新北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质和判定》课件
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对角线相等 对角线 互相垂直平分 每条对角线平分一 组对角
正方形的性质
所以：正方形不仅是平行四边形、矩形， 还是菱形。
正方形的判定
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. A D ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. B C
正方形的判定
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明 有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或 对角线相等的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC⊥BD, O ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. B C
3.正方形的性质和判定
平行四边形再认识
平行四边形再认识
邻边相等 平行四边 形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形再认识
正方形定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 换句话：有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点 O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
解：
A
F
D
（1）∵四边形ABCD是正方形 O ∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC C B ∴∠OAB=450 E (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方形的 面积是 8 . (3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方 形一边的距离 4㎝ .
E B百度文库F C
构建与证明
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直 角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形。
A O
B
D
C
轴对称
思维拓展
如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两 条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路 的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
两层 含义
⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四 边形（矩形）
正 方 形
各平行四边形关系再认识
有一组邻边相等且有 一个角是直角
各平行四边形关系再认识
平 行 四 边 形
矩 形
菱 形
正 方 形
正方形的性质 边 对边平行 四边相等
正 方 形 性 质
角 四个角相等且都是直角
正方形的判定
定理:对角线相等的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC=BD, O ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, B C ∴四边形ABCD是正方形.
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
）个
多
多
多
第n个图中正方形有
3n-1 个
学习了本节课你有哪些收获？
四边形再认识
2 2cm
A O B
D
C
AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且 AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB
A D 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠B=900 ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE ∴△ABF≌△AFE（HL） ∴BF=EF 又∵∠FEC=900 ∴∠EFC=450 ∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC
正方形的性质
所以：正方形不仅是平行四边形、矩形， 还是菱形。
正方形的判定
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. A D ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. B C
正方形的判定
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明 有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或 对角线相等的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC⊥BD, O ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. B C
3.正方形的性质和判定
平行四边形再认识
平行四边形再认识
邻边相等 平行四边 形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形再认识
正方形定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 换句话：有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点 O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
解：
A
F
D
（1）∵四边形ABCD是正方形 O ∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC C B ∴∠OAB=450 E (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方形的 面积是 8 . (3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方 形一边的距离 4㎝ .
E B百度文库F C
构建与证明
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直 角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形。
A O
B
D
C
轴对称
思维拓展
如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两 条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路 的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
两层 含义
⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四 边形（矩形）
正 方 形
各平行四边形关系再认识
有一组邻边相等且有 一个角是直角
各平行四边形关系再认识
平 行 四 边 形
矩 形
菱 形
正 方 形
正方形的性质 边 对边平行 四边相等
正 方 形 性 质
角 四个角相等且都是直角
正方形的判定
定理:对角线相等的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC=BD, O ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, B C ∴四边形ABCD是正方形.
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
）个
多
多
多
第n个图中正方形有
3n-1 个
学习了本节课你有哪些收获？
四边形再认识
2 2cm
A O B
D
C
AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且 AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB
A D 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠B=900 ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE ∴△ABF≌△AFE（HL） ∴BF=EF 又∵∠FEC=900 ∴∠EFC=450 ∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC