第五章线性系统的频域分析法知识点
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(3) 对实际系统而言,开环频率特性容易获取,闭环频率特性难以获取, 研究闭环频率特性的目的是:根据闭环和开环频率特性之间的内在联系, 建立 通过开环频率特性研究闭环频率特性的途径和方法, 为具体的设计和分析服务; 一般的做法是: 闭环频域指标可转换为时域指标, 通过开环频率特性和闭环时 域指标之间的关系,分析和设计闭环系统。 闭环时域指标和开环频率指标之间可表示为经验公式(不要求记住) :
������������������������(������������.������������������������+������������) ������������(������������+������������)(������������+������������������������) ������������������������������������(������������+������������)
Im Nyquist路径 等幅振荡极点
半
零极点 0
径
∞
Re
图 1 Nyquist 路径(红线部分)
Nyquist 曲线是指开环传递函数 G(S)H(S)的 S 变量沿着 Nyquist 路径顺时 针运动一周时在复平面形成的轨迹,是特殊的极坐标图。
Nyquist 曲线与开环幅相曲线(极坐标图)之间的关系: (1) 当开环系统不包含“零极点”和“纯虚根(等幅振荡)极点”时,Nyquist 曲线与开环幅相曲线是重合的; (2) 当开环系统包含“零极点”时,开环幅相曲线需补足一段半径为无穷 从ω=0+位置逆时针绘制至实轴(注意:对应圆心角= ������������ × 90° ,圆弧轨迹的运 动方向为顺时针走向) 。 为无穷大的圆弧才能构成完整的 Nyquist 曲线,该圆弧的圆心角= ������������ × 180° (l 大的圆弧才能构成完整的 Nyquist 曲线,该圆弧的圆心角= ������������ × 90° ,圆弧可以
(1)将传递函数表示为G(s) =
������������
积分环节,������������ > 0表示包含纯微分环节)决定起始段的斜率,同时可以根据起 ������������ 始段(或其延长线)经过两个特殊点(即(1,20logK)和( √������������ , 0)两点)确定起 始段的实际位置; (3)根据起始段折线,顺序在每个转折频率处改变折线的斜率。 绘制极坐标图的要点:
������������������������ + 1,(������������ > 0)
2������������ ������������
,(������������ > 0)
������������ 2 +
������������ + 1,(������������, ������������ > 0)
,
1 ������������ 1 1
确定幅频特性:
������������ = 1, 2, 20。
10 ������������
基本环节为 5 个:10, ,
0.05������������+1
典型环节的频率特性掌握要点: (1) 频率特性主要把握起点和终点的幅值和相位,以及幅值和相位的变化 趋势。
(2) 频率特性的一些基本特征: 频率特性中所研究的频率范围为(-∞,+∞), 但由于频率特性幅频特性 A(ω)是 ω 的偶函数,相频特性φ(ω)是 ω 的奇函数, 因此,一般只绘制ω ∈ (0, +∞)部分的频率特性曲线。 (3) 所有基本环节的相频特性在ω ∈ (0, +∞)区间内都是关于 ω 的单调函 数。 (4) 除了振荡环节和二阶微分环节, 其它环节的幅频特性也是关于 ω 的单 调函数;当������������ < 0.707时,振荡环节和二阶微分环节的幅值分别存在极大值和 极小值,������������ ≥ 0.707时,振荡环节和二阶微分环节的幅值分别是关于 ω 的单调 递减和递增函数。 (5) 传递函数呈倒数关系的典型基本环节频率特性的特征关系:幅频特性 互为倒数, 相频特性互为相反数; 最小相位环节和非最小相位环节 (标准形式) 之间关系:幅频特性相同,相频特性互为相反数。
1 ������������
非最小相位环节 -K (K>0)
(K>0)
纯微分环节: S 惯性环节: 一阶微分: 二阶振荡: 二阶微分:
������������������������+1 1 1
延迟环节(只作了解)
������������ 2
1
1 2 2������������ ������������ + ������������+1 ������������ ������������2
(3) 当开环系统包含“等幅振荡极点”时,开环幅相曲线需补足一段半径
为振荡环节的个数) ,圆弧起始于ωn-位置处,终止于ωn+处,顺时针走向。 奎斯特曲线顺时针围绕(-1, j0)点的圈数,P 是开环不稳点极点的个数。
Nyquist 稳定性判据:Z=N+P,其中 Z 指闭环不稳定极点的个数,N 指奈
从小至大确定各基本环节的转折频率(斜率发生变化的频率点) ; ������������ 1 (2)绘制起始段折线: ������������ 部分决定幅频图的起始段, ������������(������������ > 0表示包含
������������
������������ ������������
1 2������������ ������������
−������������������������+1
1
,(������������ > 0)
������������ 2 +
������������ + 1,(������������, ������������ > 0)
,(������������, ������������ > 0)
其中 N= -2(N+ - N-)。说明:应用此公式是针对半条 Nyquist 曲线而言的, 如果是整个闭合的 Nyquist 曲线,计算公式为 N= -(N+ - N-),N 取值为正表示 顺时针圈数,反之为逆时针圈数;N+表示从实轴上方向实轴下方的穿越,N表示从实轴下方向实轴上方的穿越。 6. 掌握稳定裕度的概念和计算方法。 7. 了解闭环频率特性的相关内容: (1) 闭环频率特性在低频段的“0”分贝特性:一般系统闭环在频率接近 “0”时,具有“0”分贝(或接近 0)特性
������������
G1 (s),其中G1 (s)是指传递函数中不包
(1) 确定起点:幅值和相位,含有积分环节时,起点指ω=0+时;含有等幅 振荡环节时,在ωn-变化至ωn+时相位有 180°的跳变,即频率ω<ωn 时,等幅 振荡环节的相位为零,频率ω>ωn 时等幅振荡环节的相位为-180°。 (2) 确定终点:幅值和相位; 根据起点和终点及所包含基本环节的特征, 大致确定幅相曲线的变化象限; (3) 确定与实轴的交点。 5. 熟练掌握绘制系统开环奈奎斯特(Nyquist)曲线的方法,并根据开环 奈氏曲线判断系统的稳定性。
(2) 闭环频率特性的主要指标是:Mp(谐振峰值) 和 ωb(带宽) ;开环频率
1+������������
������������
(������������ = 0 时)
特性主要指标:γ 和 ωc 。一般情况:Mp 越大,系统的超调越大,ωb 越大,系 统的调节时间越短。闭环频率指标可以通过闭环时域指标表现出来;
G (s) = 因为开环传函: k ∏ (τ i s + 1) s
υ
m i =1 n −υ
∏ (T s + 1)
j =1 j
闭环传函: Φ( s) =n −υ
s
υ
k ∏ (τ i s + 1)
i =1 m i
m
Fra Baidu bibliotek
j = j 1= i 1
∏ (T s + 1) + k ∏ (τ s + 1)
lim������������→0 Φ(������������������������) = 1,或
,试绘
制开环系统的对数频率特性曲线。
解: 原系统的传递函数不是标准形式, 先将开环传递函数表示成标准形式: ������������(������������) =
������������(������������+������������)(������������.������������������������������������+������������)
第五章 线性系统的频域分析法
一、知识点总结 1. 掌握频率特性的概念:由幅频特性和相频特性构成。幅频特性是指: 当系统输入为单一频率正弦信号时, 系统稳态输出响应的幅值与输入信号幅值 之比与输入信号频率之间的函数关系。相频特性是指:当系统输入为单一频率 正弦信号时, 系统稳态输出响应的相位与输入信号相位之差与输入信号频率之 间的函数关系。 系统传递函数 G(S)与频率特性 G(jω)之间关系为:G(jω)= G(S)|s=jω。 幅频特性为:A(ω)= |G(jω)|;相频特性为:φ(ω) = ∠G(jω) 系统频率特性可表示为复指数形式:G(jω) = |G(jω)|e������������∠G(jω)
,(������������, ������������ > 0)
������������ 2
1
1 2 2������������ ������������ − ������������+1 ������������ ������������2
−������������������������ + 1,(������������ > 0)
2. 掌握两种常用的频率特性的表示方法:极坐标图(Nyquist 图,Nyquist 图是特殊的极坐标图)和对数坐标图(Bode 图) 。了解对数幅相频率特性图 (Nichols 图)的特性。 3. 熟练掌握典型环节的频率特性: 典型环节的标准形式可概括为: 最小相位环节 比例环节: 积分环节: K
终 点
A(∞)= 0
A(∞)= ∞ φ(∞) -= 90°
= 90°
起 非最 小相 位环 节 点
A(0)= 1
A(0)= 1
A(0)= 1
终 点
= −180° A(∞)=K φ(∞) = −180°
注:上表的结论只针对典型环节的标准表达方式,要应用以上结论须将非标准环节转化为标准表达 方式
= 90°
s= 0.16 + 0.4(
1 kπ − 1) , ts = 0 sin γ ωc
k0 = 2 + 1.5(
1 1 − 1) + 2.5( − 1) 2 sin γ sin γ
二阶系统闭环时域指标和开环频率指标之间明确的解析关系(不要求记 住) 。 二、相关知识点例题 例 1. 已知某单位反馈系统的开环传递函数为:������������(������������) =
4. 熟练掌握根据传递函数绘制伯德图 (Bode 图, 只绘制近似的 Bode 图, 即折线图)的方法;熟练掌握根据传递函数绘制极坐标图(Nyquist 图)的方 法;根据最小相位系统和对数幅频特性之间的一一对应关系,掌握根据对数幅 频图确定系统传递函数的方法。 绘制伯德图幅频特性图的要点:
含积分或纯微分环节的部分;
表 1 典型环节的频率特性总结:
比例环节 起 最小 相位 环节 点 A(0)=K φ(0) = 0 A(∞)=K φ(∞) A(0)=K φ(0) =0 积分 A(0)= ∞ φ(0) = −90° φ(∞) -= −90° 纯微分 A(0)= 0 φ(0) 惯性 A(0)= 1 φ(0) A(∞)= 0 φ(∞) = −90° φ(0) A(0)= 0 --φ(0) = 0° = 0° 一阶微分 A(0)= 1 φ(0) A(∞)= ∞ φ(∞) φ(0) A(∞)= ∞ φ(∞) = −90° = 0° = 90° = 0° 二阶振荡 A(0)= 1 φ(0) A(∞)= 0 φ(∞) = −180° A(0)= 1 φ(0) A(∞)= 0 φ(∞) = 180° = 0° = 0° 二阶微分 A(0)= 1 φ(0) A(∞)= ∞ φ(∞) = 180° φ(0) A(∞)= ∞ φ(∞) = −180° = 0° = 0°