离为5m时，即可得y=5，代入二次函数解析式得：5=x2．解得x=±10，（x=﹣10舍），故开始刹车时的速度为10m/s．故选C．点评：本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般．二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O 且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4 ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．解答：解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为25 元．考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解答：解：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．解答：解：线段AB的解析式是y=x+1（0≤x≤4），此时w=x（x+1）=+x，则x=4时，w最大=8；线段AC的解析式是y=x+1（0≤x≤2），此时w=x（x+1）=+x，此时x=2时，w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，此时x=时，w最大=12.5．综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．点评：此题综合考查了二次函数的一次函数，能够熟练分析二次函数的最值．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x （米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2 米．考点：二次函数的应用．分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．解答：解：∵函数解析式为：，∴y最值===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为（60+x）件（用含x的代数式表示）．考点：二次函数的应用．分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．解答：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，∴，解得：，∴w=﹣x2+3600，设销售量为a，则a（60﹣x）=w，即a（60﹣x）=﹣x2+3600，解得：a=（60+x ），故答案为：（60+x）．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论；（2）由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得32﹣×4=80﹣2x．答：每天的现售价为x元时则每天销售量为（80﹣2x）件；（2）由题意，得（x﹣20）（80﹣2x）=150，解得：x1=25，x2=35．∵x≤28，∴x=25．答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．点评：本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键．16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．点评：本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．17．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k 和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x 的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x 的取值范围即可确定x的值．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）W=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤18，∴当x=18时，W最大，最大为192．即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．（3）由150=﹣2x2+80x﹣600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．点评：本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B 两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？考点：二次函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）首先求出y B函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出y A函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入y B求出答案；（3）得出y A﹣y B的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：（1）由题意可得出：y B=（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000=（0﹣60）2+m，解得：m=100，∴y B=（x﹣60）2+100，当x=40时，y B=×（40﹣60）2+100，解得：y B=200，y A=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，y B=（44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．19．“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值．解答：解：（1）设每箱应涨价x元，则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600，整理，得x2﹣15x+50=0，解这个方程，得x1=5，x2=10，∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，答：每箱产品应涨价5元．（2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x），整理得：y=﹣2x2+30x+500，配方得：y=﹣2（x﹣7.5）2+612.5，当x=7.5元，y可以取得最大值，∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．点评：此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量．20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，。

2021年华东师大版数学中考复习专题演练 — 锐角三角函数(含答案)

2021年华东师大版数学中考复习专题演练 — 二次函数的应用一、单选题1．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =，则tan A 等于（）A ．513B ．1213C ．512D ．125 2．若60α=︒，则2sin α的值为（）A ．1BCD ．2 3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（）A ．sin c bB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B =⋅ 4．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则（）A ．3sin 4A =B ．4cos 5A =C ．3cos 4B =D ．3tan 5B = 5．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（）A ．0sin 2α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα< 6．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦值为（）A ．12BCD ．27．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为()3,4，那么cos α的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．458．在锐角ABC 中，5AB AC ==，4tan 3B =，则底边BC 的长为（） A ．2 B ．4 C ．6D ．8 9．如图，在Rt ABC ∆中，90,13,12,C AB BC ∠===下列三角函数正确的是（）A ．12sin 13B =B ．12cos 13A =C ．5tan 12B = D ．12cos 5B = 10．已知ABC 是锐角三角形，若AB AC >，则（） A ．sin sin A B < B ．sin sin B C < C ．sin sin <A CD ．sin sin C A <二、填空题11．如图，菱形ABCD 的两个顶点,B D 在反比例函数k y x=的图象上，对角线,AC BD 的交点О恰好是坐标原点，已知()2,2A ，120BCD ∠=︒，则k 的值是__________．12．ABC 中，90B ∠=︒，5AC =1tan 2C =，则BC 边的长为_______． 13．矩形ABCD 对角线AC BD 、交于点,43,12O AB AD ==，点E 在AD 边上，4,tan OE AEB =∠=___________________．14．在ABC 中，90C ∠=︒，若5sin 13B =，则cos A =________． 15．如图，将矩形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使得点B 落在矩形内点B '处，折痕为CE ．（1）点B '恰好为AC 中点时，AE BE的值为______．（2）点B '在AC 上且D 、B '、E 在同一条直线上时，AE BE 的值为______． 16．在Rt ABC △中，1290,sin ,1313C A AB ∠===︒，则ABC 的面积为____．三、解答题 17．如图，点P 是α∠的边OA 上的一点，已知点P 的横坐标为6，若4tan 3α=．（1）求点P 的纵坐标；（2）求α∠其它的三角函数值．18．如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ，连接BE 、DF ．（1）求证：AE BF =；（2）设EDF α∠=，EBF β∠=，BG k BC=，求证：tan tan k αβ=⋅； 19．如图，ABC 中，90,,ACB CD CE ∠=︒分别是ABC 的高和中线，过点C 作CE 的垂线交AB 的延长线于点F ．（1）求证：CBF ACF △△（2）若14,tan 2AF BCD =∠=，求BF 的长．20．如图，直线22y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，并交反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数的图象于点M ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，2tan 3∠=MBN ．（1）求反比例函数的解析式；PC NP为最小值，如果存在，（2）点P是y轴上一动点，是否存在这样的情况，使求出此时点P的坐标；如果不存在，说明理由．参考答案1．C2．C3．B4．B5．C6．B7．C8．C9．C10．B11．12-12．21314．51315．216．3017．（1）点P 的纵坐标是8；（2）4sin 5α，3cos 5α=．【详解】（1）如图，过P 作PM x ⊥轴于M ，则90PMO ∠=︒， ∵点P 的横坐标为6，∵6OM =，∵4tan 63PM PM OM α===， ∵8PM =，∵点P 的纵坐标是8；（2）∵在Rt OMP △中，90PMO ∠=︒，8PM =，6OM =，∵10OP ===， ∵84sin 105PM OP α===， OM 63cos OP 105α===．18．（1）见详解；（2）见详解【详解】（1）在正方形ABCD 中，AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒ ,DE AG BF AG ⊥⊥909090AED BFA ADE DAE BAF DAE ADE BAF∴∠=∠=︒∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠ 在AED 和BFA 中ADE BAF AED BFA AD BF ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴AED BFA ≌△△AE BF ∴=（2）在t R DEF 和t R EFB △中，tan tan EF EF DE BF αβ==， tan =tan EF BF BF DE EF DEαβ∴⋅= 由∵可知：,90ADE BAG AED GBA ∠=∠=∠=︒AED GBA ∴△∽△AE DE GB AB∴= 由∵可知：AE BF =,tan tan tan tan BF DE GB ABBF GB DE AB BG k AB BC BC BF BG BG k DE AB BCk k αβαβ∴=∴===∴===∴=∴=19．（1）见解析；（2）1【详解】解：（1）证明：90ACB ∠=︒，90BCE ACE ∴∠+∠=︒，又CE CF ⊥，90BCE BCF ∴∠+∠=︒，ACE BCF ∴∠=∠ 又CE 是ABC ∆中线，AE CE ∴=，ACE CAE ∴∠=∠ BCF CAE ∴∠=∠又BFC CFA ∠=∠ CBF ACF ∴∆∆（2）解：由（1）知CBFACF ∆∆ BF CF CB CF AF AC ∴== 又CD 是Rt ABC ∆的高，90ACB ∠=︒，90CDB ∴∠=︒90,90BCD CBD A CBD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠又1tan 2BCD ∠=， 1tan tan 2A BCD ∴∠=∠= 12CB BD AC CD ∴==， 12BF CF CB CF AF AC ∴=== 又4AF =，11,2,4222CF BF CF ∴=== 1BF ∴=．20．（1）()40y x x =>；（2）存在，点P 的坐标为80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】解：（1）∵直线22y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ， 0x =时，2y =；0y =时，1x =-，∵A 点的坐标为()0,2，B 点的坐标为()1,0-，∵2OA =，//AM x 轴，MN x ⊥轴，点M 在反比例函数(0)k y x x=>的图象， ∵2MN =，2==k AM ON ， ∵()1122k k BN =--=+， ∵2tan 3∠=MBN ， ∵22312==+MN k BN ， ∵4k =（经检验符合题意），∵反比例函数的解析式为()40y x x=>；（2）∵直线22y x =+交反比例函数()40y x x =>的图象交于点C ， ∵422+=x x，且0x >，解得11x =，22x =-（舍去），答案第5页，总5页 ∵C 点的坐标为()1,4，∵4k =， ∵22===k AM ON ，以y 轴为对称轴，作点N 的对称点N '，交y 轴于点P ， ∵点N '的坐标为()2,0-，设直线N C '的解析式为y ax b =+，则有204a b a b -+=⎧⎨+=⎩， ∵48,33a b ==， ∵直线N C '的解析式为4833y x =+，此时+=+'PC NP PC N P 取得最小值，令x=0时，则有83y =， ∵此时点P 的坐标为80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

2023年中考数学一轮复习课件：二次函数的实际应用

教材原题到重难考法
一、抛物线型问题
例1 教材原题华师九下P30第1题如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球离地面的高度约为1.6 m，铅球在点B处落地．铅球在运动员前4 m处(即OC＝4)达到最高点，最高点离地面的高度为 3.2 m．已知铅球经过的路线是抛物线，试利用图示的平面直角坐标系算出这个运动员的成绩．
线的解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，把点B(4，0)，D(－3
，4)代入，
16a c 0 9a c 4
,
得
解得
a c
4 7
64 7
,
4
64
7
7
∴该抛物64线的解析式6为4 y＝－ x2＋，∴C(0，
7
7
).∴OC＝ m≈9.1 m.答：这个门洞的高度约为9.1 m.
第2题解图
提分要点
＝－120，∴B(－120，－90)，将
点B的坐标代入y＝ax2，得(－120)2a＝－90，
第1题图
1502 902
第1题解图
解得a＝－ 1 ，∴该抛物线的表达式为y＝－
160 1 160
x2(－120≤x≤0)；
第1题解图
(3)若该运动员在空中共飞行了4 s，求他飞行2 s后，垂直下降了多少m?
变式题 1. 将文字型改为图象型，列关系式求最值某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．(1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价z万元/件， z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式
(写出x的范围)；解：(1)由题图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜ x≤20时，z是关于x的一次函数，

2021年华东师大版数学中考复习专题演练 —阴影部分面积专项练习(含答案)

2021年华东师大版数学中考复习专题演练 — 二次函数的应用1. 如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD //BC ，AC 平分BCD ∠，120ADC =∠，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（）A.32 B. π32-3 C. 23 D. 432. 如图，⊙P 内含于⊙，⊙的弦切⊙P 于点，且．若阴影部分的面积为，则弦的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．93. 如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，阴影部分的面积是 .4. 如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是2 43cm π，OA=2cm ，求OC 的长．5. 如图，正方形ABCD 、A 1B 1C 1D 1边长都是a ．（1）在正方形ABCD 中，以B 为圆心，a 为半径做；O AB C OP AB //π9AB A DCBBACP O（2）在正方形A 1B 1C 1D 1中，分别以A 1，B 1，C 1，D 1为圆心，2a为半径在形内作4条弧。

设两图中阴影部分周界长为S 1，S 2，则S 1与S 2的关系是（） A ．S 1＞S 2； B ．S 1=S 2；C ．S 1＜S 2；D ．大小关系不定．6. 如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于点A 、B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（） A.4π-8 B. 8π-16 C.16π-16 D. 16π-327. 如图，正方形ABCD 边长为a , 以各边为直径在正方形内作半圆，围成的图中阴影部分的面积为（）A ．2)21(a π-B ．2)22(a π-C ．2)12(a -πD ．2)42(a π-8. 如图，以正△ABC 三边为弦的三条圆弧相交于△ABC 的外心O,若AB=a, 则图中阴影部分面积为（）A ．2)233(a -πB ．2)8343(a π-C ．2)343(a π-D ．2)3433(a π- 第8题题9. 如下图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是（） A．B ．C ．D ．10. 如图，⊙O 1与⊙O 2交于A , B , ⊙O 2的直径AC 切⊙O 1于A , ⊙O 2的弦CB 的延长线交⊙O 1于E , 且AC=5 , BC=3 , 求图中阴影部分的面积．第10题第11题第12题11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）12. 如图：平行四边形ABCD 中 , AB=6 , AD=3 , BD^AD , 以BD 为直径的圆交 AB 于E , 交DC 于F ，求阴影部分的面积．13. 已知：如图，AB 为半圆⊙O 的直径，C 、D 为半圆⊙O 的三等分点，若AB=12，求阴影部分的面积.14. 如图，已知：∠AOB=90°，AC ∥OB ，AO=3，分别以O 点，A 点为圆心，AO 、AB 为半径画弧，交OB 、AC 于B 、C ，求阴影部分的周长和面积.2367a π-2365a π-2367a 2365a CAB15.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC ．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积为．第二部分◆类型一直接利用规则图形的和差求面积1．(2016·安顺中考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留π)．第1题图第2题图2．如图，长方形ABCD的长BC为3cm，宽AB为2cm，点E，F是边AD的三等分点，点G，H是边BC的三等分点．现分别以B，G两点为圆心，以2cm长为半径画弧AH和弧EC，则阴影部分的面积为_______cm2.3．(2016·烟台中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC ＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为_______cm2.第3题图第4题图21FEC◆类型二割补法4．(2016·深圳中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（）A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－45．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（）A ．4π－2B ．2π－2C ．4π－4D ．2π－4第5题图第6题图◆类型三等积法一、轴对称、旋转6．(2016·重庆中考)如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是______．7．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝4，AB ⊥AC ，O 是对角线的交点．若⊙O 过A ，C 两点，则图中阴影部分的面积之和为________.第7题图第8题图8．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（）A.π2＋12 B ．π－14 C.π4＋12 D.π4－12 二、同底等高的三角形等积替换9．(2016·襄阳中考)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，若弦CD ＝2，则图中阴影部分的面积为______．第9题图第10题图10．如图，P 是半径为2的⊙O 外一点，PB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，且BC ＝2，则图中阴影部分的面积为________．◆类型四折叠问题中求面积11．(2016·德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是________．第三部分1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )A.π6 B. π3 C. 1＋π6D. 1第1题图第2题图第3题图第4题图 2. 如图，在半径为2 cm 的⊙O 中，点C 、点D 是AB ︵的三等分点，点E 是直径AB 的延长线上一点，连接CE 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 cm 2B.2π3 cm 2 C. 2π3－ 3 cm 2 D. 2π3＋ 3 cm 2 3. 如图，正方形ABCD 的面积为12，点M 是AB 的中点，连接AC 、DM 、CM ，则图中阴影部分的面积是( )A. 6B. 4.8C. 4D. 34. (2016桂林)如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF ︵和DF ︵，连接AD ，则图中阴影部分面积是( )A. πB. 54π C. 3＋π D. 8－π5. 如图，四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为________．第5题图第6题图第7题图第8题图6. (2015赤峰)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝4，AB ⊥AC ，O 是对角线的交点，若⊙O 过A 、C 两点，则图中阴影部分的面积之和为________．7. (2015武威)如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB ＝BC ，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为________．8. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为________．9. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．第9题图第10题图第11题图第12题图10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则图中阴影部分的面积为________．12. 如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，OB＝2OC＝2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________．13. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图14. 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF 与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为________cm2.15. 如图，正方形ABCD的边长为1，分别以点A、D为圆心，1为半径画弧BD、AC，两弧相交于点F，则图中阴影部分的面积为________．16. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE 沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是________．17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是________ cm2.第四部分1．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于E，连接DE，则阴影部分的面积为( )A.π4B．22－π4C.π2D．22－π22．(2016·朝阳)如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )A.32πB．3πC.72πD．2π第1题图第2题图第3题图3．如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB为半径作弧BE，且D，C，E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是( )A.12πB.12π＋1 C．πD．π＋14．(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是( )A .252π B ．10π C ．24＋4 D ．24＋5π5．如图，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作BC ︵，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D ，E ，则阴影部分的面积是_________第4题图第5题图第6题图6.(2017·德州)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1 m ，根据设计要求，若∠EOF ＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为_________第五部分走进中考典例分析1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E ，且 E 为 OB 的中点，∠CDB =30°，CD =4，则阴影部分的面积为（）A ．πB ．4πC ． πD ． π第1题图第2题图第3题图2.如图，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，以 A B 的中点 D 为圆心，作圆心角为 90°的扇形 DEF ，点 C 恰在 EF 上，设∠BDF =α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，A ．图中阴影部分的面积（）A ．由小到大B ．由大到小C ．不变D ．先由小到大，后由大到小3.如图，在半径为 2，圆心角为 90°的扇形内，以 B C 为直径作半圆交 A B 于点 D ，连接 C D ，则阴影部分的面积是（）A ． π﹣1B ． π﹣2C ．π﹣2D ．π﹣14.如图，已知⊙O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ，且 AC =2，AE =，CE =1，则图中阴影部分的面积为（）B ．C ．D ．第4题图第5题图第6题图5.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠A=60°，以点 B 为圆心的圆与 AD 、DC 相切，与 AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（） A. 23π+ B.π+3 C.23π- D.232π+6.如图，直径 A B 为 12 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 旋转到点 B ′，则图中阴影部分的面积是（）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π第六部分1.如图， A B 为⊙ O 的切线，切点为 B ，连接 A O , AO 与⊙ O 交于点 C , BD 为⊙ O 的直径，连接 C D .若∠A=30° ，OA=2则图中阴影部分的面积为（） 433.A -π 3234.B -π 3.C -π 334.D -π 第1题图第2题图2. 如图，以A B 为直径的⊙O 与弦 C D 相交于点 E ，且 A C =2，AE =，CE =1，则阴影部分的面积为________．3.如图， AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线交的延长线于点D ，已知∠D=30°.⑴求∠A 的度数；⑵若弦垂足为E ，且CF=34，求图中阴影部分的面积4.如图，以 AB 为直径的半圆绕 A 点，逆时针旋转 60°，点 B 旋转到点 B ′的位置，已知 AB=6，则图中阴影部分的面积为（）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π第4题图第5题图第6题图第7题图5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=30°，点 O 在边 BC 上，⊙O 经过点 A 、B ，且与 BC 相交于点 D ．（1）求证：CA 是⊙O 的切线；（2）若 AB=2，请直接写出阴影部分的面积．6.如图，等腰直角△ABC 中，AB=AC=8，以 AB 为直径的半圆 O 交斜边 BC 于 D ，则阴影部分面积为 (结果保留π) ( )A ．24－4πB ．32－4πC ．32－8πD ．167.如图，菱形 A BCD 的边长为 2cm ， ∠A=60°，弧 B D 是以点 A 为圆心、 A B 长为半径的弧，弧 C D 是以点 B 为圆心、 B C 长为半径的弧，则阴影部分的面积为（）2cm 1.A 2cm 3.B 2cm 2C. 2cm .D π8．如图，在 R t △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以ABC 为圆心，以AC 21为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分面积为_______第8题图第9题图9.如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°后得到△DBE ，点 A经过的路径为弧 A D ，则图中阴影部分的面积是______．10.如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠DAB ＝45°，BC ∥AD ，CD ∥AB .(1)判断直线 C D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)11.如图，在平面直角坐标系中，以 A (5，1)为圆心，以 2 个单位长度为半径的⊙A 交 x 轴于点 B 、C ，解答下列问题：(1)将 O A 向左平移个单位长度与 y 轴首次相切，得到 O A'，此时点 A '的坐标为，阴影部分的面积 S ＝；(2)求 B C 的长．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠DAB ＝45°，BC ∥AD ，CD ∥AB ．(1)判断直线 C D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积 (结果保留π)．13.如图，已知点 A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为 10。

2021年华东师大版数学中考专题演练—— 确定二次函数的表达式

2021年华师大版数学中考专题演练——确定二次函数的表达式一、单选题1．已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（1-，1-），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）A ．()21513y x =--+ B ．()21513y x =-- C ．()214103y x =-+- D ．()2371y x =--2．二次函数22y ax bx =++的图像经过点()1,0-，则代数式-a b 的值为（） A ．0B ．2-C ．1-D ．2 3．若二次函数()20y axa =≠的图象过点()2,3--，则必在该图象上的点还有（） A ．()2,3-- B ．()2,3 C ．()2,3- D ．()2,3- 4．下列各点中，一定不在抛物线222y mx mx =-+上的是（）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 5．下列函数图象经过变换后，过原点的是（）A ．21(1)22y x =--向右平移3个单位B ．21(1)22y x =--向左平移3个单位 C ．22(1)1y x =+-向上平移1个单位 D ．22(1)1y x =+-关于x 轴作轴对称变换 6．把抛物线2y 2(x 1)3=-+向上平移1个单位，向右平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．22()42y x =++B ．22(4)4y x =-+C ．22(2)2y x =++D ．22(4)2y x =-+7．已知抛物线的对称轴为x h =，且经过点()1,1A ，()8,8B ．则下列说法中正确的是（）A ．若h ＝7，则a ＞0B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝4，则a ＜0D ．若h ＝6，则a ＜08．一个二次函数的图象的顶点坐标是()2,3-，与y 轴的交点是()0,5，这个二次函数的A ．22411y x x =-+B ．2245y x x =-+C ．2285y x x =-+D ．2285y x x =++9．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣710．已知抛物线2y ax bx c =++经过()1,3-，()4,3，()2,5-三点，如果()12,A y -，()22,B y ，()3,C y π三点都在抛物线上，那么（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<二、填空题11．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．1)，则该二次函数的解析式为________________ ．13．在平面直角坐标系中，若点(),P a b 的坐标满足0a b =≠，则称点P 为“对等点”．已知一个二次函数22y x mx m =+-的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_________．14．若抛物线2y ax =（0a ≠）经过()1,3A ，则该抛物线的解析式为__________．15．如果抛物线2y ax =与23(1)4y x =+-形状相同，开口方向也相同，那么a =______． 16．如图，抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝3相交于点A 、B ，与y 轴交于点C （0，﹣1），若∠ACB 为直角，则当ax 2+c ＜0时自变量x 的取值范围是_____．三、解答题17．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ，（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，∠ACE 面积最大．18．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c ，请从以下三个条件中任选两个，确定二次函数表达式： ∠当自变量x ＝4时，二次函数的最小值为﹣3；∠该二次函数的图像与x 轴一个交点的横坐标为1；∠该二次函数的图像与y 轴的交点是（0，13）．19．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与直线AB 交于(1,0)A -、()2,3B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠ABD 的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得∠APC 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知二次函数2y ax 2x c =++的图象经过点(0,3)C ，与x 轴交于点A ，B ，直线BC 的解析式是y x b =+．（1）求二次函数图象的顶点坐标．（2）求不等式22+++ax x c x b 的解．参考答案1．B2．B3．C4．C5．B6．B7．D8．C9．C10．B11．2m ．12．y=-3x 2+413．1214．23y x =15．316．﹣2＜x ＜2．17．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）当P 点坐标为（12,32-）时，∠ACE 的面积最大．【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝x 2+bx +c ，得到10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∠抛物线解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）过点C 作CN∠PE ，垂足为N,将C 点的横坐标x ＝2代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得y ＝﹣3，∠C （2，﹣3）；设直线AC 的函数解析式是y ＝m x +n ．把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得，023m n m n -+=⎧⎨+=-⎩，解得，11m n =-⎧⎨=-⎩，直线AC 的函数解析式是y ＝﹣x ﹣1．设P 点的横坐标为x （﹣1≤x ≤2），则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3）；∠P 点在E 点的上方，PE ＝（﹣x ﹣1）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣x 2+x +2，ACE APE CPE S S S ∆∆∆=+,1122ACE S PE AM PE CN ∆=⨯⨯+⨯⨯, 1[2(1)]2ACE S PE ∆=⨯⨯--, 223331273()22228ACE S x x x ∆=-++=--+，当x=12时，三角形面积最大，把x=12代入y=﹣x ﹣1得，y=32-, 此时P 点坐标为（12,32-）．18．选择∠∠，该二次函数表达式为2813y x x =-+【详解】解：选择∠∠，则可设二次函数的解析式为()243y a x =--， ∠把点()0,13代入解析式得：16313a -=，∠1a =，∠该二次函数表达式为()234y x =--，即2813y x x =-+． 19．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3；（3）存在，P 点的坐标为（1，1）或（1，2）或81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】解：（1）把(1,0)A -、()2,3B 两点代入2y x bx c =-++得， 10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∠抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）∠2223(1)4y x x x =-++=--+，∠D 点坐标为：(1,4)D ，设直线AB 的解析式为：y kx d =+，代入A 、B 两点可得： 023k d k d -+=⎧⎨+=⎩，解得：11k d =⎧⎨=⎩， ∠直线AB 的解析式为：1y x =+，设直线AB 与抛物线对称轴交于点E ，则(1,2)E ， ∠1(42)332ABD S =⨯-⨯=△；（3）假设存在，设点(1,)P m ，由解析式可知C 点坐标为（0,3） ∠2221310AC =+=，22221(3)610CP m m m =+-=-+，224AP m =+， ∠ACP 是直角三角形需分三种情况讨论：∠当90APC ∠=︒时，222AP CP AC +=，即22461010m m m ++-+=，解得：11m =，22m =，此时点P 的坐标为（1，1）或（1，2）；∠当90ACP ∠=︒时，222AC CP AP +=，即22106104m m m +-+=+，解得：83m =，此时点P 的坐标为81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； ∠当90PAC ∠=︒时，222AP AC PC +=，即22410610m m m ++=-+，解得：23m =-，此时点P 的坐标为21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述，满足条件的P 点的坐标为（1，1）或（1，2）或81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,3⎛⎫-⎪⎝⎭． 20．（1）顶点坐标为(1,4)，（2）0x 或3x【详解】答案第5页，总5页（1）∠y x b =+经过点(0,3)C ，∠3b =，∠(3,0)B ∠2y ax 2x c =++的图象经过点(0,3)C ，(3,0)B ， ∠3,9230,c a c =⎧⎨+⨯+=⎩解得1,3,a c =-⎧⎨=⎩∠二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++； ∠()222314y x x x =-++=--+ ∠此二次函数图象的顶点坐标为(1,4) （2）由图象可得：0x 或3x。

2021-2022学年最新华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题练习试题(含详解)

华东师大版九年级数学下册第26章二次函数专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如下表给出了二次函数229y x x =+-中，x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程2290x x +-=的一个近似解（精确到0.1）为（）A ．2B ．2.1C ．2.2D ．2.32、若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（） A ．2a <B ．2a >C ．0a <D ．0a >3、己知二次函数223y x x n =--+-（n 为常数），()()12,,3,P a y Q y 分别是该函数图像上的两点，若12y y >，则a 的取值范围是（）A ．5a <-B ．53a -<<C ．5a <-或3a >D ．3a >4、表中所列x ，y 的6对值是二次函数()20y axbx c a =++≠图像上的点所对应的坐标，其中123431x x x x -<<<<<，n m <，根据表中信息，下列四个结论：①20b a -=；②0abc <；③30a c +>；④如果312x =，54c =-，那么当30x -<<时，直线y k =与该二次函数图象有一个公共点，则5744k -≤<；其中正确的有（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、如图，线段AB =12，点C 是线段AB 上一动点，分别以AC 、BC 为边在AB 上方作等边△ACD 、△BCE ， ∠CBE 、∠BEC 的角平分线交于点G ，点F 是CD 上一点且CF =13CD ，连接FG ，则FG 的最小值是（）A B ．C ．D ．6、抛物线()2213y x =-+的顶点为（）A ．()2,3B ．()1,3C ．()1,3-D ．()2,17、若已知抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0),(2,0)-，则关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--的解为（） A ．1x =-B ．2x =-C ．2x =-或1x =D ．2x =或0x =8、二次函数y ＝x （x +2）图象的对称轴是（） A ．x ＝﹣1B ．x ＝﹣2C ．x ＝2D ．y 轴9、当﹣2≤x ≤1，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 值为（）A ．74-B C ．2或D ．274-10、如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（）A ．y =x 2+2x +1B ．y =x 2-2x +1C ．y =-x 2-2x +1D ．y =-x 2+2x +1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数()()220y a x c a =-+>，当自变量x 分别取1、4、5时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________（用“＜”号连接）．2、设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是__________3、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是 _____．4、将抛物线2yx 向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为____________．5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与 x 轴交于 A 、C 两点，与 y 轴交于点 B （0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D （0，1）在 y 轴上，连接 PD ，则 C 点的坐标是_____＋PC 的最小值是______．6、已知ABC 的三个顶点为()()()111333A B C -----，，，，，，将ABC 向右平移 (0)m m >个单位后， ABC 某一边的中点恰好落在二次函数22y x =-的图象上，则m 的值为____________.7、已知二次函数2113y x x =+-，当3x =-时，函数y 的值是_________．8、函数2112y x x=+的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；② 该函数有最小值32；③方程21132x x +=有三个根；④如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y <．所有正确结论的序号是______．9、已知，抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）上有两点P （t ，y 1）和Q （t +3，y 2）．（1）此抛物线的对称轴是 _____．（2）若y 1＞y 2，则t 的取值范围是 _____．10、抛物线()223y x =-+的顶点坐标是______，对称轴是______．三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过（3，0）点，当x ＝1时，函数的最小值为－4．(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；(2)当0＜x ＜4时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围；(3)直线x ＝m 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和直线y ＝x －3的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．2、我们将平面直角坐标系xOy 中的图形D 和点P 给出如下定义：如果将图形D 绕点P 顺时针旋转90°得到图形'D ，那么图形'D 称为图形D 关于点P 的“垂直图形”．已知点A 的坐标为()2,1-，点B 的坐标为（0，1），ABO 关于原点O 的“垂直图形”记为'A'B'O △，点A 、B 的对应点分别为点','A B ．(1)请写出：点'A 的坐标为____________；点'B 的坐标为____________； (2)请求出经过点A 、B 、'B 的二次函数解析式；(3)请直接写出经过点A 、B 、'A 的抛物线的表达式为____________．3、某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a 的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ，并在BC 边上留有一扇1米宽的门．设AD 边的长为x 米，矩形花圃的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式． (2)若墙长a ＝30米，求S 的最大值．4、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝(0)(0)y x y x ≥⎧⎨-<⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．(1)在点E （0，0），F （2，5），G （-1，-1），H （-3，5）中，的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；(2)如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；(3)如果点P 在函数y ＝-x 2+4（-2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．5、如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -和点()3,0B 两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P 为抛物线上一点，若10ABPS=，求出此时点P 的坐标．-参考答案-一、单选题 1、C 【解析】【分析】由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y 当 2.2x =时，0.24,y 再判断点 2.1,0.39,2.2,0.24哪个点离x 轴最近，从而可得答案. 【详解】解：由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y当 2.2x =时，0.24,y 而0.2400.24,00.390.39, 0.240.39,所以一元二次方程2290x x +-=的一个近似解： 2.2,x 故选C 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，一元二次方程的解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键. 2、B 【解析】【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上， ∴20a -> 即2a > 故选B 【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键． 3、B 【解析】【分析】由二次函数解析式得出函数的对称轴及增减性，利用增减性进行求解．【详解】解：()()12,,3,P a y Q y 是函数223y x x n =--+-的图象上的两点，且12y y >，223y x x n =--+-关于12bx a=-=-对称，且开口向下， ∴在1x <-时，函数值随自变量的增大而增大，在1x >-时，函数值随自变量的增大而增小，根据对称可知：5a =-时，12y y =，∴要使得12y y >，得：53a -<<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 4、D 【解析】【分析】根据（-3，m ），（1，m ）在二次函数()20y axbx c a =++≠图像上代入解析式得93m a b cm a b c =-+⎧⎨=++⎩两式相减得出2b a =可判断①20b a -=正确；根据()()310,0x x ，，在二次函数图像上，可判断对称轴在1x 与3x 之间，根据在对称轴右侧，4x ＜1，n m <函数随x 增大而增大，可得二次函数开口向上，a ＞0，2b a =＞0，根据增减性2341x x x <<<，可得c ＜0，可判断②0abc <正确；根据341x x <<，在对称轴右侧，函数随x 增大而增大，可得0＜n ＜m ，根据933333m a b cm a b c =-+⎧⎨=++⎩，两式相加得出3a c m +=＞0，可判断③30a c +>正确；根据对称性求出二次函数的对称轴为3112x -+==-，根据对称两点312x =，利用对称轴可求152x =-，进而可得5122y a x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据54c =-，可求2524y x x ==+-，求出x =-3时函数值直线y k =与该二次函数图象有一个公共点，得出57-44k ＜＜即可．【详解】解：∵（-3，m ），（1，m ）在二次函数()20y axbx c a =++≠图像上∴93m a b cm a b c =-+⎧⎨=++⎩∴解得2b a = 故①20b a -=正确；∵()()310,0x x ，，在二次函数图像上 ∴对称轴在1x 与3x 之间在对称轴右侧，4x ＜1，n m <函数随x 增大而增大， ∴二次函数开口向上，a ＞0，2b a =＞0， ∵123431x x x x -<<<<< ∴c＜0故②0abc <正确；∵341x x <<，在对称轴右侧，函数随x 增大而增大， ∴0＜n ＜m ，∴933333m a b c m a b c=-+⎧⎨=++⎩， ∴1244a c m +=即3a c m +=＞0，故③30a c +>正确；二次函数的对称轴为3112x -+==-， ∵312x =， ∴11212x +=-，解得152x =-，∴5122y a x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴25152224y a x x ax ax a ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵54c =-，∴5544a c -==-， ∴1a =， ∴2524y x x ==+-，当x =-3时，()()255732396444y ==-+⨯--=--=，直线y k =与该二次函数图象有一个公共点， ∴57-44k ＜＜，故④正确∴正确的有4个．故选择D ．【点睛】本题考查表格信息获取与处理，待定系数法求二次函数解析式，函数值，根据对称两点求对称轴，二次函数的性质，掌握表格信息获取与处理，待定系数法求二次函数解析式，函数值，根据对称两点求对称轴，二次函数的性质是解题关键．5、B【解析】【分析】先求∠FCG=90°，设AD=CD=AC=x，则BC=12-x，分别求出CF，CG，由勾股定理和二次函数的性质可求解．【详解】解：如图，延长EG交BC于H，连接CG，∵△ECB是等边三角形，EG平分∠BEC，∴EH⊥BC，CH=BH，∵∠CBE、∠BEC的角平分线交于点G，∴CG平分∠ECB，∴∠GCB=30°=∠ECG，∴CG=2GH，CH，∴BC，∵∠ACD=∠ECB=60°，∴∠DCE=60°，∴∠FCG=90°，设AD=CD=AC=x，则BC=12-x，∵CF =13CD ，BC ，∴CF =13x ，CG − x )， ∵FG 2=CF 2+CG 2，∴FG 2=19x 2+13（12-x ）2=49（x -9）2+12，∴当x =9时，FG 的最小值为故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的性质，利用勾股定理和参数表示FG 2是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据抛物线的顶点式y =a （x -h ）2+k 可得顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：∵y =2（x -1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为（1，3），故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）．7、C【解析】【分析】由于抛物线2y ax bx c =++沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝a （x +1）2＋b （x +1）＋c ，由于方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2得到对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，从而得到一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)a x bx b c ++=--变形为a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，因为抛物线2y ax bx c =++经过点(10)(20)-，，，，所以方程20ax bx c ++=的解为x 1＝-1，x 2＝2，对于方程a （x +1）2＋b （x +1）＋c ＝0，则x +1＝-1或x +1＝2，解得x ＝-2或x ＝1，所以一元二方程2(1)a x bx b c ++=--的解为x ＝-2或x ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．8、A【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式()211y x =+-，求解即可．【详解】解：()()222211y x x x x x =+=+=+-∴该二次函数图像的对称轴为直线1x=-故选A．【点睛】本题考查了二次函数图像的对称轴，二次函数的顶点式．解题的关键在于正确的求出顶点式．9、C【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，解得m=74-，不合题意，舍去；②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m∵m-2≤m≤1的范围，∴m③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2．综上所述，m=2或4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象是解题的关键．10、D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断．【详解】解：由A 、B 的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意；C ．∵y =-x 2-2x +1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =()221--⨯-=-1，故C 不合题意； D ．∵y =-x 2+2x +1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =()221-⨯-=1，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题的关键．二、填空题1、y 1＜y 2＜y 3【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y 1，y 2，y 3的值，结合a ＞0，即可得出a +c ＜4a +c ＜9a +c ，即y 1＜y 2＜y 3．【详解】解：当x =1时，y 1=a （1-2）2+c =a +c ；当x =4时，y 2=a （4-2）2+c =4a +c ；当x =5时，y 3=a （5-2）2+c =9a +c ．∵a ＞0，∴a +c ＜4a +c ＜9a +c ，∴y 1＜y 2＜y 3．故答案为：y 1＜y 2＜y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y 1，y 2，y 3的值是解题的关键．2、2【解析】【分析】先将抛物线配方为顶点式，然后根据（左加右减，上加下减）将抛物线平移，得出解析式()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，求出顶点的纵坐标()2124a a +-++配方得出()()221121244a a a +-++=--+即可．【详解】解：抛物线()22211(1)24a a y x a x a x a ++⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭，将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，解析式为()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，∴顶点纵坐标为：()()221121244a a a +-++=--+， ∵104-＜， ∴a =1时，最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标，掌握抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标是解题关键．3、y =x 2-4x +3【解析】【分析】把点A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，解方程组求出a 、b 、c 的值，即可得解．【详解】解：将A （1，0），B （3，0），C （0，3）代入函数解析式得，09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数的解析式为y =x 2-4x +3，故答案为：y =x 2-4x +3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组．4、24y x =+【解析】【分析】根据函数的平移规律“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：根据函数的平移规律“上加下减”的原则可知，将抛物线2y x 向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为24y x =+，故答案为：24y x =+．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移规律“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．5、（3，0） 4【解析】【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H )PC PD PD PJ ⎫+=+⎪⎪⎭，求出PD PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与y 轴交于点B （0，﹣3）， ∴c ＝﹣3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），C （3，0），∴OB ＝OC ＝3，∵∠BOC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∵D （0，1），∴OD ＝1，BD ＝1-（-3）=4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB ＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ ⊥CB ，∴90PJC ∠︒＝，∵∠PCJ =45°，∴∠CPJ =90°-∠PCJ =45°，∴PJ =JC ，根据勾股定理22222PC PJ JC PJ =+=∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭， ∵PD PJ DH +≥，∴PD PJ +≥∴PD +PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案为: （3，0），4．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6、1,2,3【解析】【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数22y x =-的图象上，进而算出m 的值．【详解】解：∵△ABC 的三个顶点为A (-1，-1)，B (-1，3)，C (-3，-3)，∴AB 边的中点(-1，1)，BC 边的中点(-2，0)，AC 边的中点(-2，-2)，∵将△ABC 向右平移m (m ＞0)个单位后，∴AB 边的中点平移后的坐标为(-1+m ，1)，BC 边的中点平移后的坐标为(-2+m ，0)，AC 边的中点平移后的坐标为(-2+m ，-2)，∵二次函数22y x =-的图象在x 轴的下方，点(-1+m ，1)在x 轴的上方，∴AB 边的中点不可能在二次函数22y x =-的图象上，把(-2+m ，0)代入22y x =-，得-2(-2+m )2=0，解得m =2；把(-2+m ，-2)代入22y x =-，得-2(-2+m )2=-2，解得m 1=1，m 2=3；∴m 的值为1，2，3，故答案为1，2，3．【点睛】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x ，y )的横纵坐标满足二次函数解析式．7、-1【解析】【分析】将x 的值代入2113y x x =+-计算即可；【详解】解：当3x =-时2113y x x =+-=()()213313⨯-+--=-1 故答案为：-1【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．8、①③##③①【解析】【分析】根据函数解析式可知1x中0x ≠，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据2112y x x =+与3y =存在3个交点可判断③当0x <时，y 随x 的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：2112y x x=+则，0x ≠，即函数图象与y 轴无交点， ∴该函数自变量x 的取值范围是0x ≠；故①正确；根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，故②不正确；如图2112y x x =+与3y =存在3个交点，则方程21132x x+=有三个根；故③正确当0x <时，y 随x 的增大而减小，如果()11,x y 和()22,x y 是该函数图象上的两个点，当120x x <<时一定有12y y >．故④不正确故正确的有①③故答案为：①③【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．9、 1x =-； 52t <-【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为x ＝2b a-代入求解；（2）根据二次函数的性质， m >0说明抛物线的开口方向向上，y 1＞y 2，通过数形结合观察抛物线即可得到32t t ++＜﹣1，解得即可．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0），∴对称轴为直线x ＝﹣22m m＝﹣1；（2）∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）中，m ＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y ＝mx 2+2mx +n （m ＞0）上有两点P （t ，y 1）和Q （t +3，y 2），且y 1＞y 2，∴画如图所示的草图，可知32t t ++＜﹣1，解得t ＜﹣52，故答案为：t ＜﹣52．【点睛】本题考查了抛物线对称轴的定义，熟练掌握二次函数对称轴的公式是求解第1小题的关键，求t 的范围时画草图观察找出点P 点Q 横坐标的和的一半与对称轴的大小关系．10、 ()2,3 2x =【解析】【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：抛物线()223y x =-+的顶点坐标是()2,3，对称轴是2x =．故答案为：()2,3；2x =【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，对称轴为x h =，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．三、解答题1、 (1)223y x x =--(2)45y -≤<(3)0m <或3m >【解析】【分析】（1）由已知可设二次函数的顶点式，再把点(3，0)的坐标代入顶点式中即可求得a 的值，从而求得解析式；根据解析式画出函数图象即可；（2）求出当x =0及x =4时的函数值，考虑抛物线的性质，结合函数图象即可完成；（3）观察图象知，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)，即当m =0或m =3时，点C 与点D 重合，结合图象即可求得m 的取值范围．(1)∵当x ＝1时，函数的最小值为－4，即抛物线的顶点坐标为(1，−4)∴设函数解析式为2(1)4y a x =--∵（3，0）点在抛物线上∴440a -=∴1a =∴2(1)4y x =--即223y x x =--其图象如下：(2)当x =0时，y =−3；当x =4时，y =5由图象知，当0＜x ＜4时，45y -≤<(3)如图所示，抛物线与直线y ＝x －3的交点坐标分别为(0，−3)及(3，0)由图知，当0m <或3m >时，满足题目要求【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，二次函数与一次函数的关系等知识，数形结合是解题的关键．2、 (1)（1，2）；（1，0） (2)212133y x x =--+ (3)212133y x x =++ 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出'OB OB =，''AB A B =；（2）利用待定系数法进行求解解析式即可；（3）利用待定系数法求解解析式即可，或利用与（2）中对对称轴相同，开口方向相反可以快速得出答案．(1)解：根据题意作下图：根据旋转的性质得：'1OB OB ==，''0(2)2AB A B ==--=，∴'(1,2)A ，'(1,0)B ，故答案是：（1，2）；（1，0）；(2)解：设过点A 、B 、'B 的二次函数解析式为：2,(0)y ax bx c a =++≠，将点(2,1),(0,1),'(1,0)A B B -分别代入2,(0)y ax bx c a =++≠中得：21(2)210a b c c a b c ⎧=--+⎪=⎨⎪=++⎩，解得：12,,133a b c =-=-=， 212133y x x ∴=--+； (3)解：设过点A 、B 、'A 的二次函数解析式为：2,(0)y ax bx c a =++≠，将点(2,1),(0,1),'(1,2)A B A -分别代入2,(0)y ax bx c a =++≠中得：21(2)212a b c c a b c ⎧=--+⎪=⎨⎪=++⎩，解得：12,,133a b c ===，212133y x x ∴=++；故答案为：212133y x x =++．【点睛】本题考查了旋转的性质，利用待定系数法求解解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式．3、 (1)21402S x x =-+； (2)S 的最大值为750平方米【解析】【分析】（1）设AD 边的长为x 米，则AB 边长为（40﹣12x ）米，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；（2）利用二次函数的性质求最大值即可．(1)设AD 边的长为x 米，则AB 边长为（40﹣12x ）米，根据题意得：S ＝（40﹣12x ）x ＝﹣12x 2+40x ，∴S 与x 之间的函数关系式为S ＝﹣12x 2+40x ；由（1）知，S ＝﹣12x 2+40x ＝﹣12（x ﹣40）2+800，∵﹣1＜0，a ＝30，∴当x ≤40时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为750，∴墙长a ＝30米，S 的最大值为750平方米．【点睛】本题考查了二次函数和几何图形相关的应用题，通常会与面积或者容积有关，只需设未知量，将所求量表示出来建立等式即可，需要注意自变量的取值范围是否符合要求．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值若自变量x 的取值范围是全体实数，则当0a >时，抛物线开口向上，有最低点，当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a -；当0a <时，抛物线开口向下，有最高点，当2b x a=-时，函数取得最大值244ac b a -．4、 (1)F 、H(2)点M (-5，-2)(3)2≤<a 【解析】【分析】(1)点E (0，0)的“关联点”是(0，0)，点F (2，5)的“关联点”是(2，5)，点G (-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H (-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y ＝2x +1，看是否在函数图象上，即可求解；(2)当m ≥0时，点M (m ，2)，则2＝m +3；当m ＜0时，点M (m ，-2)，则﹣2＝m +3，解方程即可求解；(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q 的纵坐标y '的取值范围是-4＜y '≤4，而-2＜x ≤a ，函数图象只需要找到最大值(直线y ＝4)与最小值(直线y ＝-4)直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y '≤4，只要求出关键点即可求解．解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；(2)解：当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；当m＜0时，点M(m，-2)，-2＝m+3，解得：m＝-5，∴点M(-5，-2)；(3)解：如下图所示为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束，都符合要求，∴-4＝-a2+4，解得：a=舍去负值)，观察图象可知满足条件的a的取值范围为：2≤<a【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．5、 (1)y=x2-2x-3；（1，-4）；(2)（-2，5）或（4，5）【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；（２）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，∴10930b cb c-=⎧⎨=⎩＋＋＋，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3=()214x--，∴顶点坐标为（1，-4）；(2)∵A （-1，0）、B （3，0），∴AB =4．设P （x ，y ），则S △PAB =１２AB •|y |=2|y |=10，∴|y |=5，∴y =±5．①当y =5时，x 2-2x -3=5，解得：x 1=-2，x 2=4，此时P 点坐标为（-2，5）或（4，5）；②当y =-5时，x 2-2x -3=-5，方程无解；综上所述，P 点坐标为（-2，5）或（4，5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握有关知识点是解题的关键．。

2021春九年级数学中考一轮复习《二次函数的应用》自主复习达标测评(附答案)

2021春九年级数学中考一轮复习《二次函数的应用》自主复习达标测评（附答案）1．为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y＝﹣t2+12t+2，当4≤t≤8时，该地区的最高温度是（）A．38℃B．37℃C．36℃D．34℃2．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（）A．25m B．50m C．625m D．750m3．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h＝﹣2t2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高．A．B．C．D．4．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加（2﹣4）m时，则水面应下降的高度是（）A．2m B．1m C．m D．（﹣2）m 5．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝x2+x+，则此运动员把铅球推出多远（）A．12m B．10m C．3m D．4m6．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（）A．180B．220C．190D．2007．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB是（）A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米8．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（）A．150元B．160元C．170元D．180元9．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．10．用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝m时，矩形场地的面积S最大．11．在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面上升1m时，水面宽为m．12．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为4m，AB＝12m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为18m，则点E到直线AB的距离为m．13．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为8m，则水管的长度OA是m．14．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是．15．把一根长100cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是cm2．16．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝m时，绿地AEFG的面积最大．17．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为元．18．某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，客床可全部租出，若每张床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床每晚应提高元．19．春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？20．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，则平均每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价5元，求平均每天盈利是多少元？（2）若平均每天需盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？（3）设每件衬衫降价m元，平均每天盈利为W元，当m为何值时，平均每天盈利最多．21．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；（2）请写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？22．在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为20元，当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包．设该类型售价为x元（不低于进价），周利润为y元．请解答以下问题：（1）求y与x的函数关系式？（要求关系式化为一般式）（2）该药店为了获得周利润750元，且让利给顾客，售价应为多少元？（3）物价局要求利润不得高于45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？23．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900），其中0≤x≤30．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．24．某水果批发商销售每箱进价为40元的水果，市场调研发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，每箱价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）直接写出平均每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）的关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）的关系式；（3）求当每箱水果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？25．某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x 为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．参考答案1．解：∵y＝﹣t2+12t+2＝﹣（t2﹣12t+36）+38＝﹣（t﹣6）2+38，∴当t＝6时，温度y有最大值，最大值为38℃．∴当4≤t≤8时，该地区的最高温度是38℃．故选：A．2．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故选：D．3．解：∵h＝﹣2t2+mt+，小球经过秒落地，∴t＝时，h＝0，∴0＝﹣2×+m+，解得：m＝，当t＝﹣＝﹣＝时，h最大，故选：A．4．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，∴OA＝OB＝AB＝2米，∵抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），得：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把x＝代入抛物线解析式得出：y＝﹣0.5×6+2＝﹣1，∴水面应下降的高度是1米，故选：B．5．解：由题意得：当y＝0时，0＝x2+x+，∴x2﹣8x﹣20＝0，∴（x+2）（x﹣10）＝0，∴x1＝﹣2（不合题意，舍去），x2＝10．∴此运动员把铅球推出10m．故选：B．6．解：设y＝kx+b，由图象可知，，解之，得：，∴y＝﹣2x+60；设销售利润为p，根据题意得，p＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600，∵a＝﹣2＜0，∴p有最大值，当x＝﹣＝20时，p最大值＝200．即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，故选：D．7．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，2.25＝a（0﹣1）2+3，解得a＝﹣0.75，∴y＝﹣（x﹣1）2+3，当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0），∴OB＝3，答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．故选：B．8．解：设获得的利润为y元，由题意得：y＝（x﹣100）（200﹣x）＝﹣x2+300x﹣20000＝﹣（x﹣150）2+2500∵a＝﹣1＜0∴当x＝150时，y取得最大值2500元．故选：A．9．解：∵s＝18t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，∴当t＝1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来．故答案为：1.510．解：设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，所以S＝x（40﹣x）＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣20）2+400，∵﹣1＜0，∴x＝20时，S取得最大值，最大值为400，答：当x＝20m时，矩形场地的面积S最大；故答案为：20．11．解：∵AB＝6m，OC＝3m，∴点B坐标为（3，﹣3），将B（3，﹣3）代入y＝ax2得：﹣3＝a×32，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2．∴当水面上升1m时，即纵坐标y＝﹣2时，有：﹣2＝﹣x2，∴x1＝﹣，x2＝．∴水面宽为：﹣（﹣）＝2（m）．故答案为：2．12．解：如图，建立平面直角坐标系，DE在x轴上，y轴经过最高点C，设AB与y轴交于点H，∵DE＝18m，∴D（﹣9，0），E（9，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣9）（x+9），∵AB＝12m，∴AH＝BH＝6m，设OH＝k，则A（﹣6，k），∵拱桥最高点C到AB的距离为4m，∴C（0，k+4），将点A和点C的坐标代入抛物线解析式得：，解得：∴点E到直线AB的距离为5m．故答案为：5．13．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可知抛物线的顶点为（3，5），与x轴的一个交点为（8，0），∴0＝a（8﹣3）2+5，解得：a＝﹣，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+5，y＝﹣（0﹣3）2+5＝﹣+5＝，∴水管的长度OA是m．故答案为：．14．解：设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：S矩形ABCD＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵二次项系数为﹣1＜0，∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．故答案为：16．15．解：设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，列方程得：y＝（）2+（）2＝（x﹣50）2+312.5，由函数性质知：由于＞0，故其最小值为312.5cm2．故答案为：312.5．16．解：设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：y＝AE•AG＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64＝﹣2（x﹣2）2+72．∵二次项系数为﹣2，∴当x＝2时，y有最大值72．故答案为：2．17．解：设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为：40+×10＝（40+20x）千克设商店平均每天的利润为w元，由题意得：w＝（4﹣x）（40+20x）＝﹣20x2+40x+160＝﹣20（x﹣1）2+180∵二次项系数为﹣20＜0∴当x＝1时，w取得最大值180元．故答案为：180．18．解：设每张床提高x个2元，获得利润为y元．根据题意，得y＝（10+2x）（100﹣10x）＝﹣20x2+100x+1000＝﹣20（x﹣）2+1125∵x取整数，∴当x＝2或3时，y最大，当x＝3时，每张床提高6元，床位的个数最小，即投资少，为了投资少而获利大，每个床收费应提高6元．故答案为6．19．解：（1）根据题意，得y＝（200﹣150﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+400x+5000；（2）y＝﹣10x2+400x+5000＝﹣10（x﹣20）2+9000，∵﹣10＜0，∴当x＝20时，y有最大值9000，销售单价为200﹣20＝180（元），答：该服装的销售单价为180元时，月销售利润最大，最大的月销售利润是9000元．20．解：（1）由题意得：（20+2×5）×（40﹣5）＝30×35＝1050（元），∴平均每天盈利是1050元．（2）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（40﹣x）（2x+20）＝1200，∴﹣2x2+60x+800＝1200，∴x2﹣30x+20＝0，∴x1＝10，x2＝20，∵尽快减少库存，∴x＝20．∴每件衬衫应降价20元．（3）由题意得：W＝（40﹣m）（2m+20）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250，∴当m＝15时，W max＝1250．∴当m为15时，平均每天盈利最多．21．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（30，150）；（80，100）分别代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；（2）由题意得：w＝（x﹣20）（﹣x+180）＝﹣x2+200x﹣3600，∴w＝﹣x2+200x﹣3600（30≤x≤80）；（3）w＝﹣x2+200x﹣3600＝﹣（x﹣100）2+6400，∵﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝100，∴当x＜100时，w随x的增大而增大，∴当x＝80时，w有最大值，此时w＝6000，∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元．22．解：（1）由题意得：y＝（x﹣20）[160﹣10（x﹣24）]＝（x﹣20）（400﹣10x）＝﹣10x2+600x﹣8000，∴y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+600x﹣8000；（2）当y＝750时，﹣10x2+600x﹣8000＝750，整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35．∵让利给顾客，∴x2＝35（舍）．∴售价应为25元；（3）y＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∵利润不得高于45%，∴x﹣20≤20×45%，解得：x≤29，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝30，∴当x≤30时，y随x的增大而增大，∴当x＝29时，y max＝﹣10（29﹣30）2+1000＝990．∴当售价定为29元时，该药店获得利润最大，最大利润是990元．23．解：（1）∵顶点坐标为（30，900），∴设y＝a（x﹣30）2+900，将（0，0）代入，得：900a+900＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣30）2+900；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x＝﹣（x﹣30）2+900﹣40x＝﹣x2+60x﹣900+900﹣40x＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，∴当x＝10时，w的最大值为100，答：排队等待人数最多时是100人；（3）设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由题意得：﹣（4+m）2+60（4+m）﹣40×4﹣（40+12）m＝0，整理得：﹣m2+64＝0，解得：m1＝8，m2＝﹣8（舍）．答：人工检测8分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．24．解：（1）由题意得：y＝90﹣3（x﹣50）＝90﹣3x+150＝﹣3x+240，故答案为：y＝﹣3x+240；（2）由题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600，∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）的关系式为w＝﹣3x2+360x ﹣9600；（3）∵w＝﹣3x2+360x﹣9600，二次项系数﹣3＜0，∴当x＝﹣＝60时，w取得最大值，∴当每箱水果的销售价为60元时，可以获得最大利润．25．解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；故y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（1≤x＜25，且x为正整数）；（2）w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个；（3）由题意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，由（2）得：w＝﹣20x2+300x+5000，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴需要增加的生产线x条的取值范围是：5≤x≤10（x为正整数）。