第五章线性系统的频域分析法知识点

，
1 ������������ 1 1
确定幅频特性：
������������ = 1, 2, 20。
10 ������������
基本环节为 5 个：10， ,
ห้องสมุดไป่ตู้
0.05������������+1
其中 N= -2(N+ - N-)。说明：应用此公式是针对半条 Nyquist 曲线而言的， 如果是整个闭合的 Nyquist 曲线，计算公式为 N= -(N+ - N-)，N 取值为正表示 顺时针圈数，反之为逆时针圈数；N+表示从实轴上方向实轴下方的穿越，N表示从实轴下方向实轴上方的穿越。 6. 掌握稳定裕度的概念和计算方法。 7. 了解闭环频率特性的相关内容： (1) 闭环频率特性在低频段的“0”分贝特性：一般系统闭环在频率接近 “0”时，具有“0”分贝（或接近 0）特性
终 点
A(∞)= 0
A(∞)= ∞ φ(∞) -= 90°
= 90°
起 非最 小相 位环 节 点
A(0)= 1
A(0)= 1
A(0)= 1
终 点
= −180° A(∞)=K φ(∞) = −180°
注：上表的结论只针对典型环节的标准表达方式，要应用以上结论须将非标准环节转化为标准表达 方式
= 90°
，试绘
制开环系统的对数频率特性曲线。
解： 原系统的传递函数不是标准形式， 先将开环传递函数表示成标准形式： ������������(������������) =
������������(������������+������������)(������������.������������������������������������+������������)
s= 0.16 + 0.4(
1 kπ − 1) ， ts = 0 sin γ ωc
k0 = 2 + 1.5(
1 1 − 1) + 2.5( − 1) 2 sin γ sin γ
二阶系统闭环时域指标和开环频率指标之间明确的解析关系（不要求记 住） 。 二、相关知识点例题 例 1. 已知某单位反馈系统的开环传递函数为：������������(������������) =
2. 掌握两种常用的频率特性的表示方法：极坐标图（Nyquist 图，Nyquist 图是特殊的极坐标图）和对数坐标图（Bode 图） 。了解对数幅相频率特性图 （Nichols 图）的特性。 3. 熟练掌握典型环节的频率特性： 典型环节的标准形式可概括为： 最小相位环节 比例环节： 积分环节： K
从小至大确定各基本环节的转折频率（斜率发生变化的频率点） ； ������������ 1 （2）绘制起始段折线： ������������ 部分决定幅频图的起始段， ������������（������������ > 0表示包含
������������
������������ ������������
������������������������(������������.������������������������+������������) ������������(������������+������������)(������������+������������������������) ������������������������������������(������������+������������)
1 2������������ ������������
−������������������������+1
1
，(������������ > 0)
������������ 2 +
������������ + 1，(������������, ������������ > 0)
，(������������, ������������ > 0)
Im Nyquist路径 等幅振荡极点
半
零极点 0
径
∞
Re
图 1 Nyquist 路径（红线部分）
Nyquist 曲线是指开环传递函数 G(S)H(S)的 S 变量沿着 Nyquist 路径顺时 针运动一周时在复平面形成的轨迹，是特殊的极坐标图。
Nyquist 曲线与开环幅相曲线（极坐标图）之间的关系： (1) 当开环系统不包含“零极点”和“纯虚根(等幅振荡)极点”时，Nyquist 曲线与开环幅相曲线是重合的； (2) 当开环系统包含“零极点”时，开环幅相曲线需补足一段半径为无穷 从ω=0+位置逆时针绘制至实轴（注意：对应圆心角= ������������ × 90° ，圆弧轨迹的运 动方向为顺时针走向） 。 为无穷大的圆弧才能构成完整的 Nyquist 曲线，该圆弧的圆心角= ������������ × 180° （l 大的圆弧才能构成完整的 Nyquist 曲线，该圆弧的圆心角= ������������ × 90° ，圆弧可以
������������
G1 (s)，其中G1 (s)是指传递函数中不包
(1) 确定起点：幅值和相位，含有积分环节时，起点指ω=0+时；含有等幅 振荡环节时，在ωn-变化至ωn+时相位有 180°的跳变，即频率ω<ωn 时，等幅 振荡环节的相位为零，频率ω>ωn 时等幅振荡环节的相位为-180°。 (2) 确定终点：幅值和相位； 根据起点和终点及所包含基本环节的特征， 大致确定幅相曲线的变化象限； (3) 确定与实轴的交点。 5. 熟练掌握绘制系统开环奈奎斯特（Nyquist）曲线的方法，并根据开环 奈氏曲线判断系统的稳定性。
，(������������, ������������ > 0)
������������ 2
1
1 2 2������������ ������������ − ������������+1 ������������ ������������2
−������������������������ + 1，(������������ > 0)
(3) 当开环系统包含“等幅振荡极点”时，开环幅相曲线需补足一段半径
为振荡环节的个数） ，圆弧起始于ωn-位置处，终止于ωn+处，顺时针走向。 奎斯特曲线顺时针围绕(-1, j0)点的圈数，P 是开环不稳点极点的个数。
Nyquist 稳定性判据：Z=N+P，其中 Z 指闭环不稳定极点的个数，N 指奈
典型环节的频率特性掌握要点： (1) 频率特性主要把握起点和终点的幅值和相位，以及幅值和相位的变化 趋势。
(2) 频率特性的一些基本特征： 频率特性中所研究的频率范围为(-∞,+∞)， 但由于频率特性幅频特性 A(ω)是 ω 的偶函数，相频特性φ(ω)是 ω 的奇函数， 因此，一般只绘制ω ∈ (0, +∞)部分的频率特性曲线。 (3) 所有基本环节的相频特性在ω ∈ (0, +∞)区间内都是关于 ω 的单调函 数。 (4) 除了振荡环节和二阶微分环节， 其它环节的幅频特性也是关于 ω 的单 调函数；当������������ < 0.707时，振荡环节和二阶微分环节的幅值分别存在极大值和 极小值，������������ ≥ 0.707时，振荡环节和二阶微分环节的幅值分别是关于 ω 的单调 递减和递增函数。 (5) 传递函数呈倒数关系的典型基本环节频率特性的特征关系：幅频特性 互为倒数， 相频特性互为相反数； 最小相位环节和非最小相位环节 （标准形式） 之间关系：幅频特性相同，相频特性互为相反数。
4. 熟练掌握根据传递函数绘制伯德图 （Bode 图， 只绘制近似的 Bode 图， 即折线图）的方法；熟练掌握根据传递函数绘制极坐标图（Nyquist 图）的方 法；根据最小相位系统和对数幅频特性之间的一一对应关系，掌握根据对数幅 频图确定系统传递函数的方法。 绘制伯德图幅频特性图的要点：
含积分或纯微分环节的部分；
G (s) = 因为开环传函： k ∏ (τ i s + 1) s
υ
m i =1 n −υ
∏ (T s + 1)
j =1 j
闭环传函： Φ( s) =n −υ
s
υ
k ∏ (τ i s + 1)
i =1 m i
m
j = j 1= i 1
∏ (T s + 1) + k ∏ (τ s + 1)
lim������������→0 Φ(������������������������) = 1，或
第五章 线性系统的频域分析法
一、知识点总结 1. 掌握频率特性的概念：由幅频特性和相频特性构成。幅频特性是指： 当系统输入为单一频率正弦信号时， 系统稳态输出响应的幅值与输入信号幅值 之比与输入信号频率之间的函数关系。相频特性是指：当系统输入为单一频率 正弦信号时， 系统稳态输出响应的相位与输入信号相位之差与输入信号频率之 间的函数关系。 系统传递函数 G(S)与频率特性 G(jω)之间关系为：G(jω)= G(S)|s=jω。 幅频特性为：A(ω)= |G(jω)|；相频特性为：φ(ω) = ∠G(jω) 系统频率特性可表示为复指数形式：G(jω) = |G(jω)|e������������∠G(jω)
������������������������ + 1，(������������ > 0)
2������������ ������������
，(������������ > 0)
������������ 2 +
������������ + 1，(������������, ������������ > 0)